Unidad Did´ actica: L´IMITES Y CONTINUIDAD M´aster Universitario de Profesorado de Educaci´on Secundaria Especialidad de Matem´aticas Universidad de Valencia Curso 2013-2014
Bego˜ na Soler de Dios
PROFESOR: Miguel S´anchez S´anchez, IES Llu´ıs Vives TUTOR: Dr. Mauricio Contreras del Rinc´on, UV
Dime y lo olvido, ens´en ˜ame y lo recuerdo, invol´ ucrame y lo aprendo. Benjamin Franklin
Contenido 1. Introducci´ on 1.1. Adecuaci´on al contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 3
2. Objetivos did´ acticos
4
3. Competencias b´ asicas a desarrollar
6
4. Contenidos
7
5. Planteamiento metodol´ ogico y orientaciones did´ acticas 5.1. Metodolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Orientaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 8 9
6. Actividades a desarrollar en la clase
10
7. Organizaci´ on del tiempo y del espacio
27
8. Recursos y materiales
29
9. Criterios, procedimientos y actividades de evaluaci´ on
30
10.Reflexi´ on y evaluaci´ on de la UD
34
Bibliograf´ıa
36
1 Introducci´ on
La unidad did´actica que se presenta a continuaci´on est´a dise˜ nada para ser implementada durante 10 sesiones en el curso de Primero de Bachillerato de Ciencias y Tecnolog´ıa. El concepto de l´ımite de una funci´on, junto con el concepto de continuidad, forman parte del bloque de an´alisis matem´atico dentro del curr´ıculum del primer curso [BOE, 2007] ´ [DOGV, 2008], es decir, es posterior al bloque de Aritm´etica y Algebra y al de Geometr´ıa, por lo que temporalmente se ubica en el tercer trimestre del curso, antes del bloque de Estad´ıstica y Probabilidad. Concretamente se encuentra localizado entre los temas de funciones reales y la aproximaci´on al concepto de derivada. El An´alisis Matem´atico es una amplia y compleja rama de la Matem´atica moderna que ocup´o gran parte del trabajo de cient´ıficos desde el siglo XVII. Wallis, Barrow, Newton o Leibnitz fueron algunos de los que lo estudiaron y se les considera ”padres”del An´alisis moderno. Durante la Educaci´on Secundaria Obligatoria, los alumnos han ido conociendo y estudiando diferentes tipos de funciones, algunas de ellas cont´ınuas, como las polin´omicas, y otras no, como las de proporcionalidad inversa. En esta unidad se realiza el estudio de la continuidad y discontinuidades de una funci´on, analizando las condiciones que deben verificarse en cada caso. Como paso previo se introduce el concepto de l´ımite de una funci´on en un punto junto con la idea de l´ımite lateral y se desarrollan los procedimientos de c´alculo de l´ımites de los tipos de funciones conocidas por los alumnos y los m´etodos de resoluci´on de las indeterminaciones que estos tipos de funciones pueden presentar. Este estudio previo de l´ımites va ligado al concepto de continuidad, uno lleva a otro y tambi´en es un primer paso para llegar en la unidad siguiente al concepto de la derivada de una funci´on en un punto.
1.1 Adecuaci´on al contexto
1.1.
3
Adecuaci´ on al contexto
La presente Unidad Did´actica va dirigida al grupo de Primero de Bachillerato B del I.E.S Llu´ıs Vives de Valencia. Cocretamente se trata de un grupo de l´ınea en valenciano y del bachillerato cient´ıfico-t´ecnico en r´egimen diurno. El grupo consta de 33 alumnos, 13 chicos y 20 chicas, con edades comprendidas entre los 16 y los 17 a˜ nos. Estos alumnos est´an juntos por primer a˜ no ya que las clases se forman nuevamente en el bachillerato pero algunos de ellos hab´ıan coincidido en el misma aula en cursos anteriores o simplemente se conoc´ıan de pertenecer al mismo centro, hay tambi´en unos pocos que provienen de centros privados o concertados y este es el primer a˜ no en el instituto. En la clase solamente hay dos repetidores, no tiene alumnos de otros pa´ıses y como curiosidad decir que hab´ıa un hermano y una hermana y un par de gemelas. Respecto a la clase indicar que era muy peque˜ na, con una diminuta ventana exterior. Por lo tanto, los alumnos ten´ıan que estar organizados en tres grandes filas que dificultaban su concentraci´on. Finalmente a˜ nadir que el aula dispon´ıa de todos los recursos necesarios para llevar a cabo la unidad did´actica: proyector, pizarra...
2 Objetivos did´ acticos En primer lugar empezaremos nombrando los principales focos de inter´es para el aprendizaje sobre los cuales se van a clasificar los objetivos espec´ıficos que se espera que el alumnado alcance: Introducci´on a la idea de l´ımite de una funci´on. C´alculo de l´ımites. Relaci´on del concepto de l´ımite con el de continuidad.
As´ı, los objetivos espec´ıficos ser´ıan: ´ A LA IDEA DE L´IMITE DE UNA FUNCION: ´ 1. INTRODUCCION a) Diferenciar y entender la idea de l´ımite de una funci´on en un punto y en el infinito a partir de una tabla de valores (calculadora) o una gr´afica. b) Distinguir los l´ımites laterales e interpretarlos. c) Relacionar el concepto de l´ımite con fen´omenos en los que intervenga.
´ 2. CALCULO DE L´IMITES: a) Argumentar la existencia o no del l´ımite de una funci´on y determinarlo cuando sea posible a partir de sus l´ımites laterales o por sustituci´on directa. b) Conocer las propiedades de los l´ımites de operaciones con funciones que simplifican el c´alculo de ´estos. c) Reconocer las indeterminaciones y aprender a resolverlas. d ) Expresar gr´aficamente l´ımites que se han estudiado anal´ıticamente.
5 ´ DEL CONCEPTO DE L´IMITE CON EL DE CONTINUIDAD: 3. RELACION a) Expresar de manera intuitiva los conceptos de continuidad y discontinuidad de una funci´on en un punto despu´es de argumentar que tiene sentido el estudio de la continuidad en dicho punto. b) Justificar si una funci´on es continua o no a partir del estudio de sus l´ımites laterales. c) Identificar gr´aficamente los diferentes tipos de discontinuidades. d ) Relacionar los diferentes tipos de discontinuidad de una funci´on con los l´ımites laterales y con la funci´on en ese punto. e) Establecer el criterio de continuidad de una funci´on en un punto.
3 Competencias b´ asicas a desarrollar Con las diferentes materias del curr´ıculo se pretende que los alumnos y las alumnas alcancen los objetivos educativos oportunos y, consecuentemente, que adquieran las competencias b´asicas establecidas. Concretamente, en el curr´ıculo espa˜ nol se identifican las siguientes ocho competencias b´asicas [LOE, 2006] que se relacionan con nuestros objetivos did´acticos: 1. Competencia en comunicaci´on ling¨ u´ıstica: Saber expresar los resultados obtenidos. Incorporar lo esencial del lenguaje matem´atico a la expresi´on habitual y la adecuada precisi´on en su uso. 2. Competencia matem´atica: Resolver los ejercicios correctamente e interpretar los resultados. 3. Competencia en el conocimiento y la interacci´on con el mundo f´ısico: Relacionar los contenidos y conceptos con el mundo que nos rodea, ver aplicaciones. Posibilitar la comprensi´on de los sucesos matem´aticos y la predicci´on de consecuencias. 4. Tratamiento de la informaci´on y competencia digital: Utilizar las nuevas tecnolog´ıas para resolver los ejercicios y ver ejemplos. Es decir, desarrollar habilidades para procesar la informaci´on y transformarla en conocimiento. 5. Competencia social y ciudadana: Trabajo en equipo para la resoluci´on de ejercicios y para aprender a aceptar otros puntos de vista y formas de trabajar. 6. Competencia cultural y art´ıstica: El conocimiento del concepto de l´ımite ayuda en el an´alisis de determinadas producciones art´ısticas. 7. Competencia para aprender a aprender. 8. Autonom´ıa e iniciativa personal: Planear, gestionar recursos y valorar resultados.
4 Contenidos Los contenidos a desarrollar en el aula ser´an los siguientes: CONCEPTUALES: • L´ımite de una funci´on en un punto. • L´ımites laterales. • C´alculo de l´ımites. • L´ımites infinitos. • L´ımites en el infinito. • L´ımites de sucesiones de n´ umeros reales. • Continuidad y discontinuidades. PROCEDIMENTALES: • Calcular l´ımites laterales en funciones definidad a trozos. • Calcular l´ımites en un punto y en el infinito en los que haya distintas indeterminaciones. • Estudiar la continuidad de una funci´on y clasificar las discontinuidades. • Determinar los l´ımites y clasificar las discontinuidades de una funci´on de la que se conoce su representaci´on gr´afica. • Calcular l´ımites de sucesiones. ACTITUDINALES: • Valoraci´on positiva de las t´ecnicas para calcular l´ımites y resolver indeterminaciones. • Predisposici´on para aprender conceptos, relaciones y t´ecnicas nuevas para resolver problemas. • Valoraci´on positiva del uso de las nuevas tecnolog´ıas para la determinaci´on de l´ımites y la representaci´on de funciones.
5 Planteamiento metodol´ ogico y orientaciones did´ acticas 5.1.
Metodolog´ıa
En lo que respecta a la metodolog´ıa hay que diferenciar entre la metodolog´ıa aplicada a la hora de explicar los conceptos te´oricos y la aplicada a la realizaci´on de actividades. La sesi´on suele comenzar con unas preguntas o actividades que hagan que el alumno se introduzta en el tema, es el llamado Inquiry Based Learning, a partir de la cuesti´on guiamos al alumno en su aprendizaje para que ´el descubra los conceptos que se explicar´an posteriormente o para que a partir de su realizaci´on surja una duda que se resolver´a m´as tarde. Posteriormente se har´a la explicaci´on te´orica a partir de un ejemplo o de una tabla de datos, es decir, mediante inducci´on. Tambi´e se podr´a hacer mediante explicaci´on cl´asica, donde ser´a la profesora la que explique, intentando implicar al alumno en las explicaciones para que se desarrolle su propio conocimiento y la explicaci´on no se convierta en una mera instrucci´on. Para complementar las explicaciones se utilizar´a el programa de software libre GEOGEBRA (al igual como en la resoluci´on de problemas) en el aula, de esta forma mostratemos de forma gr´afica los concentos te´oricos explicados, y as´ı facilitaremos su comprensi´on. En cuanto a las actividades que aparecen despu´es de las explicaciones, acompa˜ naremos cada una de una breve explicaci´on, incluso se har´an ejemplos en la pizarra para indicar el objetivo y pautas de realizaci´on. El trabajo individual y la realizaci´on de ejercicios ser´a primordial para afianzar los contenidos explicados en la pizarra. Se llevar´a un seguimiento de las actividades desarrolladas en casa y en el aula por todos los alumnos, se verificar´an los resultados a trav´es de la correcci´on y del control de los errores para subsanarlos en la mayor brevedad y que dejen de cometerlos. De esta forma, los alumnos se sentir´an parte del proceso y se mostrar´an m´as participativos. Tambi´en es positivo mandar realizar ciertos ejercicios por parejas para que desarrollen m´as la cooperaci´on y puedan discutir los resultados.
5.2 Orientaciones
5.2.
9
Orientaciones
L´ımite de una funci´on en un punto: Poner ejemplos de diversos l´ımites laterales: que coincidan entre s´ı y con la funci´on en dicho punto; que coincidan entre s´ı pero no con la funci´on, y ver que en ambos casos s´ı existe el l´ımite de la funci´on en el punto estudiado. Para una mejor comprensi´on del concepto de l´ımite proponemos a los estudiantes c´alculos de l´ımites con ayuda de la calculadora. Tambi´en ayuda el ofrecerles la gr´afica de una funci´on para que obtengan el valor de un l´ımite en un punto.
L´ımites en el infinito: Es recomendable que previamente a definir el concepto en el infinito, el estudiante estime el valor de funciones racionales para valores grandes en valor absoluto de la variable. Observar que, aunque a veces coincidan, los l´ımites en m´as infinito y en menos infinito no son lo mismo.
Continuidad de una funci´on en un punto y en un intervalo: Insistir en la estrech´ısima relaci´on que hay entre l´ımite y continuidad. Proponer ejemplos de funciones definidas a trozos que sean continuas y otras discontinuas. En estas funciones no deben olvidarse de estudiar la continuidad en los intervalos de definici´on de cada trozo, adem´as de en los extremos de dichos intervalos. Todos los c´alculos deber´ıan estar acompa˜ nados de su correspondiente interpretaci´on gr´afica.
6 Actividades a desarrollar en la clase Las actividades de ense˜ nanza-aprendizaje constituyen las experiencias activas seleccionadas para desarrollar los contenidos y lograr los objetivos propuestos al inicio de la UD. Para la selecci´on de las actividades se ha tenido en cuenta la facilidad y la dificultad y el ir de lo conocido a lo desconocido. Todas las actividades est´an planteadas para que los estudiantes se mantengan din´amicos y atentos durante la sesi´on, son necesarias ya que est´an escogidas estrat´egicamente para que salgan los errores m´as comunes. Hay diferentes tipos de actividades a lo largo de todo el temario, hay destinadas a introducir el tema, en las sesiones 1 y 2 se hacen preguntas para motivar a los estudiantes y para que entren en la din´amica de la clase; hay actividades de conocimientos previos formuladas como preguntas para que los estudiantes reflexionen sobre lo que sucede (esto se puede observar en la sesi´on 7); son comunes las actividades de refuerzo que aparecen tras cada introducci´on te´orica, ´estas ayudar´an a los estudiantes a afianzar el concepto que se acaba de explicar y tambi´en hay actividades de ampliaci´on, como las que aparecen en la sesi´on 6. A continuaci´on se incluye el Power Point con las actividades de ense˜ nanza-aprendizaje desarrolladas en la clase auque no solamente son ´estas las que se han hecho en clase ya que la correcci´on de ejercicios y representaci´on gr´afica de las funciones con Geogebra tambi´en lo son. Tambi´en aparecen diapositivas de apoyo para las explicaciones m´as te´oricas. Indicar que no se debe utilizar el siguiente Power Point como u ´nico recurso durante la explicaci´on, es un mero apoyo. Cada diapositiva requerir´a su pertinente explicaci´on te´orica, con sus ejemplos gr´aficos utilizando Geogebra o la pizarra.
SESIÓN 1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
[email protected]
¿Hacia dónde se aproximan los vehículos a lo largo de esta carretera cuando se acercan a la montaña? 1
2
Sea la función f(x)=1/x. Calcula los siguientes valores:
¿Hacia dónde se aproxima el avión cuando aterriza?
f(1) f(0.5) f(0.3) f(0.1) f(0.001) f(0.0001) f(0.00000001) ¿Qué sucede? ¿Podrías intuir cual será el valor de f(0.0000000000001)? ¿Por qué? 3
4
Si queremos estudiar a qué valor tiende una función cuando la variable independiente toma valores próximos a un número real dado, resulta imprescindible introducir un nuevo concepto, el de límite de una función en un punto.
“El límite de una función f(x) cuando x tiende a 2 (por la derecha y por la izquierda) es igual a 4” y se escribe como ࢞ ܕܑܔ ൌ ࢞՜
݂ ݔൌ ݔଶ
݂ ݔൌ ݔଶ
5
ݔെ ͳ ൌǫ
6
ݔെ ͳ ൌǫ
௫՜ଵ
௫՜ଵ
Calcula:
x
f(1.1) f(1.001) f(1.00001) f(1.000001) f(0.9) f(0.999) f(0.99999) f(0.999999)
f(x)
f(x)
1.1
0.1
0.9
-0.1
1.001
0.001
0.999
-0.001
1.00001
0.00001
0.99999
-0.00001
1.000001
0.000001
0.999999
-0.000001
ݔെ ͳ ൌ Ͳ
௫՜ଵశ 7
x
ݔെ ͳ ൌ Ͳ
௫՜ଵష
8
݂ ݔൌ ܾ
௫՜
ݔെ ͳ ൌ Ͳ
௫՜ଵ
9
శ ݂ ݔൌ ܾ
௫՜
݂ ݔൌ ܾ
௫՜ష
10
࢞ ࢌ ܕܑܔൌ
࢞՜ష
ࢌ ࢞ ൌ
࢞՜శ
݂ ݔൌ ܾ
ࢌ ࢞
௫՜
࢞՜
No existe
ʹ ݔെ ͳ ݔ݅ݏ ͵ ݂ ݔൌቄ ʹ ݔ݅ݏ ͵ 11
12
1. Dando valores cada vez más próximos a los puntos indicados, estima en cada caso el valor de los límites siguientes:
2. A partir de la función de la figura, calcula:
a) f(-3), f(-2), f(3)
ܽሻሺ ݔଷ ͳሻ ௫՜ଷ
ܾሻ ௫՜
ܿሻ ݊݅ݏ ௫՜
b) Los límites laterales y el límite de la función en -3, -2 y 3.
ݔ݊݁ݏ ݔ ͳ ݔ
13
SESIÓN 2
Analiza el comportamiento de la función ࢌ ࢞ ൌ cuando x tiende a 0: ࢞
Esto equivale a calcular ܕܑܔ
LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES EN EL INFINITO
[email protected]
14
࢞՜ ࢞
. En este caso se puede
afirmar que no hay tal límite ya que si x toma valores próximos a 0, los números no se aproximan a ningún ࢞ número.
15
16
Si se construye una tabla de valores y se dibuja la función f cerca de x=0 se ve que cuando x toma valores cada vez más próximos a 0, los correspondientes valores de f se hacen cada vez mayores. Esta situación se resume diciendo que: “el límite de f cuando tiende a 0 es más infinito” y se escribe como ࢌ ࢞ ൌ λǤ ௫՜
ࢌ ࢞ ൌ
࢞
17
௫՜ଶି
ͳ ݔെʹ
ܾሻ
ݔ ሺ ݔെ Ͷሻଶ
ܿሻ
ݔͳ ሺͷ െ ݔሻଷ
௫՜ସ
௫՜ହା
࢞՜ࢇ
siempre que x tome valores próximos a a (por los dos lados), los correspondientes valores de f se harán arbitrariamente grandes. De forma análoga se define ࢞ ࢌ ܕܑܔൌ െλ ࢞՜ࢇ
Si a es un número real, ࢞ ࢌ ܕܑܔൌ λ significa que ࢞՜ࢇି
siempre que x tome valores próximos a a, pero menores que a, los correspondientes valores de f se harán arbitrariamente grandes. De forma análoga se definen ࢞ ࢌ ܕܑܔൌ λ, ࢞ ࢌ ܕܑܔൌ െλ y ࢞ ࢌ ܕܑܔൌ െλ. ࢞՜ࢇା
࢞՜ࢇି
࢞՜ࢇା
18
Además de considerar el comportamiento de una función cuando la variable independiente tiende a un punto, también es muy útil en multitud de ocasiones estudiar el comportamiento cuando esta variable toma valores muy grandes en valor absoluto.
1. Calcula los límites siguientes:
ܽሻ
Si a es un número real, ࢞ ࢌ ܕܑܔൌ λ significa que
Calcula el valor de ࢌ ࢞ ൌ
࢞ ି ࢞ ାૡ
para x=1000
Substituyendo obtenemos que : f(1000)=1,99988… Podríamos haber estimado el resultado de forma más simple si tenemos en cuenta que el numerador es prácticamente 2 y el denominador es prácticamente 1.
19
20
2. Calcula los límites siguientes:
ܽሻ ௫՜ାஶ
ܾሻ ௫՜ାஶ
ݔͳ ݔଶ ͳ
SESIONES 3/4 ݀ሻ ௫՜ିஶ
ͷ ݔ ͳ ͵ ݔെ ʹ
݁ሻ ௫՜ିஶ
ͳ ͳ ௫ ௫՜ାஶ
ܿሻ
݂ሻ ௫՜ାஶ
ʹݔ ݔͳ
CÁLCULO DE LÍMITES E INDETERMINACIONES
ʹ ݔହ ͳ ͵ ݔെ ͳ
͵ଶ Ͷି௫
21
EXPRESIONES QUE TIENDEN A INFINITO O A 0: TIPO
EJEMPLO
λ
࢞ ൌ λ ൌ λ
ஶ ሺ ሻ
ஶ ሺ ൏ ܓ൏ ሻ λ
λ λ λλ λஶ
λλ
࢞ ൌ ஶ ൌ λ
௫՜
࢞ ൌ λ ൌ λ
࢞՜ାஶ
ൌ ൌ λ ࢞՜ ࢞ ൌ ൌ ࢞՜േஶ ࢞ േλ ࢞ ࢞ࢋ ൌ λ λ ൌ λ
࢞ ࢞ ൌ λ λ ൌ λ
࢞՜ାஶ
௫՜
௫՜
࢞՜ିஶ
ൌ λஶ ൌ λ
࢞՜ࢇ
࢞՜ࢇ
ࢌ ࢞ ࢍሺ࢞ሻ ൌ ࢌሺ࢞ሻ ࢍሺ࢞ሻ ൌ ࢈ ࢉ
࢞ ൌ െλ ൌ െλ
࢞
࢞՜ࢇ
ࢌሺ࢞ሻ േ ࢍሺ࢞ሻ ൌ ࢌሺ࢞ሻ േ ࢍሺ࢞ሻ ൌ ࢈ േ ࢉ
ǡ ࢞ ൌ
࢞՜ାஶ
࢞՜ାஶ
OPERACIONES CON LÍMITES: Si dos funciones f y g cumplen que en un punto x=a, ࢞ ࢌ ܕܑܔൌ ࢈ y ࢍ ࢞ ൌ ࢉ,
࢞՜ାஶ
࢞՜ାஶ
22
pudiendo ser a, b y c infinito, se cumple que:
࢞՜ାஶ
࢞ െ
[email protected]
࢞՜ࢇ
ࢌሺ࢞ሻ ࢈ ࢌሺ࢞ሻ ࢞՜ࢇ ൌ ൌ ࢞՜ࢇ ࢍሺ࢞ሻ ࢍሺ࢞ሻ ࢉ
23
࢞՜ࢇ
࢞՜ࢇ
ࢌሺ࢞ሻࢍሺ࢞ሻ ൌ ࢌሺ࢞ሻ
࢞՜ࢇ
࢞՜ࢇ
୪୧୫ ࢍሺ࢞ሻ
࢞՜ࢇ
24
RESOLUCIÓN DE EJEMPLOS DE INDETERMINACIONES:
EXPRESIONES INDETERMINADAS: Si los resultados que se obtienen no tienen sentido en R, se dice que el límite está indeterminado y hace falta manipular la expresión de la función para conseguir otra equivalente en la que las operaciones que aparezcan se puedan realizar.
TIPO λ λ λെλ
Ͳ Ͳ Ͳλ ͳஶ
λஶ Ͳ
25
SESIÓN 5
Ya que las funciones son sucesiones, podemos aplicar todo lo visto anteriormente. No obstante, en las sucesiones solamente tiene sentido estudiar el límite en el infinito. A continuación estudiaremos como resolver algunas indeterminaciones que aparecen normalmente en el cálculo de límites de sucesiones, aunque las técnicas aquí planteadas se pueden aplicar a cualquier función de variable real.
INDETERMINACIONES II:
[email protected]
26
27
28
INDETERMINACIÓN λ െ λ
1. Calcula los límites siguientes:
Calcula
՜ஶ
െ െ
Se multiplica y se divide la sucesión por el conjugado de la diferencia:
՜ஶ
݊ଶ ݊ െ ݊ଶ െ ͵
మ ାା మ ିଷ
ାଷ
=
మ ାା మ ିଷ ՜ஶ మ ାା మ ିଷ
La indeterminación se ha convertido en otra equivalente de la ஶ forma que ya sabemos resolver. Resultado=1\2 ஶ
ܽሻ
݊ଶ െ ͵݊ െ ݊ଶ ݊
ܾሻ
݊ଶ ͳ െ ݊ଶ െ ͷ݊
՜ାஶ
՜ାஶ
Para resolver una indeterminación del tipo λ െ λ , manipulamos las expresiones que intervengan para eliminarla ஶ o para transformarla en una conocida, como . ஶ
30
29
n
INDETERMINACIÓN ஶ
1
10
2,5937
¿Converge a algún valor la siguiente sucesión:
100
2,7048
ࢇ ൌ
500
2,7156
1000
2,7169
?
2
5000
2,7180
10000
2,7181
1000000
2,718268
9999999999 ݁ ൌ ͳ ՜ஶ
31
ͳ ݊
2,718281
ൌ ʹǡͳͺʹͺͳͺʹͺͶͷͻͲͶͷʹ͵ͷ͵ ǥ
En general, si ܽ ൌ ͳ
ଵ siendo ܾ
una sucesión que tiende
a más infinito, se verifica que ܽ ൌ ݁Ǥ ՜ஶ
32
2. Calcula los límites siguientes:
ࢇሻ ՜ஶ
࢈ሻ ՜ஶ
SESIÓN 6 ାૠା ାƮ
EJERCICIOS
33
35
[email protected]
34
36
37
38
39
40
¿Qué sucede en x=1, x=2 y en x=3?
SESIÓN 7 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO
[email protected]
42
41
Analiza las discontinuidades de la siguiente función: La idea de continuidad de una función f en a tiene como objeto traducir matemáticamente la idea intuitiva de que
no hace falta levantar el lápiz del papel en dibujar la gráfica de f cuando pasamos por el punto (a,f(a)), es decir, la gráfica no presenta saltos en pasar por este punto.
43
44
Se observa que en 1 existe el límite de f y se
cumple que ࢞ ࢌ ܕܑܔൌ ൌ ࢌሺሻ ࢞՜
f es continua en 1, pero no lo es ni en 2 ni en 3. 45
Se observa también que en 2 existe el límite de f: ࢌ ࢞ ൌ , pero no es igual a f(2)=1
46
En 3 NO existe el límite, ya que f presenta un salto
࢞՜
47
48
Según la condición que no se cumpla habrá un tipo de discontinuidad u otro:
Una función f es continua en el punto x=a si ࢞ ࢌ ܕܑܔൌ ࢌ ࢇ ࢞՜ࢇ
INEVITABLES O ESENCIALES DE SALTO INFINITO
• Que exista ࢌ ܕܑܔሺ࢞ሻ ࢞՜ࢇ
1
࢞ ࢌ ܕܑܔశ ࢌሺ࢞ሻ son ∞
࢞՜ࢇష
• Que exista f(a)
2
• Que ambos números coincidan, es decir, que ࢞ ࢌ ܕܑܔൌ ࢌሺࢇሻ
3
࢞՜ࢇ
ࢌ ࢞ ൌ λ
࢞՜ࢇ
࢞՜ష
ࢌ ࢞ ൌ
࢞՜శ
49
50
INEVITABLES O ESENCIALES DE SALTO FINITO ࢌ ܕܑܔሺ࢞ሻ ് శ ࢌሺ࢞ሻ
࢞՜ࢇష
࢞՜ࢇ
EVITABLES ࢇ ࢌ ് ࢞ ࢌ ܕܑܔǡpero finito ࢞՜ࢇ
ࢌሺ࢞ሻ ് శ ࢌሺ࢞ሻ
࢞՜ష
࢞՜
6,5≠3
51
ࢌ ࢞ ് ࢌ ࢞՜
4≠1
52
Indica el tipo de discontinuidad que presenta la siguiente función:
SESIÓN 8 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO II (EJERCICIOS)
ʹ ݔݔ൏ ͳ ݂ ݔൌ ൝ Ͳ ݔൌ ͳ ݔ ͳ ݔ ͳ
53
1. Calcula el valor de m para que sea continua la función:
[email protected]
54
2. Calcula el valor de k para que sea continua la función en x=1:
ଷ ݂ ݔൌ ൜݉ ݔെ ͵ ݔ݅ݏݔ െʹ ʹ ݔ ʹ݉ ݔ݅ݏ െʹ
ݔଶ െ ͳ ݂ ݔൌ ቐ ݔଶ െ ͵ ݔ ʹ ʹ ് ݔݕͳ ് ݔ݅ݏ ʹ݇ ͳ ݔ݅ݏൌ ͳ
55
56
3. Calcula el valor de a y b para que sea continua la siguiente función:
4. Calcula el valor de m y n para que sea continua la siguiente función:
͵ ݔ݅ݏ൏ Ͳ ݂ ݔൌ ൝݉ ݔ ݊ Ͳ݅ݏ ݔ ͵ െͳ ݔ݅ݏ ͵
ݔଶ ͳ ݔ݅ݏ൏ Ͳ ݂ ݔൌ ൝ܽ ݔ ܾ Ͳ݅ݏ ݔ ͵ ݔെ ͷ ݔ݅ݏ ͵
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SESIÓN 9
SESIÓN 10
REPASO
[email protected]
CONTROL
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[email protected]
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SESIÓN 11 CORRECCIÓN DEL CONTROL Y RESULTADOS
[email protected]
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7 Organizaci´ on del tiempo y del espacio La presente UD tiene una duraci´on de 10 sesiones (+1 de revisi´on), todas ellas de 50 minutos.
Sesi´ on 1: L´ımite de una funci´on en un punto: Esta sesi´on empieza con unas preguntas de reflexi´on a las que se debe dedicar un par de minutos antes de empezar la explicaci´on. Durante media hora se explicar´a el l´ımite de una funci´on en un punto y durante los u ´ltimos 15 minutos se dar´a tiempo para hacer el u ´ltimo ejercicio que se corregir´a antes de terminar la clase. Sesi´ on 2: L´ımites infinitos y l´ımites en el infinito: Esta sesi´on tiene la misma estructura que la anterior pero repetida dos veces. La primera parte est´a dedicada a l´ımites infinitos y la segunda a l´ımites en el infinito. En cada una de ellas se explicar´a durante unos diez minutos y se realizar´an ejercicios durante unos cinco. Sesion 3/4: C´alculo de l´ımites e indeterminaciones: Se han juntado dos sesiones ya que este apartado es muy largo. Primero se explicar´an las expresiones que tienden a 0 o a infinito mediante ejemplos con Geogrebra, no solamente con la tabla. Esto nos ocupar´a media hora. Para terminar la clase se hablar´a de las operaciones con l´ımites y se har´a una introducci´on a las indeterminaciones. La segunda sesi´on empieza con un recordatorio de la clase anterior y mediante ejemplos se resolver´an ejercicios de indeterminaciones. El primero de cada tipo lo realizar´a el docente en la pizarra y el resto saldr´an los alumnos. Sesi´ on 5: Indeterminaciones II: La sesi´on se divide en dos, como en la sesi´on segunda. Sesi´ on 6: Ejercicios: Los alumnos tendr´an los ejercicios desde el d´ıa anterior por lo que en esta clase se
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7 Organizaci´on del tiempo y del espacio les dar´a 15 minutos para que resuelvan solos o por parejas algunos m´as y posteriormente saldr´an a la pizarra para hacerlos. Sesi´ on 7: Continuidad de una funci´on en un punto: Sesi´on dedicada exclusivamente a explicaci´on te´orica. Sesi´ on 8: Continuidad de una funci´on en un punto y en un intervalo II (ejercicios): Los alumnos se dividir´an en 4 grupos y resolver´an cada grupo un ejercicio. Posteriormente uno de los componentes de cada grupo saldr´a a la pizarra para explicarlo. Sesi´ on 9: Repaso: Sesi´on dedicada a revisar todo lo hecho. Sesi´ on 10: Control. Sesi´ on 11: Correcci´on del control y resultados.
En cuanto a los espacios utilizados para el desarrollo de la unidad, ser´a siempre el aula ordinaria de la clase, donde contamos con un ordenador y proyector.
8 Recursos y materiales Los recursos y materiales utilizados a lo largo de la Unidad Did´actica ser´an: Ordenador. Geogebra (Programa de Software libre). Proyector. Power Point de unidad. Pizarra. Tizas blancas y de colores. Calculadora Cuadernos de los alumnos para la realizaci´on de los ejercicios. Fotocopias de las actividades propuestas por la profesora.
Las fotocopias de las actividades propuestas por la profesora est´an dentro del propio Power Point adjunto en el apartado 6. Tras cada explicaci´on te´orica habr´a unas actividades a resolver por lo tanto es necesario que sean entregadas a los alumnos para que tengan los enunciados sobre la mesa y puedan trabajar con m´as libertad.
9 Criterios, procedimientos y actividades de evaluaci´ on La evaluaci´on de la unidad constar´a de un control que valdr´a el 80 % y del comportamiento en clase m´as la predisposici´on a resolver ejercicios que tendr´a un valor de un 20 % del total de la nota. El control constar´a de tres apartados claramente diferenciados y la nota ser´a sobre ocho: A. Obtener los l´ımites laterales de una funci´ on en un punto y determinar la existencia o no existencia de un l´ımite. Este apartado constar´a de dos ejercicios, uno de c´alculo de l´ımites y otro de identificaci´on visual, cada uno de ellos valdr´a un punto. 1. Calcula los siguientes l´ımites: (1 pto.)
l´ım
x→−∞
−x5 + x3 + 2
l´ım
x→0+
x−2 x2
2. La gr´afica siguiente representa una funci´on f(x), calcula: (1 pto.) f(2) l´ım f (x)
x→2
f(3) l´ım f (x)
x→3
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B. Calcular l´ımites de funciones y de sucesiones, resolviendo indeterminaciones en algunos casos. El ejercicio vale 3,5 puntos, 0,5 cada apartado, se valorar´a que indiquen el tipo de indeterminaci´on que presenta. 3. Calcula: (3,5 pto.) x2 − 4 x→−2 x + 2 l´ım
x2 + 4 x→+2 x − 2 l´ım
l´ım
√
x→+∞
x2 + x + 1 −
2x 1+ x
x
1 + 2x 2 + 3x
x
l´ım
x→+∞
l´ım
x→+∞
l´ım
x→+∞
√ x2 − x + 1
1 1+ x+4
(x+4)∆2
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9 Criterios, procedimientos y actividades de evaluaci´on
x 1 l´ım 1 − x→+∞ x
C. Determinar y clasificar las discontinuidades de una funci´ on definida a trozos o no. Este ejercicio vale un punto y medio, se valora que la resoluci´on sea formal, indicando l´ımites. 4. Calcula a y b para que la funci´on sea cont´ınua en todos los n´ umeros reales: (1,5 pto.) 2 x −1→x 3
El u ´ltimo ejercicio utiliza la gr´afica del ejercicio 2 y vale un punto. Se tiene que argumentar el tipo de discontinuidad que representa, no solamente hay que decir el tipo de discontinuidad. 5. Indica el tipo de discontinuidad que presenta la siguiente gr´afica, argumentando, e indica tambi´en el dominio y recorrido de la funci´on: (1 pto.)
33 En la correcci´on de los ejercicios se valorar´an los siguientes puntos:
Uso de estrategias y t´ecnicas de resoluci´on de problemas, como el an´alisis de el enunciado, el ensayo y error sistem´atico, la divisi´on del ejercicio en partes as´ı como la comprobaci´on de la coherencia de la soluci´on. Expresar, utilizando el lenguaje matem´atico adecuado a su nivel, el procedimiento que se ha seguido en la resoluci´on del problema. Resolver el ejercicio escogiendo el tipo de c´alculo m´as adecuado y dar significado a las operaciones, m´etodos y resultados obtenidos.
10 Reflexi´ on y evaluaci´ on de la UD A continuaci´on vamos a realizar una evaluaci´on de ciertas cuestiones acerca del funcionamiento y puesta en pr´actica de la Unidad Did´actica. Con ello pretendemos reflexionar sobre el proceso de ense˜ nanza-aprendizaje, los objetivos y contenidos propuestos, las actividades, los tiempos de aprendizaje, es decir, una valoraci´on del desarrollo de la misma, con la intenci´on de detectar posibles errores y poder darles soluci´on para el futuro, y/o reforzar, si cabe, los aciertos. ¿Se han conseguido o no los objetivos propuestos? La gran mayor´ıa de los estudiantes ha llegado a los objetivos propuestos. Solamente un 20 % de la clase no ha llegado a ellos y ha sido debido a factores externos, como intercambios de idiomas durante la realizaci´on de la actividad. ¿Se ha impartido ´ıntegramente la unidad? S´ı, se ha cumplido completamente la programaci´on. Algunas veces faltaba tiempo para corregir ejercicios pero los alumnos los entregaban, es decir, la unidad se ha impartido ´ıntegramente. ¿Has modificado el planteamiento inicial? ¿Por qu´ e? S´ı, he dedicado parte de la clase de repaso a corregir los ejercicios de la clase anterior. Esto ha sido principalmente por falta de tiempo. La clase de repaso ha durado menos. ¿Qu´ e actitud han mantenido los/as alumnos/as durante las sesiones? Depende del d´ıa. Los d´ıas que eran m´as te´oricos o con menos recursos visuales era m´as dif´ıcil dar clase. Generalemnte el ambiente ha sido muy positivo y destinado a aprender. ¿Qu´ e hubieses suprimido y/o incorporado? No suprimir´ıa nada pero incorporar´ıa una sesi´on m´as de ejercicios antes de la clase de repaso.
35 ¿Piensas que la metodolog´ıa fue la adecuada? Pienso que s´ı. Los alumnos se involucraron bastante y se mantuvieron activos durante todas las sesiones, llegando a los objetivos propuestos. ¿Qu´ e tipo de interacciones se mantuvieron? Se mantuvieron interacciones positivas entre el profesor y los alumnos en las preguntas de Inquiry Based Learning, todos colaboraban y opinaban, durante los ejercicios tambi´en se mantuvieron relaciones positivas entre los mismos alumnos ya que se ayudaban y se preguntaban las dudas entre ellos. ¿Hubo participaci´ on?, ¿individualismo? o ¿cooperaci´ on? Hubo de todo. Participaci´on en cuanto a responder preguntas lanzadas al aire, individualismo en la resoluci´on de ciertos ejercicios y cooperaci´on en algunos que indicaba que los resolvieran por parejas y en grupos.
Bibliograf´ıa [BOE, 2007] BOE (2007). Real decreto 1496/2006, de 2 de noviembre, por el que se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus ense˜ nanzas m´ınimas. In Bolet´ın Oficial del Estado n´ um. 206, pages 68–70. [DOGV, 2008] DOGV (2008). Decreto 102/2008, de 11 de julio, del consell, por el que se establece el curr´ıculo del bachillerato en la comunitat valenciana. In Diari Oficial de la Generalitat Valenciana n´ um. 5806, pages 173–178. ´ [LOE, 2006] LOE (2006). Ley orgAnica 2/2006, de 3 de mayo, de educaci´on. In Bolet´ın Oficial del Estado n´ um. 106.
