Máquinas Eléctricas I – Año 2015

Trabajo Práctico de Resolución de Problemas N° 3 Trafos Trifásicos Problemas propuestos Problema N° 1 Dos transformadores trifásicos, cuyas relaciones de vueltas son iguales, están conectados en paralelo para alimentar una carga de 800 [KW], con un factor de potencia en atraso de 0,8. Las potencias de los transformadores y los parámetros serie son los siguientes: PA = 600 [KVA]..................RIA = 0,017 [ohms]..................XIA = 0,083 [ohms] PB = 400 [KVA]..................RIB = 0,05 [ohms]....................XIB = 0,10 [ohms] a) Calcular la potencia de salida de cada transformador y su cosfi. b) Si no se permite sobrecargar ninguna de las máquinas, calcular la potencia total máxima que pueden entregar ambos y cada uno de ellos. c) En general, qué condición deben cumplir las impedancias de cto.cto. de dos transformadores en paralelo, para que las potencias aparentes entregadas por ambos, se sumen algebraicamente?

Problema N° 2 Dos transformadores de las siguientes características se conectan en paralelo: A : B :

100 [KVA].........10000 / 400 [V].........50 [Hz]........Dy5............uK = 3,6 % 200 [KVA].........10000 / 400 [V].........50 [Hz]........Yz5............uK = 4 %

I- Dibujar esquema de conexiones y el circuito equivalente de los transformadores conectados en paralelo. II- Calcular en que porcentaje pueden diferir las tensiones de vacío de los transformadores si la corriente de circulación de ambos no debe superar el 10 % de la corriente nominal del transformador A. III- Independientemente de los datos del problema, indicar : ♦ Las condiciones que se deben cumplir, para que con los transformadores en vacío no haya corriente de circulación. Bajo qué condiciones toman los transformadores el mismo porcentaje de carga respecto de su potencia nominal. Que condición adicional es necesaria, para que sin sobrecargar a ninguno de los transformadores, la potencia entregada sea la suma aritmética de las potencias nominales de ambos.

Máquinas Eléctricas I – Año 2015 Problema N° 3 Dados los transformadores I y II con las siguientes características: I : 1000 [KVA]........uK = 5 %...........PCuN = 8500 [W] II : 800 [KVA]..........uK = 4,5 % Además fiKI = fiKII y kT = 13200 / 400 [V]. Se pide : a) ¿Qué carga máxima se puede suministrar sin sobrecargar a ninguno de ellos? b) ¿Cuáles son las pérdidas en el cobre en el transformador de 800 [KVA]? c) ¿Qué valor de reactancias externas en ohmios deben agregarse al trafo de 800 [KVA] en el lado de alta para obtener el mismo valor de uK % en ambos transformadores?

Problema N° 4 Tres transformadores, A, B y C, conectados en estrella-estrella tienen una potencia de 200 [KVA] cada uno, y relación de transformación de 10000 / 400 [V]. Los tres transformadores trabajan en paralelo alimentando una carga de 600 [KVA] cos fii = 0,65. Se sabe que : uK-A = 4,6 %.......... uK-B = 4,2 %............. uK-C = 4,8 % uR-A = 1,6 %.......... uR-B = 1,5 %............. uR-C = 1,6 % Encontrar : IIIIII-

La corriente suministrada a la carga por cada transformador si U1 = 10000 [V]. El desplazamiento de fase de esta corriente respecto a la tensión en la carga. La tensión en la carga si U1 = 10000 [V].

Problema N° 5 Tres transformadores de 75, 100 y 125 [KVA], se conectan en paralelo. Sus uK son : 4,5 , 4,2 y 4 respectivamente , siendo los fiK iguales. Se pide : a) Potencia máxima aparente que el conjunto puede entregar sin sobrecargar ninguno de ellos. b) La potencia que suministrará cada uno de ellos, si se toma de la red una potencia de 300 [KVA]. (suma de sus potencias)

Máquinas Eléctricas I – Año 2015

Problemas resueltos Problema N° 1 Dos transformadores monofásicos, con tomas de regulación en el lado de alta, cuyas potencias son 3000 y 2000 [KVA], se van a conectar en paralelo alimentando una carga de R = 22 [ohms] y XL = 16 [ohms]. La relación de transformación en vacío de cada transformador es de 33000 / 11000 [V]. Los conmutadores están incorrectamente colocados, por lo que las tensiones secundarias son de 11200 [V] en el transformador A y 10800 en el transformador B cuando se aplican 33000 [V] a los primarios. Los porcentajes de caída de tensión con carga nominal y con relación de transformación nominal son:

A :........uR = 1 %.............uX = 6 % B :........uR = 1 %.............uX = 5 % Calcular la carga en [KVA] sobre el transformador A.

Desarrollo

A

3000 [KVA]

400 [V]

ZA

33000 [V]

B

2000 [KVA]

R ZB

11200 [V]

I NA =

10800 [V]

10800 [V]

3000 = 272,72 [ A] 11

I NB =

2000 = 181,82 [ A] 11

pCu A = 1%.3000 = 30 [ KW ]

RA =

30000 = 0,4033[Ω ] 272,2 2

pCu B = 1%.2000 = 20 [ KW ]

RB =

30000 = 0,605[Ω ] 181,82 2

XA =

6 30000 5 20000 = 0,4033[Ω ] X B = = 0,4033[Ω ] 2 100 272,2 100 181,82 2

Z A = 0,4033 + j 2,42

Z B = 0,605 + j 3,025

Z C = 22 + j 16

XL

Máquinas Eléctricas I – Año 2015 El circuito a resolver es el siguiente: 0 ,4 03 3

Ω

2 ,4 2

Ω

400 [V]

∆U

22 Ω

0,605 Ω

3 ,0 25

16

Ω

Ω

U 1 = 10800 [V ]

Consideramos ∆U = 0

Z eq = Z C +

(0,605 + j 3,025).(0,4033 + j 2,42) Z A .Z B = 22 + j 16. (0,605 + j 3,025) + (0,4033 + j 2,42) ZA +ZB

Z eq = 22,24 + j 17,34 I=

10800 = 301,94 − j 235,44 22,24 + j 17,34

IA =

U − I .Z C 10800 − (301,94 − j 235,44).(22 + j 16) = = 166,32 − j 133,55 0,4033 + j 2,42 ZA

Consideramos U1 = 0 ZB

ZA

ZA

400 [V] ZC

ZC 400 [V]

ZB

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Z B −C =

(0,605 + j 3,025).( 22 + j 16) Z B .Z C = = 0,7527 + j 2,7387 Z B + Z C (0,605 + j 3,025) + (22 + j 16)

Z eq = Z A + Z B −C = 80,4033 + j 2,42) + (0,7527 + j 2,7387) = 1,156 + j 5,1587 '

IA =

400 = 16,544 − j 73,83 1,156 + j 5,1587 '

I TOTAL POR Z A = I A + I A = (166,32 − j 133,55) + (16,544 − j 73,83) = 182,86 − j 207,38 I TOTAL POR Z A = 276,48 . e − j 48, 6 P A = 11200.276,485 = 3096

P A = 3096 [KVA]

Observamos que se encuentra sobrecargado en un 3,2 %

Problema N° 2 Se quiere conectar en paralelo dos transformadores trifásicos A y B en estrella-estrella con potencias de 100 y 175 [KVA]. La relación de transformación nominal es 12000 / 200 [V], las caídas resistivas en % son : uR A = 1,6 % , uR B = 1,4 % , resultando del ensayo de cortocircuito : UK A = 516 [V] , UK B = 552 [V]. Encontrar : a) La potencia aparente que se puede obtener del conjunto cuando el transformador A llega a plena carga. b) El aumento de las pérdidas por efecto Joule, debido a que los transformadores no tienen la misma tensión de cortocircuito, cuando se toma de la red la suma de las potencias aparentes de los dos transformadores (se refiere a PCu nominales). c) La tensión secundaria a plena carga con cos fi= 0,8i.

Máquinas Eléctricas I – Año 2015 Desarrollo a) Los u K % serán : uK A % =

516.100 = 4,3 % 12000

u RA % = 1,6 %

⇒

u X A % = 3,99 %

uKB % =

552.100 = 4,6 % 12000

u RB % = 1,4 %

⇒

u X B % = 4,382 %

ϕ K A = cos−1

1,6 = 68,15 ° 4,3

cosϕ K A = 0,3721

ϕ K B = cos−1

1,4 = 72,28 ° 4,6

cosϕ K B = 0,3043

Cuando PA llega a plena c arg a, o sea PA = 100 % PB =

4,3 .175 = 163,587[ KVA] 4,6

PTOTAL = (100.0,3721+ 163,587.0,304) 2 + (100.0,9282 + 163,587.0,9525) 2 = 263,42 PTOTAL = 263,42 [ KVA ]

IMPORTANTE: “Nótese que la diferencia con la suma aritmética de las potencias aparentes es totalmente despreciable, debido a que sus ángulos son prácticamente los mismos”.

b)

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P = 100 + 175 = 275 275 275 = 104,39 [ KVA] PB = 163,587. = 170,77 [ KVA] 263,42 263,42 U 100 u % = I N2 .R = I N .U R . N . = PN . R U N 100 100

PA = 100. PCu N

I2 PCu = I .R. N2  IN 2

  I  = PCu .  N   IN 

2

  P  = PCu . N   PN

2

 u % P  = PN . R . 100  PN 

  

2

2

PCu A

1,6%  104,39  = .  .100 = 1,74367[ KW ] 100  100  2

PCu B =

1,4%  170,77  .  .175 = 2,333[ KW ] 100  100 

Las pérdidas totales resul tan : PCu TOTALES = PCu A + PCu B = 1,74367 + 2,333 = 4,076 [ KW ] Las pérdidas en el cobre no min ales totales son : PCu N

TOTALES

∆ P Cu % =

= PCu N + PCu N = PN A . A

B

u RA % 100

+ PN B .

u RB % 100

4,076 − 4,05 .100 = 0,642 % 4,076

= 100.

1,6 1,4 + 175. = 4,05 [ KW ] 100 100 Δ P Cu % = 0,642 %

c) La caída de tensión porcentual será: Considerando que los K son iguales, se admite que ambos transformadores están trabajando con cos de la carga, o sea cosC= 0,8.

(u X %. cos ϕ − u R %.senϕ ) 2 200 2 (3,19276 − 0,96) = 1,6.0,8 + 3,99.0,6 + = 3,6996 % 200

∆ u % = u R %. cos ϕ + u X %.senϕ +

Cuando se extrae la suma de las potencias nominales, la caída de tensión % será :

∆ u % = (3,6996%).(1,043932) = 3,8621 % U 2 % = 100 − 3,8621 = 96,1378 % U 2 [V ] = 0,961378.200 = 192,2757

U 2 = 192,27 [V]

Máquinas Eléctricas I – Año 2015 Problema N° 3 Dos transformadores trifásicos A y B, de conexión Dy11, cuyas potencias son: 1000 y 500 [KVA] respectivamente, están conectados en paralelo. Las relaciones de transformación medidas son: 13,2 / 0,396 [KV] y 13,2 /0,4 [KV] respectivamente. Las tensiones de cortocircuito son 5% para ambos, siendo KA = KB = 80°. Se pide: a) Máxima carga óhmica que puede suministrarse sin sobrecargar ningún transformador. b) Pérdidas en el cobre nominales de cada transformador. Desarrollo a) El transformador que llega primero a plena carga es el de 500 [KVA], pues U20(500) es mayor que U20(1000). El problema se resuelve en forma aproximada como sigue : Calculamos la corriente de circulación en vacío, recordando que ésta es independiente del estado de carga.

IC =

∆U Z K A + Z KB

Z KA =

.e − j 80 =

5% U f A . 100 I f A

400 − 396 3.( Z K A + Z K B )

U fA =

396 3

.e − j 80

= 228,63 [V ]

5 228,63 . = 7,84.10 −3 [ Ω ] 100 1457,95 5% U f B 400 = . U fB = = 230,94 [V ] 100 I f B 3

I fA =

1000.10 3

I fB =

500.10 3

396. 3

= 1457,95 [ A]

Z KA = Z KB

400. 3

= 721,68 [ A]

5 230,94 . = 16.10 − 3 [ Ω ] 100 721,68 ( 400 − 396) IC = .e − j 80 = 96,8676.(cos 80 ° − j sen80 °) = 16,821 − j 95,4 [ A] −3 3.(7,84 + 16).10 Expresada la corriente de circulación en % de I N , resultará para cada trafo : Z KB =

I C A = −1,1538 + j 6,5434 I C B = 2,217 − j 13,213

( trafo de 1000 [ KVA] ) ( trafo de 500 [ KVA] )

La ICA tiene signo negativo porqué la tensión del transformador B es la que impone la corriente. Suponiendo que la corriente de carga no es afectada por la corriente de circulación, ambos transformadores suministrarán a la carga su potencia nominal por ser uK% el mismo. Considerando superposición de la corriente de carga y la de circulación, obtendremos la carga resultante para los transformadores. En valores porcentuales, tendríamos la siguiente composición fasorial para el transformador B:

PC = 1002 −13,2132 − 2 ,217 = 96,9% de PB B

Máquinas Eléctricas I – Año 2015

13,213 % 2,217 %

POTENCIA ENTREGADA A LA CARGA

100 %

TRAFO B

1,1538 %

La potencia porcentual entregada a la carga es la misma, es

6,5436 %

decir 96,9 %.

A

96,9 %

% 95,976

TRAFO

I A % = ( 96,9062−1,1538) 2 + ( 6 ,5436) 2 I A % = 95,976% Lacargatotal es : 0 ,969.( 500 +1000) = 1453,5 [ KW]

b)

cos 80 ° = 0,1736 u % 5 PCu1000 = K . cos 80 °.PN A = .0,1736.1000.10 3 = 8682 100 100 5 PCu500 = .0,1736.500.10 3 = 4341 100

PCu = 8682 [W] A

PCu = 4341 [W] B

Máquinas Eléctricas I – Año 2015 Problema N° 4 Los datos de prueba de cortocircuito para dos transformadores monofásicos de 22000 / 440 [V] – 60 [Hz], están dados en p.u. uK [p.u.] TRAFO I

100 [KVA]

TRAFO II

IN [p.u.]

0,025

500 [KVA]

1,0

0,035

0,01 1,0

Tensión de referencia = 22000 [V]

P [p.u.]

0,008

Corriente de referencia = IN

Los transformadores funcionan en paralelo y alimentan una carga de 500 [KW] a 440 [V] con cos = 1. Determinar : a) I1 e I2. b) P1 y P2 (potencias de salida de cada transformador). c) cosde cada transformador. d) La corriente circulante. Desarrollo Z Ι p.u. = 0,025 ; R Ι p.u. = 0,01 ; X Ι p.u. = 0,025 2 − 0,012 = 0,0229 22000 2 = 0,025.4840 = 121 100000 = 0,01.4840 = 48,4

Z Ι Ω = u KI p.u . RΙ Ω

X Ι Ω = 0,0229.4840 = 111

Z Ι Ω = 121 [ Ω ] R Ι Ω = 48,4 [ Ω ] X Ι Ω = 111 [ Ω ]

Z II p.u. = 0,035 ; RII p.u. = 0,008 ; X II p.u . = 0,035 2 − 0,008 2 = 0,0341 22000 2 = 0,035.968 = 33,9 500000 = 0,008.968 = 7,74

Z II Ω = u KII p.u.

Z II Ω = 33,9 [ Ω ]

R II Ω

R II Ω = 7,74 [ Ω ]

X II Ω = 0,0341.968 = 33

X II Ω = 33 [ Ω ]

48,4 + j 111 22000 [V]

I

II

500 [KVA]

7,74 + j 33

440 [V]

500 [KW] a 440 [V] cosϕ = 1

968 Ω

100 [KVA]

2200 [ V ]

a)

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II =

RC =

IC ZI 1+ Z II 4402 = 0,3872 [ Ω ] 500000

'

I C = 22,7273 [ A]

⇒

2

 22000  RC' = 0,3872.  = 968 [ Ω ]  440   22000  I C = 22,7273.  = 1136,365 [ A]  440 

II =

1136,365 = 246,83 + j 34,6899 48,4 + j 111 1+ 7,74 + j 33

I II =

1136,365 IC = = 889,689 − j 34,88 Z II 1 + 7,74 + j 33 1+ 48,4 + j 111 ZI

I I = 249,25.e j 8 ° [A]

I II = 890,37.e - j 2,24 ° [A]

b) S I = 440.(246,83 + j 34,6889) = 108605,2 + j 15263,116

S I = 109,67.e

S II = 440.(889,689 − j 34,88) = 391463,16 − j 15347,2 S II = 391,76.e

j8°

− j 2,24 °

[KVA]

[KVA]

c) 108605,2 = 0,99 109670 889,689 cos ϕ II = = 0,9992 391760 cos ϕ I =

cos ϕ I = 0,99 cos ϕ II = 0,9992

e) “ La corriente de circulación es nula debido a que los transformadores poseen la misma relación de transformación”.

Máquinas Eléctricas I – Año 2015 Problema N° 5 Determinar las corrientes en cada uno de los dos transformadores conectados en paralelo tales, que tienen distinta relación de transformación, distintos uK% y K. ¿Cuál es la corriente circulante, y qué sentido tiene en cada transformador?. Explicar si es independiente de la carga y si existe en vacío.

Desarrollo ZA

U1 A '' = U2 A + I 2 A.Z A kA

kA

U 1A

U 2A I2A I2B

U1B '' = U2 B + I 2 B .Z B kB

U 1B

U 2B

kB ZB

I C = I 2 A + I 2B

IC

Al poner en paralelo primario y secundario :

U 1 A = U 1B = U 1 U 2 A = U 2B = U 2 '' U1 = U 2 + I 2 A .Z A kA

U 1 = k A .(U 2 + I 2 A .Z A )

'' U1 = U 2 + I 2 B .Z B kB

U 1 = k B .(U 2 + I 2 B .Z B )

Igualando :

''

''

(1) ( 2)

''

''

k A .(U 2 + I 2 A .Z A ) = k B .(U 2 + I 2 B .Z B ) ''

''

k A .U 2 + k A .I 2 A .Z A = k B .U 2 + k B .I 2 B .Z B ''

''

''

k A .U 2 + k A .I 2 A .Z A = k B .U 2 + k B .I C .Z B − k B .I 2 A .Z B ''

I 2A =

− (k A − k B ).U 2 + I C .kB .Z B ''

''

k A .Z A + kB .Z B

La corriente circulante es :

''

I 2B =

(k A − k B ).U 2 + I C .k A .Z A ''

''

k A .Z A + k B .Z B

I CIRC =

(k A − kB ).U 2 ''

''

k A .Z A + kB .Z B

Tiene sentido contrario en cada transformador, yendo del de menor relación de transformación al de mayor relación. Es independiente de la corriente de carga y existe en vacío.

Máquinas Eléctricas I – Año 2015 Problema N° 6 Dados dos transformadores conectados en paralelo, cuyos datos son :

A B

200 [KVA] 300 [KVA]

2300 / 230 [V] 2300 / 225 [V]

UK = 160 [V] UK = 100 [V]

PCuN = 1400 [W] PCuN = 1700 [W]

Carga : 400 [KVA], cos = 0,8i. Calcular : a) b) c) d) e)

IA , IB. PA , PB. cosA , cosB. ICIRC para el caso en que IC = 0 (vacío). IA , IB para el caso en que kA = kB. Desarrollo

a)

'' 160 1,84 1,84 ZA = 2 = = 1,84 [ Ω ] = 0,0184 [ Ω ] 200000 k A 100 2300 1400 0,185 R A' = = 0,185 [ Ω ] R A'' = = 0,00185 [ Ω ] 2 100  200000     2300  '

ZA =

X A' = 1,83 [ Ω ]

X A'' = 0,0183 [ Ω ]

''

Z A = 0,0184.e

j 84 , 22 °

'' 100 0,767 1,84 = 0,767 [ Ω ] ZB = = = 0,00734 [ Ω ] 300000 104,5 k B2 2300 0,0999 1700 R B' = = 0,0999 [ Ω ] R B'' = = 0,000956 [ Ω ] 2 104,5  300000     2300  '

ZB =

X B' = 0,76 [ Ω ]

X A'' = 0,00727 [ Ω ]

''

Z B = 0,00734.e

j 82, 50 °

''

I 2A = I 2A =

=

− (k A − k B ).U 2 + I C .k B .Z B ''

''

k A .Z A + k B .Z B

=

− (10 − 10,22).230 + 1740.e − j 36,87 .10,22.0,00734.e 10.0,0184.e j 84, 22 + 10,22.0,00734.e j 82,5

j 82, 5

50,6 + 91,27 + j 93,30 50,6 + 130,525.e j 45,63 = 0,0185 + j 0,183 + 0,00979 + j 0,074 0,0283 + j 0,257

= 419,65 − j 506,96

I 2A = 658,14.e − j 50,38 [A]

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Pr ocediendo de la misma manera para el trafo B, obtenemos : I 2 B = 972,31 − j 537,04

I 2B = 1110.76.e

− j 28,91

[A]

Podemos verificar este valor haciendo : 400000 − j 36,87 I 2B = I C − I 2 A = .e − 658,14.e − j 50,38 230 I 2 B = 1392 − j 1044 − (419,65 − j 506,96) = 972,35 − j 537,04

b)

P 2 A = I 2 A .U 2 = 658,14.e − j 50 ,38 .230 = 151370.e − j 50, 38

P 2A = 151,37.e − j 50,38 [KVA]

P 2 B = I 2 B .U 2 = 1110,76.e − j 28,91 .230 = 255470.e − j 28,91

c)

cos ϕ A = 0,6376

P 2B = 255,47.e − j 28,91 [KVA]

cos ϕ B = 0,8754

P2 A W = 96,51[ KW ]

P2 B W = 223,64 [ KW ]

P2 A W + P2 B W = 96,51 + 223,64 = 320,15 [ KW ] P2C W = 400.0,8 = 320 [ KW ]

d)

I CIRC A =

− (k A − k B ).U 2 '' A

k A .Z + k B .Z

'' B

=

P2A

W

+ P2B

W

≅ P2C

W

50,6 = 196,12.e − j 83, 71 j 83, 71 0,258.e

I CIRC B = − I CIRC A

e) ''

I 2A = I C .

ZB '' A

Z +Z

'' B

=

1740.e − j 36,87 .0,00734.e 0,02585.e j 83,72

j 82, 5

= 497,92.e − j 38, 09

I 2A = 391,88 − j 307,17 [A] I 2B =

− j 36,87

1740.e .0,0184.e 0,02585.e j 83,72

j 84, 22

= 1245,76.e − j 36,37

I 2B = 1003,09 − j 738,73 [A]