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TRABAJO PRÁCTICO Nº 5: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ASIGNATURA: MATEMATICA II - U.N.R.N. – AÑO: 2010 LOS EJERCICIOS CON ASTERISCOS SON OPTATIVOS 1) Resolver cada uno de los siguientes sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas por los métodos gráfico, de igualación y de sustitución, indicando en cada caso qué tipo de sistemas son: a)

2 x + y = 8  3 x − 2 y = −2

b)

2 x − 5 y = 1  2 x − 5 y = 3

c)

3 x − y = 5  − 6 x + 2 y = −10

2) En los siguientes problemas, plantear el sistema de ecuaciones y luego resolverlo por cualquiera de los métodos vistos: a) Un operador turístico vende un paquete de 100 pasajes aéreos a un destino A y 50 pasajes aéreos a un destino B por un monto total de 145000$ a una agencia de turismo. Luego, esta agencia vende al público todos estos pasajes, recaudando un total de 163200$. Si con la venta de cada pasaje al destino A la agencia ganó un 10% y con cada pasaje al destino B ganó un 15%, ¿cuál era el valor de cada pasaje originalmente? b) En un aeropuerto trabajan 265 personas. El 10% de las mujeres y el 20 % de los hombres no tienen estudios secundarios. Si el número total de personas que tienen estudios secundarios asciende a 226 ¿cuántos hombres y mujeres trabajan en ese aeropuerto? c) (*) ¿Cuál es la superficie de un terreno rectangular si su perímetro es de 120 metros y el ancho es el triple que el largo? d) (*) Una empresa tiene un salario constituido por un sueldo básico y una bonificación por año de antigüedad. Si un empleado con 4 años de antigüedad gana $1900 y uno con 20 años de antigüedad gana $3500, determinar cuál es el sueldo básico y cuál la bonificación por año. 3) Resolver cada uno de los siguientes sistemas de 3 ecuaciones con 2 incógnitas por el método de Gauss, indicando en cada caso qué tipo de sistemas son:

2 x + y = 5  a)  x + 2 y = 2 x − y = 3 

10 x − y = 1  b) 5 x + y = 0 2 x + y = 2 

4) Resolver cada uno de los siguientes sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas por el método de Gauss, indicando en cada caso qué tipo de sistemas son:

2 x + y − z = 2  a) 2 x + 3 y + 5 z = 1 x + y + 6z = 2 

 x − y + 3z = 3  b)  x + 2 y − z = 2 2 x + y + 2 z = 5 

 x + y − 3z = 0  c) 2 x + y + z = 0 x + y + z = 0 

3x + y − 2 z = 1  d) 6 x + 2 y − 4 z = 3 − 3 x − y + 2 z = 2 

5) Resolver los siguientes problemas, planteando el sistema de ecuaciones: a) Una compañía aeronáutica dispone de 10 aviones destinados a vuelos charter para directivos de grandes empresas y equipos deportivos. Dispone de tres tipos de aviones: el modelo A es un reactor con capacidad para 30 pasajeros y cuya tripulación está formada por 3 pilotos; el modelo B es un turbohélice bimotor con capacidad para 20 pasajeros y su tripulación la forman 2 pilotos; el modelo C es una pequeña avioneta-taxi con capacidad para 4 pasajeros y un piloto. Ayer, por la mañana, despegaron todos los aviones completos. En ellos iban 140 pasajeros y 17 pilotos. ¿Cuántos aviones de cada modelo tiene la compañía? b) La suma de las edades de tres hermanos es de 32 años. La edad del mayor es igual a la suma de las edades de sus hermanos menores. Dentro de 8 años, el mayor doblará la edad que tenga el menor. Calcula la edad actual de cada uno de los hermanos.

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c) (*) Halla un número de tres cifras sabiendo que éstas suman 18. Además, la cifra de las decenas es igual a la suma de las otras dos y, por último, si a este número le restamos el que resulta de invertir el orden de sus cifras, el resultado es 99. 6) Determinar si los SEL de ejercicio 1) son sistemas de Cramer. En caso afirmativo, hallar su solución mediante el Teorema de Cramer. 7) Determinar si los SEL de ejercicio 4) son sistemas de Cramer. En caso afirmativo, hallar su solución mediante el Teorema de Cramer. 8) Resuelve los siguientes problemas aplicando cualquiera de los métodos vistos, planteando previamente en cada caso el sistema de ecuaciones correspondiente: a) Se ha fundido una cadena de oro del 80% de pureza junto con un anillo del 64% de pureza. Así se han obtenido 12 gramos de oro de una pureza del 76%. ¿Cuántos gramos pesaba la cadena y cuántos el anillo? b) (*) Un fabricante produce tres artículos A, B y C. Por cada unidad vendida gana 1$ por A, 2$ por B y 3$ por C. Los costos fijos son 17000$ por año, y los costos de producción por cada unidad son 4$, 5$ y 7$ respectivamente. En el año 2008 se fabricaron y vendieron un total de 11000 unidades entre los tres productos, obteniendo 25000$ de ganancias. Si el costo total fue de 80000$, ¿cuántas unidades de cada producto fabricaron en el año 2008? c) Una compañía produce tres artículos A, B y C, que deben ser procesados en tres máquinas I, II y III. El tiempo en horas requerido para el procesamiento de cada producto por las tres máquinas está dado en la siguiente tabla: A B C 3 1 2 I 1 2 1 II 2 4 1 III La máquina I está disponible 490 horas diarias, la II durante 310 horas y la III durante 560 horas. Encuentre cuántas unidades de cada artículo deben producirse para utilizar todo el tiempo disponible de las máquinas. d) Las ecuaciones de la oferta y la demanda de cierto artículo son 3p + 5x = 200 y 7p – 3x = 56 respectivamente. Hallar el punto de equilibrio del mercado. (Resolver también gráficamente) e) Un señor colocó $20000 en tres inversiones al 6%, 8% y 10%. El ingreso total anual fue de $1624, y el ingreso de la inversión del 10% fue el doble del ingreso del de la del 6%. ¿De cuánto fue cada inversión? Respuestas: 1) a) x=2,y=4 (compatible determinado)b) incompatible c) compatible indeterminado. 2) a) 710$ y 1480$ b) 140 mujeres y 125 hombres c) 675 m2 d) sueldo básico=1500$, bonificación por año de antigüedad=100$.

8 1 ;y=− b) Incompatible 3 3 7 5 1 9 4 8 3 4) a) Comp. determ. x = ; y = − ; z = b) Comp. indeterm. y = − x ; z = − x 4 4 4 5 5 x 5

3) a) Comp determ. x =

c) Comp. determ. (solución trivial)

d) Incompatible

5) a) 2 aviones tipo A, 3 tipo B y 5 tipo C.

b) 16, 12 y 4 años

c) el número es 594.

6) a) si b) no c) no

7) a) si. b) no c) si d) no

8) a) la cadena 9 gramos y el anillo 3 gramos. b) 2000 unidades de A, 4000 unidades de B y 5000 de C. c) Deben producirse 98 artículos de A, 76 de B y 60 de C. d) x = 28 ; p = 20. e) 6000$, 6800$ y 7200$.