1.

Consideremos la función f(x) = ax2 + x + b (a, b ∈ R)

a) Encuentra los valores de los parámetros a y b para los cuales la recta y = 2x + 1 es tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 1. b) Para esos valores obtenidos, determina en que punto(s) la recta tangente alcanza su máxima pendiente. Solución. a. Para resolver este apartado es necesario plantear un sistema de ecuaciones. La primera ecuación la planteamos teniendo en cuenta que la derivada de la función en x = 1 debe ser igual al valor de la pendiente de la recta tangente (m = 2). f ′(x ) = 2ax + 1

f ′(1) = 2

f ′(1) = 2a ⋅ 1 + 1 = 2

2a + 1 = 2

La segunda ecuación se obtiene del punto de tangencia. El punto de tangencia lo comparten la función y la recta tangente, por lo tanto la ordenada del punto se puede sacar con la ecuación de la tangente. Si x = 1 ⇒ y = 2·1+1 = 3 El punto de tangencia es (1, 3), por lo tanto f(1) = 3 a·12 + 1 + b = 3 a + b = 2  2a + 1 = 2  x = 1 / 2 :   a + b = 2 b = 3 / 2

f (x ) =

x2 3 +x+ 2 2

b. La pendiente de la recta tangente se obtiene mediante la derivada de la función, por lo tanto se pide calcular los valores de x que hacen máxima la función derivada, es decir, los valores de x que anulan la segunda derivada. x2 3 +x+ 2 2 2x f ′(x ) = +1 = x +1 2 f ′′(x ) = 1 f (x ) =

La recta tangente no alcanza en ningún punto una pendiente máxima. 2. Calcular la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y área máxima. Solución. Se piden las dimensiones del triángulo isósceles de área máxima y perímetro constante, para ellos se deberá expresar el área del triángulo en función de una única variable. Supóngase un triángulo como el de la figura, que para simplificar los cálculos a la base se la denomina 2x y a los lados iguales y, al dividirlo en dos se obtiene un triángulo rectángulo en el que se encuentra, mediante el teorema de Pitágoras, la relación entre la altura y las longitudes de los lados x e y. A=

 1 1 b = 2x 2 2 2 2 b⋅h :  2 2  = 2x ⋅ y − x = x ⋅ y − x 2  h = y − x  2

La expresión obtenida permite calcular el área de cualquier triángulo isósceles conocidas las longitudes de los lados. Si el perímetro del triangulo debe ser 8, se deberá cumplir además 2x + y + y = 8 simplificando x+y=4 despejando y para sustituirla en el área

(4 − x )2 − x 2

A = x ⋅ y2 − x 2 = x ⋅

= x ⋅ 16 − 8x = 16x 2 − 8x 3

expresión que permite calcular el área de cualquier triángulo isósceles de perímetro 8 en función de la mitad de la longitud de la base. Para calcular el máximo de esta función se deriva y se iguala a cero A′ =

1 2 16x 2 − 8x 3

(

)

⋅ 32x − 24x 2 =

4 x ⋅ (4 − 3x ) 16x 2 − 8x 3

 4 x = 0 : x = 0 4 = 0 : 4 x ⋅ (4 − 3x ) = 0 :  4 − 3x = 0 : x =  3

La solución x = 0 no tiene sentido geométrico. Para comprobar si en x = presenta un máximo basta con estudiar el signo a la derecha y la izquierda de

4 la función 3

4 3

4  Sí x < 3 ⇒ 4 − 3x > 0 ⇒ A ′ > 0 ⇒ A( x ) es creciente  4 Sí x > ⇒ 4 − 3x < 0 ⇒ A ′ < 0 ⇒ A ( x ) es decreciente 3  4 En x = el área alcanza un valor máximo 3 4 4 8 Si x = ⇒ y = 4 − = 3 3 3 8 El triángulo isósceles de área máxima es equilátero de lado 3 e x − e − x + ax sea finito. ¿Cuánto vale dicho límite? x ⋅ senx x →0

3.

Calcular a para que Lím

Solución. 0   0

e − e + ax e x − e − x ⋅ (− 1) + a ex + e−x + a e0 + e0 + a 2+a = Lím = Lím = = x ⋅ senx 1 senx x cos x senx x cos x sen 0 0 cos 0 0 ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ x →0 x → 0 x → 0 L´H x

−x

Lím

Discusión: e x − e − x + ax 2 + a = = ±∞ x ⋅ senx 0 x →0

Si a ≠ ‒2 ⇒ 2 + a ≠ 0 ⇒ Lím

e x − e − x + ax 0 = =? x ⋅ senx 0 x →0

Si a = ‒2 ⇒ 2 + a = 0 ⇒ Lím 0  

0  

e x − e − x − 2x  0  e x − e − x ⋅ (− 1) − 2 ex + e− x − 2  0  e x + e − x ⋅ (− 1) Lím = Lím = Lím = Lím = x ⋅ senx x →0 x → 0 senx + x ⋅ cos x L´H x → 0 cos x + 1 ⋅ cos x + x ⋅ (− senx ) L´H x → 0 1 ⋅ senx + x ⋅ cos x ex − e−x e0 − e 0 1−1 0 = = = =0 2 cos 0 − 0 ⋅ sen 0 2 ⋅ 1 − 0 ⋅ 0 2 x → 0 2 cos x − x ⋅ senx Lím

4.

Calcular: Lím

x →0

Ln (1 + x ) − senx x ⋅ senx

Solución. 0   0

0 1   − cos x −1 Ln (1 + x ) − senx ( 1 + x ) − cos x  0  1 + x Lím = Lím = Lím = x ⋅ senx x →0 L´H x → 0 1 ⋅ senx + x ⋅ cos x x → 0 senx + x ⋅ cos x L´H

− 1 ⋅ (1 + x )−2 − (− senx ) − (1 + x )−2 + senx − (1 + 0)−2 + sen 0 1 = Lím = =− 2 cos 0 − 0 ⋅ sen 0 2 x → 0 cos x + 1 ⋅ cos x + x ⋅ (− senx ) x → 0 2 cos x − x ⋅ senx

= Lím