DETERMINANTES 10 10 10
1. Calcular el valor del determinante 5a 5b 5c a²
b²
c²
Solución: 10 10 10
1
Sacando factor común de 10 en la 1ª fila
1
1
5a 5b 5c = = 10 ⋅ 5 ⋅ a b c Sacando factor común de 5 en la 2ª fila a ² b² c² a ² b ² c²
Determinante tipo Van der Mondem. 1
1
1
F2 = F2 − a ⋅ F1
1
a b c = = 0 F3 = F3 − a ⋅ F2 a ² b² c² 0
1 1 b−a c−a = b−a c − a = 1 ⋅ (− 1)1+1 ⋅ − b ·( b a ) c ·( c − a) 2 2 b − ab c − ac
= (b − a )·(c − a ) ⋅
1 1 = (b − a )·(c − a )·(c − b) b c
sustituyendo en la primera expresión 10 10 10 5a 5b 5c = 10 ⋅ 5 ⋅ (b − a )·(c − a )·(c − b) a ² b² c² n +1 n + 2
n
2. Calcular en función de n el determinante n + 3 n + 4 n + 5 n+6 n+7
n +8
Solución: n
n +1 n + 2
F2 = F2 − F1
n n +1 n + 2
n+3 n+4 n+5 = = 3 F = F3 − F1 n +6 n +7 n +8 3 6
3 6
3 6
=0
por ser F2 proporcional a F3. abc − ab 3. Obtener, simplificando, el desarrollo del determinante − b ² c 2 b ² b²c²
b²c
a² − ab 3abc
Solución: Teniendo en cuenta la propiedad de los determinantes que dice: Si todos los términos de una línea (fila ó columna) de un determinante aparecen multiplicamos por el mismo número, se puede sacar factor común de dicho número quedando el determinante multiplicado por ese número. a 1.1 a 2.1 a 3.1 a 1.1 a 2.1 a 3.1 k ⋅ a 2.1
k ⋅ a 2.2
a 3.1
a 3.2
k ⋅ a 3.2 = k ⋅ a 2.1 a 3.3
bc F1 : (a ) abc − ab a ² − b ² c 2b ² − ab = F2 : (b ) = a ⋅ b ⋅ bc = − bc b ² c² b ² c 3abc bc F3 : (bc )
a 3.1
a 2.2
a 3.2
a 3.2
a 3.3
1 −1 1 −b a C1 : (bc ) 2 2b − a = C 2 : (b ) = ab c ⋅ bc ⋅ b ⋅ a ⋅ − 1 2 − 1 = b 3a C 3 : (a ) 1 1 3
=2·a2b4c2 a
b
4. Sabiendo que x
y
c
2x
2z 2y
z =3, calcular: 2 m 2 p 2 n 2a 2c 2 b
m n
p
Solución: Teniendo en cuenta las propiedad de los determinantes que dicen: - Si todos los términos de una línea (fila ó columna) de un determinante aparecen multiplicamos por el mismo número, se puede sacar factor común de dicho número quedando el determinante multiplicado por ese número. a 1.1 a 2.1 a 3.1 a 1.1 a 2.1 a 3.1 k ⋅ a 2.1 a 3.1
a 1.1 a 2.1 a 3.1
k ⋅ a 2.2 a 3.2
k ⋅ a 3.2 = k ⋅ a 2.1 a 3.3 a 3.1
a 2.2 a 3.2
a 3.2 a 3.3
- Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo. a 2.1 a 3.1 a 2.1 a 2.2 a 3.2 a 2.2 a 2.1 a 3.2 a 2.2 a 3.2 = {F1 ↔ F2 } = − a 1.1 a 2.1 a 3.1 = {C1 ↔ C 2 } = + a 2.1 a 1.1 a 3.1 a 3.2 a 3.3 a 3.1 a 3.2 a 3.3 a 3.2 a 3.1 a 3.3 2 x 2z 2 y F : ( 2) x z y x y z 1 2 m 2 p 2 n = F : ( 2 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ m p n = C ↔ C = −8 ⋅ m n p = 2 2 3 2a 2c 2b F : ( 2) a c b a b c
{
3
}
x y z a b c = F ↔ F = +8 ⋅ a b c = F ↔ F = −8 ⋅ x y z = −8 ⋅ 3 = −24 2 3 1 2 m n p m n p
{
}
{
a +1
a
a
a+2
a a
a a
5. Calcular el valor del determinante
Solución: a +1 a a a
}
a
a
a
a
a +3 a a a+4
a + 1 −1 −1 −1 C 2 = C 2 − C1 a+2 a a a 2 0 0 = {F4 = F4 + 4 ⋅ F1 } = = C 3 = C 3 − C1 = a a +3 a a 0 3 0 C = C − C 4 4 1 a a a+4 a 0 0 4 a
a
a
=
a +1
−1
−1 −1
a a
2 0
0 3
0 0
5a + 4 − 4 − 4 0 desarrollando por los términos de la 4ª columna: a + 1 −1 −1 −1 a 2 0 a 2 0 a 2 0 0 1+ 4 = −1 ⋅ ( −1) ⋅ a 0 3 = a 0 3 = {F3 + 2 ⋅ F1 } = a 0 3 0 5a + 4 − 4 − 4 5a + 4 − 4 − 4 5a + 4 − 4 − 4 0 =
a a
2 0
0 3
7a + 4 0 − 4 desarrollando por los términos de la 2ª columna:
a
2 0 a 3 = −2 ⋅ [a ⋅ ( −4) − 3 ⋅ (7a + 4)] = −2 ⋅ (− 25a − 12 ) = 50a + 24 a 0 3 = 2 ⋅ (−1) 1+ 2 ⋅ 7a + 4 − 4 7a + 4 0 − 4
6. Dada la matriz A =
0 −1 1
−1 − 2 0 − 2 , e I la matriz identidad de orden tres, determinar, si es 1 3
posible, un valor de k para el que la matriz (A − k·I)² sea la matriz nula. Solución:
Sí (A − k·I)²=0 ⇒ (A − k·I )2 = 0 = 0
(A − k·I)2 = (A − k·I)⋅ (A − k·I ) = 0 (A − k·I ) ⋅ (A − k·I) = 0 (A − k·I) = 0 1 0 0 0 −1 − 2 1 0 2 k − ⋅ − − 0 1 0 = 0 0 0 1 1 1 3
− k −1 − 2 −1 − k − 2 = 0 1 1 3− k sacando factor común de −1 en las dos primeras filas k 1 2
[
(− 1)2 ⋅ 1
]
k 2 = (− 1)2 ⋅ k 2 ·(3 − k ) + 2 + 2 − (2k + 2k + (3 − k ) = 1 1 3− k
(
)
= (− 1)2 ⋅ − k 3 + 3k 2 − 3k + 1 = (k − 1)3 = 0 k=1 1 9 1 3 7. Demostrar que el determinante
2 6 1 8 2 2 1 3 1 5 1 9
es divisible por 11.
Solución: Se pide demostrar sin llegar a calcular el valor del determinante, que es múltiplo de 11. Se buscan múltiplos de 11 formados en filas ó en columnas, de derecha a izquierda o viceversa, de arriba abajo o viceversa. 1221 = 111 ⋅ 11 9625 = 875 ⋅11 . Se forman estos números sobre la Formados números de arriba abajo, aparecen: 1111 = 101 ⋅ 11 3839 = 349 ⋅11 línea (fila ó columna) donde se encuentre el digito de unidad, en este caso sobre la 4ª fila 1 9 1 3 1 9 1 3 2 6 1 8 2 2 1 3 1 5 1 9
= {F4 = 1000·F1 + 100·F2 + 10·F3 + F4 } =
2
6
1
8
2 2 1 3 1221 9625 1111 3839
=
=
1
9
1
3
1
9
1
3
2
6
1
8
2
6
1
8
2 2 1 3 111 ⋅11 875 ⋅ 11 101 ⋅ 11 349 ⋅11 lo que demuestra que el determinante es múltiplo de 11
= 11 ⋅
2 2 1 3 111 875 101 349
1 1 1 1+ a 1 1 8. Obtener en función de a, b y c el valor del determinante 1 1+ b 1 1 1 1+ c
1 1 1 1
Solución: Se hacen ceros en la 1ª fila operando con el término 1.4 0 0 0 1 1 1 1 1 a 0 0 C1 = C1 − C 4 a 0 0 1 1+ a 1 1 1 = C 2 = C 2 − C 4 = = 1 ⋅ (− 1)1+ 4 ⋅ 0 b 0 = −abc 1 1+ b 1 1 0 b 0 1 C = C 3 − C 4 0 0 c 1 1 1+ c 1 3 0 0 c 1 5
9. Calcular el valor del siguiente determinante 3a
5 3b
5 3c
7a ² 7 b ² 7 c ²
Solución: 1
1
3a 3b 3c = 5 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ a 7a ² 7 b ² 7c ² a2
b b2
5
5
5
= 105 ⋅ (− 1)1+1 ⋅
b−a
1
1 1 1 F = F2 − a ⋅ F1 c = 2 = 105 ⋅ 0 b − a c − a = F3 = F3 − a ⋅ F2 2 2 2 c 0 b − a·b c − a·c
c−a
b·(b − a ) c·(c − a )
= 105·( b − a )·(c − a )·
1 1 b c
= 105·(b − a )·(c − a )·(c − a )
10 10 10
10. Calcular el valor del determinante 5a 5b 5c a³
b³
c³
Solución: 1 10 10 10 5a 5b 5c = 10 ⋅ 5 ⋅ a a ³ b³ c³ a3 = 50 ⋅ (− 1)1+1 ⋅
1
1
1 1 1 F = F2 − a ·F1 c = 2 = 50 ⋅ 0 b − a c − a = F3 = F3 − a 2 ·F2 3 3 2 3 c 0 b − a ·b c − a 2 ·c
b b3
b−a c−a b−a c−a 1+1 ⋅ = 2 2 2 2 = 50 ⋅ (− 1) b·( b − a ) c·(c − a ) b·( b − a )·(b + a ) c·(c − a )·(c + a )
= 50 ⋅ (b − a ) ⋅ (c − a ) ⋅
1
1
b·( b + a ) c·(c + a )
[
]
= 50·(b − a )·(c − a )·[b·( b + a ) − c·(c + a )] =
[
]
= 50·(b − a )·(c − a )· b 2 + ab − c 2 − ac = 50·(b − a )·(c − a )· b 2 − c 2 + ab − ac = = 50·(b − a )·(c − a )·[(b − c)·(b + c) + a·(b − c)] = 50·(b − a )·(c − a )·(b − c)·(a + b + c)
1 1 1 11. Calcular el valor del determinante log 3 log 30 log 300 log ²3 log ²30 log ²300 Solución: 1 1 1 1 1 1 F = F2 − log 3·F1 log 3 log 30 log 300 = 2 = 0 log 30 − log 3 log 300 − log 3 = F3 = F3 − log 3·F2 log ²3 log ²30 log ²300 0 log ²30 − log 3·log 30 log ²300 − log 3·log 300 =
log 30 − log 3 log 300 − log 3 1 1 = (log 30 − log 3)⋅ (log 300 − log 3)⋅ = log 30 ⋅ (log 30 − log 3) log 300 ⋅ (log 300 − log 3) log 30 log 300 = (log 30 − log 3)⋅ (log 300 − log 3)⋅ (log 300 − log 30 ) = log
30 300 300 ⋅ log ⋅ log = 3 3 30
= log 10 ⋅ log 100 ⋅ log 10 = 1 ⋅ 2 ⋅1 = 2 12. Expresar en forma de productos de factores de primer grado, el valor del determinante: 1 1 1 1 −1 x −1 −1 x −1 −1 −1
1 1 1 x
Solución: 1 1 1 1 F2 = F2 + F1 0 x 1 2 2 + = F3 = F3 + F1 = −1 −1 x 1 0 0 x +1 2 F = F4 + F1 −1 −1 −1 x 4 0 0 0 x +1 1 −1
1 x
1 1
1 1
Matriz triangular, su determinante es el producto de la diagonal principal. 1
1
1
0 x +1 2 0 0 x +1 0 1
0 x
0 x²
1 2 2
= (x + 1)3
x +1 x³
3 2 x + 1 x ² + 2 x 3x ² 13. Resolver la ecuación =0 3 x + 2 2 x + 1 3x 1
1
1
1
Solución: 1 x −1 x² −1 x³ −1 C 2 = C 2 − C1 3 2 x + 1 x ² + 2 x 3x ² 3 2 x − 2 x ² + 2 x − 3 3x ² − 3 = = C 3 = C 3 − C1 = 2x − 2 3x − 3 3 x + 2 2 x + 1 3x 3 x −1 C = C − C 4 1 4 1 0 0 0 1 1 1 1
1
x
x²
x³
desarrollando el determinante por los adjuntos de la 4ª fila y factorizando todos los polinomios
= 1 ⋅ (− 1)
4 +1
x −1 ( x − 1)·( x + 1) ( x − 1)·(x ² + x + 1) 3( x − 1)·( x + 1) = ⋅ 2·( x − 1) ( x − 1)·( x + 3) x −1 2( x − 1) 3( x − 1)
sacando factor común de (x−1) en cada columna y operando los términos del determinante 1
x +1 x² + x +1
= −1·(x − 1) ⋅ 2 x + 3 1 2 3
1 x −1 x² + x − 2 C 2 = C 2 − 2·C1 3 3x + 3 = 3x − 3 = = −1·(x − 1) ⋅ 2 x − 1 C 3 = C 3 − 3·C1 3 1 0 0
desarrollando el determinante por los adjuntos de la 3ª fila y factorizando los polinomios = −1·(x − 1)3 ⋅1 ⋅ (− 1)3+1 ⋅
x − 1 ( x − 1)·( x + 2) x −1
3·( x − 1)
=
sacando factor común de (x−1) en cada columna y operando los términos del determinante 1 x+2 1 x −1 = −1·(x − 1)3 ⋅ (x − 1)2 ⋅ = −1·(x − 1)5 ⋅ = 1 3 1 0 desarrollando el determinante por los adjuntos de la 2ª fila = −1·(x − 1)5 ⋅1 ⋅ (− 1)2+1 ⋅ x − 1 = (x − 1)6 = 0 x=1 3 x 14. Calcular el valor de x x
x 3 x x
x x 3 x
x x x 3
Solución. 3 x x x
x 3 x x
x x 3 x
x 3 x x x x x 3 x x = {F4 = F4 + F3 + F2 + F1 } = = x x x 3 x 3 3x + 3 3x + 3 3x + 3 3x + 3
sacando factor común de (3x+ 3) de la 4ª fila 3− x 3 x x x C1 = C1 − C 4 0 x 3 x x = (3x + 3) ⋅ = C = C 2 − C 4 = (3x + 3) ⋅ x x 3 x 2 0 1 1 1 1
C 3 = C 3 − C 4
0
0
0
x
3− x
0
x
0 0
3− x 0
x 1
=
aparece el determinante de una matriz triangular, que es igual, al producto de los términos de la diagonal = (3x + 3) ⋅ (3 − x ) 3
15. Resolver la siguiente ecuación
−1
x
x x
−1 x x −1
x = 0 (operando el determinante antes de x
x
x
−1
x
x
x
desarrollarlo). Solución: −1
x
x
x
−1
x
x
x
x
−1
x
x
−1
x x
x −1
x
x x
x −1 x
= {F4 = F4 + F3 + F2 + F1 } =
x −1
=
x x x 3x − 1 3x − 1 3x − 1 3x − 1
sacando factor común de (3x−1) de la 4ª fila −1
−1 − x 0 0 x C1 = C1 − C 4 0 −1− x 0 x x −1 x x = (3x − 1)⋅ = C 2 = C 2 − C 4 = (3x − 1)⋅ = − − 0 0 1 x x x x −1 x C = C − C 3 3 4 0 0 0 1 1 1 1 1 matriz triangular, su determinante es el producto de los términos de la diagonal x
x
x
x = 1 3 = (3x−1)·(−1−x)3 = (1−3x)·(1−x)3=0: x = 1
16. Resolver el determinante
x
x x
x
x x x
1 0 x 0 x 1 x 1 0
Solución: Sacando factor común x en la 1ª columna x x x 1
x x 0 x
x 0 x x
x 1 1 0
= x⋅
1 1 x 1
1 0
x 0 x x
x 1
1 x
1 0 0 0 C 2 = C 2 − C1 x 1 x x 0 − − = C 3 = C 3 − C1 = x ⋅ = 1 x −x 0 1− x C 4 = C 4 − C1 0 x 0 1− x − x
desarrollando el determinante por los adjuntos de la 1ª fila = x ⋅ 1 ⋅ (− 1)
1+1
1− x
−x
⋅ −x 0
1− x
0
0
1− x
−x
0
1 − x = {F3 = F3 + F2 + F1 } = x ⋅ − x 0 1− x = 1 − 2x 1 − 2x 1 − 2x −x
sacando factor común de (1−2x) de la 3ª fila 1− x − x = (1 − 2 x ) ⋅ x ⋅ − x 1
0 1
0 1− x C = C1 − C 3 1− x = 1 = ( 1 − 2 x ) ⋅ x ⋅ −1 C 2 = C 2 − C3 1 0
desarrollando el determinante por los adjuntos de la 3ª fila
−x
0
x −1 1 − x = 0 1
= (1 − 2 x ) ⋅ x ⋅ 1 ⋅ (− 1)3+3 ⋅
1− x −1
−x = x·(1 − 2 x )·[(1 − x )·( x − 1) − x ] = x·(1 − 2x )·(−1 + x − x 2 ) = x −1 = x·(x2 − x +1 )·(2x − 1) x
x +1 x + 2
17. Utilizando las propiedades de los determinantes, calcular el valor de x x + 3 x + 4 x
x +5 x +6
Solución: x
x +1 x + 2
x
x+3 x+4 = = 0 F = F3 − F1 x+5 x+6 3 0
x
F2 = F2 − F1
x +1 x + 2
x
2
2
4
4
=0
por tener do filas proporcionales. (F3 = 2·F2)
18. Calcular el valor del determinante
1+ x
1
1
1− x
1 1
1 1
1
1
1
1
1+ z 1 1 1− z
Solución: 1+ x
1
1
1− x
1 1
1 1
1+ x F2 = F2 − F1 −x = F3 = F3 − F1 = 1+ z 1 F = F − F − x 4 4 1 1 1− z −x 1
1
1
1
1
1
−x 0
1
0
0 0
z 0 0 −z
= {C 2 = C 2 − C1 } =
1+ x − x 1 −x 0 0 −x −x
x x
1 0
z 0 0 −z
=
desarrollando el determinante por los adjuntos de la 2ª fila = − x ⋅ (− 1)
2 +1
−x 1 ⋅ x z
1 1 1 −x 0 = {F2 = F2 − z·F1 } = x ⋅ x + z·x 0 − z = 0 −z x 0 −z
x
desarrollando el determinante por los adjuntos de la 2ª columna = x ⋅ 1 ⋅ (− 1)1+ 2 ⋅
19. Calcular:
x + z·x
−z
x
−z
1+ a 1 1 1+ b
= {F1 = F1 − F2 } = − x ⋅ 1 1
1 1
1
1
1+ c
1
1
1
1
1+ d
z·x
0
x
−z
[
]
= − x ⋅ − z 2 ·x − 0 = x 2 ·z 2
Solución: Para el desarrollo de este determinante se utiliza la propiedad: Si una línea de un determinante se puede escribir como suma de dos términos, el determinante se puede escribir como suma de dos determinantes, como indica la siguiente relación
a 1.1
a 1.2 + b1.2
a 1.3
a 1.4
a 1.1
a 1.2
a 1.3
a 1.4
a 1.1
b 1.2
a 1.3
a 1.4
a 2.1
a 2.2 + b 2.2
a 2.3
a 2 .4
a 2.1
a 2.2
a 2.3
a 2.4
a 2.1
b 2.2
a 2.3
a 2.4
a 3.1 a 4.1
a 3.2 + b 3.2 a 4.2 + b 4.2
a 3 .3 a 4.3
a 3 .4 a 4 .4
a 3.1 a 4.1
a 3.2 a 4.2
a 3.3 a 4.3
a 3.4 a 4.4
a 3.1 a 4.1
b 3.2 b 4.2
a 3.3 a 4.3
a 3.4 a 4.4
1+ a 1 1 1
=
1+ a F2 = F2 − F1 1+ b 1 1 −a = F3 = F3 − F1 = 1 1+ c 1 F = F − F − a 4 4 1 −a 1 1 1+ d 1
1
1
1
+
b 0 0 0 c 0 0 0 d
a
1 1 1 1
1 1 1 =
0 b 0 0 0 0 c 0 0 0 0 d
+
1 1 1
−a b 0 0 −a 0 c 0 −a 0 0 d
1 1 1
1 1 1 1 F2 = F2 + F1 −1 b 0 0 0 b +1 1 1 = = F3 = F3 + F1 = b·c·d + a ⋅ = b·c·d + a ⋅ + −1 0 c 0 0 1 c 1 1 F4 = F4 + F1 −1 0 0 d 0 1 1 d +1 desarrollando el determinante por los adjuntos de la 1ª columna
b +1 1 1 b +1 1 1 F = F2 − F1 c +1 1 = 2 b · c · d a = b·c·d + a ⋅1 ⋅ (− 1)1+1 ⋅ 1 = + ⋅ −b c 0 = F3 = F3 − F1 1 1 d +1 −b 0 d 1 1 1 b 1 1 1 1 1 F = F2 + F1 = b·c·d + a ⋅ 0 c 0 + − b c 0 = b·c·d + a ⋅ c·d + b ⋅ − 1 c 0 = 2 = F3 = F3 + F1 0 0 d −b 0 d −1 0 d 1 1 1 = b·c·d + a ⋅ c·d + b ⋅ 0 c + 1 1 = 0 1 d + 1 desarrollando el determinante por los adjuntos de la 1ª columna c +1 1 c +1 1 = b·c·d + a ⋅ c·d + b ⋅ 1 ⋅ (− 1)1+1 ⋅ = = {F2 = F2 − F1 } = b·c·d + a ⋅ c·d + b ⋅ − c d + 1 d 1 1 1 c 1 1 1 = b·c·d + a ⋅ c·d + b ⋅ + = {F2 = F2 + F1 } = = b·c·d + a ⋅ c·d + b ⋅ d + c ⋅ − 1 d 0 d − c d 1 1 = b·c·d + a ⋅ c·d + b ⋅ d + c ⋅ = b·c·d + a ⋅ [c·d + b ⋅ {d + c ⋅ (d + 1)}] = 0 d + 1 = b·c·d + a ·c·d + a ·b·d + a ·b·c + a ·b·c·d x 20. Resolver:
Solución:
−x
−1 −1 0 x −1 1
1
−1
x
1
1
−1
0
x
=0
=
Se hacen ceros en la 4ª fila tomando como pivote el término 4.1 −1 −1 0
x −x 1 1
x −1+ x −1 − x 2 −x −1 1+ x 2 0
x − 1 1 C 2 = C 2 + C1 = = − 1 x 1 C 4 = C 4 − x·C1 1 −1 0 x 1
0
x
1− x
0
0
0
=
desarrollando el determinante por los adjuntos de la 4ª fila −1 + x −1
= 1 ⋅ (− 1)
4 +1
⋅
− x2
−1 1+ x = − x 1− x 2
0 0
−1+ x −1 0 0
− x2
−1 1 + x 2 = x 1− x
desarrollando el determinante por los adjuntos de la 1ª columna = − ⋅ (− 1)1+1 ⋅ (x − 1)⋅
[
−1 1 −1 x 2 −1 − x −1 1 + x 2 = − ⋅ (x − 1)⋅ + = (1 − x )⋅ (− 1 − x ) + x ⋅ = x − 1 x 1− x x 1 x − x
)]
(
(
) (
)
(
= (1 − x )⋅ (− 1 − x ) + x ⋅ 1 + x 2 = −(1 − x )⋅ (1 + x ) + x ⋅ (1 − x )⋅ 1 + x 2 = x 2 − 1 + x ⋅ (1 − x )⋅ 1 + x 2
21. Calcular el siguiente determinante
a a
a a a b b b
a a
b c c b c d
Solución: a a a a
1 a F2 = F2 − F1 0 b−a b b b 1 b b b = a⋅ = F3 = F3 − F1 = a ⋅ 0 b−a b c c 1 b c c F4 = F4 − F1 0 b−a b c d 1 b c d a
a
a
1 a
a
a
a
a
b−a b−a c−a c−a
c−a d−a
=
desarrollando el determinante por los adjuntos de la 1ª columna
b−a b−a b−a 1 b−a b−a F = F2 − F1 = a ⋅ (− 1)1+1 ⋅ b − a c − a c − a = a ⋅ (b − a )⋅ 1 c − a c − a = 2 = F3 = F3 − F1 b−a c−a d −a 1 c−a d−a 1 b−a b−a = a ⋅ (b − a )⋅ 0 c − b c − b = 0 c−b d−b desarrollando el determinante por los adjuntos de la 1ª columna = a ⋅ (b − a )⋅ (− 1)1+1 ⋅
c−b c−b 1 c−b = a ⋅ (b − a )⋅ (c − b )⋅ = {F2 = F2 − F1 } = c−b d−b 1 d−b
= a ⋅ (b − a )⋅ (c − b )⋅
1 c−b 0 d−c
= a ⋅ (b − a )⋅ (c − b )⋅ (− 1)1+1 ⋅ d − c =
)
= a ⋅ (b − a )⋅ (c − b )⋅ (d − c ) a 22. Calcular:
3
3 −b 3 3
3 3
3
3
3 −a
3 3 b
3
Solución: a 3− a 3− a 3− a C 2 = C 2 − C1 0 0 3 −b−3 = = C 3 = C 3 − C1 = −a −3 0 0 3 3 3 3 C = C − C 4 4 1 3 0 0 b−3 3 3 3 b desarrollando por los elementos de la cuarta fila: 3− a 3−a 3− a a 3− a 3−a a
3
3 −b
3
3
3 −a
3
0 = 3 ⋅ (− 1)4 +1 ⋅ − b − 3 0 −a −3
3− a
3− a
3−a
−b−3
0 −a −3
0 0
0
0 + (b − 3)⋅ (− 1)4 + 4 ⋅ 3 − b − 3 0 (1) 0 3 0 −a −3
1
1
= (3 − a )⋅ − b − 3
1
0 0 = (3 − a )⋅ 1 ⋅ (− 1)1+ 3 ⋅ −a −3 0
0
(
−b−3 0
)
= (3 − a )⋅ (− b − 3)⋅ (− a − 3) = (3 − a )⋅ (b + 3)⋅ (a + 3) = 9 − a 2 ⋅ (b + 3)
0 = −a −3
(2)
a 3− a 3−a 3− a 3−a a 3− a 3 −b−3 0 = 3 ⋅ (− 1)2+1 ⋅ + (− b − 3)⋅ (− 1)2 + 2 ⋅ = 0 3 −a −3 −a −3 3 0 −a −3 = −3 ⋅ (3 − a )⋅
1
1
0 −a −3
+ (− b − 3)⋅ [a ⋅ (− a − 3) − (3 − a )⋅ 3] =
[
] (
)
(
)
= −3 ⋅ (3 − a )⋅ (− a − 3) + (− b − 3)⋅ − a 2 − 3a − 9 + 3a = 3 ⋅ 9 − a 2 + (b + 3)⋅ 9 + a 2 = = ba 2 + 9 ⋅ (b + 6 ) Sustituyendo (2) y (3) en (1) a 3 3 3 −b 3 3
3 3
3
3
3
−a
3 b
3
(
(3)
(
)
) (
)
[
]
= −3 ⋅ 9 − a 2 ⋅ (b + 3) + (b − 3)⋅ ba 2 + 9 ⋅ (b + 6) =
(
)
(
= a 2 ⋅ b 2 + 9 + 9 ⋅ b 2 − 27 = a 2 ⋅ b 2 + 3 2 + 3 2 ⋅ b 2 − 3 3
)
23. Calificación máxima: 2 puntos. Hallar en función de a, el valor del determinante: a a a a ∆=
Solución Utilizando las propiedades de los determinantes.
2 a
a a
3 2 a a 4 3 2 a
a
a a a
1 1 1 1
0 0 0 1 C1 = C1 − C 4 2 a 0 0 a − = a⋅ = C 2 = C 2 − C 4 = a ⋅ 3 2 a a 3 2 a a 3−a 2−a 0 a C 3 = C 3 − C 4 4 3 2 a 4 3 2 a 4−a 3−a 2−a a Desarrollando por los elementos de la primera fila: 0 0 0 1 2−a 0 0 2−a 0 0 a 1+ 4 = a ⋅1 ⋅ (− 1) ⋅ 3 − a 2 − a 0 = a ⋅ (− 1)⋅ (2 − a )3 = a ⋅ (a − 2)3 3−a 2−a 0 a 4−a 3−a 2−a 4−a 3−a 2−a a 2 a a a
2 a
a a
24. Calificación máxima: 3 puntos. Obtener el determinante ∆ en función de ∆1 , siendo: a +b b+c c+a a b c ∆ = a '+ b' b'+ c' c'+a ' a"+ b" b"+ c" c"+a"
∆ 1 = a ' b ' c' a" b" c"
Solución Aplicando dos de las propiedades de los determinante - A una línea (fila o columna) se le puede sumar o restar otra paralela multiplicado por cualquier número sin que varíe el determinante - Sí en todos los términos de una línea (fila o columna) existe un factor común, este se puede sacar fuera como factor común del determinante
a +b b+c c+a 2a b + c c + a ∆ = a '+ b' b'+c' c'+a ' = {C1 = C1 − C 2 + C 3 } = 2a ' b'+c' c'+a ' = a"+ b" b"+c" c"+a" 2a" b"+c" c"+a" b+c
a
c+a
b+c
a
c
a
b
c
= 2 ⋅ a ' b'+c' c'+a ' = {C 3 = C 3 − C1 } = 2 ⋅ a ' b'+c' c' = {C 2 = C 2 − C 3 } = 2 ⋅ a ' b' c' a" b"+c" c"+a" a" b"+c" c" a" b" c" x 25. ( 3 puntos ) Determinar la raíz múltiple de la ecuación
Solución. x 1 8 1 1 x 1 8 8 1 1 8
x 1
1 x
= {F4 = F4 + F3 + F2 + F1 } =
10) en la fila = (x + 10 )⋅
x
1
1
x
8 1
1
1 x 8 1 1 8
1 x 1
8 =0 1 x
1 8
8 1 x 1 x + 10 x + 10 x + 10 x + 10
= sacando factor común de (x +
x −1 0 7 C1 = C1 − C 4 −7 x −8 −7 1 8 = C 2 = C 2 − C 4 = (x + 10 )⋅ 7 0 x −1 x 1 C 3 = C 3 − C 4 0 0 0 1 1 x −1
= (x + 10 )⋅ (− 1)4 + 4 ⋅1 ⋅ − 7
(x + 10)⋅ (x − 8)⋅ [(x − 1)
1 x
8
8 1
8 1 1 1
2
x 1
1
]
7
0 x −8 0
1 8 1
=
1
7
x −1
7
x −1
7
x −1
− 7 = (x + 10 )⋅ (x − 8)⋅ (− 1)2 + 2 ⋅
(
)
=
− 49 = (x + 10 )⋅ (x − 8)⋅ (x − 1)2 − 7 2 = (x + 10 )⋅ (x − 8)⋅ [(x − 1) − 7]⋅ [(x − 1) + 7] =
= (x + 10 )⋅ (x − 8)⋅ (x − 8)⋅ (x + 6) = (x + 10 )⋅ (x − 8)2 ⋅ (x + 6 ) La raíz múltiple es x = 8