Ejemplo 1: a) ¿Cuál es la ecuación que describe el movimiento de una masa en el extremo de un resorte, que se estira 8.8 cm desde el equilibrio y luego se suelta desde el reposo, y cuyo periodo de oscilación es de 0.66 s? b) ¿Cuál será su desplazamiento después de 1.8 s? Ejemplo 2: En la figura se muestra la gráfica de desplazamiento versus tiempo de una pequeña masa m en el extremo de un resorte. En t = 0, x = 0.43 cm. a) Si m = 9.5 g, encuentre la constante de resorte K. b) Escriba la ecuación para el desplazamiento x en función del tiempo.
CENTRO DE GRAVEDAD Los objetos extensos reales pueden experimentar traslaciones, rotaciones y otros tipos de movimiento.
Las observaciones indican que aun cuando un cuerpo gira, o varias partes de un sistema de objetos tienen movimiento relativo entre sí, hay un punto que se mueve en la misma trayectoria que se movería una partícula si ésta está sometida a la misma fuerza neta. Este punto se llama centro de masa (o de gravedad).
El movimiento general de un objeto extenso (o sistema de objetos) se puede considerar como la suma del movimiento traslacional del CM, más los movimientos rotacionales, vibratorios o de otros tipos, con respecto al CM. Para un sistema de n partículas, el CM estará en:
1 =
Cuando la distribución de masa es continua, la suma se transforma en integral
1 =
EQUILIBRIO ESTÁTICO Primera Condición de Equilibrio: Para que un objeto esté en reposo, la segunda ley de Newton nos dice que la suma de las fuerzas que actúan sobre él debe ser cero:
= 0
= 0
= 0
Segunda Condición de Equilibrio: La suma de las torcas que actúan sobre el objeto, calculada con respecto a cualquier eje, debe ser cero:
= 0
Ejemplo 3: Sube y baja
Ejemplo 4: Viga para cartel = 25 = 28 = 30° = 2.2
Ejemplo 1: a) ¿Cuál es la ecuación que describe el movimiento de una masa en el extremo de un resorte, que se estira 8.8 cm desde el equilibrio y luego se suelta desde el reposo, y cuyo periodo de oscilación es de 0.66 s? b) ¿Cuál será su desplazamiento después de 1.8 s? a) La ecuación de movimiento para una masa en un resorte es: ! = " cos &! + (
Debemos determinar ", & y (. " es la amplitud del movimiento y como el resorte se estira 8.8 y se suelta la masa desde el reposo " = 8.8 cm Para determinar la frecuencia angular &, usamos el dato del período de oscilación, y las ecuaciones que los relacionan: 1 2+ rad & = 2+, = 2+ = = 3+ - 0.66 / s
Para obtener ( consideramos que al tiempo ! = 0, la posición de la masa debe coincidir con el estiramiento inicial de 8.8 cm ! = 0 = 8.8 cm
Considerando esto, la ecuación para este tiempo inicial queda: 8.8 3 = 8.8 3 cos (
Esta ecuación se cumple cuando
cos ( = 1
Por lo tanto, ( = 0; y la ecuación de movimiento es rad ! = 8.8 cm cos 3+ ! s
b) Para conocer el desplazamiento al tiempo ! = 1.8 /, debemos calcular rad ! = 1.8 s = 8.8 cm cos 3+ 1.8 s s ! = 1.8 s = 8.8 cm cos 16.96 rad = −2.72 cm
Entonces la masa estará a 2.72 cm a la izquierda de su posición de equilibrio, si partió a 8.8 cm a la derecha de la misma.
Ejemplo 2: En la figura se muestra la gráfica de desplazamiento versus tiempo de una pequeña masa m en el extremo de un resorte. En t = 0, x = 0.43 cm. a) Si m = 9.5 g, encuentre la constante de resorte K. b) Escriba la ecuación para el desplazamiento x en función del tiempo.
Desde la gráfica podemos obtener los siguientes datos: el período es - = 0.69 s, la amplitud del movimiento es " = 0.82 cm, y el desplazamiento inicial es ! = 0 = 0.43 cm Considerando que la frecuencia angular para el movimiento de una masa en el extremo del resorte viene dada por &=
= &8
Como Luego
1 2+ rad & = 2+, = 2+ = = 9.11 - 0.69 / s
rad = = 9.11 0.0095 kg = 0.788 Nt/m s La ecuación general para un movimiento armónico simple es &8
! = " cos &! + ( Y para este caso tenemos
rad ! = 0.82 cm cos 9.11 !+( s
Usemos la condición inicial para encontrar (
rad ! = 0 = 0.43 cm = 0.82 cm cos 9.11 0+( s
Entonces
0.43 cm cos ( = = 0.524 0.82 cm
1.0188 rad (=> 5.2644 rad
Para identificar cuál de estos dos ángulos es el correcto, usamos la ecuación de la velocidad para este movimiento ! rad rad ? ! = = −0.82 cm ∙ 9.11 sen 9.11 !+( ! s s
Y la evalúo en ! = 0 para ambos valores del ángulo (
cm cm cm ? ! = 0 = −7.47 sen 1.0188 rad = −7.47 ∙ 0.851 = −6.36 s s s
cm cm cm ?8 ! = 0 = −7.47 sen 5.2644 rad = −7.47 ∙ −0.851 = 6.36 s s s Note que el signo es la única diferencia entre ambas velocidades, desde la gráfica se desprende que la pendiente de la curva x vs t en ! = 0, es positiva, entonces la velocidad a ese tiempo es positiva, por lo tanto, la ecuación de movimiento correcta es: rad ! = 0.82 cm cos 9.11 ! + 5.2644 rad s
Ejemplo 3: Sube y baja Debido a que todas las fuerzas presentes solo tienen componentes distintas de cero en la dirección y, se cumple
= = 0 Para que la tabla permanezca en equilibrio la suma de las componentes en y también debe ser nula
CD + E C + C + F C = 0
Entonces las magnitudes de estas fuerzas deben cumplir:
D − E + + F = 0
Note que en ninguna de estas ecuaciones aparece la magnitud x, apliquemos la segunda condición de equilibrio, referida a los momentos de las fuerzas. Para ello, suponemos que el movimiento es alrededor del centro de masa de la tabla. Como todas las fuerzas solo tienen componente en y, y los brazos de palanca solo tienen componente en x, todos los momentos tienen componentes no nulas solo en la dirección z.
Note que como la fuerza normal y el peso de la tabla están aplicadas en el punto de giro, sus respectivos momentos son nulos, entonces debe cumplirse
GCF
GCE
C = GCE H CE + GCF H CF = 0
GCE E
CE
F
GCF CF
GCE H CE = GCE CE sen E IJ = 2.5 m 294 Nt sen 90° IJ = 735 Nt ∙ m IJ
GCF H CF = GCF CF sen F IJ = 245 Nt sen 270° IJ = − 245 Nt IJ
735 Nt ∙ m IJ − 245 Nt IJ = 0
Con lo que:
735 Nt ∙ m − 245 Nt = 0
=
735 Nt ∙ m =3m 245 Nt
La nena debe colocarse a 3 m del pivote para que la tabla no se mueva..
Ejemplo 4: Viga para cartel
= 2.2
= 28 = 25
= 30°
Apliquemos las condiciones de equilibrio a la barra horizontal (viga) que sostiene el cartel. La primera condición:
CK + C + C + CL = 0
Separando estas fuerzas según sus componentes x e y
CK, + CL, = 0
CK, + C + C + CL, = 0
Eligiendo el sistema de coordenadas tal que el eje x positivo es hacia la derecha y el eje y positivo es hacia arriba, las ecuaciones anteriores conducen a que las magnitudes de estas fuerzas cumplan:
K, − L, = 0
K, − − + L, = 0
Es un sistema de dos ecuaciones con 4 incógnitas (las componentes de CK y CL ). Necesitamos dos ecuaciones más.
Usemos ahora la segunda condición de equilibrio:
C = 0
C = GCK H CK + GCM H C + GC H C + GCL H CL = 0
Se necesita saber cuál es el brazo de momento o palanca de cada fuerza, para ello debemos determinar respecto de qué punto gira la viga. Por simplicidad suponemos que gira respecto del punto donde está colgado el cartel, entonces GC = GCL = 0
Y la ecuación de los momentos se reduce a
GCK H CK + GCM H C = 0
Como las fuerzas y los brazos de momento están en el plano x,y, los momentos están en la dirección z, y se pueden escribir como
GCK CK sen K IJ + GCM C sen M IJ = 0 GCM
M
C
GCK
GCM
CK GCK
K
Note que
sen K = sen 180° + = sen 180° cos + cos 180° sen = −sen
Entonces nuestra ecuación de los momentos queda
− GCK CK sen IJ + GCM C sen 90° IJ = 0 − GCK CK sen + GCM C IJ = 0
−2.2 m CK sen + 1.1 m 25 kg 9.8 m/s 8 IJ = 0 Luego la magnitud del vector de la izquierda debe ser nula −2.2 m CK sen + 269.5 Nt ∙ m = 0 CK sen =
269.5 Nt ∙ m = 122.5 Nt 2.2 m
Pero el lado izquierdo es la componente en y de CK , entonces K, = 122.5 Nt
Colocando este valor en la primera condición de equilibrio para las componentes en y − − + = 0 K, L, Puedo obtener la magnitud de la componente en y de CL
L, = −K, + + = 396.9 Nt
La cual está relacionada con la magnitud de su componente x a través de
L, tan = L,
L, = L, tan 30° = 229.2 N!
Recordando la ecuación de equilibrio para la componentes en x de las fuerzas, también se cumple
L, = K, = 229.2 N!
Luego las magnitudes de la fuerza de tensión (CL ) y de la fuerza del pivote (CK ) serán: CL =
CK =
229.2 Nt
229.2 Nt
8
8
+ 369.9 Nt
+ 122.5 Nt
8
8
= 435.2 Nt
= 259.9 Nt
Finalmente, para saber cuál es la dirección de CK , evaluamos
tan
K, = K,
= 28°7´
