CONTINUIDAD 1. La función f ( x ) =

x −1 ¿Es continua en el punto x = 2?. Calcular los límites x ³ + x ² − 5x − 2

laterales en 2. 2. Estudiar la continuidad de la función f ( x ) =

x² + 4 x ² + 2x − 3

sen x si x ≤ − π 2   3. Sea la función f(x) = m·sen x + n si − π 2 < x < π 2 . Determinar m y n de modo que sea  2·cos x si x ≥ π 2 

continua para todo x. 1 1 y g(x ) = x +3 ( x + 3)² indicando gráficamente el comportamiento de cada una de ellas en un entorno de los puntos de discontinuidad.

4. Determinar los puntos de discontinuidad de las funciones f ( x ) =

 ex  si x ≤ 0 . 5. Estudiar en el campo real la continuidad de la función f ( x ) =  x e +1  x² + 1 si x > 0   x 2 + 1 Si x < 0  6. Determinar a y b para que la función f ( x ) = ax + b Si 0 ≤ x ≤ 3 sea continua.  5 − x Si x > 3 

 Ln x Sí 0 < x < 1 7. Se considera la función f ( x ) =  2 . Determinar los valores de a y b ax + b Sí 1 ≤ x < ∞ para que f(x) sea continua y f (2) = 3. (Ln = logaritmo neperiano).  x 2 Sí x ≤ a 8. Estudiar para qué valores de “a” la función: f ( x ) =  es continua. x + 2 Sí x > a

1  1  si x ≠ 1 − 9. Dada la función f(x)=  x − 1 Lnx estudiar la continuidad en el punto x = 1.  1 si x = 1 1

10. Sea f ( x ) =

1+ x x

−1

a) Dominio de f b) Valor que hay que asignarse a f(0) para que la función esté definida y sea continua en el intervalo cerrado [−½,½]. 11. Determinar los valores de a y b, y el valor de f(0) para que la función f(x), que se define a continuación, pueda ser continua:

 sen 2 x Sí x < 0   ax 2  f ( x ) =  b ⋅ x x Sí 0 < x ≤ 1  x 2 + x −1 Sí x > 1  x  1

12. Se considera la función real de variable real definida por f ( x ) =

e

x 1

. Calcular el valor x

1+ e que ha de asignarse a f(O) para que f sea continua. Nota. La notación |a| representa el valor absoluto de a.

13. Para qué valores de x tiene sentido la expresión f ( x ) = 4 + x + 4 − x − 8 . ¿Es continua la función f? 14. (Calificación máxima: 2 puntos). En cada uno de los siguientes apartados indicar un ejemplo que muestre que el enunciado es falso. Justificar la respuesta a) (1 punto) La suma de dos funciones discontinuas es una función discontinua b) (1Punto) Toda función continua es derivable 15. Un comediante vende un determinado producto. Por cada unidad de producto cobra la cantidad de 5 pesetas. No obstante, si se le encargan más de 10 unidades, decide disminuir el precio por unidad y por cada x unidades cobra la siguiente cantidad:  5x Si 0 < x ≤ 10 C( x ) =   ax² + 500 Si x > 10 Se pide: a) Hallar a para que el precio varíe de forma continua al variar el número de unidades que se compran. b) ¿A cuánto tiende el precio de una unidad cuando se compran “muchísimas” unidades?

TEOREMA DE BOLZANO

1. Probar que la función f(x) = x3 + x² − 5x − 2 tiene al menos una raíz real en el intervalo (1,2). 2. Calcular n ∈ Z, tal que f(c) = 0 para algún c ∈ (n, n + 1) siendo: a) f(x) = x3 − x + 3 b) f(x) = x5 + 5x4 + 2x + 1. 3. Explicar por qué una función polinómica de grado impar tiene siempre una raíz, al menos. 4. Probar que la función f(x) = x + sen x − 1 es continua para todo R. Probar que al menos tiene una raíz real.

 π 3π  5. La función tg x = f(x) toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo  ,  y 4 4  sin embargo no se anula en él. ¿Contradice esto el teorema de Bolzano? 6. Supongamos que f(x) y g(x) son funciones continuas en [a, b] y que f(a) < g(a) pero que en cambio f(b) > g(b). Probar que f(c) = g(c) para algún número c ∈ (a, b). 7. Supongamos que f(x) es una función continua en [0, 1] y que 0 < f(x) < 1 para todo x existente en [0, 1]. Probar que existe un c ∈ (0, 1) tal que f(c) = c. 8. Demostrar que ∃ algún valor de x que verifica: x 179 +

163 = 119 1 + x ²sen ² x

9. Se considera la ecuación x3+λx2–2x=1. Utilizando el Teorema de Bolzano de los valores intermedios: a) Probar que si λ > 2, la ecuación admite alguna solución menor que 1. b) Probar que si λ < 2, la ecuación admite alguna solución mayor que 1. 10. Sea f (x) = x7 − 3x6 + 2·sen(x·π/2). ¿Es cierto que la función f se anula en algún punto x comprendido entre 3 y 4? Enunciar el resultado teórico en el que se basa la respuesta.