CENTRO DE GRAVEDAD Los objetos extensos reales pueden experimentar traslaciones, rotaciones y otros tipos de movimiento.
Las observaciones indican que aun cuando un cuerpo gira, o varias partes de un sistema de objetos tienen movimiento relativo entre sí, hay un punto que se mueve en la misma trayectoria que se movería una partícula si ésta está sometida a la misma fuerza neta. Este punto se llama centro de masa (o de gravedad).
El movimiento general de un objeto extenso (o sistema de objetos) se puede considerar como la suma del movimiento traslacional del CM, más los movimientos rotacionales, vibratorios o de otros tipos, con respecto al CM. Para un sistema de n partículas, el CM estará en:
1 =
Cuando la distribución de masa es continua, la suma se transforma en integral
1 =
EQUILIBRIO ESTÁTICO Primera Condición de Equilibrio: Para que un objeto esté en reposo, la segunda ley de Newton nos dice que la suma de las fuerzas que actúan sobre él debe ser cero:
= 0
= 0
= 0
Segunda Condición de Equilibrio: La suma de las torcas que actúan sobre el objeto, calculada con respecto a cualquier eje, debe ser cero:
= 0
Ejemplo 1: Sube y baja
Ejemplo 2: Viga para cartel = 25 = 28 = 30° = 2.2
TRABAJO Y ENERGÍA Análisis alternativo del movimiento traslacional de los objetos. ENERGÍA
LEYES DE CONSERVACIÓN
TRABAJO Trabajo realizado sobre un objeto por una fuerza constante se define como: “el producto de la magnitud del desplazamiento del objeto multiplicado por la componente de la fuerza paralela al desplazamiento”. ! = || = cos ! = & ∙ &
Unidades: Joule
( =)∙
Cuando una fuerza específica es perpendicular al desplazamiento, la fuerza NO realiza ningún trabajo.
Cuando tratamos con trabajo, así como con una fuerza, es necesario especificar si hablamos del trabajo efectuado por un objeto específico o sobre un objeto específico. Luna
También es importante puntualizar si el trabajo realizado se debe a una fuerza particular (y a cuál), o al trabajo total (neto) efectuado por la fuerza neta sobre el objeto.
Tierra
TRABAJO EFECTUADO POR UNA FUERZA VARIABLE ! * cos ∆, -
! * cos ∆,
5
! = lim cos ∆,
∆12 →4
6
= cos , 7
Definición general de Trabajo 6
! = 8 ∙ 9& 7
En coordenadas rectangulares ? 9& = :̌ < @ =̌ < A >
? 8 = :̌ < =̌ < > B
B
B
! = < @ < A C
C
C
Ejemplo: trabajo efectuado para comprimir o estirar un resorte a velocidad constante
D = E
F = GE
!D = 8 ∙ 9&
4
!D = D :̌ ∙ :̌ 4
= D 4
1 1 H !D = E = E I = E H 2 2 4 4
Ejemplo 1: Sube y baja Debido a que todas las fuerzas presentes solo tienen componentes distintas de cero en la dirección y, se cumple
= = 0 Para que la tabla permanezca en equilibrio la suma de las componentes en y también debe ser nula
&5 < J & < & < K & = 0
Entonces las magnitudes de estas fuerzas deben cumplir:
5 G J < < K = 0
Note que en ninguna de estas ecuaciones aparece la magnitud x, apliquemos la segunda condición de equilibrio, referida a los momentos de las fuerzas. Para ello, suponemos que el movimiento es alrededor del centro de masa de la tabla. Como todas las fuerzas solo tienen componente en y, y los brazos de palanca solo tienen componente en x, todos los momentos tienen componentes no nulas solo en la dirección z.
Note que como la fuerza normal y el peso de la tabla están aplicadas en el punto de giro, sus respectivos momentos son nulos, entonces debe cumplirse
L&K
L&J
& = L&J M &J < L&K M &K = 0
L&J J
&J
K
L&K &K
L&J M &J = L&J &J sen J EP = 2.5 m 294 Nt sen 90° EP = 735 Nt ∙ m EP
L&K M &K = L&K &K sen K EP = 245 Nt sen 270° EP = G 245 Nt EP
735 Nt ∙ m EP G 245 Nt EP = 0
Con lo que:
735 Nt ∙ m G 245 Nt = 0
=
735 Nt ∙ m =3m 245 Nt
La nena debe colocarse a 3 m del pivote para que la tabla no se mueva..
Ejemplo 2: Viga para cartel
= 2.2
= 28 = 25
= 30°
Apliquemos las condiciones de equilibrio a la barra horizontal (viga) que sostiene el cartel. La primera condición:
&V < & < & < &W = 0
Separando estas fuerzas según sus componentes x e y
&V, < &W, = 0
&V, < & < & < &W, = 0
Eligiendo el sistema de coordenadas tal que el eje x positivo es hacia la derecha y el eje y positivo es hacia arriba, las ecuaciones anteriores conducen a que las magnitudes de estas fuerzas cumplan:
V, G W, = 0
V, G G < W, = 0
Es un sistema de dos ecuaciones con 4 incógnitas (las componentes de &V y &W ). Necesitamos dos ecuaciones más.
Usemos ahora la segunda condición de equilibrio:
& = 0
& = L&V M &V < L&Y M & < L& M & < L&W M &W = 0
Se necesita saber cuál es el brazo de momento o palanca de cada fuerza, para ello debemos determinar respecto de qué punto gira la viga. Por simplicidad suponemos que gira respecto del punto donde está colgado el cartel, entonces L& = L&W = 0
Y la ecuación de los momentos se reduce a
L&V M &V < L&Y M & = 0
Como las fuerzas y los brazos de momento están en el plano x,y, los momentos están en la dirección z, y se pueden escribir como
L&V &V sen V EP < L&Y & sen Y EP = 0 L&Y
Y
&
L&V
L&Y
&V L&V
V
Note que
sen V = sen 180° < = sen 180° cos < cos 180° sen = Gsen
Entonces nuestra ecuación de los momentos queda
G L&V &V sen EP < L&Y & sen 90° EP = 0 G L&V &V sen < L&Y & EP = 0
G2.2 m &V sen < 1.1 m 25 kg 9.8 m/s H EP = 0 Luego la magnitud del vector de la izquierda debe ser nula G2.2 m &V sen < 269.5 Nt ∙ m = 0 &V sen =
269.5 Nt ∙ m = 122.5 Nt 2.2 m
Pero el lado izquierdo es la componente en y de &V , entonces V, = 122.5 Nt
Colocando este valor en la primera condición de equilibrio para las componentes en y G G < = 0 V, W, Puedo obtener la magnitud de la componente en y de &W
W, = GV, < < = 396.9 Nt
La cual está relacionada con la magnitud de su componente x a través de
W, tan = W,
W, = W, tan 30° = 229.2 )_
Recordando la ecuación de equilibrio para la componentes en x de las fuerzas, también se cumple
W, = V, = 229.2 )_
Luego las magnitudes de la fuerza de tensión (&W ) y de la fuerza del pivote (&V ) serán: &W =
&V =
229.2 Nt
229.2 Nt
H
H
< 369.9 Nt
< 122.5 Nt
H
H
= 435.2 Nt
= 259.9 Nt
Finalmente, para saber cuál es la dirección de &V , evaluamos
tan
V, = V,
= 28°7´
