UNIDAD 5  Elementos Comprimidos Simples:  Introducción: Podemos analizar un sistema estructural cuyos elementos se encuentren sometidos a esfuerzos de compresión o tracción y analizando la estructura sin tener en cuenta la deformación (1° Orden) o teniendo en cuenta ella (2° Orden): ESTRUCTURA EN COMPRESIÓN SISTEMA (1° Orden)

ESTRUCTURA EN TRACCIÓN

SISTEMA (2° Orden)

P

P a

SISTEMA (1° Orden)

SISTEMA (2° Orden)

P

L

L

L

P

Mv = P.L

Vv = P

P

H

H

H

P

Mv = P.(L+a)

Vv = P DEFORMADA

Mv = P.L

Vv = P

Mv = P.(L-a)

Vv = P DEFORMADA

Nos permite contemplar que la situación más desfavorable, en esfuerzos de compresión es en su posición deformada y en tracción será la posición sin deformación. Por lo cual, cuando estamos en presencia de esfuerzos de compresión será necesario estudiar el problema en 2° Orden. En lo analizado aquí se presenta un problema de inestabilidad, el elemento fue diseñado en perfectas condiciones pero la existencia o la aparición de alguna perturbación en la conformación original (1° Orden), nos lleva a dicho estado. Las perturbaciones podrían ser pequeñas cargas laterales (dadas por una simple brisa, golpes, el apoyo de una persona, una mosca posada sobre el elemento, etc.), pequeñas excentricidades de las cargas aplicadas, deformaciones propias del material durante la vida útil del mismo, etc. Al hablar de la selección de elementos estructurales, las características fundamentales buscadas son resistencia, rigidez y estabilidad. Según lo dicho, la última condición será sujeta de análisis cuando el elemento posea estado de compresión. En tales problemas se deben hallar parámetros críticos adicionales que determinen si es posible una configuración o patrón de deformación dado para un sistema particular, en el cual nuestro elemento no llega a un estado de posible colapso. Como un ejemplo intuitivo sencillo considérese una barra de diámetro D sometida a una fuerza axial de compresión (1). Si tal barra actuando como “columna”, fuera de longitud D, no surgiría ninguna cuestión acerca de la inestabilidad y este miembro corto podría soportar una fuerza considerable. Por otra parte, si la misma barra tuviera una longitud mayor (2) a la anterior, al ser sometida a una fuerza axial aún menor que la que puede soportar la pieza 29

corta podría llegar a ser lateralmente inestable, presentándose en ella flexión lateral y podría fallar o sufrir colapso. Es decir la pieza sometida a una carga menor, a la que ésta puede soportar, puede suceder que llegue al colapso al ser presente una pequeña perturbación (3). P

P

Perturbación

P

P 1

P 2

P 3

Una regla delgada ordinaria, si se somete a compresión axial, fallará de esta manera. La consideración de la sola resistencia del material no es suficiente para predecir el comportamiento de tal miembro. El mismo fenómeno se presenta en numerosas otras situaciones en que existen esfuerzos de compresión. Placas delgadas, completamente capaces de resistir cargas de tracción, resultan muy ineficaces para transmitir compresión. Vigas angostas, sin arriostramiento lateral, pueden doblarse lateralmente y romperse por la acción de una carga aplicada. Tanques al vacío, así como cascos de submarinos, a menos que estén apropiadamente diseñados, pueden deformarse gravemente por la presión externa y asumir formas que difieren en forma notable de su configuración geométrica original. Un tubo de pared delgada puede arrugarse o plegarse como papel de seda cuando se somete a torsión. Además, por lo general los fenómenos de pandeo que se observan en miembros cargados ocurren más bien repentinamente. Por esta razón, muchas de las fallas estructurales por pandeo son espectaculares y muy peligrosas. El enorme número de problemas de inestabilidad o pandeo de estructuras sugerido por la lista anterior está fuera del alcance de esta materia. Aquí solo se considerará el problema de la columna y elementos de sometidos a compresión pura. Utilizándolo como ejemplo, sin embargo se ponen de relieve las características esenciales del fenómeno de pandeo y algunos procedimientos básicos para su análisis.  Estabilidad del Equilibrio: En lo que sigue se pretende analizar la calidad del equilibrio alcanzado por el sistema de fuerzas actuante en la estructura. Para lograr dicho objetivo se estudia que ocurre cuando una causa absolutamente independiente del sistema de fuerzas actuante en la estructura, produce una modificación en la posición deformada de la misma y cesa en su actuación. Dicha causa recibe el nombre habitual de perturbación. 30

Gráficamente: Cuando la perturbación cesa en su actuación pueden ocurrir tres situaciones claramente diferenciadas que se enuncian a continuación: 1- Estable: Si al cesar la perturbación la estructura recupera la posición deformada originada por el sistema de fuerzas que sobre ella actúa entonces el equilibrio logrado por dicho sistema de fuerzas es estable. 2- Indiferente: Si al cesar la perturbación la estructura permanece en la posición deformada modificada como consecuencia de la perturbación y el sistema de fuerzas que sobre ella actúa alcanza el equilibrio en dicha posición deformada ,entonces el equilibrio logrado por dicho sistema de fuerzas es indiferente. Lo expresado debe interpretarse como la posibilidad de perturbar la estructura de infinitas maneras distintas siempre que se respete la hipótesis de linealidad cinemática adoptada en el tratamiento del problema en estudio. 3- Inestable: Si al cesar la perturbación la estructura continúa modificando su posición deformada sin lograrse el equilibrio el sistema de fuerzas que sobre ella actúa ,resulta entonces que el equilibrio logrado originalmente por el sistema de fuerzas actuante en la estructura es inestable. Queda claro de acuerdo a lo precedentemente indicado que el equilibrio indiferente es el límite entre el equilibrio estable y el inestable. Por otra parte situaciones de equilibrio inestable son indeseables desde el punto de la seguridad estructural. A continuación se busca determinar cuál es la configuración del sistema de fuerzas actuante en la estructura que conduce a la situación de equilibrio indiferente. A dicha configuración se la denomina como configuración de carga crítica de la estructura. Desde el punto de vista práctico la configuración del sistema de fuerzas real actuante en la estructura debe estar lo suficientemente alejada de la condición de equilibrio indiferente .Es decir debe representar una clara situación de equilibrio estable.  COLUMNA DE EULER (deducción en 1759): Los primeros problemas de estabilidad elástica relativos al pandeo de barras comprimidas fueron resueltos por Euler. El problema planteado por éste y que nosotros vamos a estudiar a continuación es similar al analizado en ítem anterior, bajo las siguientes condiciones: 

  

La barra es de un material perfectamente homogéneo y elástico, es decir que verifica la Ley de Hooke y en el estado de tensiones alcanzado no se supera la tensión de proporcionalidad. Su eje es idealmente recto. La carga está exactamente centrada. Los vínculos son ideales, sin rozamiento, de los tipos indicados en la figura.

En las condiciones que hemos enunciado precedentemente la posición vertical de la barra es una configuración de equilibrio, de la cual deseamos saber si es estable. Para determinar esto comenzamos por hacer actuar una fuerza perturbadora horizontal infinitésima, y suponemos además que el equilibrio vertical es indiferente, de modo tal que la barra pasa a otra configuración de equilibrio curvada como la de la figura siguiente. 31

Para una sección genérica ubicada a una abscisa “x” la barra tiene un desplazamiento “y”. Si planteamos el equilibrio entre el momento externo y el momento elástico interno, podremos buscar la ecuación que defina a la elástica de deformación transversal a la barra (deformada del elemento) Operando matemáticamente Euler llega a la primera condición, que será: P k2  EJ -En el año en que Euler hace éste planteo todavía se desconocía, la teoría de resistencia de materiales, con lo cual el solo notaba que su planteo variaba según un determinado valor “k”. Tiempo después, con las teorías ya definidas P se nota que finalmente k 2  es dicha expresiónEJ Finalmente las ecuaciones por él planteadas llegan a la condición de que: n  k Con n perteneciente a los números Naturales L n 2 2 Llegando entonces a que: P  E  J 2 L Para valores de la carga P que verifique la ecuación se obtienen distintas elásticas que corresponden a configuraciones de equilibrio de la barra (la cual tomara la forma de la figura). La menor de todas las cargas que genera la situación indicada en el último párrafo corresponde a n = 1. Dicha carga es la “Carga crítica”.

Pcritica   2

EJ L2

Dicha carga será aquella que nos lleve al equilibrio indiferente buscado. Como se vio Euler partió de un sistema de barra articulada-articulada bajo ciertas hipótesis, es posible realizar un estudio semejante para otras condiciones de vínculo, pudiendo establecer para cada caso la correspondiente carga crítica. A continuación se observan los valores obtenidos en los casos más comunes, los que podremos comparar con el valor para la barra biarticulada.

32

Si observamos detenidamente los esquemas anteriores podremos apreciar que las expresiones correspondientes a las cargas críticas para los distintos casos son muy similares a la de la barra biarticulada, difiriéndose solamente en una constante. Desde el punto de vista práctico resulta muy conveniente poder tratar cualquier caso de sustentación mediante una expresión única para la carga crítica. Esto se logra transformando a la pieza (aquella que se presente en nuestro problema) en una barra ficticia biarticulada con una luz ideal que depende la luz real y de las condiciones reales de vinculación. Esta luz ficticia recibe el nombre de “Luz de pandeo” ó “Longitud de pandeo”.

Pcritica   2

EJ 2 Sk

Sk : Longitud de pandeo

Barra biarticulada: Sk = L Barra empotrada – libre: Sk = 2 . L Barra empotrada – empotrada: Sk = 0,5 . L Barra empotrada – articulada: Sk = 0,7 . L

Pandeo es la curvatura lateral de un elemento, dado un estado de carga para el cual, las dimensiones del mismo no son suficientes para asegurar la estabilidad del equilibrio.  TENSIÓN CRITICA DE EULER: Como toda tensión la misma será igual al cociente entre la carga y la sección transversal del elemento.

 ki  

Pcrit .  F

2

EJ 2 Sk 2 E  F 2

Sk i

λ : Esbeltez del Elemento i : Radio de Giro La esbeltez de la pieza se define como la relación entre la luz de pandeo y el radio de giro mínimo de la sección transversal de la pieza correspondiente a la luz de pandeo considerada. Este parámetro es sumamente importante en el problema de pandeo. Efectivamente, cuanto más esbelta es una barra mayor es el riesgo de pandeo, y ello puede verse en la fórmula de la tensión crítica de Euler que depende inversamente de la esbeltez. Como en todos nuestros casos, de tomar una dedición a la hora de dimensionar, debemos verificar que dicha tensión critica sea menor que la tensón admisible. Al realizar esto debemos notar que la tensión de comparación, conocida como tensión admisible en este caso debe ser la tensión de compresión (σc adm.).

33

Esta última será nuestra expresión de cálculo. El coeficiente de pandeo depende de la calidad del material (tensión admisible) y de la esbeltez del elemento, por lo cual la obtención del mismo no puede ser en forma directa, para ello se procederá a la iteración. Para simplificar esto el Reglamento nos permite tablas donde se consideran dichas variaciones (CIRSOC 302). La forma más simple de operar para obtener el valor del coeficiente de pandeo es el siguiente:  Método Dömke: Para el caso de secciones geométricamente semejantes se cumple la siguiente relación:

   0  0  cte El procedimiento consiste en adoptar un valor inicial para 0 ; por ejemplo 0  1 . Esto se debe a que en secciones semejantes (de la misma configuración geométrica) el producto de la esbeltez y del coeficiente de pandeo es constante, pudiendo relacionar ellos al conocer algun parámetro de la igualdad y el valor de constante. Con este valor se calcula una sección, con lo cual adoptamos como primer paso un Predimensionamiento de la sección:

F0  0 

P

 adm

Con este dato se va se determina una sección compatible con dicho valor eligiendo aquel que satisface al valor de F0, en el caso de perfiles recurrimos a tabla que corresponda a la sección a adoptar y si utilizamos una sección genérica o de diseño propio procedemos a calcular dicho valor. Debiéndose obtener la sección y el radio de giro para luego calcular:

0 

Sk i0

Operando 0 0  0 1  0 con lo cual ingresamos a la tabla de

34

  ; para ello ingresamos con el valor de 0 por el centro de la tabla y de allí determinamos el valor de r (esbeltez real), luego con este ingresamos en la tabla que nos provee el CIRSOC 302 (tabla    ) y obtenemos el r (coeficiente de pandeo real). Dömke -

Finalmente obtenemos el valor de la sección real necesaria con:

Fr   r 

P

 adm

Con este valor determinamos finalmente los parámetros de la sección ( Fef y ief ) ingresando a la tabla o como ya se explico y recurrimos a verificar que dicho valor sea menor a la tensión admisible. Para ello debemos calcular que la tensión en los dos ejes perpendiculares al eje de la sección (ejes x-x e y-y) sean menor a la tensión admisible: Eje X-X:

efx x 

Sk iefxx

Entramos a la tabla CIRSOC 302 (tabla    ) y obtenemos efx x

  efx x  Calculando ef x  x

P   adm F ef

Eje Y-Y:

efy y 

Sk iefy y

Entramos a la tabla CIRSOC 302 (tabla    ) y obtenemos

  efy  y  Calculando ef y  y

efy y

P   adm F ef

35

 Elementos Comprimidos Compuestos Hasta este punto no se hizo distinción si la sección estaba conformada por más de un elemento o por uno solo. En los análisis anteriores se tomo una sección única por lo cual el efecto de pandeo era sufrido a lo largo del elemento, en manera proporcional. Será entonces obvio que hay que analizar que sucede cuando el elemento esta conformado por más de una pieza. Por ejemplo:

Como se ve en la figura obtenemos un elemento final, que posee más resistencia que cada uno por separa y en este se distinguen dos piezas principales y una secundaria. Ésta última será la chapa o planchuela de enlace, pudiendo ser una presilla o diagonal de unión, la cual será la encarga de generar un conjunto resistente, rígido y estable. Quedando en esto la responsabilidad de asegurar que no se produzca el pandeo aislado de cada uno de los elementos. En lo cual desglosaremos tres sectores de análisis, los cuales son, conjunto, eje material, eje inmaterial y chapa de enlace (presilla o diagonal). El conjunto será al igual que en el caso de elementos comprimidos simples: 1) Método Dömke:

   0  0  cte 2)

0 

F0  0 

P

 adm

Sk i0

3) Ingresamos a la tabla de Dömke -   de allí determinamos el valor de r (esbeltez real), luego con este ingresamos en la tabla que nos provee el CIRSOC 302 (tabla    ) y obtenemos el r (coeficiente de pandeo real). 4) Obtenemos el valor de la sección real necesaria con Fr   r 

P

 adm

5) Con el valor anterior determinamos finalmente los parámetros de la sección ( Fef y ief ) ingresando a la tabla o como ya se explico y recurrimos a verificar que dicho valor sea menor a la tensión admisible. Y desde este momento debemos hacer la distinción de los elementos compuestos. Para ello debemos calcular que la tensión en los dos ejes perpendiculares al eje de la sección (ejes x-x e y-y) sean menor a la tensión admisible en el cual debemos diferenciar cual es el eje material y cual el eje inmaterial. 36

o Eje Material: Eje baricentrico (del conjunto), que une o pasa por los baricentros de cada pieza que conforman al conjunto (en el ejemplo: eje x-x) y que corta a los elementos principales. o Eje Inmaterial: Eje baricentrico (del conjunto), que no une los baricentros de cada pieza que conforman al conjunto (en el ejemplo: eje y-y) y que no corta a los elementos principales.  EJE MATERIAL: Para este eje procedemos como en los elementos comprimidos simples, una vez determinado los elementos del conjunto verificamos la dirección de este eje. Para la figura de ejemplo:

efx x 

Sk iefxx

Entramos a la tabla CIRSOC 302 (tabla    ) y obtenemos efx x

  efx x  Calculando ef x  x

P   adm F ef

 EJE INMATERIAL En este momento debemos hacer un paréntesis y definir una serie de componentes de cálculo auxiliares, para lo cual veremos las siguientes consideraciones: Supongamos la siguiente composición de elementos: Pandeo Global

Pandeo Local

37

Se observa un elemento conformado por dos parantes (en el ejemplo perfil normal U) y las presillas (placas de enlace). Con lo cual quedan, como se ve en la figura un eje material y un eje inmaterial que cortara las presillas. Analicemos que sobre el eje inmaterial (y-y) el efecto de pandeo sufre distorsiones dado la discontinuidad de material (presillas y vacíos). Para darle una solución a este problema se adoptara una magnitud auxiliar (esbeltez ideal) que nos servirá para hacer un análisis del elemento como si fuera maciza. Esto se logra considerando un efecto de pandeo mayor que el que sufriría la pieza si realmente fuera maciza. Lo cual dependerá de la eficacia del arriostramiento que une los parantes.

 yi  2 y 

m 2 1 2

 yi : Coeficiente de esbeltez ideal  y : Coeficiente de esbeltez de pandeo global ( efy y ), éste será determinado como si fuera un eje material m: número de secciones simples que constituyen la sección y dispuestas a ambos lados del eje inmaterial.

1 : Coeficiente de esbeltez de pandeo local 1 

S1 i1

Para considerar la esbeltez ideal y la mejor manera de realizar el arriostramiento el CIRSOC 302, nos da una seria de requerimientos a cumplir y parámetros de efectividad. A continuación iremos viendo lo antes expresado y definiendo los elementos necesarios para dicho análisis. Lo primero será determinar la distancia máxima entre presillas (S1):

S1  50  i1 i1: Radio de Giro con respecto al eje 1-1, el de la sección de los parantes con respecto a dicho eje (para el ejemplo, será el que se obtiene de la tabla de perfiles con respecto a dicho eje el cual coincide con el eje “y” por lo cual será iy, el de un solo elemento) Además el CIRSOC 302 establece un parámetro secundario de verificación el cual es:

S1 efx  x  i1 2

3   yi  P      4  F   adm  

Luego habrá que conocer la cantidad de campos. Estos son las divisiones, es decir la cantidad de bloques que deben quedar definidos por las presillas. La cual debe ser n  3 . La razón de esta limitación es la de conseguir una efectiva colaboración de las presillas durante la deformación lateral de la columna. Para ello debemos tener en cuenta que si se observa la figura, en la izquierda la presilla se traslada sin sufrir alguna deformación y no hay giros extremos. En cambio en la figura de la derecha se observa que para sacar el elemento de su posición recta de equilibrio es necesario vencer además de la rigidez a flexión de los parantes, la rigidez a flexión de las presillas puesto que se producen desplazamientos relativos entre sus extremos.

38

Con lo cual queda determinada la condición mínima de campos, pero ahora debemos ver cuanto es la cantidad necesaria para lo cual debemos analizar según la distancia máxima entre presillas y la altura toral.

n 

L éste valor deberá ser adecuado para tener un número entero de campos y que será S1

posible modificando la separación entre presillas.  Finalmente será necesario determinar la separación entre los parantes (a). Para lo cual partiremos de la hipótesis de tener una seguridad al pandeo según el eje inmaterial (eje y-y) igual a la obtenida para el eje material (eje x-x), como mínimo, ya que si las condiciones de estabilidad lo precisaran, podríamos incrementar la resistencia al pandeo según el eje y-y incrementando la distancia “a”.

 yi  efx  x recordando que  yi  2 y 

m 2  1 suponiendo que m = 2 (cantidad de 2

2 y  21 . Operando matemáticamente se llega a:

parantes), se obtiene que  efx  x 

e  2

Sk y2 2

(

efx  x

1

2

  1)

 i12

1

Gi

1

2

Gi

a e

2

1

a: es la separación entre parantes. e: distancia entre baricentro de los parantes.

39