Trabajo Práctico de Resolución de Problemas N° 1 Circuitos Magnéticos Problemas propuestos Problema N° 1 Una bobina con núcleo de aire tiene una inductancia de 38,2 [mHy] y toma una corriente de 18,5 [A] cuando está conectada a una fuente de tensión senoidal de 240 [V], 50 [Hz]. Determinar: a) La constante de tiempo de la bobina. b) El valor máximo de la energía almacenada en el campo magnético. c) La energía disipada en forma de calor por ciclo.

Problema N° 2 Un circuito magnético está formado por un anillo circular de chapa para dínamos de las siguientes dimensiones: Dint = 300 [ mm ] ; Dex = 500 [ mm ] ; S = 80 [ cm2 ] Sobre este circuito magnética hay cuatro bobinas : N1 = 16 espiras.........................I1 = 30 [ A ] N2 = 80 espiras.........................I2 = 5 [ A ] N3 = 192 espiras.......................I3 = 2 [ A ] N4 = 59 espiras.........................I4 = 11[ A ] El sentido de las bobinas y las corrientes es el mismo en las cuatro. Determinar : a) Valor de B, H, y φ. b) ¿ A qué valores descienden con δ = 2 [ mm ] ( entrehierro )?

I2

I1 N1

N2 δ = 2 [mm]

I3 N3

N4

I4

1/11

Problema N° 3 En el circuito magnético de la figura, correspondiente a un contactor, calcular la excitación necesaria para que:

a) b)

Bδ = 2000 [G] Bδ = 12000 [G]

El material del circuito magnético es chapa para dínamos.

9

Espesor = 14 [mm] 32

9

9 0,1

0,1

16

9

11

36,5

27,5

0,2

73

2/11

Problema N° 4 Los ensayos de una bobina con núcleo de hierro, han dado los siguientes resultados: U = 30 [V]..........f = 50 [Hz]............I = 7,5 [A].............P = 79 [W] Por otra parte se conocen R = 0,8 [Ω].......N = 284....y......SFe = 7,5 [cm2] a) b) c) d) e)

Construir el diagrama de fasores. Determinar la inducción máxima en el hierro. Calcular las pérdidas en el hierro. ¿Cuál sería la potencia consumida por un reóstato que con la misma tensión tomara la misma corriente? Si la bobina tiene un entrehierro cuya reluctancia a la tensión de trabajo es cuatro veces la del hierro, indicar la variación porcentual de L si el entrehierro se aumenta al doble, conservando constante la densidad de flujo, indicar el valor de L en ambos casos.

Problemas resueltos Problema N° 1 Una corriente de 10 [A] que fluye en una bobina de 400 espiras, produce un flujo de 800 líneas, concatenando estas 400 espiras. Determinar: a) La inductancia propia en Hy. b) La inductancia propia si N = 800 espiras, suponiendo la misma corriente y que el flujo es concatenado por todas las espiras.

Desarrollo

a)

L.

di dφ N .N di di =N = . = N 2 .Λ. dt dt Rm dt dt

L = N 2 .Λ = N 2 .

φ

=

N .φ I

N .I 400.8000.10 −8 L= = 32.10 −4 10

;

10 8 [ Mx] = 1[V .s ] L = 3,2 [mHy]

3/11

b)

L = N 2 .Λ

→

como depende de N 2 , al duplicarse

el número de

espiras, se cuadriplica el valor de la inductancia, ya que la permeancia sólo depende del material y características geométricas que no han va − variado. L = 12,8 [mHy] Problema N° 2 Un anillo de fundición tiene un diámetro medio de 14 [cm], y una sección transversal circular de 5,48 [cm2], y posee un entrehierro de 0,254 [cm]. a) Determinar los N.I para producir flujos de : 25,5 ; 42,5 y 65 [Klíneas]. b) Si el arrollamiento tiene 250 espiras, graficar φ = f(I).

Desarrollo a)

φ [ Mx ]

Ba = BFe

25500

= H a .0,254 + H Fe .43,98 H a .0,254 + H Fe .43,98 N

Ba = B Fe =

φ

S N .I = H a .l a + H Fe .l Fe

HFe

TOTAL

4653

3702,74

14,5

1578,2

42500

7755

6171,23

50

3766,49

65000

11861

9438,68

205

11413,3

φ [ Klíneas ] 65 60

aire

I=

N.I

Ha

[G]

40

20

0

6,3

10

15

20

30

40

50

I = (H.l) / N

4/11

Problema N° 3 Un anillo de acero moldeado que tiene un radio medio de 25 [cm] y una sección transversal circular de 5 [cm] de diámetro, está devanado con una bobina de 700 espiras que conduce 10 [A]. a) Determinar la densidad de flujo en Gauss y el flujo total. b) Si se corta un entrehierro de 2 [mm] y se mantiene la excitación , determinar : densidad de flujo y el flujo total. c) Si se considera un incremento de sección del 10 % para el flujo en el aire ¿cuánto vale BFe , Ba y φ ?

Desarrollo a) Dimensiones del circuito magnético

N = 700 espiras

10 A

2,5 cm

l m = 2.π.rm = 2.3,14.25 = 157,08 [cm ] π.d 2 3,14.5 2 S= = = 19,635 [cm 2 ] 4 4

Rm 25 cm

Intensidad de campo :

H=

N .I 700.10  Av  = = 44,563  l 157,08  cm 

En la curva de B = f (H) para chapa de acero fundido, resulta :

para H = 44,563 [Av/cm]----------------------

El flujo total es :

→ B = 16300 [G ]

[ ]

V .seg  .19,635 cm 2 2   cm  −8 = 320050,5.10 [V .seg ] φ = 320050,5.10-8 [V.s]

φ = B.S = 16300.10 −8 

5/11

b) Con N.I = Ha.la + HFe.lFe , y sabiendo que N.I = 7000 [Av]

Nosotros vamos a graficar BFe = f (HFe.lFe) y Ba = f (HFe.lFe)

b1)

Ha .la = 2000 [Av ]

Ha =

2000 = 10000 [ Av / cm] 0,2

Ba = µ 0 .H a = 0,4.π .10000 [G ]

H Fe .l Fe = 5000 ⇒ H Fe =

⇒

Ba = 12566,37[G]

5000 = 31,87 [ Av / cm] ⇒ 156,88

b2)H .l = 3000 [Av ] a a

H Fe .l Fe = 4000 ⇒ H Fe =

b3)

HFe.l Fe= 50000[Av]

⇒

Ha .la = 3500 [Av ]

H Fe .l Fe = 3500 ⇒ H Fe =

⇒

BFe = 15750 [ G ] PFe1( 5000; 15750)

HFe.l Fe= 4000 [Av]

4000 = 25,5 [ Av / cm] 156,88

⇒

Pa ( 5000; 12566)

⇒

BFe = 15450 [ G ] PFe2( 4000; 15450)

HFe.l Fe= 3500 [Av]

3500 = 22,31[ Av / cm] 156,88

⇒

BFe = 15200 [ G ] PFe3( 3500; 15200)

6/11

b4) H .l = 4000 [Av ] a a

HFe.lFe= 3000 [Av]

⇒

H Fe .l Fe = 3000 ⇒ H Fe =

3000 =19,12 [ Av / cm] 156,88

⇒

B Fe = 14900 [ G ] PFe4( 3000; 14900)

B [G] P(4500 ; 15600)

15600 15000

P F4

PF3

PF1

PF2

)

Pa

f(

B

Fe

10000

H

=f

Fe .l

Fe =

.la Ha ) (B Fe

5000

7000

6000

5000

4500

4000

3000

2000

1000

HFe.lFe

B = 15600 [G]

Al trazar la gráfica se encuentra que :

Por lo que el flujo total será :

[ ]

 V.seg  .19635 cm 2 = 306306.10 −8 [V.seg ] 2   cm  ] φ = 3,06.10−3 [Wb

φ = B.S = 15600.10 −8 

c) Una de las formas de resolución es por tanteos sucesivos, suponiendo BFe y verificando

la excitación resultante.

7/11

c1) Suponiendo BFe = 15000 [G] Ba = 15000.0,909 = 13635 [G], dado que el flujo es el mismo, si la sección aumenta un 10% , la inducción en el aire decrecerá al 90,9% :

φ = BFe.SFe = Ba .Sa = Ba .1,1.S Fe ⇒ Ba =

1 BFe = 0,909.B Fe 1,1

φ = B.S φ = B´ .1,1.S →

Ηa =

B´ =

φ 1 = .B = 0,909.B 1,1.S 1,1

Βa 13635 = = 10850[Αv / cm] 0,4.π 0,4.π

De la curva BFe = f ( HFe ) resulta que : HFe = 20 [ Av / cm ]

Ha .la + HFe.lFe = 10850.0,2+ 20.156,88= 2170+ 3137 = 5307,6[Av ] Resulta : ∑ H.l < N.I c2) Suponemos BFe = 15500 [ G ]

14089,5 = 11212 [ Av / cm ] 0,4.π = 11212.0,2 + 28.156,88 = 2242,4 + 4392,6 = 6635 [Av ]

Ba = 15500.0,90 9 = 14089,5 [ G ] H a .l a + H Fe .l Fe

HFe = 28 [ Av / cm ]

→

Ha =

Resulta : ∑ H.l < N.I

c3) Suponemos BFe = 15600 [ G ]

14180,4 = 11284,4 [ Av / cm ] 0,4.π = 11284,4.0, 2 + 30.156,88 = 2257 + 4706,4 = 6963 [Av ]

B a = 15600.0,90 9 = 14180,4 [ G ] H a .l a + H Fe .l Fe

HFe = 30 [ Av / cm ]

→

Ha =

Resulta : ∑ H.l ≈ N.I 8/11

c´) Otra forma de resolver este problema es gráficamente, trazando las curvas :

HFe.lFe = f (BFe) y Ha.la = f (BFe)

Luego se suman ambas caídas de tensión magnética, y se obtiene la curva de excitación resultante en función de BFe, determinándose para el valor de N.I = 7000 Av el valor que corresponde de BFe y por ende de Ba.

B Fe [G]

H Fe .lFe = f ( B Fe )

15600 15500 15000

P (7000;15600)

H . a l = a f(B

Fe

)

H a.la + H Fe .lFe = f (B Fe )

10000 A B

A+B 5000

7000

6000

5000

4706

4393

4000

3000 3137

2000 2170

0

1000

H a.la H Fe .l Fe

“Se nota que BFe es aproximadamente igual al caso b), pero no las caídas de tensión magnética parciales”

9/11

Problema N° 4 La bobina de un contactor tiene núcleo magnético de tipo acorazado, tal como aparece en la figura, construido de chapa magnética normal para dínamos y con el espesor total eficaz d = 14 [mm]. Calcular la excitación necesaria para que la inducción en el hierro alcance un valor medio de : a) B = 2000 [G] b) B = 12000 [G] Sin considerar dispersión.

µ0 = 0 ,4.π .10−8 [ V.s / A.cm]

9

µ0 = 0 ,4.π [ G.cm/ A]

0,1

10

32

0,2

16

9

36,5

27,5

0,1

11

73

Desarrollo a) Para el valor de inducción de 2000 [G], puede despreciarse el flujo de dispersión y la caída de tensión en el hierro.

S1 = sección de columna central = (1,6.1,4 ) [cm 2 ] = 2,24 [cm 2 ] S2 = "

"

"

lateral = (1,1.1,4 )[cm 2 ] = 1,54 [cm 2 ]

φ1 = flujo en el entrehierro central φ1 = B.S1 = 2000.2,24.10 −8 = 4,48.10 − 4 [V .s ] φ 2 = flujo en la columna central φ1

4,48.10 − 4 = 2,24.10 − 4 [V .s ] 2 2 φ 2 2,24.10 −4 B2 = = = 1,4545.10 − 4 [V .s/ cm 2 ] = 1454,5[G ] S2 1,54

φ2 =

=

10/11

Intensidades de campo magnético

H1 =

H2 =

B1

=

2000  G    = 1591,5 0,4.π  G.cm / A 

B2

=

1454,5  G    = 1157,5 0,4.π  G.cm / A 

µ0

µ0

 Av   cm     Av   cm   

N .I = H 1 .l1 + H 2 .l 2 = 1591,5.0,02 + 1157,5 . 0,01 = 43,4 N.I = 43,4 [Av ] b) Para una inducción de 12000 [G], ya no es posible despreciar la caída de tensión magnética en el hierro. Se desprecia la dispersión para agilizar el cálculo.

entrehierro central columna central inferior yugo inferior columna lateral inferior entrehierro externo columna lateral superior yugo superior columna central superior

material

φ (ΚΜ)

S (cm2)

B (KG)

aire

26,88

2,24

H (Av / cm)

l (cm)

H.l (Av)

12

9549,3

0,02

191

Fe

26,88

2,24

12

5,1

2,75

14

Fe

13,44

1,26

10,67

3,5

3,2

11,2

Fe

13,44

1,54

8,72

2,2

2,75

6,05

Fe

13,44

1,54

8,72

6939

0,01

69,39

Fe

13,44

1,54

8,72

2,2

0,9

1,98

Fe

13,44

1,26

10,67

3,5

3,2

11,20

Fe

26,88

2,24

12

5,1

0,9

4,59

∑ H.l = 309,4

[A v ]

11/11