Tema 2. Ondas electromagnéticas.

2.1. Introducción 2.2 El campo eléctrico

§ El teorema de Gauss eléctrico

2.3 El campo magnético

§ El teorema de Gauss eléctrico

2.4 La ley de inducción magnética o ley de Faraday 2.5 La ley de Ampère 2.6 Las ecuaciones de Maxwell § La ecuación de ondas. Velocidad de propagación de las ondas e.m. § Propiedades de transversalidad de las ondas e.m. § El espectro electromagnético.

2.7 Energía de las ondas electromagnéticas § Irradiancia

2.8 Polarización de las ondas 2.9 Producción y detección de ondas electromagnéticas 2.10 Más sobre el espectro electromagnético. Ondas de radio Microondas Infrarrojo Visible § Ultravioleta § Rayos X § Rayos gamma § § § §

Miguel Antón Revilla Departamento de Óptica EUO

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3.1. Ondas electromagnéticas. El movimiento ondulatorio representa la propagación de un estado de propagación de la materia o el campo. En el caso de una onda en el agua, las partículas de agua ejecutan movimientos en torno a su posición de equilibrio, pero no se trasladan. Lo que se transmite de un punto a otro es el estado de perturbación de la materia, creado en un instante dado y en un punto dado. En este caso se trata de una onda mecánica. Las ondas electromagnéticas representan la propagación de un estado de perturbación del campo electromagnético. Las ondas de TV son ondas electromagnéticas son producidas por un circuito electrónico oscilante que acelera cargas eléctricas en una antena. La idea principal es que si se hace oscilar cargas eléctricas entre los extremos de una antena, el campo eléctrico E en las proximidades se altera bruscamente. Este campo eléctrico variable genera a su vez, en virtud de las leyes de Maxwell, un campo magnético B, variable, que a su vez, genera otro campo eléctrico variable, y así sucesivamente.

El resultado de haber creado una perturbación local del campo, es que esta perturbación se propaga de un punto a otro del espacio, incluso en el vacío. En lo que sigue veremos cómo a partir de las leyes del electromagnetismo se puede predecir la existencia de ondas electromagnéticas.

2.2. El campo eléctrico. La acción entre dos partículas cargadas se puede describir mediante la ley de Coulomb que nos da la fuerza de atracción o repulsión entre ellas. Esta ley es muy similar a la ley de Newton para la gravitación. Se trata de una fuerza de tipo central, dirigida a lo largo de la línea que une las cargas.

Q

F

Q

r QQ ' 1 r F= u 2 R 4πε 0 R

R 2

Existe otra manera de describir esta interacción, mucho más interesante, mediante el concepto de campo eléctrico. Esta idea fue introducida por M. Faraday y consiste en asumir que la presencia de una partícula cargada modifica las propiedades del espacio que la rodea, creando a su alrededor un campo eléctrico E. Faraday representó el campo mediante líneas de fuerza, que serían las trayectorias que seguiría una partícula cargada que entrara en ese campo. Aquí se muestran las líneas de fuerza del campo E, sobre una foto real de pequeñas partículas de carbón electrizadas en torno a una esfera cargada. Obsérvese como las partículas de carbón cargadas, se sitúan radialmente. Por otra parte, si se coloca una carga Q1 en el seno de este campo y a una distancia R de la carga Q que lo ha creado, esta carga Q1 experimentará una fuerza dada por:

r r F = EQ1

Para que esta expresión sea compatible con la ley de Coulomb, se tiene que cumplir que el campo eléctrico creado por la carga Q valga

r E=

E

Q r uR 4πε 0 R 2

2.2.1. El teorema de Gauss eléctrico. Podemos preguntarnos ahora cuánto vale el flujo el campo eléctrico creado por una carga a través de una

superficie

esférica centrada en la carga. El flujo del campo electrico, representará el número de líneas fuerza que atraviesan la superficie y viene dado por

E

r r Φ E = ∫∫ EdS

Como el campo es constante en todos los puntos de la superficie y además es paralelo al vector dS, se tendrá

r r Φ E = ∫∫ EdS =

Q 4πε 0 R 2

∫∫ dS =

Q ε0

Esta expresión es general, es decir, es válida para cualquier tipo de superficie cerrada y para cualquier distribución de cargas y constituye el teorema de Gauss o primera ley de Maxwell, que nos indica, por un lado, que el origen del campo eléctrico está en las cargas eléctricas, y por otro, nos permite calcular la intensidad del campo E, si conocemos

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la distribución de cargas dentro de la superficie gaussiana S. La constante ε 0 es la permitivid ad dieléctrica del vacío, cuyo valor es ε 0 = 8.82x10-12 F/m. Ejemplo. Calcular el campo eléctrico en el interior de un condensador aplicando el teorema de Gauss. La densidad superficial de carga de cada armadura es σ . Tomando un paralelepípedo como superficie cerrada y aplicando el teorema de Gauss, se ve inmediatamente que sólo hay flujo eléctrico a través de la cara que está dentro del condensador. La carga que hay dentro del paralelepípedo es σS. Por lo tanto aplicando el teorema de Gauss, se tiene

r r σS E ∫∫ dS = ε 0 ⇒

E=

σ ε0

Este resultado nos será útil más adelante al analizar la idea de corriente de desplazamiento.

2.3. El campo magnético.

Existen otros fenómenos de naturaleza parecida a los que produce un campo eléctrico. Nos referimos, por ejemplo, a las atracciones que produce un imán. En la figura se muestra el efecto de un imán sobre finísimas limaduras de hierro esparcidas sobre una hoja de papel. Obsérvese cómo las limaduras se orientan en torno a los polos del imán formando trayectorias cerradas. Las líneas de fuerza, al contrario B que en caso de las creadas por una carga eléctrica, son ahora líneas cerradas. Por otra parte, si se divide el imán en dos, no se separan los polos magnéticos, es decir, el resultado es que crearemos dos N S imanes. Otra diferencia importante con lo que sucedía con el campo eléctrico es que si ahora introducimos una carga en reposo en las cercanías del imán, esta carga no experimenta fuerza alguna. Pero si la carga se inyecta en esa región con una cierta velocidad, experimentará una fuerza que en todo momento es perpendicular a la velocidad de la partícula, proporcional a la carga y a la intensidad del imán. Si de nuevo utilizamos la idea de Faraday y asumimos que en el entorno del imán existe un campo B, que llamaremos campo de inducción magnético, la fuerza que este campo ejerce sobre la carga se puede expresar como

r r r F = Q vx B

Obsérvese que ahora la fuerza no es central, como en el caso del campo eléctrico.

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Similares efectos a los que produce el imán se pueden obtener haciendo pasar una corriente eléctrica a través de un solenoide, esto es, un arrollamiento de un hilo de un conductor como el cobre. En este caso se crea un campo magnético muy fuerte en el interior del solenoide y las líneas del campo son similares a las producidas por el imán. Esto se puede comprobar experimentalmente. Ello no s lleva a pensar que el origen del campo magnético está en las corrientes eléctricas, es decir, en las cargas en movimiento. En efecto, en el caso del imán, son las corrientes microscópicas del spin de los electrones de ciertos materiales las que causan el campo magnético observado. Otras fuentes del campo magnético se muestran en la figura adjunta. Nótese que con la noción de campo podemos representar todas estas situaciones, aparentemente diferentes como una misma cosa, es decir, podemos olvidarnos del circuito eléctrico, o del imán y tratar exclusivamente con el campo creado por tales estructuras.

2.3.1. El teorema de Gauss magnético. Podemos preguntarnos ahora cuánto vale el flujo del campo magnético creado por un imán a través de una superficie esférica que le contiene. El flujo del campo eléctrico, representará el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie y viene dado por

r r Φ B = ∫∫ BdS

N

S

Como las líneas de fuerza siguen trayectorias cerradas, saldrán tantas líneas como las que entran, y por lo tanto el flujo será nulo.

r r Φ B = ∫∫ BdS = 0

Esta expresión nos indica que no existen monopolos magnéticos, y constituye la segunda ley de Maxwell.

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2.4 La ley de Faraday. Una de las aportaciones más importantes de M. Faraday es el descubrimiento de que la variación temporal del flujo de un campo magnético a través de un circuito cerrado formado por un conductor, induce en éste una corriente eléctrica. Este es el principio mediante el cual obtenemos corriente eléctrica a partir de los saltos de agua, o en centrales térmicas. Todo lo que hay que hacer es mover un imán respecto a un circuito. Lo que importa es el movimiento relativo, ya que de esta forma se varía el flujo del campo magnético. Así, si acercamos y alejamos el imán del circuito de la figura, variará el número de líneas de fuerza que lo atraviesa. O dicho de otra manera, variará el valor del campo magnético con el N S tiempo en la región del espacio que ocupa el circuito y se inducirá en él una corriente eléctrica. Ahora bien, para ello tendrán que moverse los electrones dentro del circuito. Esto sólo puede suceder si en el interior de alambre aparece un campo eléctrico que mueva los electrones. Podemos formular todo ello de la siguiente forma

∂Φ B ε =− ∂t

.

o bien

r r ∂B r ∫ Edl = − ∫∫ ∂ t dS

Esta expresión constituye ley de Faraday. De nuevo la idea del campo aparece fructífera. En efecto, podemos olvidarnos del imán y del circuito y las cosas seguirían ocurriendo igual, a saber: Si en una región del espacio varía el flujo del campo magnético, aparece en esa misma región un campo eléctrico asociado a él.

2.5 La ley de Ampère. Si los campos magnéticos variables generan corrientes eléctricas, también ocurre que una corriente estacionaria genera a su alrededor un campo magnético. Esto ya lo indicamos más arriba en el caso del solenoide. De hecho dijimos que el origen de los campos magnéticos son las cargas en movimiento, y no otra cosa es una corriente eléctrica. Pues bien, otra ecuación importante que se debe a André Marie Ampère, estable ce la relación entre esa corriente y el valor del campo magnético generado: I

r r r r ∫ Bdl = µ0 I = µ0 ∫∫ JdS

B

siendo J, la densidad de corriente o intensidad por unidad de superficie del conductor. La constante µ0 es la permeabilidad del vacío y vale µ0 = 4π x 10-7 Nws2 C-2. Esta expresión es de mucha utilidad en el caso de corrientes estacionarias, pero las cargas móviles no son la única fuente del campo magnético, como vamos a ver enseguida. Por ello, deberemos ampliar la ley de Ampère. Este trabajo fue desarrollado por Maxwell. En efecto, consideremos el proceso de carga de un condensador como el de la figura. 6

Durante el proceso de carga del condensador y de acuerdo con la ley de Ampère, aparece un campo magnético en torno al alambre del conductor por el que circula una cierta corriente. Pero también se puede medir un campo magnético entre las armaduras del condensador. Este hecho contradice la Ley de Ampère, ya que si tomamos una superficie que englobe a una de las armaduras, la corriente que la atraviesa será nula, ya que entre las armaduras del condensador no pueden moverse cargas eléctricas. Si queremos conciliar estos hechos con la ley de Ampère tendremos que modificarla de algún modo. Si aparece un campo magnético entre las armaduras del condensador, esto quiere decir que las cargas móviles no son la única fuente del campo. Analicemos con más detalle lo que está ocurriendo. Mientras se esta cargando el condensador está variando la carga de cada una de sus armadura, y por lo tanto, esta variando en el tiempo la densidad de carga, σ. Recordemos que el campo entre las armaduras del condensador lo obtuvimos más arriba y resultó ser

E (t ) =

σ (t ) ε0

Es decir, debido a que varía la densidad de carga del condensador, está variando en el tiempo el campo eléctrico entre las armaduras del condensador. En efecto, la velocidad a la que varía el campo es

∂E (t ) 1 ∂σ (t ) = ∂t ε0 ∂t Si multiplicamos por el área S de una armadura, S la expresión anterior da

∂ E (t ) ∂σ (t ) =S = Id ∂t ∂t r ∂E (t ) r ε0∫ dS = I d ∂t

ε0S O bien,

Obsérvese que el segundo miembro tiene dimensiones de corriente, aunque es una corriente muy particular: no está causad a por cargas móviles sino por la variación temporal del campo eléctrico. Maxwell la denominó corriente de desplazamiento, Id . Podemos generalizar la ley de Ampère incluyendo en la intensidad de corriente que aparecía en el segundo miembro, esta corriente de desplazamiento. Esto es lo que hizo Maxwell:

r r r ∂E (t ) r ∫ Bdl = µ 0 (I + I d ) = µ 0 I + µ0ε 0 ∫ ∂ t dS

Esta ecuación tiene importantes consecuencias. Nos dice que hay dos fuentes del campo magnético, a saber: las cargas móviles y las variaciones temporales de los campos eléctricos. Incluso en el vacío, un campo eléctrico variable en el tiempo estará acompañado por un campo magnético B.

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2.6 Las ecuaciones e Maxwell. El conjunto de las cuatro leyes que hemos analizado, con la generalización de la ley de Ampère, constituye el conjunto de ecuaciones de Maxwell. En el vacío, donde no hay cargas libres ni corrientes, se pueden escribir como sigue:

r r ∫∫ EdS = 0 r r B ∫∫ dS = 0

r r r ∂E ( t ) r ∫ B dl = µ 0 ε 0 ∫ ∂ t dS r r ∂B r ∫ Edl = − ∫∫ ∂ t dS Estas dos últimas ecuaciones nos dicen algo muy importante: mientras la primera ecuación afirma que un campo eléctrico variable en el tiempo genera un campo magnético variable, la segunda ecuación nos dice que un campo magnético variable en tiempo irá acompañado de un campo eléctrico variable en el tiempo. Generada una vez esta perturbación del campo electromagnético, la perturbación se autogenera a sí misma y se puede propagar en el espacio. Estas ecuaciones parecen indicarnos, pues que es posible que el campo electromagnético se propague en forma de ondas, las ondas electromagnéticas.

2.6.1 La ecuación de ondas. Vamos a ver ahora en un caso muy sencillo, cómo aplicando las dos últimas ecuaciones de Maxwell se puede demostrar que el campo eléctrico y el magnético asociado satisfacen ambos una ecuación del tipo de la ecuación de ondas. En efecto, admitiremos que en una región del espacio existe un campo eléctrico y otro magnético, ambos variables en el tiempo y perpendiculares entre sí, tal como se indica en la figura. Vamos a aplicar la Ley de Faraday al circuito de la figura:

Z

∫ E’z Ez

X B’x

∫∫

r ∂B r dS ∂t

Dada la dirección del campo, el producto escalar de E.dl es nulo a lo largo de los tramos horizontales, por lo que se puede escribir Y

Bx

r r E dl = −

∫

( E z' − E z ) dz = −

∂ ∂t

∫B

x dydz

Pero la variación del campo a lo largo de la dirección OY se puede poner como

E z '− E z = −

∂E z dy ∂y

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Sustituyendo este resultado en la ecuación anterior, se llega a

∂E z ∂ dydz = − Bx dydz ∫ ∂y ∫ ∂t

y por lo tanto

∂E z ∂B =− x ∂y ∂t

Apliquemos ahora la cuarta ecuación al circuito en el plano XY. El razonamiento es muy similar al caso anterior. Z

r r r ∂E (t ) r ∫ B dl = µ 0 ε 0 ∫ ∂ t dS

E’z Ez

∫ (B x

Y

Bx

−

X B’x

∫

− B ' x )dx = µ 0 ε 0 ∫

∂E z (t ) dxdy ∂t

∂B x (t ) ∂ E z (t ) dydx = µ 0 ε 0 ∫ dxdy ∂y ∂t

Para que se cumpla la igualdad, han de ser iguales los integrandos, es decir,

∂Bx ∂E = − µ 0ε 0 z ∂y ∂t En resumen, aplicando las ecuaciones de Maxwell a una región del espacio vacío donde se ha producido una variación brusca de E y B, hemos llegado a que los campos en puntos muy próximos satisfacen simultáneamente las ecuaciones:

∂E z ∂ Bx =− ∂y ∂t

∂Bx ∂E = −µ 0 ε 0 z ∂y ∂t

Si ahora derivamos la primera ecuación respecto de la variable y y la segunda respecto de la variable t, se tiene

∂ 2 Ez ∂B x =− 2 ∂y ∂ y ∂t ∂ 2 Bx ∂ 2 Ez = − µ 0ε 0 ∂t ∂ y ∂t 2

∂ 2 Ez ∂ 2 Ez = µ0 ε 0 ∂y 2 ∂ 2t 9

Análogamente, si ahora derivamos la primera ecuación respecto de la variable t y la segunda respecto de la variable y, se tiene

∂2Ez ∂ 2 Bx =− ∂t ∂ y ∂ t2

∂2Bx ∂ 2 Bx = µ0 ε 0 ∂y 2 ∂ 2t

∂ 2Bx ∂ 2Ez = −µ0ε 0 ∂y 2 ∂ t∂ y

El resultado es importante porque demuestra que el campo eléctrico, vibrando en la dirección OZ y el campo magnético vibrando en dirección perpendicular OX, satisfacen ambos una ecuación de onda del mismo tipo que las estudiadas en el capítulo 1. Por lo tanto, podemos decir que el campo eléctrico y magnético se propaga en forma de ondas en la dirección OY y vibrando perpendicularmente uno respecto de otro a una velocidad dada por

c=

1 µ0 ε 0

=

1 4π x10- 7 x 8.82 x 10-12

≅ 3x108 m / s

Las soluciones más simples de las ecuaciones de ondas son las ondas armónicas:

Ez = E0 sen (k y − ω t ), Bx = B0 sen (k y − ω t )

En un instante dado de tiempo, la perturbación electromagnética en los diferentes puntos del espacio está representada en la figura Z

Y X

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El movimiento ondulatorio representa la propagación de un estado de propagación de la materia o el campo. En el caso de una onda en el agua, las partículas de agua ejecutan movimientos en torno a su posición de equilibrio, pero no se trasladan. Lo que se transmite de un punto a otro es el estado de perturbación del la materia, creado en un instante dado y en un punto dado . En este caso se trata de una onda mecánica. Las ondas electromagnéticas representan la propagación de un estado de perturbación del campo electromagnético. Las ondas de TV son ondas electromagnéticas se producidas por un circuito electrónico oscilante que acelera cargas eléctricas en una antena. La idea principal es que si se hace oscilar cargas eléctricas entre los extremos de una antena, el campo eléctrico E en las proximidades se altera bruscamente. Este campo eléctrico variable genera a su vez, en virtud de las leyes de Maxwell, un campo magnético B, variable, que a su vez, genera otro campo eléctrico variable, y así sucesivamente.

El resultado de haber creado una perturbación local del campo, es que esta perturbación se propaga de un punto a otro del espacio, incluso en el vacío. En 1889, Heinrich Herzt obtuvo ondas en el laboratorio con un montaje semejante al de la figura. Se cargaban dos esferas de gran diámetro conectada a otras do s esferas pequeñas que se situaban muy próximas hasta que se producía una descarga. Esta perturbación eléctrica genera ondas electromagnéticas que eran detectadas mediante un circuito similar.

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2.6.2 Propiedades de las ondas e-m planas rr r r E = E0 cos( k r − ωt ) rr r r B = B0 cos( k r − ωt ) • • •

•

Se pueden propagar en el vacío a la velocidad constante c≅ 300.000 k m /s Son producidas por cargas aceleradas. El campo E, B y k son perpendiculares entre sí, y además se cumple

r r k .E = 0, r r k .B = 0 r r r k xE = ω B

⇒

E =

ω B = cB k

Se diferencian unas de otras por su frecuencia o longitud de onda.

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2.6.3 El espectro electromagnético Está constituido por el conjunto de ondas electromagnéticas de diferentes longitudes de ondas que han sido detectadas.

• • • • •

El espectro electromagnético está formado por el conjunto de todas las ondas electromagnéticas que se pueden producir. Se diferencian unas de otras por su frecuencia o longitud de onda. Todas se propagan en el vacío a la misma velocidad c= 300.000 km / s Está formado por 7 regiones: Radioondas, Microondas, Infrarrojo, Visible, Ultravioleta, Rayos X y Rayos Gamma. Sus efectos sobre la materia son muy diferentes, dependiendo de su frecuencia ω. El espectro visible está constituido por las ondas electromagnéticas que producen la visión humana. Es una parte muy pequeña del espectro electromagnético y se extiende, aproximadamente, entre 400 nm y 700 nm.

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2.7 Energía de las ondas e.m. Las ondas e-m transportan la energía de los campos eléctrico y magnético asociados a su propagación. Sabemos que si en una región del espacio de volumen V hay un campo eléctrico establecido, E(r,t), la densidad de energía eléctrica viene dada por

ε 0 E 2 (r , t ) UE = 2

Igualmente, si existe un campo magnético B(r,t), la densidad de energía magnética viene dada por

B 2 (r ,t ) UB = 2µ0 Supongamos entonces que en una cierta región del espacio, se propaga una onda electromagnética. La densidad total de energía asociada a la onda, será la densidad de los campos eléctrico y magnético asociados a la misma. Si los campos se expresan como

rr r r E = E0 cos( k r − ωt ) rr r r B = B0 cos( k r − ωt )

Entonces la densidad de energía electromagnética es:

B

U EB

ε 0 E 2 (r , t ) B 2 (r , t ) = U E +UB = + 2 2µ 0

Como los campos E(r,t) y B(r,t) están relacionados entre sí como |E|= c |B|,

U EB

ε 0 E 2 (r , t ) ε 0 E 2 (r , t ) = UE +UB = + = ε 0 E 2 (r , t ) 2 2

Una magnitud física de interés es la irradiancia de la onda, definida como la energía que por unidad de tiempo pasa a través de la unidad de área perpendicular a la dirección de propagación de la onda. La energía que pasa a través de la superficie A, en un tiempo t, será la contenida en el volumen de un cilindro de base A y de altura ct , es decir A

ct

W ( r , t ) = U EB Vol = U EB (ct ) A I (r , t ) =

U (ct ) A = cε 0 E 2 ( r , t ) = c 2 ε 0 E ( r, t ).B (r , t ) tA 14

Substituyendo el valor del campo eléctrico, se obtiene:

rr 2 I ( r , t ) = cε 0 E0 cos2 ( k .r − ωt ) Fijado el punto del espacio en la superficie considerada, se puede observar que la irradiancia oscila a 2ω. Siendo la frecuencia de las ondas de luz del orden de 1015 Hz, es obvio que sólo el promedio temporal de la irradiancia podrá ser medido por un detector y no su valor instantáneo. Por lo tanto, la irradiancia media de una onda e-m viene dad a por:

IM

cε 0 E0 2 = 2

W / m2

Ejemplo 1. La irradiancia del sol en la tierra es de 1400 W/m2. Calcular el valor del campo eléctrico y magnético.

cε E 2IM = 0 0 ⇒ E0 = = 1060 V / m 2 cε 0 2

IM

B=

E 1060 = = 3,53 µT 8 c 3 x10

Ejemplo 2. Suponiendo que la pupila del ojo tiene un diámetro de 2 mm en condiciones fotópicas, calcular la potencia que llega a la retina, suponiendo una transmitancia media del ojo del 96 por ciento y que el diámetro del sol subtiende 0.53 0. La potencia que pasa a través de la pupila será el producto de la irradiancia por el área de la pupila.

P = I M πR 2p = 0.44 W Por otro lado, el diámetro de la imagen del sol en la retina, asumiendo una distancia de 17.5 mm desde el punto nodal a la retina será

D = 17.5 tan 0.530 = 0.162 mm

Por lo tanto, la irradiancia en la retina será la potencia transmitida a través del ojo dividida por el área de la imagen del sol en la retina, que es donde se reparte toda la energía que llega:

Ir =

0.96 P πr 2

R 2p 2 =4 I M πR p = 4 x0 .96 I M = 16 .1 Wcm − 2 2 2 πD D 0.96

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2.8 Polarización de las ondas e.m. Como hemos visto, en un haz de radiación electromagnética, los vectores del campo eléctrico E y campo magnético B, son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda y perpendiculares entre sí. Por ello, basta conocer la dirección de propagación y la dirección del campo eléctrico, para describir el estado de la onda. La polarización de una onda indica la dirección en la que vibra el campo eléctrico. Por ejemplo, en el caso de la figura, el campo eléctrico de la onda está siempre vibrando en el plano vertical. Por ello se dice que se trata de una onda plano-polarizada o linealmente polarizada. Pero puede haber otros estados de polarización.

B Supongamos que en una región del espacio se superponen dos ondas electromagnéticas con sus vectores eléctricos perpendiculares entre sí:

E z = E0 z cos(ky − ωt )

E x = E 0 x cos(ky − ωt − π / 2 ) Puede verse que la componente E x está presenta una diferencia de fase de π/2 respecto de la componente Ez, o si se quiere, un retraso espacial de λ/4. Ahora el vector E resultante cambia de orientación de un punto a otro, describiendo una circunferencia. Se trata de luz circularmente polarizada cuando E oz = E ox

X

En general, el estado de polarización resultante dependerá de las amplitudes y de la diferencia de fase entre ambas componentes. En efecto, sean las dos ondas

E z = E0 z cos( ky − ωt ) E x = E0 x cos( ky − ωt − δ ) Si eliminamos el tiempo a partir de las dos ecuaciones, obtendremos el lugar geométrico que describe el campo eléctrico resultante:

Ez = cos( ky − ωt ) E0 z

Ex = [cos( ky − ωt ) cos δ − sen( ky − ωt ) sen δ ] E0 x

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Sustituyendo en la segunda ecuación el valor de sen (ky-ωt) y cos (ky-ωt), y reagrupando términos se llega a que las amplitudes de los campo satisfacen la ecuación

E z2 E2 0z

+

E x2 E02x

Ex Ez

−2

cos δ = sen 2δ

E0 x E0 z

Como puede verse, el vector de componentes (Ex , Ez), describe, en general, una elipse. Algunos casos especialmente relevantes ocurren para desfases δ= mπ o δ= (2m+1)π/2. En el primer caso, la ecuación se reduce a una recta, es decir el campo está linealmente polarizado

Ez E

=±

Ex E0 x

0z

Mientras que en el segundo, se reduce a una elipse centrada de semiejes (E0x, E0z)

E z2 E02z

+

E x2 E02x

=1

Los diferentes casos considerados más arriba se muestran en la figura adjunta:

La luz emitida por átomos aislados está siempre polarizada. Sin embargo, las fuentes de luz convencionales se componen de muchos átomos que emiten al azar. Por ello, la dirección del campo eléctrico resultante en cada momento cambia también de forma impredecible. Tal tipo de luz, se dice que está despolarizada. Veremos más adelante, que esta luz se puede polarizar haciéndola pasar a través de elementos ópticos polarizadores que eliminan una de las componentes del campo. 17

2.9 Producción y detección de ondas e. m. Cuando los electrones se mueven, crean campos eléctricos y magnéticos en su entorno . En general, si los electrones se aceleran, por ejemplo, haciéndoles oscilar en torno a una posición, sus campos eléctricos y magnéticos cambian en el tiempo produciendo una perturbación electromagnética que se puede propagar a otros puntos del espacio, esto es, produciendo una onda e-m. Así pues, las fuentes de radiación electromagnética son las cargas aceleradas. Por ejemplo, todos los cuerpos con una temperatura por encima del cero absoluto emiten radiación electromagnética. La temperatura es una medida de la energía cinética media de los átomos o moléculas que componen un cuerpo. La vibración de las cargas que constituyen los átomos es el origen de esta radiación.

Por ejemplo, el cuerpo humano a 36 grados emite radiación infrarroja de 10 micras. Cuando la temperatura de un cuerpo crece, se emite más radiación y de menor longitud de onda. Esta es una fotografía en falso color que indica la diferencia de temperatura de las zonas del cuerpo.

La luz que proviene de los relámpagos en las tormentas, se produce por variaciones bruscas de los campos eléctricos de las descargas en el aire. Lo que perciben nuestros ojos son ondas electromagnéticas cuyas longitudes de onda se encuentran entre 0.4 -0.7 micras.

Las ondas de radio se producen por circuitos por los que circulan corrientes alternas conectados a una antena. Las cargas oscilantes en la antena producen los campos eléctricos y magnéticos variables en el tiempo. antena

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En general, a partir de las ecuaciones de Maxwell, se puede obtener el campo radiado por una carga en movimiento. A largas distancias, el campo radiado viene dado por

( )

r r Eo R, t =

z me q e Q p

k

θ

4πε o c 2 R

[

[

R

r r &r& s × s × r (t ' )

uz s

•

]

El tiempo t’ es t’=t- R/c, lo que indica que el campo en un instante t, depende del estado de movimiento de la carga en el instante retardado t’ por una cantidad que es lo que tarda la onda en recorrer la distancia R.

y

N

]

r r r s × s × &r&(t ')

El campo es: • Proporcional a la aceleración de la carga. • Inversamente proporcional a la distancia R. • La dirección y sentido de E vienen dados por

ko r

qe

x

Por ejemplo, si suponemos que el electrón está sometido a un movimiento armónico simple en la dirección OZ, su vector de posición estará dado por

z (t ) = z0 cos ω0t su aceleración en un instante dado será

r &z&(t ' ) = − z0ω0 2 cos(ω0 t ' ) u z

Sustituyendo este valor en la expresión del campo, se llega a

[

2 r ez0ω0 senθ  R r r r E( R, t ) = cos ω s × s × u p 0t − 2 4πε o c R c 

E

]

En la figura se muestran las líneas de campo eléctrico radiado por un dipolo eléctrico. Obsérvese que el campo es nulo en la dirección de oscilación del dipolo ya que

[

]

r r r s × s × up = 0 La irradiancia media en un punto a la distancia R será

cε 0 E0 e 2 z02ω04 sen 2θ = = 2 32π 2ε 0 c 3 R 2 2

IM

W / m2 19

y la potencia radiada por una carga oscilante o dipolo a todo el espacio se puede calcular integrando la irradiancia en un punto de una superficie esférica,

dS = R 2 senθ dθ dφ

e 2 z02ω04 sen 2θ 2 e 2 z 02ω 04 P = ∫ I M dS = ∫∫ R senθ dθ dφ = 2 3 2 32π ε 0 c R 12π 2ε 0 c 3 Este resultado es importante ya que indica que una carga oscilante emite una potencia proporcional a la cuarta potencia de su frecuencia. Veremos en el tema siguiente, que este hecho está relacionado con el esparcimiento Rayleigh.

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2.10 Más sobre el espectro electromagnético.

Región Radio-ondas largas

Rango de longitud de onda (aprox.)

Rango de frecuencias (aprox.)

Comentarios

10 m

Radio-ondas cortas

10 m – 10cm

3x10 7 - 3x109

Se usan en TV, FM, y otros sistemas de comunicación. Puden viajar cortas distancias ya que la ionosfera es transparente a ellas.

Microondas

10 cm – 1 mm

3x10 9 - 3x1011

Utilizadas en radar, hornos microondas, etc.

Infrarrojo lejano

1 mm – 30 µm

3x10 11 - 1013

Radiación de fondo del universo (3 K).

Infrarrojo térmico

3 0µm – 3 µm

1013 - 1014

Emisión térmica de la tierra y planetas.

Infrarrojo cercano

3µm -700 nm

1014 - 4x1014

Emisión estelar y solar.

Visible

700 nm -400nm (1.7 - 3 eV)

4x10 14 -7x1014

Máximo de emisión por el sol. Radiación visible para el ser humano, películas fotográficas y detectores CCD y video.

Ultravioleta cercano

400nm- 200 nm

Ultravioleta lejano (EUV)

200 nm - 10nm

1.5x1015 - 3x10 16

Fuertemente absorbidas por la materia.

Vacuum UV

200 nm – 10 nm

3x10 16 - 3x1019

Producidas por haces de electrones acelerados en tubos de rayos X.

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Rayos-X

120 eV- 100keV 3x10 16 - 3x1019

Producidas por haces de electrones acelerados en tubos de rayos X, y por transiciones de electrones internos. Muy penetrantes en la materia, hasta algunos cm en agua.

Las radiaciones electromagnéticas pueden tener diferentes efectos sobre el ojo, especialmente el ultravioleta, el visible a elevadas dosis y el infrarrojo. La tabla muestra algunos de los daños que pueden causar.

A continuación comentaremos más propiedades de las diferentes partes del espectro electromagnético. Puede visitarse la página:

http://imagers.gsfc.nasa.gov/ems/radio.html

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2.14.1 Microondas. Las microondas tienen longitudes de ondas del orden del cm, entre unos 30 cm hasta 3 mm.

Estas ondas son emitidas por la tierra, los edificios, los automóviles, aviones y otros objetos de gran tamaño. Debido su corta longitud de onda, pueden atravesar grandes distancias fácilmente a través de la lluvia, la nieve, las nubes o la niebla. Por ello se usan en las comunicaciones por satélite y son muy adecuadas para observar la tierra desde el espacio. En las fotos se muestran icebergs en Alaska (satélite ERS-1, ?=5.7 cm) y la imagen del río Amazonas, (satélite JERS, λ=20 cm).

También son muy útiles para las comunicaciones entre satélite.

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Otra aplicación importante de las microondas es el RADAR (Radio Detection And Ranging). Dado que son ondas centimétricas, pueden ser reflejadas por pequeños objetos, por lo que pueden ser utilizadas para localizar su presencia en una cierta área. Un sistema RADAR consiste en una antena, un transmisor, un receptor y un osciloscopio. La antena gira continuamente para barrer la zona de alrededor. El transmisor emite pulsos de microondas. El receptor recibe la señal reflejada por los objetos que se encuentran en el área. Este pulso reflejado se visualiza en un osciloscopio. El retraso temporal de los pulsos permite calcular la posición del objeto.

Una aplicación muy conocida, es el horno microondas usado para calentar comidas que contienen agua. La frecuencia típica de las ondas de estos hornos es de 2.45 GHz. A esta frecuencia, los dipolos permanentes de la molécula de agua vibran con mucha eficiencia ya que es muy cercana a su frecuencia natural. El campo eléctrico de las ondas orienta los dipolos de la molécula de agua y los hace oscilar al cambiar de signo. De esta manera aumenta la energía cinética media de las moléculas de agua y por ello, su temperatura.

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2.14. 2 Infrarrojo. El Infrarrojo se encuentra entre las microondas y el visible. Su longitud de onda va desde el tamaño aproximado de un cabello hasta el tamaño de una célula.

El infrarrojo lejano es radiación térmica, es decir, emitido por cuerpos a una cierta temperatura. Por ejemplo, el cuerpo humano emite radiación infrarroja de aproximadamente 10 micras. El calor que sentimos en una mañana soleada procede de la radiación infrarrojo emitida por el sol y detectada por las terminaciones nerviosas de nuestra piel. La radiación infrarroja puede usarse para hacer fotografías en falso color. Esta imagen muestra a un hombre con una cerilla encendida. Los diferentes colores se corresponden con diferentes temperaturas. La imagen de la tierra tomada por el satélite GOES 6 usa las diferentes temperaturas para determinar que parte de la imagen corresponden a nubes, mar o tierra. Con ello se puede determinar los diferentes estratos entre nubes con más precisión que utilizando el visible.

El infrarrojo cercano se utiliza en sistemas de control remoto como los mandos a distancia de TV o las llaves de automóviles.

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2.14.3 Visible. El espectro visible corresponde a una parte muy pequeña del espectro electromagnético pero de gran importancia para nosotros ya que es la parte del espectro al que son sensibles nuestros ojos. Se extiende entre 400 nm y 700 nm.

Existen muchas fuentes de radiación visible, como las bombillas incandescentes o ciertos láseres.

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2.14.4 Ultravioleta. El espectro ultravioleta tiene longitudes de onda más cortas que el visible. Nuestros ojos no detectan la presencia de estas ondas pero sí lo hacen algunos insectos como las abejas.

El sol emite gran cantidad de radiación ultravioleta y ciertos satélites captan esta radiación para ver las zonas de emisión y la intensidad de tales emisiones o para hacer imágenes en falso color como la que se muestra aquí:

Esta radiación es muy energética y puede ocasionar daños irreversible en la retina y quemaduras severas en la piel así como alteración celular. Por ello es necesario protegerse mediante filtros. El cristalino del ojo también absorbe parte de la radiación ultravioleta protegiendo así a la retina. Existen láseres que emiten radiación ultravioleta, como la de los láseres de excímero utilizados en oftalmología. En particular el láser de fluoruro de hidrógeno emite en 192 nm y es el más empleado en fotoablación corneal para corregir ametropías oculares.

Daños causador por radiaciones en el ojo 27

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2.14.5 Rayos X. El espectro de rayos X tienen longitudes de onda más corta que el ultravioleta, entre 3 nm y 0.03 nm., por lo tanto del tamaño del átomo. Son por lo tanto radiaciones muy energéticas. Fueron descubiertos por W. Roentgen en 1895 de una manera accidental.

Es peligroso exponerse a dosis elevadas de radiación X, ya que pueden afectar a los núcleos de las células y producir alteraciones genéticas. En dosis pequeñas son muy útiles en medicina para detectar diferentes alteraciones. Ya que son fuertemente absorbidas por los cartílagos, pueden mostrar la estructura ósea . En astronomía son usados para detectar las zonas de emisión de rayos X. Abajo se muestra una imagen de la emisión de rayos X por el sol. Por suerte, la atmósfera es lo suficientemente ancha para absorber prácticamente toda la radiación X emitida por el sol y otros objetos astrofísicos.

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2.14.6 Rayos γ. Los rayos gamma son las radiaciones de longitud de onda más cortas del espectros y las más energéticas. Estas radiaciones están generadas por átomos radiactivos y en reacciones nucleares. Los rayos ? destruyen las células vivas, y de hecho se usan en medicina para eliminar células cancerosas.

Estos rayos son producidos en fenómenos violentos en el universo, como la explosión de supernovas, estrellas de neutrones o pulsares. Por ello su investigación es de gran interés para validar las teorías sobre el origen y estructura del universo.

Por ejemplo, si nuestros ojos vieran los rayos gamma, podríamos ver ol s dos pulsares que se encuentran en la nebulosa del Cangrejo. La de arriba es una imagen en falso color realizada a partir de la emisión de rayos gamma. La imagen inferior corresponde a la imagen generada por la radiación visible.

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