CONTINUIDAD 0 1. Se define una función por la expresión f (x ) =  1 puntos es discontinua.

x∈Z . Representarla y decir en qué x∉Z

Sí Si

x2 −4 . Se pide: x−2 a) Dominio de definición de f. b) ¿Es discontinua en algún punto? c) En x=2 la función no está definida. ¿Es posible definir f en x=2 de modo que la función resultante sea continua en toda la recta real?

2. Dada la función racional f (x ) =

 3− x 3. Estudiar la continuidad de la función f (x ) =  2 Ln e

Sí

x≤5

Sí

x >5

 0 Sí x < −1  4. Se considera la función real definida por f ( x ) =  x Sí − 1 ≤ x ≤ 1 . Representar dicha  0 Sí x > −1  función. Encontrar sus valores máximos y mínimos. ¿En qué punto es continua la función? 5. Calcular m, n, p, q, para que la siguiente función sea continua en todo R:  3 Sí x < −8  x 2mx + 3 Sí − 8 ≤ x < −4  f (x ) =  x − 1 Sí − 4 ≤ x < 2  n  px Sí 2 ≤ x < 4  2 Sí x ≥ 4 −q 

-

6. Dibujar la gráfica y escribir la ecuación de una función real que cumpla lo siguiente: sea continua en todos los puntos; sea lineal sí x < −3; sea cuadrática en el intervalo [ −3, 3]; tienda a 0 cuando x→+∞

7. Obtener la expresión y dibujar la gráfica de una función y=f(x) continua que cumpla las siguientes condiciones: - pasa por el punto (0,2); - en el intervalo [0,5], cada vez que x aumenta su valor una unidad, y aumenta su valor en una cantidad constante c; - para x = 5, y vale 12; - en el intervalo [5,10], cada vez que x aumenta su valor en dos unidades, y disminuye el suyo en tres. Razonar todos los pasos realizados.  x Sí x ≤ 1  8. Sea la función f(x) =  3 Sí 1 < x < 3  x 2 − 1 Sí x ≥ 3  a) Representar f(x). b) Estudiar la continuidad de f(x).

x Sí   9. Representar la función siguiente f (x ) = 1 − x 2 Sí  3 Sí  y clasificar las discontinuidades, si existen.

x ≤ −1 − 1 < x ≤ 2 . Estudiar la continuidad de f(x) x>2

 3 − x : Si : x < 7 . Determinar: 10. Sea la función f (x ) =  ax + 4 : Sí : 7 ≤ x < 10 a) El valor de a para que f sea continua en x=7. b) Dominio y recorrido de f. c) La gráfica de f.  1  11. Estudiar la continuidad de la función f (x ) =  2 − x  1 − x

Sí

x≤0

Sí

x>0

 − x Sí x ≤ 1  1 Sí 1 < x ≤ 3 . Se pide: 12. Sea f(x) la función definida por f (x ) = −  x  1 Sí x ≥ 3 a) Representar f(x). b) Estudiar la continuidad de f(x). 13. Determinar el dominio, recorrido, puntos de discontinuidad y clasificación de éstos, así como la expresión algebraica de la función cuya gráfica es la de la figura. Hallar también: Lím f (x ) y Lím f (x ) x → −1

x→1

1,5 1 0,5 -5

-4

-3

-2

0 -1 -0,5 0

1

2

-1 -1,5 -2 -2,5 -3 -3,5

 0 Sí x < 1 14. Dada la función f (x ) =  2 Sí x > 1 (x − 1) a) Calcular su dominio y dibujar su gráfica. b) Definir la función f en x =1 para que sea continua en ese punto.

3

4 Serie1

  − 1 Sí − 8 ≤ x < −4  15. Estudiar la continuidad de f (x ) = x + 2 Sí − 4 ≤ x < 2 8  Sí x ≥ 2  x −x  16. Representar y estudiar la continuidad de la función f (x ) =  − x 3   3

Sí

2 >2

Sí

2 ≤2

17. Observando la gráfica, justificar los siguientes apartados

a) Tipos de discontinuidad en los puntos x=2 y x=4. b) ¿Existe algún valor "a" tal que Lím f (x ) = ∞ ? x →a −

c)

Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos relativos.  1 18. Estudiar la continuidad de la función f (x ) = x x Sí x ≠ 0  0 Sí x = 0 19. Determinar el dominio, conjunto imagen y puntos de discontinuidad de la función cuya gráfica

es:

20. En cierto colectivo de familias, el gasto mensual en ocio, G (x), en miles de Ptas., está relacionado con sus ingresos mensuales, x, en miles de pesetas a través de la siguiente expresión: 0'02 x − 1 0 ≤ x ≤ 100 30x G(x)=  100 > x  2x + 2300 i) Estudia la continuidad del gasto. ¿el gasto en ocio de una familia es sensiblemente distinto si sus ingresos son ligeramente inferiores o superiores a 100.000 Ptas.? ii) Justifica que el gasto en ocio es siempre creciente con los ingresos. iii) Justifica que ninguna familia realiza un gasto en ocio superior a las 15.000 Ptas. 21. Para fomentar la utilización del transporte público entre dos puntos de una ciudad, una compañía de transporte ofrece sus servicios en las siguientes condiciones: Si el número de viajeros es menor o igual que 20, el billete costará 80 Ptas. por persona. A partir de 20 viajeros, el precio del billete se obtendrá restando de 80 Ptas. el número de viajeros que exceda de 20. Teniendo en cuenta que en cada autobús caben como máximo 60 viajeros y designando por x el número de personas por viaje, se pide: i) La expresión algebraica y la representación gráfica de la función P(x) que proporciona el precio que ha de pagar cada viajero.

ii) iii)

i) ii) iii)

La expresión algebraica y la representación gráfica de la función I(x) que proporciona los ingresos por viaje de la compañía. Obtener él numero de viajeros que proporciona el máximo ingreso por viaje a la compañía. Así como el valor de dicho ingreso.  x ² − 1 Si x < 2  22. Sea la función: f(x)= 2x - 3 Si 2 ≤ x < 4  5 Si x≥4  Estudia si es continua en x = 2 y x = 4. Estudia la gráfica. Calcula Lím f ( x ) y Lím f ( x ) x→ 2

x→ 4

  cos x + 2 Sí x ≤ 0  2 π 23. Dibujar y estudiar la continuidad de la función definida por f ( x ) =  x + 1 Sí 0 < x ≤ . 2 π   sen x + 1 Sí π ≤ x  2 − x ² + 5x Si 0 ≤ x < 5 24. (Puntuación máxima: 3 puntos). Sea la función f ( x ) =   x - 5 Si 5 ≤ x ≤ 10 a) Represéntese gráficamente. b) Estúdiese su continuidad. 25. Estudiar la derivabilidad de la función: f ( x ) = x − 1 ax 2 + bx + 3 Sí x ≤ 1 sea continua 26. Calcular los valores de a y b para que la función f ( x ) =   2 − 3x Sí x > 1 y derivable