Máquinas Eléctricas I – Año 2015

Trabajo Práctico de Resolución de Problemas N° 7 Arrollamientos de Máquinas Rotativas (2da parte) Problemas propuestos Problema N° 1 Dado un arrollamiento trifásico con las siguientes características: q = 5.....R = 60.......W / τp = 13 / 15.......Nf = 160......p’ = 2 Se pide determinar el arrollamiento bifásico equivalente, tal que la matriz de transformación de corrientes sea la misma que la matriz de transformación de tensiones. Problema N° 2 Dado un arrollamiento de conmutador con p’ = 1, se sacan derivaciones a 120° y a 90°, y se conectan a anillos rozantes. La máquina se mueve a n = 5 [r.p.s.], y la corriente en las escobillas del conmutador es 10 [A] CC. Determinar: a) Los valores de las corrientes bifásicas equilibradas que inyectadas en los correspondientes anillos rozantes, producirían la misma excitación que los 10 [ACC]. b) Idem a) pero para las tomas trifásicas. c) El arrollamiento de campo de la máquina se excita y aparecen 100 [VCC] entre las escobillas del conmutador. Calcular las tensiones entre las tomas bifásicas y trifásicas.

Problema N° 3 Dado un arrollamiento trifásico bipolar, bobinado en el estator de una máquina de 12 ranuras con Nb = 10 y W/τp = 5/6. Se pide: a) Si el arrollamiento está alimentado por un sistema trifásico simétrico de 10 [Aef], encontrar el arrollamiento bifásico equivalente, que bobinado sobre el mismo estator produza la misma fundamental de excitación en el entrehierro. b) Relación de tensiones de fase en los dos sistemas. c) Calcular el valor de la excitación giratoria, y verificar que es el mismo en ambos casos.

Problema N° 4 Dada una máquina sincrónica trifásica con turborotor con los siguientes datos: D = 60 [cm] - L = 70 [cm] - R = 48 - p’ = 2 - N = 32 - αi = 1/3 - U = 2300 / 1328 [V]. Calcular el contenido de armónicas de la tensión inducida para: W / ζp = 9/10, 10/12, y 11/12 y además determinar B0 para tensión nominal.

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Problema N° 5 Dada una máquina sincrónica con polos salientes con las siguientes características: p’ = 2 , D = 50 [cm] , L = 40 [cm] , R = 72 , 2300 [V] , 50 [Hz] , αi = 0,75 , Bmáx = 8000 [G]. Determinar: a) N° de espiras por fase y W/ζp para obtener 2300 [V] de fase, disminuyendo en lo posible el contenido de 5ta y 7ma armónica. Ajustar Bmáx para que la tensión de fase sea exactamente 2300 [V]. (considerar la máquina conectada en estrella). b) Contenido de 5ta y 7ma armónicas respecto de la fundamental. c) ¿Se inducen tensiones de 3ra armónica en los arrollamientos de fase? ¿Aparece la 3ra armónica en la tensión de línea? ¿Por qué?

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Problemas propuestos Problema N° 1

Dado el arrollamiento de la figura, determinar: a) Factor de arrollamiento de la fundamental. b) Orden de las armónicas de ranura.

Desarrollo Para q se tiene : p = 2.....R = 30......m = 3......q = R / (2.p.m) = 30 / (2.2.3) = 2,5 Este tipo de devanado por ser q “no entero” se denomina “ fraccionario”. Es claro que no se pueden aplicar directamente las fórmulas vistas en clase para el cálculo de fZ y fS , dado que los grupos de bobinas conectados en serie en cada fase no son idénticos. Se solucionará este problema desde dos puntos de vista que nos deberán llevar al mismo resultado. Se parte de las definiciones de fZ y fS :

I-

fZ =

fS =

Tensión inducida en la zona ∑ algebraica de tensiones inducidas en la zona

=

E i diametral zona q.Ei diametral de bobina

Tensión inducida en una zona (con paso acortado) Tensión inducida en una zona (con paso diametral )

f N = fZ . fS =

Ei S

=

Ei S

Z

Ei d

Z

=

Ei d q. E i d

Z bob

Ei S

Z = Z E i d conc q. E i d bob

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Las definiciones son válidas para una zona o para toda la fase cuando todas las zonas bobinadas son iguales.

La definición de factor de arrollamiento puede generalizarse para el caso de zonas desiguales (q ≠ entero) poniendo:

fN =

E i SZ1 + E i SZ 2 + ...... + E i SZ n E i d conc

En general, en los arrollamientos fraccionarios las tensiones inducidas en los distintos grupos de bobinas, están en fase, caso que se presenta en nuestro ejemplo. Por lo tanto podemos poner:

fN =

E i SZ1 + E i SZ 2 (q1 + q 2 ) E i d bobina

=

f S 1 . f Z 1 .q1 .E i d b + f S 2 . f Z 2 .q 2 .E i db (q1 + q 2 ) E i d b

=

f S 1 . f Z 1 .q1 + f S 2 . f Z 2 .q 2 (q1 + q 2 )

En clase se vió que para ν = 1 :

 π  sen   2.m  fZ =  π   q.sen  6.q 

π W f S = sen .  2 τP

  

La exp resión más general para el factor de zona será : α  sen R .q   2  fZ = α  q.sen R   2  En este caso α R =

α R = ángulo eléctrico correspondiente a un paso de ranura

360 720 .p = = 24 ° R 30 { áng . geom.

Para zona 1 : q = q1 = 2  24  sen .2   2  fZ1 = = 0,9781475  24  2.sen   2  Para zona 2 : q = q 2 = 3 fZ1 =

sen36 ° = 0,9423637 3.sen12 °

π 8  f S 1 = sen .  = sen96 ° = 0,9945219  2 7,5 

f S 2 = sen84 ° = 0,9945219

El factor de arrollamiento resul tan te es : fN =

0,9945219.(0,9781475.2 + 0,9423637.3) = 0,9514365 2+3

f N = 0,9514365

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Otra manera de resolver el problema es: Transformar el arrollamiento fraccionario en un arrollamiento entero, de tal manera que se reproduzcan en ambos arrollamientos las mismas posiciones fasoriales de las tensiones inducidas. Esto se consigue trasladando en cada fase la zona bobinada menor en τP, de tal manera que se superponga a la zona mayor. El arrollamiento se transformará así en un arrollamiento entero con q = 5.

Re sulta : q ' = 5

Q' = 15

α R' =

αR

= 12 2 Se puede aplicar ahora la fórmula de f N : fN = fS . fZ fZ =

π 7  f S = sen .  = 0,9945219  2 7,5  f N = 0,9514361

sen(6.5) ° = 0,95667689 5.sen6 °

Obsérvese que a pesar de ser un arrollamiento de una capa, el factor de cuerda fS < 1 pues los lados de bobina no están desfasados 180°.

Armónicas de ranura:

ν R = 2.Q ± 1 = 2.15 ± 1 = 29 y 31 ν R = 29 y 31

Problema N° 2 Para las siguientes curvas de campo, determinar las amplitudes relativas de las armónicas 1, 3, 5 y 7 respecto al valor B0 : a) Para αi = 0,75 y αi = 0,666 α i.τ p

τp

B0

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b) Curva de campo producida por un inductor de polos salientes alimentado por corriente continua. El esquema que sigue corresponde al llamado turborotor, que es el inductor usado para máquinas sincrónicas con p’ = 1 ó p’ = 2. Para αi = 1 / 3 y suponiendo una distribución uniforme de AS en la zona bobinada. α i.τ p B, AS

B0 AS

x τp

Desarrollo a) Por el tipo de simetría sólo tendremos armónicas impares. Su coeficiente se determina según la fórmula de Fourier.

aν =

Bν 4 π π = . sen(ν . ) ∗ sen(ν .α i . ) B0 ν .π 2 2

αi = 0,75

ν =1

a1 =

ν =3

a3 =

4

π

.sen

π 2

∗ sen0,75.

π 2

= 1,176

π π 4 .sen3. ∗ sen0,75.3. = 0,1624 3.π 2 2 4 π π a5 = .sen5. ∗ sen0,75.5. = −0,0974 5.π 2 2 4 π π a7 = .sen7. ∗ sen0,75.7. = 0,168 7.π 2 2

ν =5 ν =7 αi = 0,66

ν =1 ν =3 ν =5 ν =7

2 π ∗ sen . = 1,1026 2 3 2 π π 4 2 π a3 = .sen3. ∗ sen .3. = 0 3.π 2 3 2 4 2 π π a5 = .sen5. ∗ sen .5. = −0,2205 5.π 2 3 2 4 π 2 π a7 = .sen7. ∗ sen .7. = −0,1575 7.π 2 3 2 a1 =

4

.sen

π

a1 = 1,1026 a3 = 0 a 5 = −0,2205 6/12 a7 = −0,1575

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b)

8. cos(α i .

ν .π

) π 2 aν = 2 ∗ sen(ν . ) 2 2 π .(1 − α i ).ν

ν .π

Para nuestro caso : aν =

ν =1

a1 =

ν =3

a3 =

ν =5 ν =7

12

π2

8. cos(

6

2 2 2 .π .ν 3

)

π

∗ sen(ν . ) = 2

π 12. cos(30.ν ) ∗ sen(ν . ) 2 2 2 π .ν

. cos 30 = 1,053

12 . cos 90 = 0 π 2 .9 12 π a 5 = 2 . cos 150 ∗ sen(5. ) = −0,0421 2 π .25 12 π a7 = 2 . cos 210 ∗ sen(7. ) = −0,0215 2 π .49

a1 = 1,053 a3 = 0 a 5 = -0,0421 a7 = −0,0215

Problema N° 3 El estator de una máquina sincrónica trifásica tiene las siguientes características: Diámetro de entrehierro: D = 33[cm] - L = 27 [cm] - R = 36 - p’ = 2 - N = 24 El inductor es de polos salientes con una curva de campo análoga a la del caso a) del problema anterior. Se pide determinar αi y W para obtener una tensión inducida con bajo contenido de armónicas. El valor de B0 debe ser tal que U1N = 230 [V] por fase.

Desarrollo Con los valores dados resulta τP = 9τR ( 9 ranuras por polo ) y q = 3. Para simplificar el análisis, se consideran únicamente αi = 0,66 y αi = 0,8 y las armónicas ν = 3,5,7 y armónicas de ranura ( para αi = 0,66 se toman W/τP = 7/9 y 8/9 y para αi = 0,8 se toman W/τP = 6/9, 7/9, y 8/9 )

a) αi = 0,66 Resultan para la curva de campo los valores de aν obtenidos en el caso a) del problema anterior. Probaremos con dos valores de W : 7/9 y 8/9

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I- W/τP = 7/9 ν

fSν = sen(π/2.ν.7/9)

fZν = (sen ν.30) / 3.sen(ν.π / 30)

fN ν = fSν . fZν

1 3

0,9397 -0,5

0,9598 0,6666

0,9019 -0,3333

5

-0,1736

0,2176

-0,0377

7

0,7660

-0,1774

-0,1359

17

0,9397

0,9598

0,9019

19

-0,9397

0,9598

-0,9019

νRanura = 2.Q ± 1 = 2.9 ± 1 = 17 y 19 Los valores porcentuales de las tensiones armónicas inducidas respecto a la fundamental, están dadas por :

uν % =

f Nν .aν f N1 .a1

.100

Siendo a1 y aν los coeficientes de Fourier de la curva de campo de la armónica fundamental y de orden ν y fN1 y fNν los correspondientes factores de arrollamiento. En el problema anterior se calcularon aν para ν = 1, 3, 5 y 7 faltando para las armónicas de ranura, los cuales calculados resultan: a17 = - 0,0649...........a19 = -0,0580

u3 % = 0 u5 % =

0,0377.0,2205 .100 = 0,836 % 0,9019.1,1026

u17 % =

0,9019.0,0649 .100 = 5,8 % 0,9019.1,1026

u7 % =

0,1319.0,1575 .100 = 2,15 % 0,9019.1,1026

u19 % =

0,9019.0,0580 .100 = 5,26 % 0,9019.1,1026

El contenido de armónicas :

∑ uν % = (0,836 2

τν =

u1 %

2

)

+ 2,15 2 + 5,89 2 + 5,26 2 = 0,08226 100

τ ν % = 8,2 %

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II- W/τP = 8/9 ν

fSν = sen(π/2.ν.8/9)

fZν = (sen ν.30) / 3.sen(ν.π / 30)

fN ν = fSν . fZν

1 3

0,9848 -0,8666

0,9598 0,6666

0,9452 -0,5773

5

0,6428

0,2176

0,1400

7

-0,3420

-0,1774

0,0606

17

-0,9848

0,9598

-0,9452

19

0,9848

0,9598

0,9452

u3 % = 0 u17 y u19

0,14.0,2205 .100 = 2,96 % 0,9452.1,1026 no varían u5 % =

(2,96

τν =

2

+ 0,92 2 + 5,89 2 + 5,26 2 100

u7 % =

0,0606.0,1575 .100 = 0,92 % 1,04217

) = 0,08483

τ ν % = 8,48 %

“ Para αi = 0,66 el paso W / τP = 7 / 9 da el menor contenido de armónicas.”

Calculamos B0 para este caso, con la condición de obtener U1 Fase = 230 [V]

U 1 = 4,44. f N . f .φˆ1 .N .10 −8

U 1 [V ] y φ [ Mx]

230.10 8 = 4786358 [ Mx] 4,44.0,9019.50.24 φˆ1 2 4786358 = = 10743 [G ] φˆ1 = .τ p .l i .Bˆ 1 → Bˆ 1 = 2 2 π .33 π .τ p .l i . .27 π π 4 B 10743 B0 = 1 = = 9744 a1 1,1026

φˆ1 =

B0 = 9744 [G]

b) αi = 0,8

Se calculó para W / τp = 7/9 y 8/9. Pasamos a W / τp = 6/9

ν

fSν = sen(π/2.ν.6/9)

fZν = (sen ν.30) / 3.sen(ν.π / 30)

fN ν = fSν . fZν

1 3

0,8666 0

0,9598 0,6666

0,8312 0

5

-0,8666

0,2176

-0,1884

7

0,8666

-0,1774

-0,1536

17

-0,8666

0,9598

-0,8312

19

0,9848

0,9598

0,8312

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El contenido de armónicas en la curva de campo es :

4 π π .sen(ν . ) ∗ sen(ν .α i . ) 2 2 ν .π a1 = 1,2109 a3 = 0,2495 a5 = 0 aν =

a 7 = 0,107

a17 = 0,044

a19 = 0,0637

Los valores porcentuales de armónicas resul tan : Para W τ p = 6/9

uν % =

f Nν .aν f N1 .a1

.100

0,1536.0,107 .100 = 1,63 % 0,8312.1,2109 0,8312.0,044 0,8312.0,0637 u17 % = .100 = 3,63 % u19 % = .100 = 5,26 % 1,0065 1,0065 u3 % = 0

u5 % = 0

u7 % =

Para W τ p = 7/9 0,333.0,2495 .100 = 7,6 % 0,9019.1,2109 0,1359.0,107 u7 % = .100 = 1,33 % 1,0921 0,9019.0,0637 u19 % = .100 = 5,26 % 1,0921 u3 % =

u5 % = 0 % u17 % =

0,9019.0,044 .100 = 3,63 % 1,0921

Para W τ p = 8/9 0,5773.0,2495 .100 = 12,584 % 0,9452.1,2109 0,0606.0,107 u7 % = .100 = 0,5665 % 1,1445 0,9452.0,0637 u19 % = .100 = 5,26 % 1,1445 u3 % =

u5 % = 0 % u17 % =

0,9452.0,044 .100 = 3,63 % 1,1445

Es evidente que el menor contenido de armónicas se logra con W / τp = 6/9

τ ν % para W / τ p = 6 / 9 : 1,63 2 + 3,63 2 + 5,26 2 τν % = = 6,57 % 100

τ ν % = 6,57 % 10/12

Máquinas Eléctricas I – Año 2015 Cálculo de B0 para αi = 0,8 y W / τp = 6/9

230.10 8 = 5193475 [ Mx] 4,44.0,8312..50.24 5193475 Bˆ 1 = = 11657 [G ] 2 π .33 . .27 π 4 B 11657 B0 = 1 = = 9627 [G ] a1 1,2109

φˆ1 =

B0 = 9627 [G]

Desde el punto de vista de contenido de armónicas, la última opción es la mejor. Sin embargo habrá problemas por la fuerte dispersión interpolar.

Problema N° 4

Para q = 3 y p’ = 2 dibujar las fases completas de un arrollamiento trifásico, donde W / τp < 1 (tomar un acortamiento de paso igual a un paso de ranura S = 1). En el dibujo deben encontrarse todas las ranuras, indicando correctamente el conexionado de las bobinas. Suponer un instante dado para analizar la dirección de las corrientes y el diagrama de AS en función de x.

Desarrollo t U

W

V

11/12

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Y

U

Z

V

W

X

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