DETERMINANTES 10 10 10

1. Calcular el valor del determinante 5a 5b 5c a²

b²

c²

Solución: 10 10 10

1

Sacando factor común de 10 en la 1ª fila 

1

1

5a 5b 5c =   = 10 ⋅ 5 ⋅ a b c Sacando factor común de 5 en la 2ª fila   a ² b² c² a ² b ² c²

Determinante tipo Van der Mondem. 1

1

1

F2 = F2 − a ⋅ F1 

1

a b c = = 0 F3 = F3 − a ⋅ F2   a ² b² c² 0

1 1 b−a c−a = b−a c − a = 1 ⋅ (− 1)1+1 ⋅ − b ·( b a ) c ·( c − a) 2 2 b − ab c − ac

= (b − a )·(c − a ) ⋅

1 1 = (b − a )·(c − a )·(c − b) b c

sustituyendo en la primera expresión 10 10 10 5a 5b 5c = 10 ⋅ 5 ⋅ (b − a )·(c − a )·(c − b) a ² b² c² n +1 n + 2

n

2. Calcular en función de n el determinante n + 3 n + 4 n + 5 n+6 n+7

n +8

Solución: n

n +1 n + 2

F2 = F2 − F1 

n n +1 n + 2

n+3 n+4 n+5 =  = 3 F = F3 − F1  n +6 n +7 n +8  3 6

3 6

3 6

=0

por ser F2 proporcional a F3. abc − ab 3. Obtener, simplificando, el desarrollo del determinante − b ² c 2 b ² b²c²

b²c

a² − ab 3abc

Solución: Teniendo en cuenta la propiedad de los determinantes que dice: Si todos los términos de una línea (fila ó columna) de un determinante aparecen multiplicamos por el mismo número, se puede sacar factor común de dicho número quedando el determinante multiplicado por ese número. a 1.1 a 2.1 a 3.1 a 1.1 a 2.1 a 3.1 k ⋅ a 2.1

k ⋅ a 2.2

a 3.1

a 3.2

k ⋅ a 3.2 = k ⋅ a 2.1 a 3.3

bc  F1 : (a )  abc − ab a ²   − b ² c 2b ² − ab =  F2 : (b )  = a ⋅ b ⋅ bc = − bc  b ² c² b ² c 3abc  bc F3 : (bc )

a 3.1

a 2.2

a 3.2

a 3.2

a 3.3

1 −1 1 −b a C1 : (bc )   2 2b − a =  C 2 : (b )  = ab c ⋅ bc ⋅ b ⋅ a ⋅ − 1 2 − 1 = b 3a  C 3 : (a )  1 1 3

=2·a2b4c2 a

b

4. Sabiendo que x

y

c

2x

2z 2y

z =3, calcular: 2 m 2 p 2 n 2a 2c 2 b

m n

p

Solución: Teniendo en cuenta las propiedad de los determinantes que dicen: - Si todos los términos de una línea (fila ó columna) de un determinante aparecen multiplicamos por el mismo número, se puede sacar factor común de dicho número quedando el determinante multiplicado por ese número. a 1.1 a 2.1 a 3.1 a 1.1 a 2.1 a 3.1 k ⋅ a 2.1 a 3.1

a 1.1 a 2.1 a 3.1

k ⋅ a 2.2 a 3.2

k ⋅ a 3.2 = k ⋅ a 2.1 a 3.3 a 3.1

a 2.2 a 3.2

a 3.2 a 3.3

- Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo. a 2.1 a 3.1 a 2.1 a 2.2 a 3.2 a 2.2 a 2.1 a 3.2 a 2.2 a 3.2 = {F1 ↔ F2 } = − a 1.1 a 2.1 a 3.1 = {C1 ↔ C 2 } = + a 2.1 a 1.1 a 3.1 a 3.2 a 3.3 a 3.1 a 3.2 a 3.3 a 3.2 a 3.1 a 3.3 2 x 2z 2 y  F : ( 2)  x z y x y z  1  2 m 2 p 2 n =  F : ( 2 )  = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ m p n = C ↔ C = −8 ⋅ m n p = 2 2 3 2a 2c 2b  F : ( 2)  a c b a b c

{



3

}



x y z a b c = F ↔ F = +8 ⋅ a b c = F ↔ F = −8 ⋅ x y z = −8 ⋅ 3 = −24 2 3 1 2 m n p m n p

{

}

{

a +1

a

a

a+2

a a

a a

5. Calcular el valor del determinante

Solución: a +1 a a a

}

a

a

a

a

a +3 a a a+4

a + 1 −1 −1 −1 C 2 = C 2 − C1  a+2 a a a 2 0 0   = {F4 = F4 + 4 ⋅ F1 } = =  C 3 = C 3 − C1  = a a +3 a a 0 3 0 C = C − C  4 4 1 a a a+4  a 0 0 4 a

a

a

=

a +1

−1

−1 −1

a a

2 0

0 3

0 0

5a + 4 − 4 − 4 0 desarrollando por los términos de la 4ª columna: a + 1 −1 −1 −1 a 2 0 a 2 0 a 2 0 0 1+ 4 = −1 ⋅ ( −1) ⋅ a 0 3 = a 0 3 = {F3 + 2 ⋅ F1 } = a 0 3 0 5a + 4 − 4 − 4 5a + 4 − 4 − 4 5a + 4 − 4 − 4 0 =

a a

2 0

0 3

7a + 4 0 − 4 desarrollando por los términos de la 2ª columna:

a

2 0 a 3 = −2 ⋅ [a ⋅ ( −4) − 3 ⋅ (7a + 4)] = −2 ⋅ (− 25a − 12 ) = 50a + 24 a 0 3 = 2 ⋅ (−1) 1+ 2 ⋅ 7a + 4 − 4 7a + 4 0 − 4

6. Dada la matriz A =

0 −1  1

−1 − 2  0 − 2 , e I la matriz identidad de orden tres, determinar, si es  1 3 

posible, un valor de k para el que la matriz (A − k·I)² sea la matriz nula. Solución:

Sí (A − k·I)²=0 ⇒ (A − k·I )2 = 0 = 0

(A − k·I)2 = (A − k·I)⋅ (A − k·I ) = 0 (A − k·I ) ⋅ (A − k·I) = 0 (A − k·I) = 0 1 0 0  0 −1 − 2     1 0 2 k − ⋅ − −  0 1 0 = 0   0 0 1 1 1 3    

− k −1 − 2 −1 − k − 2 = 0 1 1 3− k sacando factor común de −1 en las dos primeras filas k 1 2

[

(− 1)2 ⋅ 1

]

k 2 = (− 1)2 ⋅ k 2 ·(3 − k ) + 2 + 2 − (2k + 2k + (3 − k ) = 1 1 3− k

(

)

= (− 1)2 ⋅ − k 3 + 3k 2 − 3k + 1 = (k − 1)3 = 0 k=1 1 9 1 3 7. Demostrar que el determinante

2 6 1 8 2 2 1 3 1 5 1 9

es divisible por 11.

Solución: Se pide demostrar sin llegar a calcular el valor del determinante, que es múltiplo de 11. Se buscan múltiplos de 11 formados en filas ó en columnas, de derecha a izquierda o viceversa, de arriba abajo o viceversa.  1221 = 111 ⋅ 11 9625 = 875 ⋅11  . Se forman estos números sobre la Formados números de arriba abajo, aparecen:   1111 = 101 ⋅ 11 3839 = 349 ⋅11 línea (fila ó columna) donde se encuentre el digito de unidad, en este caso sobre la 4ª fila 1 9 1 3 1 9 1 3 2 6 1 8 2 2 1 3 1 5 1 9

= {F4 = 1000·F1 + 100·F2 + 10·F3 + F4 } =

2

6

1

8

2 2 1 3 1221 9625 1111 3839

=

=

1

9

1

3

1

9

1

3

2

6

1

8

2

6

1

8

2 2 1 3 111 ⋅11 875 ⋅ 11 101 ⋅ 11 349 ⋅11 lo que demuestra que el determinante es múltiplo de 11

= 11 ⋅

2 2 1 3 111 875 101 349

1 1 1 1+ a 1 1 8. Obtener en función de a, b y c el valor del determinante 1 1+ b 1 1 1 1+ c

1 1 1 1

Solución: Se hacen ceros en la 1ª fila operando con el término 1.4 0 0 0 1 1 1 1 1 a 0 0  C1 = C1 − C 4  a 0 0 1 1+ a 1 1 1   = C 2 = C 2 − C 4  = = 1 ⋅ (− 1)1+ 4 ⋅ 0 b 0 = −abc 1 1+ b 1 1  0 b 0 1 C = C 3 − C 4  0 0 c 1 1 1+ c 1  3 0 0 c 1 5

9. Calcular el valor del siguiente determinante 3a

5 3b

5 3c

7a ² 7 b ² 7 c ²

Solución: 1

1

3a 3b 3c = 5 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ a 7a ² 7 b ² 7c ² a2

b b2

5

5

5

= 105 ⋅ (− 1)1+1 ⋅

b−a

1

1 1 1  F = F2 − a ⋅ F1  c = 2 = 105 ⋅ 0 b − a c − a =  F3 = F3 − a ⋅ F2   2 2 2 c 0 b − a·b c − a·c

c−a

b·(b − a ) c·(c − a )

= 105·( b − a )·(c − a )·

1 1 b c

= 105·(b − a )·(c − a )·(c − a )

10 10 10

10. Calcular el valor del determinante 5a 5b 5c a³

b³

c³

Solución: 1 10 10 10 5a 5b 5c = 10 ⋅ 5 ⋅ a a ³ b³ c³ a3 = 50 ⋅ (− 1)1+1 ⋅

1

1

1 1 1  F = F2 − a ·F1  c = 2 = 50 ⋅ 0 b − a c − a =  F3 = F3 − a 2 ·F2   3 3 2 3 c 0 b − a ·b c − a 2 ·c

b b3

b−a c−a b−a c−a 1+1 ⋅ = 2 2 2 2 = 50 ⋅ (− 1) b·( b − a ) c·(c − a ) b·( b − a )·(b + a ) c·(c − a )·(c + a )

= 50 ⋅ (b − a ) ⋅ (c − a ) ⋅

1

1

b·( b + a ) c·(c + a )

[

]

= 50·(b − a )·(c − a )·[b·( b + a ) − c·(c + a )] =

[

]

= 50·(b − a )·(c − a )· b 2 + ab − c 2 − ac = 50·(b − a )·(c − a )· b 2 − c 2 + ab − ac = = 50·(b − a )·(c − a )·[(b − c)·(b + c) + a·(b − c)] = 50·(b − a )·(c − a )·(b − c)·(a + b + c)

1 1 1 11. Calcular el valor del determinante log 3 log 30 log 300 log ²3 log ²30 log ²300 Solución: 1 1 1 1 1 1  F = F2 − log 3·F1  log 3 log 30 log 300 =  2 = 0 log 30 − log 3 log 300 − log 3 =  F3 = F3 − log 3·F2   log ²3 log ²30 log ²300 0 log ²30 − log 3·log 30 log ²300 − log 3·log 300 =

log 30 − log 3 log 300 − log 3 1 1 = (log 30 − log 3)⋅ (log 300 − log 3)⋅ = log 30 ⋅ (log 30 − log 3) log 300 ⋅ (log 300 − log 3) log 30 log 300 = (log 30 − log 3)⋅ (log 300 − log 3)⋅ (log 300 − log 30 ) = log

30 300 300 ⋅ log ⋅ log = 3 3 30

= log 10 ⋅ log 100 ⋅ log 10 = 1 ⋅ 2 ⋅1 = 2 12. Expresar en forma de productos de factores de primer grado, el valor del determinante: 1 1 1 1 −1 x −1 −1 x −1 −1 −1

1 1 1 x

Solución: 1 1 1 1 F2 = F2 + F1  0 x 1 2 2 +   =  F3 = F3 + F1  = −1 −1 x 1  0 0 x +1 2 F = F4 + F1  −1 −1 −1 x  4 0 0 0 x +1 1 −1

1 x

1 1

1 1

Matriz triangular, su determinante es el producto de la diagonal principal. 1

1

1

0 x +1 2 0 0 x +1 0 1

0 x

0 x²

1 2 2

= (x + 1)3

x +1 x³

3 2 x + 1 x ² + 2 x 3x ² 13. Resolver la ecuación =0 3 x + 2 2 x + 1 3x 1

1

1

1

Solución: 1 x −1 x² −1 x³ −1 C 2 = C 2 − C1  3 2 x + 1 x ² + 2 x 3x ²   3 2 x − 2 x ² + 2 x − 3 3x ² − 3 = = C 3 = C 3 − C1  = 2x − 2 3x − 3 3 x + 2 2 x + 1 3x   3 x −1 C = C − C 4 1  4 1 0 0 0 1 1 1 1

1

x

x²

x³

desarrollando el determinante por los adjuntos de la 4ª fila y factorizando todos los polinomios

= 1 ⋅ (− 1)

4 +1

x −1 ( x − 1)·( x + 1) ( x − 1)·(x ² + x + 1) 3( x − 1)·( x + 1) = ⋅ 2·( x − 1) ( x − 1)·( x + 3) x −1 2( x − 1) 3( x − 1)

sacando factor común de (x−1) en cada columna y operando los términos del determinante 1

x +1 x² + x +1

= −1·(x − 1) ⋅ 2 x + 3 1 2 3

1 x −1 x² + x − 2 C 2 = C 2 − 2·C1  3 3x + 3 =  3x − 3 =  = −1·(x − 1) ⋅ 2 x − 1  C 3 = C 3 − 3·C1  3 1 0 0

desarrollando el determinante por los adjuntos de la 3ª fila y factorizando los polinomios = −1·(x − 1)3 ⋅1 ⋅ (− 1)3+1 ⋅

x − 1 ( x − 1)·( x + 2) x −1

3·( x − 1)

=

sacando factor común de (x−1) en cada columna y operando los términos del determinante 1 x+2 1 x −1 = −1·(x − 1)3 ⋅ (x − 1)2 ⋅ = −1·(x − 1)5 ⋅ = 1 3 1 0 desarrollando el determinante por los adjuntos de la 2ª fila = −1·(x − 1)5 ⋅1 ⋅ (− 1)2+1 ⋅ x − 1 = (x − 1)6 = 0 x=1 3 x 14. Calcular el valor de x x

x 3 x x

x x 3 x

x x x 3

Solución. 3 x x x

x 3 x x

x x 3 x

x 3 x x x x x 3 x x = {F4 = F4 + F3 + F2 + F1 } = = x x x 3 x 3 3x + 3 3x + 3 3x + 3 3x + 3

sacando factor común de (3x+ 3) de la 4ª fila 3− x 3 x x x  C1 = C1 − C 4  0 x 3 x x   = (3x + 3) ⋅ = C = C 2 − C 4  = (3x + 3) ⋅ x x 3 x  2 0  1 1 1 1

C 3 = C 3 − C 4 

0

0

0

x

3− x

0

x

0 0

3− x 0

x 1

=

aparece el determinante de una matriz triangular, que es igual, al producto de los términos de la diagonal = (3x + 3) ⋅ (3 − x ) 3

15. Resolver la siguiente ecuación

−1

x

x x

−1 x x −1

x = 0 (operando el determinante antes de x

x

x

−1

x

x

x

desarrollarlo). Solución: −1

x

x

x

−1

x

x

x

x

−1

x

x

−1

x x

x −1

x

x x

x −1 x

= {F4 = F4 + F3 + F2 + F1 } =

x −1

=

x x x 3x − 1 3x − 1 3x − 1 3x − 1

sacando factor común de (3x−1) de la 4ª fila −1

−1 − x 0 0 x  C1 = C1 − C 4  0 −1− x 0 x x −1 x x   = (3x − 1)⋅ = C 2 = C 2 − C 4  = (3x − 1)⋅ = − − 0 0 1 x x x x −1 x   C = C − C 3 3 4 0 0 0 1 1 1 1 1  matriz triangular, su determinante es el producto de los términos de la diagonal x

x

x

x = 1 3 = (3x−1)·(−1−x)3 = (1−3x)·(1−x)3=0:   x = 1

16. Resolver el determinante

x

x x

x

x x x

1 0 x 0 x 1 x 1 0

Solución: Sacando factor común x en la 1ª columna x x x 1

x x 0 x

x 0 x x

x 1 1 0

= x⋅

1 1 x 1

1 0

x 0 x x

x 1

1 x

1 0 0 0 C 2 = C 2 − C1  x 1 x x 0 − −   =  C 3 = C 3 − C1  = x ⋅ = 1  x −x 0 1− x  C 4 = C 4 − C1  0  x 0 1− x − x

desarrollando el determinante por los adjuntos de la 1ª fila = x ⋅ 1 ⋅ (− 1)

1+1

1− x

−x

⋅ −x 0

1− x

0

0

1− x

−x

0

1 − x = {F3 = F3 + F2 + F1 } = x ⋅ − x 0 1− x = 1 − 2x 1 − 2x 1 − 2x −x

sacando factor común de (1−2x) de la 3ª fila 1− x − x = (1 − 2 x ) ⋅ x ⋅ − x 1

0 1

0 1− x  C = C1 − C 3  1− x =  1 = ( 1 − 2 x ) ⋅ x ⋅ −1  C 2 = C 2 − C3   1 0

desarrollando el determinante por los adjuntos de la 3ª fila

−x

0

x −1 1 − x = 0 1

= (1 − 2 x ) ⋅ x ⋅ 1 ⋅ (− 1)3+3 ⋅

1− x −1

−x = x·(1 − 2 x )·[(1 − x )·( x − 1) − x ] = x·(1 − 2x )·(−1 + x − x 2 ) = x −1 = x·(x2 − x +1 )·(2x − 1) x

x +1 x + 2

17. Utilizando las propiedades de los determinantes, calcular el valor de x x + 3 x + 4 x

x +5 x +6

Solución: x

x +1 x + 2

x

x+3 x+4 =  = 0 F = F3 − F1  x+5 x+6  3 0

x

F2 = F2 − F1 

x +1 x + 2

x

2

2

4

4

=0

por tener do filas proporcionales. (F3 = 2·F2)

18. Calcular el valor del determinante

1+ x

1

1

1− x

1 1

1 1

1

1

1

1

1+ z 1 1 1− z

Solución: 1+ x

1

1

1− x

1 1

1 1

1+ x F2 = F2 − F1    −x =  F3 = F3 − F1  = 1+ z 1 F = F − F  − x 4 4 1 1 1− z  −x 1

1

1

1

1

1

−x 0

1

0

0 0

z 0 0 −z

= {C 2 = C 2 − C1 } =

1+ x − x 1 −x 0 0 −x −x

x x

1 0

z 0 0 −z

=

desarrollando el determinante por los adjuntos de la 2ª fila = − x ⋅ (− 1)

2 +1

−x 1 ⋅ x z

1 1 1 −x 0 = {F2 = F2 − z·F1 } = x ⋅ x + z·x 0 − z = 0 −z x 0 −z

x

desarrollando el determinante por los adjuntos de la 2ª columna = x ⋅ 1 ⋅ (− 1)1+ 2 ⋅

19. Calcular:

x + z·x

−z

x

−z

1+ a 1 1 1+ b

= {F1 = F1 − F2 } = − x ⋅ 1 1

1 1

1

1

1+ c

1

1

1

1

1+ d

z·x

0

x

−z

[

]

= − x ⋅ − z 2 ·x − 0 = x 2 ·z 2

Solución: Para el desarrollo de este determinante se utiliza la propiedad: Si una línea de un determinante se puede escribir como suma de dos términos, el determinante se puede escribir como suma de dos determinantes, como indica la siguiente relación

a 1.1

a 1.2 + b1.2

a 1.3

a 1.4

a 1.1

a 1.2

a 1.3

a 1.4

a 1.1

b 1.2

a 1.3

a 1.4

a 2.1

a 2.2 + b 2.2

a 2.3

a 2 .4

a 2.1

a 2.2

a 2.3

a 2.4

a 2.1

b 2.2

a 2.3

a 2.4

a 3.1 a 4.1

a 3.2 + b 3.2 a 4.2 + b 4.2

a 3 .3 a 4.3

a 3 .4 a 4 .4

a 3.1 a 4.1

a 3.2 a 4.2

a 3.3 a 4.3

a 3.4 a 4.4

a 3.1 a 4.1

b 3.2 b 4.2

a 3.3 a 4.3

a 3.4 a 4.4

1+ a 1 1 1

=

1+ a F2 = F2 − F1  1+ b 1 1   −a =  F3 = F3 − F1  = 1 1+ c 1 F = F − F  − a 4 4 1 −a 1 1 1+ d  1

1

1

1

+

b 0 0 0 c 0 0 0 d

a

1 1 1 1

1 1 1 =

0 b 0 0 0 0 c 0 0 0 0 d

+

1 1 1

−a b 0 0 −a 0 c 0 −a 0 0 d

1 1 1

1 1 1 1 F2 = F2 + F1  −1 b 0 0  0 b +1 1 1  = =  F3 = F3 + F1  = b·c·d + a ⋅ = b·c·d + a ⋅ + −1 0 c 0  0 1 c 1 1  F4 = F4 + F1  −1 0 0 d  0 1 1 d +1 desarrollando el determinante por los adjuntos de la 1ª columna

b +1 1 1 b +1 1 1 F = F2 − F1  c +1 1 =  2 b · c · d a = b·c·d + a ⋅1 ⋅ (− 1)1+1 ⋅ 1 = + ⋅ −b c 0 =  F3 = F3 − F1   1 1 d +1 −b 0 d  1 1 1 b 1 1 1 1 1  F = F2 + F1     = b·c·d + a ⋅  0 c 0 + − b c 0  = b·c·d + a ⋅ c·d + b ⋅ − 1 c 0  =  2 = F3 = F3 + F1     0 0 d −b 0 d  −1 0 d      1 1 1    = b·c·d + a ⋅ c·d + b ⋅ 0 c + 1 1  =  0 1 d + 1   desarrollando el determinante por los adjuntos de la 1ª columna   c +1 1  c +1 1  = b·c·d + a ⋅ c·d + b ⋅ 1 ⋅ (− 1)1+1 ⋅ =  = {F2 = F2 − F1 } = b·c·d + a ⋅ c·d + b ⋅ − c d  + 1 d 1        1 1 c 1  1 1  = b·c·d + a ⋅ c·d + b ⋅  +  = {F2 = F2 + F1 } =  = b·c·d + a ⋅ c·d + b ⋅ d + c ⋅ − 1 d    0 d − c d      1 1  = b·c·d + a ⋅ c·d + b ⋅ d + c ⋅  = b·c·d + a ⋅ [c·d + b ⋅ {d + c ⋅ (d + 1)}] = 0 d + 1    = b·c·d + a ·c·d + a ·b·d + a ·b·c + a ·b·c·d x 20. Resolver:

Solución:

−x

−1 −1 0 x −1 1

1

−1

x

1

1

−1

0

x

=0

=

Se hacen ceros en la 4ª fila tomando como pivote el término 4.1 −1 −1 0

x −x 1 1

x −1+ x −1 − x 2 −x −1 1+ x 2 0

x − 1 1  C 2 = C 2 + C1  = = − 1 x 1 C 4 = C 4 − x·C1  1 −1 0 x 1

0

x

1− x

0

0

0

=

desarrollando el determinante por los adjuntos de la 4ª fila −1 + x −1

= 1 ⋅ (− 1)

4 +1

⋅

− x2

−1 1+ x = − x 1− x 2

0 0

−1+ x −1 0 0

− x2

−1 1 + x 2 = x 1− x

desarrollando el determinante por los adjuntos de la 1ª columna = − ⋅ (− 1)1+1 ⋅ (x − 1)⋅

[

 −1 1 −1 x 2   −1 − x  −1 1 + x 2 = − ⋅ (x − 1)⋅  +  = (1 − x )⋅ (− 1 − x ) + x ⋅ = x − 1  x 1− x   x 1 x − x 

)]

(

(

) (

)

(

= (1 − x )⋅ (− 1 − x ) + x ⋅ 1 + x 2 = −(1 − x )⋅ (1 + x ) + x ⋅ (1 − x )⋅ 1 + x 2 = x 2 − 1 + x ⋅ (1 − x )⋅ 1 + x 2

21. Calcular el siguiente determinante

a a

a a a b b b

a a

b c c b c d

Solución: a a a a

1 a F2 = F2 − F1  0 b−a b b b 1 b b b   = a⋅ =  F3 = F3 − F1  = a ⋅ 0 b−a b c c 1 b c c  F4 = F4 − F1   0 b−a b c d 1 b c d a

a

a

1 a

a

a

a

a

b−a b−a c−a c−a

c−a d−a

=

desarrollando el determinante por los adjuntos de la 1ª columna

b−a b−a b−a 1 b−a b−a F = F2 − F1  = a ⋅ (− 1)1+1 ⋅ b − a c − a c − a = a ⋅ (b − a )⋅ 1 c − a c − a =  2 = F3 = F3 − F1   b−a c−a d −a 1 c−a d−a 1 b−a b−a = a ⋅ (b − a )⋅ 0 c − b c − b = 0 c−b d−b desarrollando el determinante por los adjuntos de la 1ª columna = a ⋅ (b − a )⋅ (− 1)1+1 ⋅

c−b c−b 1 c−b = a ⋅ (b − a )⋅ (c − b )⋅ = {F2 = F2 − F1 } = c−b d−b 1 d−b

= a ⋅ (b − a )⋅ (c − b )⋅

1 c−b 0 d−c

= a ⋅ (b − a )⋅ (c − b )⋅ (− 1)1+1 ⋅ d − c =

)

= a ⋅ (b − a )⋅ (c − b )⋅ (d − c ) a 22. Calcular:

3

3 −b 3 3

3 3

3

3

3 −a

3 3 b

3

Solución: a 3− a 3− a 3− a C 2 = C 2 − C1  0 0   3 −b−3 = =  C 3 = C 3 − C1  = −a −3 0 0 3 3 3   3 C = C − C 4 4 1 3 0 0 b−3 3 3 3 b  desarrollando por los elementos de la cuarta fila: 3− a 3−a 3− a a 3− a 3−a a

3

3 −b

3

3

3 −a

3

0 = 3 ⋅ (− 1)4 +1 ⋅ − b − 3 0 −a −3

3− a

3− a

3−a

−b−3

0 −a −3

0 0

0

0 + (b − 3)⋅ (− 1)4 + 4 ⋅ 3 − b − 3 0 (1) 0 3 0 −a −3

1

1

= (3 − a )⋅ − b − 3

1

0 0 = (3 − a )⋅ 1 ⋅ (− 1)1+ 3 ⋅ −a −3 0

0

(

−b−3 0

)

= (3 − a )⋅ (− b − 3)⋅ (− a − 3) = (3 − a )⋅ (b + 3)⋅ (a + 3) = 9 − a 2 ⋅ (b + 3)

0 = −a −3

(2)

a 3− a 3−a 3− a 3−a a 3− a 3 −b−3 0 = 3 ⋅ (− 1)2+1 ⋅ + (− b − 3)⋅ (− 1)2 + 2 ⋅ = 0 3 −a −3 −a −3 3 0 −a −3 = −3 ⋅ (3 − a )⋅

1

1

0 −a −3

+ (− b − 3)⋅ [a ⋅ (− a − 3) − (3 − a )⋅ 3] =

[

] (

)

(

)

= −3 ⋅ (3 − a )⋅ (− a − 3) + (− b − 3)⋅ − a 2 − 3a − 9 + 3a = 3 ⋅ 9 − a 2 + (b + 3)⋅ 9 + a 2 = = ba 2 + 9 ⋅ (b + 6 ) Sustituyendo (2) y (3) en (1) a 3 3 3 −b 3 3

3 3

3

3

3

−a

3 b

3

(

(3)

(

)

) (

)

[

]

= −3 ⋅ 9 − a 2 ⋅ (b + 3) + (b − 3)⋅ ba 2 + 9 ⋅ (b + 6) =

(

)

(

= a 2 ⋅ b 2 + 9 + 9 ⋅ b 2 − 27 = a 2 ⋅ b 2 + 3 2 + 3 2 ⋅ b 2 − 3 3

)

23. Calificación máxima: 2 puntos. Hallar en función de a, el valor del determinante: a a a a ∆=

Solución Utilizando las propiedades de los determinantes.

2 a

a a

3 2 a a 4 3 2 a

a

a a a

1 1 1 1

0 0 0 1  C1 = C1 − C 4  2 a 0 0 a −   = a⋅ = C 2 = C 2 − C 4  = a ⋅ 3 2 a a 3 2 a a  3−a 2−a 0 a C 3 = C 3 − C 4  4 3 2 a 4 3 2 a  4−a 3−a 2−a a Desarrollando por los elementos de la primera fila: 0 0 0 1 2−a 0 0 2−a 0 0 a 1+ 4 = a ⋅1 ⋅ (− 1) ⋅ 3 − a 2 − a 0 = a ⋅ (− 1)⋅ (2 − a )3 = a ⋅ (a − 2)3 3−a 2−a 0 a 4−a 3−a 2−a 4−a 3−a 2−a a 2 a a a

2 a

a a

24. Calificación máxima: 3 puntos. Obtener el determinante ∆ en función de ∆1 , siendo: a +b b+c c+a a b c ∆ = a '+ b' b'+ c' c'+a ' a"+ b" b"+ c" c"+a"

∆ 1 = a ' b ' c' a" b" c"

Solución Aplicando dos de las propiedades de los determinante - A una línea (fila o columna) se le puede sumar o restar otra paralela multiplicado por cualquier número sin que varíe el determinante - Sí en todos los términos de una línea (fila o columna) existe un factor común, este se puede sacar fuera como factor común del determinante

a +b b+c c+a 2a b + c c + a ∆ = a '+ b' b'+c' c'+a ' = {C1 = C1 − C 2 + C 3 } = 2a ' b'+c' c'+a ' = a"+ b" b"+c" c"+a" 2a" b"+c" c"+a" b+c

a

c+a

b+c

a

c

a

b

c

= 2 ⋅ a ' b'+c' c'+a ' = {C 3 = C 3 − C1 } = 2 ⋅ a ' b'+c' c' = {C 2 = C 2 − C 3 } = 2 ⋅ a ' b' c' a" b"+c" c"+a" a" b"+c" c" a" b" c" x 25. ( 3 puntos ) Determinar la raíz múltiple de la ecuación

Solución. x 1 8 1 1 x 1 8 8 1 1 8

x 1

1 x

= {F4 = F4 + F3 + F2 + F1 } =

10) en la fila = (x + 10 )⋅

x

1

1

x

8 1

1

1 x 8 1 1 8

1 x 1

8 =0 1 x

1 8

8 1 x 1 x + 10 x + 10 x + 10 x + 10

= sacando factor común de (x +

x −1 0 7 C1 = C1 − C 4  −7 x −8 −7 1 8   = C 2 = C 2 − C 4  = (x + 10 )⋅ 7 0 x −1 x 1  C 3 = C 3 − C 4   0 0 0 1 1 x −1

= (x + 10 )⋅ (− 1)4 + 4 ⋅1 ⋅ − 7

(x + 10)⋅ (x − 8)⋅ [(x − 1)

1 x

8

8 1

8 1 1 1

2

x 1

1

]

7

0 x −8 0

1 8 1

=

1

7

x −1

7

x −1

7

x −1

− 7 = (x + 10 )⋅ (x − 8)⋅ (− 1)2 + 2 ⋅

(

)

=

− 49 = (x + 10 )⋅ (x − 8)⋅ (x − 1)2 − 7 2 = (x + 10 )⋅ (x − 8)⋅ [(x − 1) − 7]⋅ [(x − 1) + 7] =

= (x + 10 )⋅ (x − 8)⋅ (x − 8)⋅ (x + 6) = (x + 10 )⋅ (x − 8)2 ⋅ (x + 6 ) La raíz múltiple es x = 8