C y es el menor complementario anteponiéndole el signo (+) o (–) según si la suma de los subíndices. ) (ji ... 12. C (el cofactor o adjunto de 12 a ) es 40. − pues 1+2=3 (impar). ➢. 13 .... b) Todos los elementos de una fila (o columna) son ceros.
APUNTE: Determinantes UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Matemática 2 Carreras: Lic. en Administración Profesor: Prof. Mabel Chrestia Semestre: 2do Año: 2016 Definición A cada matriz cuadrada A se le asocia un número denominado determinante de A. El determinante de A se denota por |A| o por det(A). Cálculo de determinantes Para una matriz de 1x1 el determinante es simplemente el valor de elemento. Por ejemplo: si A = 3 entonces el det( A) = 3
[]
Para una matriz de 2x2 el determinante se calcula así:
a b A= entonces det( A) = a ⋅ d − c ⋅ b c d − 2 11 Ejemplo: si A = entonces det( A) = ( −2) ⋅ 5 − ( −3) ⋅11 = −10 + 33 = 23 − 3 5
Si
Para una matriz de 3x3 el determinante se calcula fácilmente, haciendo uso de la Regla de Sarrus:
a11 a12 a13 Si A = a 21 a 22 a23 entonces para calcular el det(A) a31 a32 a33 hacemos: 1)
Se calculan los productos de las diagonales positivas y negativas, como muestra la figura. 2) Se suman todos estos productos (cada uno con su signo).
Entonces
det( A) = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a 21a32 − a11a23 a32 − a12 a 21a33 − a13 a 22 a31
Otra forma de hallar un determinante de orden 3 es repetir las dos primeras columnas de la siguiente manera:
Luego trazamos las diagonales positivas y negativas, llegando al mismo resultado que con el método anterior:
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1
5 − 5 − 1 − 2 ; 17 Q = 12 11 2
3 9
Ejercicio: Calcular el determinante de las siguientes matrices: P =
0 7 − 1 Desarrollo por Cofactores
Otra forma de calcular un determinante de orden 3 (o superior) Primero definiremos: 1) Menor complementario del elemento
aij de una matriz cuadrada de orden n se denota por mij y es el determinante de la matriz cuadrada de orden (n-1) que resulta de suprimir la fila i y la columna j de la
matriz original. Por ejemplo, sea la siguiente matriz de orden 3:
2 − 5 − 1 M = 10 − 3 7 0 − 9 4
Entonces:
m11 (el menor complementario de a11 ) es el determinante
−3 7 = ( −3) ⋅ 4 − ( −9) ⋅ 7 = −12 + 63 = 51 −9 4
m12 (el menor complementario de ) a12 es el determinante
m11 =
m12 =
10
7
0
4
m13 =
10 − 3 0
−9
10
7
0
4
= 10 ⋅ 4 − 0 = 40
m13 (el menor complementario de a13 ) es el determinante
−3 7 −9 4
10 − 3 0
−9
= 10 ⋅ ( −9) − 0 = −90
Completar:
m21 =
=
m22 =
=
m23 =
=
m31 =
=
m32 =
=
m33 =
= Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Administración) – UNRN – Año 2016
2
2) Cofactor del elemento
aij de una matriz cuadrada de orden n se denota por Cij y es el menor
complementario anteponiéndole el signo (+) o (–) según si la suma de los subíndices
(i + j ) sea par o impar.
También se le llama adjunto del elemento aij . Entonces: C11 (el cofactor o adjunto de
a11 ) es + 51 pues 1+1=2 (par) C12 (el cofactor o adjunto de a12 ) es − 40 pues 1+2=3 (impar) C13 (el cofactor o adjunto de a13 ) es + ( −90) = −90 pues 1+3=4 (par) Ejercicio: Hallar los cofactores de los demás menores complementarios de la matriz anterior.
C 21 =
C 22 =
C 23 =
C31 =
C32 =
C33 =
M del ejemplo
Como vemos el menor complementario y el cofactor de un mismo elemento de la matriz difieren sólo en el signo. Cálculo del determinante por Desarrollo por Cofactores El determinante de una matriz cuadrada de orden n se puede calcular multiplicando los elementos de cualquier fila (o columna) por sus cofactores y sumando los productos resultantes. Es decir, para cada 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ n se tiene que:
det( A) = a1 j C1 j + a2 j C 2 j + ... + a nj C nj desarrollo por cofactores a lo largo de la j-ésima columna det( A) = ai1Ci1 + ai 2 Ci 2 + ... + ain Cin desarrollo por cofactores a lo largo de la i-ésima fila Entonces, para la matriz M dada anteriormente, el determinante será: Si tomamos la primer fila:
det( M ) = a11C11 + a12C12 + a13C13 = 2 ⋅ 51 + ( −5) ⋅ (−40) + ( −1) ⋅ ( −90) = 102 + 200 + 90 = 392 Importante! En general la mejor estrategia para evaluar un determinante mediante cofactores, es hacer el desarrollo a lo largo de la fila o la columna con mayor cantidad de ceros. Ejercicios: 1) Hallar el determinante de la misma matriz M mediante desarrollo por cofactores a lo largo de la primer columna, de la segunda fila y de la tercer fila. 2) Hallar el determinante de la siguiente matriz S , mediante desarrollo por cofactores. (Rta.:30)
1 3 S= − 1 3
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1 2 0 1 0 2 0 0 2 1 5 2
3
Matriz Adjunta Dada una matriz A de orden n se llama Matriz Adjunta de A o Matriz de Cofactores de A, a la matriz en la cual cada elemento de A se reemplaza por el cofactor correspondiente. Es decir:
a11 a 21 Si A = aij = a31 ..... an1
[ ]
a12 a22 a32 an 2
... a1n c11 c ... a 2 n 21 ... a3n entonces Adj ( A) = cij = c31 ..... cn1 ... ann
[ ]
c12 c22 c32 cn 2
... c1n ... c2 n ... c3n ... cnn
2 − 5 − 1 Ejercicio: escribir la matriz adjunta de la matriz anterior M = 10 − 3 7 0 − 9 4 Propiedades de los determinantes Propiedad 1 Un determinante es nulo si la matriz: a) Tiene dos filas (o dos columnas) iguales. b) Todos los elementos de una fila (o columna) son ceros. c) Los elementos de una fila (o columna) proceden del producto de un número por los elementos de otra fila (o columna). Propiedad 2 El determinante de una matriz triangular es igual al producto de su diagonal principal. Propiedad 3 El determinante de una matriz es igual al determinante de la traspuesta de la misma matriz. Es decir:
A = AT Propiedad 4 Si se intercambian dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo. Propiedad 5 Si se multiplica una fila (o columna) por un escalar, el determinante también se multiplica por ese escalar. Propiedad 6 Si a una fila (o columna) se le suma otra fila (o columna) multiplicada por un escalar, el determinante no varía. Propiedad 7 El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes de cada una de las matrices. Es decir:
A⋅ B = A ⋅ B
Propiedad 8 Si la matriz
A es invertible entonces el determinante de su inversa es igual determinante de A elevado a 1 −1 −1 la (-1). Es decir: A = A = A Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Administración) – UNRN – Año 2016
4
Ejercicios: 1) Supongamos que el determinante de la matriz determinante si:
A es igual a 8. Calcular cuánto valdrá el
a) Intercambio la fila 1 con la fila 3.
a b c A = d e f g h i
b) Intercambio la fila 1 con la fila 3 y la columna 1 con la columna 2. c) Multiplico a la columna 2 por el número 4. d) La tercera fila está formada por ceros. e) Multiplico la primera fila por 3 y la sumo a la segunda fila. f) ¿Cuánto vale
A −1 ?
g) ¿Cuánto vale
AT ?
2) Utilizando la propiedad 2 anterior, calcular el determinante de la matriz
T:
T =
3 2 7 0 6 0 6 3 0 7 3 1 − 5
1 0 0
Teorema (uno de los más importantes del Algebra Lineal) Una matriz cuadrada
A es invertible si y solamente si su determinante es distinto de cero.
Ejercicio: Indicar si las siguientes matrices son invertibles o no. Justificar en cada caso.
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2 0 ; 6 9
0 − 2
5
Un tercer método para hallar la inversa: por determinantes
Si A es una matriz invertible entonces se cumple que
A−1 =
1 T ⋅ ( Adj ( A) ) A
2 0 1 0 1 / 3 0 −1 Ejemplo: A = 3 0 0 Probar que A = − 1 − 1 1 5 1 1 1 − 2 / 3 0 Primero calculamos el determinante de la matriz. En este caso, haciendo el desarrollo por la primera fila vemos que el det( A) = 3 . A continuación debemos calcular la matriz adjunta de A. Para ello hallamos los cofactores de cada elemento de A, obteniendo:
0 − 3 3 Adj ( A) = 1 − 3 − 2 0 3 0 Luego hallamos la traspuesta de esta última matriz:
T
( Adj ( A))
1 0 = − 3 − 3 3 − 2
0 3 0
Por último, dividimos cada elemento de esta última matriz por el determinante de A, es decir, por 3, obteniendo la inversa de A:
1/ 3 0 1 T A = ( Adj ( A) ) = − 1 − 1 A 1 − 2 / 3 −1
0 1 0
0 1 0 − 3 / 8 1 / 8 1 / 4 −1 Ejercicio: con este método probar que la inversa de M = 4 − 2 1 es M = − 1 / 4 − 1 / 4 1 / 2 2 1 1 1 0 0
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Teorema (uno de los más importantes del Algebra Lineal). Una matriz cuadrada A es invertible si y solamente si su determinante es distinto de cero. Ejercicio:.
dx es el diferencial x (nos sirve para saber cuál es la variable con respecto a la .... Cuando la máquina tiene t años, el ritmo al que está cambiando su valor es.
28 ago. 2008 - Mortalidad de menores de 5 años (por 1000 nacidos vivos) por grupo de riqueza. Comisión OMS sobre Determinantes Sociales de la Salud ...
xxxx. 17. Utilizando las propiedades de los determinantes, calcular el valor de. 6x5xx. 4x3xx. 2x1xx. +. +. +. +. +. +. 18. Calcular el valor del determinante z1. 1. 1.
Si en una matriz seleccionamos r filas y r columnas, los elementos en los que se cruzan ... orden n−1 que se obtiene cuando se elimina la fila i y la columna j, ...
UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO. Asignatura: Matemática 2. Carreras: Lic. en Administración, Lic. en Turismo, Lic. en Hotelería. Profesor: Prof. Mabel ...
En general, en los hermanos se puede observar que están emparentados. Heredan de sus padres algunas características físicas comunes: color de cabello, ...
a) Una compañía aeronáutica dispone de 10 aviones destinados a vuelos charter para directivos de grandes empresas y equipos deportivos. Dispone de tres ...
300²log. 30²log. 3²log. 300 log. 30g0l3log. 1. 1. 1. 12. Expresar en forma de productos de factores de primer grado, el valor del determinante: x1. 1. 1. 1 x1. 1. 1.
Hallar las siguientes integrales, usando la regla de integración de funciones potenciales: a). = ..... Resolver aplicando el método de integración por partes: a) ∫.
Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Administración) – UNRN – Año 2016. 1 .... matriz identidad. Escribe las matrices identidad de orden 2, 3, 4 y 5. A. B. C. D.
11 ac c ab b0 ac ab. 0. 1. 1. 1. FaF. F. Fa. F. F. 111. 11. 2. 2. 2. 3. 3. 1. 2. 2. ²c²b²a c b a. )bc)·(ac)·(ab( cb. 11. )ac)·(ab(. −. −. −= ⋅−. −= sustituyendo en la primera ...
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dx. xdI. xI. IMARG. )( )( =′= Ejemplo: Supongamos que el Ingreso de vender un producto es: 3. 2. 45. 250. )( x x x. xI. −. +. = . Entonces, el ingreso marginal será:.
Instituto Superior San Jorge – Profesorado de Educación Inicial. 1. LAS TIC Y LAS ... en la escuela” de Daniel Cassany y Gilmar Ayala. a. Leer el artículo. b.
Vende un solo tipo de excursión, siendo los costos por turista de $35. Determinar la función de costo. Los costos fijos ascienden a $1800+$900 = $2700.
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(1) Administración Federal de Ingresos Públicos (AFIP), Administración Provincial de Ingresos (API),. Municipalidad ..... negativo y se haría necesaria una inyección de fondos por parte de sus accionistas o la ...... previsionales ascendía a $ 58.794