Problemas de probabilidad M´aster Universitario de Profesorado de Educaci´on Secundaria Especialidad de Matem´aticas Universidad de Valencia Curso 2013-2014

Bego˜ na Soler de Dios DNI: 48604531B

Contenido 1. Paseos aleatorios, procesos infinitos y ´ abaco probabil´ıstico 1.1. Mediante el ´abaco probabil´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Mediante la aplicaci´on de las reglas del valor medio . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Comprobaciones extra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Simulaci´ on 2.1. Soluci´on te´orica del problema original . . . . . . . . . . 2.2. Traducci´on del problema original al problema simulado 2.3. Dise˜ no de la simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Probabilidad de obtener permiso . . . . . . . . 2.3.2. Probabilidad de no casarse en 10 a˜ nos . . . . . 2.4. La soluci´on del problema simulado . . . . . . . . . . . 2.4.1. Probabilidad de obtener permiso . . . . . . . . 2.4.2. Probabilidad de no casarse en 10 a˜ nos . . . . . 2.5. Ley de los Grandes N´ umeros . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Problemas ternarios de probabilidad condicional 3.1. Familia L1 C0 T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. N´ umero te´orico de problemas que se pueden formular . . . . . . 3.1.2. N´ umero de los problemas anteriores que son ternarios . . . . . . 3.1.3. N´ umero de problemas que siendo ternarios son equivalentes . . . 3.1.4. N´ umero de problemas b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5. Identificaci´on del tipo de grafo asociado a cada problema b´asico 3.1.6. Problemas formulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Familia L1 C0 T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. N´ umero te´orico de problemas que se pueden formular . . . . . . 3.2.2. N´ umero de los problemas anteriores que son ternarios . . . . . . 3.2.3. N´ umero de problemas que siendo ternarios son equivalentes . . . 3.2.4. N´ umero de problemas b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5. Identificaci´on del tipo de grafo asociado a cada problema b´asico 3.2.6. Problemas formulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 3 6 8

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10 11 12 13 13 14 15 15 16 16

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18 20 20 21 22 22 23 24 25 25 25 26 26 27 27

1 Paseos aleatorios, procesos infinitos y ´ abaco probabil´ıstico Ejercicio 5: Una moneda con caras 0 y 1 se lanza repetitivamente produciendo rachas de ceros y de unos. El lanzamiento se detiene en el momento en el que la racha es un pal´ındromo. Queremos conocer el n´ umero medio y esperado de lanzamientos para conseguir un pal´ındromo.

1.1 Mediante el a´baco probabil´ıstico

1.1.

3

Mediante el ´ abaco probabil´ıstico

Un pal´ındromo es un n´ umero que se lee igual hacia delante que hacia detr´as. Para dibujar el grafo entre cada dos estados dibujamos una flecha con una fracci´on que indica el n´ umero de caminos que conducen de un estado a otro respecto de los caminos posibles (probabilidades de transici´on). Nuestro grafo ser´ıa el siguiente siendo la probabilidad de pasar de un estado a otro de (la moneda tiene dos caras):

1 2

Hay tres estados diferentes que definiremos de la siguiente forma: E1 = Sacar una ficha a, ESTADO INICIAL E2 = Sacar una ficha b, ESTADO INTERMEDIO E3 = Sacar una ficha a, ESTADO ABSORBENTE Partimos del hecho de que ya se ha realizado un lanzamiento, que puede ser 0 o 1 y que nosotros llamamos al n´ umero obtenido a. Es decir, las letras a y b significan 1 o 0 dependiendo del n´ umero que salga primero. Puede ser que en nuestra primera tirada obtengamos un 1, esa ser´a la letra a, si volvemos a sacar un 1 la partida terminar´a, ya que se habr´a formado un pal´ındromo, en el caso de sacar un 0, letra b, lanzaremos m´as veces hasta obtener de nuevo un 1 y terminar la partida. Las letras a y b son 1 o 0 dependiendo del primer lanzamiento que lo determina y que no lo tenemos en cuenta en el grafo.

4

1 Paseos aleatorios, procesos infinitos y a´baco probabil´ıstico

Como se puede observar, se trata de un proceso infinito ya que hay un bucle creado en el estado intermedio y tambi´en podemos ver que hay un u ´nico estado absorbente, por lo tanto el proceso acabar´a en este estado con seguridad y construiremos un pal´ındromo. Empezamos llenando nuestro estado inicial con el n´ umero de fichas que nos permita inicial los movimientos, en nuestro caso, el n´ umero de fichas m´ınimas para mover es 2. Tambi´en cargamos el estado interior con una ficha menos de las necesarias para poder mover, es decir, una. Ahora ya estamos listos para empezar a jugar con el ´abaco probabil´ıstico.

Si hubiesemos colocado una ficha en el estado inicial, no podr´ıamos decidir a qu´e estado pasa, pero si colocamos dos s´ı, pasando una al estado intermedio y otra al estado absorbente, quedando el tablero de la siguiente manera:

1.1 Mediante el a´baco probabil´ıstico

5

En el pr´oximo movimiento una de las fichas que estaba en el estado intermedio pasar´a al estado absorbente, finalizando el juego para ella, mientras que la otra se quedar´a en el estado intermedio, quedando el tablero de la siguiente forma:

Como el estado interior se encuentra en las mismas condiciones iniciales que se encontraba antes de empezar los movimientos, es decir, con una ficha, el juego ha terminado. Dividiendo el n´ umero de fichas que entran, por el n´ umero de fichas absorbidas en el es2 tado final 2 = 1 obtenemos que se trata de un proceso finito ya que la probabilidad de alcanzar este estado absorbente es uno. Para calcular el n´ umero esperado o medio de movimientos dividimos los movimientos realizados entre los que salen, en los grafos anteriores se han realizado 4 movimientos (1-3, 1-2, 2-2, 2-3) y han sido absorbidas dos fichas, por lo que 24 = 2, el n´ umero esperado de lanzamientos ser´a dos, sum´andole uno por el lanzamiento inicial obtendremos un total de tres lanzamientos por t´ermino medio para conseguir un pal´ındromo.

6

1.2.

1 Paseos aleatorios, procesos infinitos y a´baco probabil´ıstico

Mediante la aplicaci´ on de las reglas del valor medio

Utilizando las reglas del valor medio podemos adivinar el n´ umero esperado de movimientos, (en este caso ser´a el n´ umero esperado de lanzamientos que realizaremos para obtener un pal´ındromo) que hacen falta para pasar de un estado al absorbente. Utilizaremos el siguiente grafo para realizar los c´alculos:

Las reglas del valor medio se pueden resumir interpretando que el n´ umero esperado de movimientos que nos hacen falta para llegar de un estado al absorbente siempre ser´a 1 m´as el producto de la probabilidad de moverse a cada uno de los estados contiguos (siempre 12 ya que se trata de una moneda no trucada) por el n´ umero de movimientos esperado que nos hacen falta desde este estado en el que estemos para llegar al absorbente. Llamaremos mn al n´ umero de movimientos esperado que hacen falta para llegar desde el estado n al estado 3, el final. Escribimos el sistema de ecuaciones que nos llevar´a a la soluci´on del problema, el c´alculo de m1 . A˜ nadir que debemos tener en cuenta que el n´ umero esperado de movimientos m3 ser´a 0 dado que ya tendremos el pal´ındromo. m3 = 0 m2 = 1 + 21 m3 + 12 m2 = 1 + 21 m2 → m2 = 2 m1 = 1 + 12 m3 + 12 m2 = 1 + 21 m2 → m1 = 2

1.2 Mediante la aplicaci´on de las reglas del valor medio

7

Teniendo en cuenta que el grafo parte con una tirada ya realizada: m0 = 1 + m1 = 1 + 2 = 3 El n´ umero esperado de lanzamientos que tendr´ıamos que realizar para obtener un pal´ındromo ser´ıa 3.

8

1.3.

1 Paseos aleatorios, procesos infinitos y a´baco probabil´ıstico

Comprobaciones extra

Si representamos nuestro problema mediante un a´rbol podemos calcular la probabilidad de obtener repetitivamente b y no salir del bucle y por lo tanto no obtener un pal´ındromo:

La probabilidad de obtener A (obtener b y no crear un pal´ındromo) en un n´ umero de lanzamientos n muy elevado ser´ıa:
n P (A) = l´ımn→∞ 21 = 0, por lo tanto, la probabilidad de obtener A ser´a 1, siempre se construir´a un pal´ındromo. En cuanto a la duraci´on media del proceso: N´ umero medio de lanzamientos= 1 · 12 + 2 · 14 + 13 · 18 + ... =

P∞

n n=1 2n

=2

Por lo que teniendo en cuenta que se realiza un lanzamiento inicial que no aparece en el dibujo tenemos 3 lanzamientos como duraci´on media del proceso.

1.3 Comprobaciones extra

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Si resolvemos el ejercicio mediante simulaci´on implementando un algoritmo con Freemat (Software matem´atico libre), podemos calcular el n´ umero medio de lanzamientos para obtener un pal´ındromo. Algunos resultados obtenidos para un n´ umero determinado de pal´ındromos son los siguientes: Para 10 pal´ındromos obtenemos una media de 2.8000 lanzamientos. Para 1000 pal´ındromos obtenemos una media de 2.9670 lanzamientos. Para 10000 pal´ındromos obtenemos una media de 2.9915 lanzamientos. Para 100000 pal´ındromo obtenemos una media de 2.9981 lanzamientos.

Es decir, cada vez nos acercamos m´as a tres lanzamientos que es tambi´en el n´ umero esperado de lanzamientos obtenido en los apartados anteriores. El algoritmo utilizado es el siguiente:

2 Simulaci´ on Ejercicio 3: Los casamientos. En un pa´ıs muy extra˜ no, cuando una mujer cumple los 18 a˜ nos solicita autorizaci´on para casarse. El juez de paz le proporciona seis trozos de cuerda iguales que coge con la mano, por la mitad todos ellos, de forma que por cada lado del pu˜ no salen los seis extremos de las cuerdas. Escoge al azar, por parejas y a cada lado del pu˜ no, dos extremos de la cuerda y los ata. Si con eso consigue formar un u ´nico bucle cerrado tiene autorizaci´on para casarse. En el caso contrario repite la experiencia un a˜ no despu´es. ¿Cu´al es la probabilidad de conseguir un bucle cerrado? ¿Cu´al es la probabilidad de que una mujer no consiga permiso en diez a˜ nos consecutivos?

2.1 Soluci´on te´orica del problema original

2.1.

11

Soluci´ on te´ orica del problema original

Empezamos la resoluci´on viendo el n´ umero de posibles combinaciones existentes para poder atar las seis cuerdas por parejas y a cada lado del pu˜ no. Para ello solamente consideraremos los nudos que se hacen en uno de los lados, el superior, ya que lo ordenemos como lo ordenemos obtendremos una soluci´on equivalente en donde las cuerdas inferiores quedan atadas con sus vecinas, por lo tanto las podemos ordenar de la misma forma [1-2, 3-4, 5-6] y tener solamente en cuenta la parte superior. De este modo estar´ıamos transformando el problema a uno en el que la mujer va a pedir permiso solamente puede atar los nudos de la parte superior. Numerando las cuerdas como 1, 2, 3, 4, 5 y 6 y consideramos que si est´an escritas de la siguiente forma: [1-2, 3-4, 5-6], la primera cuerda superior estar´a atada con la segunda superior, la tercera superior con la cuarta superior y la quinta superior con la sexta, obtenemos 15 combinaciones diferentes. Recordar que se ha dejado fija la parte inferior: [1-2, 3-4, 5-6]. Por lo tanto, en el momento que tengamos una combinaci´on superior que contenga una uni´on 1-2, 3-4 o una 5-6, se formar´a m´as de un bucle y no una grande que es lo que se desea. En la tabla que aparece a continuaci´on aparecen todas las combinaciones y si forman bucle o no, es muy sencillo si tenemos en cuenta las consideraciones anteriores:

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2 Simulaci´on

Es decir, hay un total de 15 combinaciones de nudos diferentes, habiendo solamente 8 que crean un u ´nico nudo. Es decir, teniendo en cuenta que crear un nudo es igual a obtener 8 permiso, la probabilidad de obtenerlo es 15 . El enunciado nos ped´ıa que calcul´asemos la probabilidad de no obtener autorizaci´on en 7 10 a˜ nos. A partir de la probabilidad de no conseguir permiso en un primer intento 15 realizamos el siguiente a´rbol y a partir de ´el hacemos el c´alculo:


P P =


7 10 15

≈ 0,000489855

Es decir, aproximadamente 5 mujeres de cada 10000 no obtendr´an permiso para casarse despu´es de 10 a˜ nos.

2.2.

Traducci´ on del problema original al problema simulado

El experimento consistir´a en sacar seis n´ umeros de una bolsa con seis n´ umeros y apuntarlos en el orden de extracci´on. Una vez sacados se comprabar´a por parejas si alguna de ellas es 1-2, 3-4 o 5-6 y si es as´ı no se formar´a un bucle. Esta experiencia se realizar´a repetitivamente hasta el n´ umero de intentos que deseemos y dividiendo el n´ umero de permisos obtenidos entre el n´ umero de intentos realizados obtendremos la probabilidad de que se obtenga permiso. Para el c´alculo de la probabilidad de que no obtenga permiso en 10 a˜ nos realizaremos extracciones apuntando los a˜ nos que se tarda a conseguir permiso cada vez. Y a partir de ah´ı, teniendo en cuenta los que tardan m´as de diez a˜ nos en obtener permiso, obtendremos la

2.3 Dise˜ no de la simulaci´on

13

probabilidad de no tener permiso en 10 a˜ nos. P (suceso) =

2.3.

n.desucesosf avorables n.totaldeintentos

Dise˜ no de la simulaci´ on

Para hacer la simulaci´on se han implementado varios programas utilizando Freemat (Software matem´atico libre).

2.3.1.

Probabilidad de obtener permiso

Se ha empezado creando un programa que dado un n´ umero de intentos de conseguir permiso nos devuelve un vector con unos y ceros, el 1 significar´a que hay m´as de un bucle y (no conseguir´a permiso) y el 0 que s´ı que conseguir´a permiso. A continuaci´on se muestra el programa utilizado:

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2 Simulaci´on

Posteriormente, a partir del vector con los datos de permiso y no permiso se calcula la probabilidad de obtener permiso dividiendo los casos favorables entre el n´ umero de intentos totales:

2.3.2.

Probabilidad de no casarse en 10 a˜ nos

En este caso partiremos del vector con unos y ceros creado anteriormente. Con un nuevo programa lo recorremos para ver los a˜ nos que se tarda en encontrar permiso. 0 indicaba permiso y uno no permiso, por lo que si el vector tiene 1110 esto significar´a que ha tardado 4 a˜ nos en obtener permiso. Finalmente obtendremos un vector con a˜ nos en los que se tarda. Una vez tengamos el vector con todos los a˜ nos dividiremos el n´ umero de veces que se ha obtenido permiso tras m´as de diez a˜ nos entre el n´ umero total de permisos, obteniendo de este modo la probabilidad de no obtener permiso en diez a˜ nos. A continuaci´on se muestra el programa utilizado:

Es decir, le pasamos el vector con todos los intentos, si hay un 0 indicar´a que ha obtenido permiso, si hay un uno no, por lo que habr´a que esperar a que vuelva a aparecer un uno y

2.4 La soluci´on del problema simulado

15

esos unos m´as el cero ser´an los a˜ nos que se tarda en obtener permiso. Si el resultado de los a˜ nos lo ponemos en un vector podremos contar los que se pasan de diez intentos y dividirlo por el n´ umero total.

2.4.

La soluci´ on del problema simulado

2.4.1.

Probabilidad de obtener permiso

Una vez aplicado el programa observamos que nuestros resultados, si aumentamos el n´ umero de intentos (mujeres que van a pedir permiso), van acerc´andose m´as la probabilidad al valor te´orico (0.5333). Estos son algunos de los resultados obtenidos:

de 2000 chicas diferentes que van a pedir permiso: 0.5840=Probabilidad de obtener permiso. de 20000 chicas diferentes que van a pedir permiso: 0.5658=Probabilidad de obtener permiso. de 200000 chicas diferentes que van a pedir permiso: 0.5352Probabilidad de obtener permiso. Gr´aficamente:

En la gr´afica se observa la probabilidad de obtener permiso frente a la cantidad de mujeres que realizan la prueba. Se observa que a mayor n´ umero de intentos m´as se acerca a nuestro

16

2 Simulaci´on

valor te´orico. No se puede hacer la representaci´on para m´as intentos ya que el programa no lo soporta.

2.4.2.

Probabilidad de no casarse en 10 a˜ nos

En este caso siempre obtenemos probabilidad cero, hagamos las iteraciones que hagamos. Esto es l´ogico ya que la probabilidad es muy peque˜ na y el programa no nos deja hacer un n´ umero suficientemente grande de iteraciones en los que se de el caso de sobrepasar los diez a˜ nos.

2.5.

Ley de los Grandes N´ umeros

La Ley de los Grandes N´ umeros nos dice que la frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse hacia una constante a medida que se repite dicho experimento. Es decir, vamos a intentar calcular el n´ umero de intentos de obtener permiso que ser´an necesarios para que la probabilidad de obtener permiso simulada se acerque a la calculada te´oricamente en el primero de los apartados y tambi´en el n´ umero de simulaciones para obtener la probabilidad de no obtener permiso en diez a˜ nos. El n´ umero de simulaciones lo podremos calcular a partir de la siguiente f´ormula: n=

 t α 2 2

ε

=

1−Rreal Rreal

Fijamos como error: ε = 1 % ´Indice de confianza: IC = 1 − α = 0,95 α = 0,05 Y consultando en tablas: t α2 = 1,96

Para calcular la probabilidad de obtener permiso nos salen 33614 simulaciones para obtener un buen resultado mientras que para calcular la probabilidad de no obtener permiso en 10 a˜ nos nos salen 78384743. A partir de los resultados anteriores podemos deducir el motivo por el cual se acercan m´as las simulaciones realizadas para calcular la probabilidad de obtener permiso a nuestro valor te´orico, ya que el n´ umero de simulaciones es cercano al obtenido con la Ley de los Grandes N´ umeros. El resultado anterior tambi´en explica el motivo de obtener probabilidad al calcular la pro-

2.5 Ley de los Grandes N´ umeros

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babilidad de no obtener permiso en diez a˜ nos. Se podr´ıan hacer las simulaciones indicadas y as´ı obtener una buena aproximaci´on pero el ordenador no es suficientemente potente.

3 Problemas ternarios de probabilidad condicional Las familias de problemas analizaremos son: L1 C0 T1 y L1 C0 T2 . -L: level, n´ umero de probabilidades de tipo condicional -C: category, n´ umero de probabilidades de tipo marginal -T: type, indica la pregunta del problema, siendo T1 condicional, T2 : marginal y T3 : intersecci´on. El n´ umero de datos de tipo intersecci´on se obtiene a partir de la siguiente f´ormula: n´ umero P.Condicional+n´ umero P.Marginal+n´ umero P.Intersecci´on=3 Grafo trinomial:

19 Las relaciones que aparecen en el grafo son las que aparecen a continuaci´on:

1 − P (A) = P (A) 1 − P (B|A) = P (B|A) 1 − P (B|A) = P (B|A) P (A) · P (B|A) = P (A) ∩ B P (A) − P (A ∩ B) = P (A ∩ B) P (A) · P (B|A) = P (A ∩ B) P (A) − P (A ∩ B) = P (A ∩ B) P (A) · P (B|A) = P (A ∩ B) P (A) · P (B|A) = P (A ∩ B) 1 − P (B) = P (B) 1 − P (A|B) = P (A|B) 1 − P (A|B) = P (A|B) P (A) · P (A|B) = P (A ∩ B) P (B) − P (A ∩ B) = P (A ∩ B) P (B) · P (B|A) = P (A ∩ B) P (B) − P (A ∩ B) = P (A ∩ B) P (B) · P (A|B) = P (A ∩ B) P (B) · P (A|B) = P (A ∩ B)

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3 Problemas ternarios de probabilidad condicional

Si observamos el grafo trinomial hay ocho tipos distintos de probabilidades condicionales, cuatro tipos distintos de probabilidades marginales y cuatro tipos distintos de probabilidades de intersecci´on: Condicionales: P (A|B), P (A|B), P (B|A), P (B|A), P (A|B), P (A|B), P (B|A) y P (B|A). Marginales: P (A), P (A), P (B) y P (B). Intersecci´on: P (A ∩ B), P (A ∩ B), P (A ∩ B) y P (A ∩ B).

3.1.

Familia L1C0T1

Datos conocidos: una probabilidad condicional (L1 ), ninguna probabilidad marginal (C0 ) y dos probabilidades de intersecci´on. Pregunta: probabilidad condicional (T1 ).

3.1.1.

N´ umero te´ orico de problemas que se pueden formular

El n´ umero te´orico de problemas se determina combinando las cantidades conocidas que se pueden dar en esta familia de problemas y las desconocidas. El n´ umero de formas distintas en las que podemos formular los problemas con un dato de tipo condicional es el siguiente: 8 1




=

8! (8−1)!1!

=8

De la misma forma, el n´ umero de formas distintas en las que se pueden formular los problemas con dos datos de tipo intersecci´on (n´ umero de parejas de probabilidades de intersecci´on que se pueden dar como datos conocidos) es: 4 2




=

4! (4−2)!2!

=6

Las u ´ltimas seis parejas de probabilidades de intersecci´on pueden ser combinadas con cada una de las ocho probabilidades condicionales, generando 8·6=48 formas posibles de combinar las cantidades conocidas del problema o formas distintas de dar los datos. Cada uno de los casos calculados anteriormente se combinan con la cantidad desconocida del problema. Nuestra cantidad desconocida es una probabilidad condicional y al ser un dato de este tipo tenemos que asegurarnos que el dato que nos den no coincida con el que no conocemos por lo que las 48 combinaciones se combinan con 7 m´as que no se dan y no 8. El n´ umero te´orico de problemas que se pueden formular es 8·6·7=336.

3.1 Familia L1 C0 T1

3.1.2.

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N´ umero de los problemas anteriores que son ternarios

Condiciones que debe cumplir un problema para que sea ternario: -Tratar con probabilidades conocidas y desconocidas. -Todas las probabilidades tienen que estar ligadas por relaciones ternarias. -Cada relaci´on ternaria contiene, al menos, una probabilidad desconocida. -Todas las relaciones se encuentran ligadas entre s´ı por una o dos probabilidades. -El objeto del problema consiste en la determinaci´on de una o varias probabilidades desconocidas.

De este modo descartaremos de todos los anteriores los problemas en los que para obtener la cantidad desconocida u ´nicamente utilizan una de las ramas del grafo trinomial, aquellos en los que no intervengan tres cantidades conocidas y los que se conozca dos probabilidades de intersecci´on situadas en una misma rama aditiva del grafo y se pida una probabilidad condicionada situada en una rama multiplicativa formada por una de las probabilidades de intersecci´on dadas y la probabilidad marginal correspondiente a la rama aditiva. Descartaremos tambi´en ciertos problemas en los que no es posible determinar ninguna probabilidad condicional exceptuando la conocida y su complementaria. Despu´es del estudio del grafo trinomial hay 144 casos que pueden ser excluidos por no ser ternarios, quedando 192 problemas que s´ı lo son. En la tabla que aparece a continuaci´on se indican todos los problemas ternarios que se pueden enunciar para la familia del enunciado, es decir, el n´ umero de posibles problemas que podemos tener dados como datos dos intersecciones y una condicional:

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3.1.3.

3 Problemas ternarios de probabilidad condicional

N´ umero de problemas que siendo ternarios son equivalentes

Dos problemas son equivalentes (relaci´on binaria) si cumplen las propiedades reflexiva, sim´etrica y transitiva. Como el grafo trinomial es sim´etrico podemos encontrar problemas equivalentes cambiando la A por la B ya que las tres condiciones anteriores se cumplen, por tanto, el problema ser´a el mismo. Por ejemplo: Si consideramos 1 − A = A y 1 − B = B si A=B la relaci´on ser´a la misma. Es decir, la mitad de los problemas ternarios son equivalentes con la otra mitad al intercambiar A por B y, en su caso, A por B. 192/2=96 problemas ternarios no equivalentes.

3.1.4.

N´ umero de problemas b´ asicos

En el c´alculo del n´ umero de problemas b´asicos nos fijamos en la probabilidad que se pregunta, las de los datos y en las relaciones entre ellas y la similitud con otros problemas. Podemos ver que un problema con una condicional y dos intersecciones es similar a otro con una probabilidad complementaria de la condicional anterior y las mismas probabilidades de intersecci´on ya que tienen la misma resoluci´on por la relaci´on aditiva que relaciona ambas condicionales. Con el mismo razonamiento podemos decir que en un problema en el que se solicita una probabilidad condicional es similar a otro con las mismas cantidades conocidas pero que se solicita una probabilidad complemenataria.

3.1 Familia L1 C0 T1

23

Tras el estudio del grafo trinomial quedan 24 problemas b´asicos:

3.1.5.

Identificaci´ on del tipo de grafo asociado a cada problema b´ asico

Un problema b´asico es algebraico si los datos proporcionados no son suficientes y se necesita plantear un sistema de ecuaciones mientras que uno aritm´etico puede resolverse directamente a partir del grafo trinomial. Por ejemplo, si queremos resolver el primer problema b´asico: Datos: P (B|A), P(A ∩ B) y P(A ∩ B) Pregunta: (A|B)

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3 Problemas ternarios de probabilidad condicional

P (A) − P (A ∩ B) = P (A ∩ B) obteniendo P (A) y por tanto P(A). P (A)P (B|A) = P (A ∩ B) obteniendo P (A ∩ B). P (B) − P (A ∩ B) = P (A ∩ B) obteniendo P(B). ´ P (B)P (A|B) = P (A ∩ B) obteniendo finalmente P (A|B) ARITMETICO. Si seguimos con este procedimiento para los problemas b´asicos de la tabla anterior llegamos a la conclusi´on de que todos ellos son aritm´eticos.

3.1.6.

Problemas formulados

´ PROBLEMA BASICO 6: DATOS: P (A|B), P (A ∩ B) Y P (A ∩ B). PREGUNTA: P (B|A). Se hace una encuesta a un grupo de 120 personas preguntando si les gusta leer y ver la tv. A 32 personas les gusta leer y ver la televisi´on, a 15 no les gusta leer pero s´ı ver la televisi´on y a 32/92 de las personas que leen ven la televisi´on. ¿Cu´al es la probabilidad de que una persona que no lea vea la televisi´on? P (A)= Leen P (B)= Ven la TV P (B|A)= 32/92 de los que leen ven la tv. P (A ∩ B)= 32 personas de 120 leen y ven la televisi´on. P (A ∩ B)= 15 personas de 120 no leer pero ven la televisi´on.

´ PROBLEMA BASICO 20: DATOS: P (B|A), P (A ∩ B) Y P (A ∩ B). PREGUNTA: P (B|A). En un pueblo hay 100 j´ovenes, 40 son chicos y juegan al tenis, 10 son chicas y no juegan y 40 de cada 55 chicos juegan al tenis. ¿Cu´al es la probabilidad de que siendo chica juegue a tenis? P (A)= Chica P (B)= Tenis P (B|A)= 40/55 de los chicos juegan a tenis. P (A ∩ B)= 10 chicas no juegan a tenis. P (A ∩ B)= 40 chicos juegan al tenis.

3.2 Familia L1 C0 T2

3.2.

25

Familia L1C0T2

Datos conocidos: una probabilidad condicional (L1 ), ninguna probabilidad marginal (C0 ) y dos probabilidades de intersecci´on. Pregunta: probabilidad marginal (T2 ).

3.2.1.

N´ umero te´ orico de problemas que se pueden formular

Al igual que en el apartado anterior y tal y como se indica al principio del ejercicio, existen ocho tipos distintos de probabilidades condicionales. Calculamos las distintas formas en las que se pueden formular los problemas con 1 dato de tipo condicional son: 8 1




=

8! (8−1)!1!

=8

De la misma forma, el n´ umero de formas distintas en las que se pueden formular los problemas con dos datos de tipo intersecci´on (n´ umero de parejas de probabilidades de intersecci´on que se pueden dar como datos conocidos) es: 4 2




=

4! (4−2)!2!

=6

Es decir, tenemos 8·6=48 formas distintas de dar los datos. Para cada una de ellas tenemos una pregunta de tipo marginal (existen cuatro tipos distintos de probabilidad marginal) por lo que el n´ umero te´orico total de problemas que podemos formular es: 8·6·4=192 casos te´oricos.

3.2.2.

N´ umero de los problemas anteriores que son ternarios

Para que un problema sea ternario descartamos los problemas que solamente utilizan una rama y los que para obtener una cantidad desconocida no utilizan todos los datos. Se descartan los problemas que utilizan solamente una rama cuando sobre una misma rama multiplicativa coincide la pregunta de probabilidad marginal con el dato condicional y uno de intersecci´on. Es decir, eleminaremos tres problemas de cada rama multiplicativa. Tambi´en descartamos aquellos en los que la probabilidad marginal preguntada es la complementaria a la del caso explicado, ya que con una simple relaci´on aditiva se averigua la marginal complementaria y no se utiliza el dato de intersecci´onque falta.

26

3 Problemas ternarios de probabilidad condicional

Finalmente eliminaremos los que los datos de intersecci´on est´en en la misma rama aditiva que la marginal que se pregunta y descartaremos los que pregunten por una marginar complementaria y los problemas en los que determinar una probabilidad marginal no sea posible y la otra se determina en una sola rama. En este caso tenemos 48 ternarios:

3.2.3.

N´ umero de problemas que siendo ternarios son equivalentes

Las relaciones de la mitad superior e inferior son equivalentes. Utilizando este hecho podemos excluir la mitad de los problemas por ser equivalentes: 48 2

= 24 casos.

3.2.4.

N´ umero de problemas b´ asicos

En este caso nos fijaremos en la probabilidad que se pregunta y la que se da como dato y tambi´en en las relaciones que se forman entre ellas y que hacen que otros problemas sean parecidos. Tras el estudio de los diferentes casos posibles quedan seis problemas b´asicos que aparecen a continuaci´on (es f´acil determinar el n´ umero si utilizamos como herramienta el Excel y a partir de ah´ı vamos eliminando):

3.2 Familia L1 C0 T2

3.2.5.

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Identificaci´ on del tipo de grafo asociado a cada problema b´ asico

Un problema b´asico es algebraico si los datos proporcionados no son suficientes y se necesita plantear un sistema de ecuaciones mientras que uno aritm´etico puede resolverse directamente a partir del grafo trinomial. Por ejemplo, si queremos resolver un problema b´asico: Datos: P (B|A), P(A ∩ B) y P(A ∩ B) Pregunta: (B) P (A) − P (A ∩ B) = P (A ∩ B) obteniendo P (A) y por tanto P(A). P (A)P (B|A) = P (A ∩ B) obteniendo P (A ∩ B). ´ P (B) − P (A ∩ B) = P (A ∩ B) obteniendo P(B) ARITMETICO. Si seguimos con este procedimiento para los problemas b´asicos de la tabla anterior llegamos a la conclusi´on de que los seis son aritm´eticos.

3.2.6.

Problemas formulados

´ PROBLEMA BASICO 1: DATOS: P (B|A), P (A ∩ B) Y P (A ∩ B). PREGUNTA: P (B). En una clase de universidad de se hace una encuesta sobre idiomas. 40 de cada 55 que hablan ingl´es habl´an tambi´en franc´es, el 35 % no habla ingl´es pero habla franc´es y un 10 % no habla ninguno de los dos idiomas. ¿Cu´al es la probabilidad de que alguien hable franc´es? P (B|A)= 40 de cada 55 que hablan ingl´es hablan franc´es. P (A ∩ B)= el 35 % no habla ingl´es pero habla franc´es.

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3 Problemas ternarios de probabilidad condicional

P (A ∩ B)= el 10 % no habla ninguno de los dos.

´ PROBLEMA BASICO 2: DATOS: P (B|A), P (A ∩ B) Y P (A ∩ B). PREGUNTA: P (B). En una clase de universidad de se hace una encuesta sobre idiomas. 40 de cada 55 que hablan ingl´es habl´an tambi´en franc´es, el 40 % hablan los dos y un 10 % no habla ninguno de los dos idiomas. ¿Cu´al es la probabilidad de que alguien hable franc´es? P (B|A)= 40 de cada 55 que hablan ingl´es hablan franc´es. P (A ∩ B)= el 40 % hablan los dos. P (A ∩ B)= un 10 % no habla ninguno de los dos idiomas.