Las Matem´aticas Chinas Mar´ıa Nieves Algarra L´opez Cruz Enrique Borges Hern´andez Isabel Garc´ıa Dorta Ver´onica Hern´andez Negr´ın Bego˜ na Hern´andez P´erez 16 de octubre de 2004

´Indice 1. Introducci´ on hist´ orica

3

1.1. Los or´ıgenes y el per´ıodo formativo: dinast´ıas Sh¯ang, Zh¯ou, Q´ın y H`an . . . . .

3

1.2. El periodo de desarrollo: Dinast´ıas W`ei, J`ın, dinast´ıas del Norte y Sur, Su´ı y T´ang

3

1.3. El per´ıodo de esplendor: Dinast´ıas S`ong y Yu´an . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.4. Primera entrada de las matem´aticas occidentales: Dinast´ıa M´ıng . . . . . . . . .

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1.5. El periodo feudal y la segunda entrada de las matem´aticas occidentales . . . . .

5

2. Los comienzos de las matem´ aticas en la antigua China

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2.1. El origen del concepto de n´ umero y de las figuras geom´etricas . . . . . . . . . .

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2.1.1. Leyendas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.1.2. Arqueolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2. Sistemas de numeraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.2.1. Numeraci´on oracular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2.2. Varillas de contar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3. El conocimiento matem´atico en los antiguos textos de antes de la dinast´ıa Q´ın (221 - 206 a.C.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.1. El Libro de las artes, el Libro del maestro M` o y otros . . . . . . . . . . . 12 2.3.2. La educaci´on matem´atica y la aparici´on de los oficiales S¯ihu`ı, Fˇasu`an y Ch´our´en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3. La formaci´ on de sistemas matem´ aticos en la antigua China. Dinast´ıa H` an (206 a.C. - 220 d.C.) 16 3.1. El cl´ asico de la aritm´etica del gnomon y las sendas circulares del cielo . . . . . . 16 3.1.1. El di´alogo sobre matem´ aticas entre R´ ong F¯ ang y el maestro Ch´en. . . . . 17 3.1.2. El teorema G¯oug˘ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1.3. Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2. Nueve cap´ıtulos sobre el arte matem´ atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2.1. Logros en aritm´etica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.2. Logros en geometr´ıa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.3. Logros en ´algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4. Desarrollo de las matem´ aticas Chinas

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4.1. Dinast´ıas W´ei, J´ın, Norte y Sur (221 - 589) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2. Dinast´ıas Su´ı y T´ang (589 - 907) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1

5. Matem´ aticas durante el periodo de esplendor chino. Dinast´ıas S` ong y Yu´ an (960 - 1368) 35 5.1. M´etodos de extracci´on de ra´ıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.2. Trabajos con ecuaciones polin´omicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.3. Investigaciones en series finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.4. Investigaciones en otras ´areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.4.1. An´alisis indeterminado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.4.2. Cuadrados M´agicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.4.3. Trigonometr´ıa esf´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.5. Intercambio de conocimientos matem´aticos durante este periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6. El ´ abaco. Dinast´ıa M´ıng (1368 - 1644)

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7. La primera entrada de las matem´ aticas occidentales. Dinast´ıa M´ıng (1368 1644) 55 8. Matem´ aticas durante el periodo feudal de “Puerta cerrada”. Dinast´ıa Q´ıng (1796 - 1911) 63 8.1. Estudio y comentario de las obras antiguas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 8.2. Investigaciones y desarrollos propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 8.2.1. Estudio de la trigonometr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 8.2.2. Investigaciones en Teor´ıa de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 8.2.3. Suma de series finitas1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 8.2.4. Investigaciones en otras ´areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 9. Segunda entrada de la matem´ atica occidental. Siglo XX

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9.1. Cambio de mentalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 9.2. Traducci´on de textos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 9.3. Nuevo m´etodo de ense˜ nanza y los nuevos textos matem´aticos . . . . . . . . . . . 75 A. Lista de libros chinos

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B. Bibliograf´ıa

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C. Recurso en red

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1. 1.1.

Introducci´ on hist´ orica Los or´ıgenes y el per´ıodo formativo: dinast´ıas Sh¯ ang, Zh¯ ou, Q´ın y H` an

Los primeros restos arqueol´ogicos hallados en China datan del 400000 a.C. Pertenecen al llamado hombre de Pek´ın. Hacia el 200000 a.C. se establece el homo sapiens y finalmente el homo sapiens sapiens se dispersa y crea varias culturas locales sobre el 50000 a.C. Es probable que desde tan antiguo prevenga las relaciones jer´arquicas tradicionales chinas como el parentesco y autoridad. En el periodo entre el 8000 a.C. y el 2200 a. C. se comienza el cultivo del arroz alrededor de los grandes r´ıos, la producci´on de seda y el uso de la cer´amica por los Y˘ansh´ao y posteriormente por los L˘ongsh´ao. La primera dinast´ıa fue los Xi´a y posteriormente los Sh¯ang que ostentaron el poder durante el periodo comprendido entre el 2100 a.C. y el 1040 a.C. De estas primeras dinast´ıas procede los ritos oraculares con huesos de los cuales parece provenir la escritura China. Es tambi´en un periodo de grandes obras p´ ublicas y se comienza la edad de los metales. La primera dinast´ıa que uni´o gran parte del territorio que hoy conocemos como China fue los Zh¯ou que reinaron primero bajo el mandato occidental (1.040 a.C. - 771 a.C.) y luego bajo el mandato oriental (722 a.C. - 221 a.C.). De los primeros podemos destacar la unificaci´on del estado Chino, como coment´abamos anteriormente, as´ı como la difusi´on de la cultura China por todo el territorio. De los segundos podemos decir que fue un periodo de desuni´on y conflictos2 en el terreno pol´ıtico y de creaci´on de multitud de corrientes filos´oficas, entre ellas la que marcar´ıa toda la sociedad moderna China, el confucionismo. Tras este periodo de desuni´on surge el imperio Q´ın (221 a.C. - 206 a.C.). Los avances militares permitieron el sometimiento de los pueblos cercanos y la reunificaci´on mientras que la centralizaci´on del gobierno, unido a la unificaci´on de la escritura, moneda, pesos, medidas, etc. permiti´o un control m´as eficaz del imperio. Es ´este tambi´en un periodo en el que se realizan grandes obras p´ ublicas, sobretodo carreteras y canales de irrigaci´on. A la muerte del emperador Q´ın el imperio cae con ´el. El testigo lo toma la dinast´ıa Han (206 a.C. - 200 d.C.3 .). Durante este periodo se someten a los pueblos de asia central al control Chino, se establecen monopolios de y surge la diplomacia. Un hito muy importante que se producir´ıa durante este periodo es la creaci´on de las oposiciones como medio para obtener un cargo p´ ublico. Esto promovi´o la creaci´on de una clase dirigente “culta”.

1.2.

El periodo de desarrollo: Dinast´ıas W` ei, J`ın, dinast´ıas del Norte y Sur, Su´ı y T´ ang

La ascensi´on de la nobleza durante los u ´ltimos a˜ nos del periodo Han unido a las invasiones “b´arbaras4 ” y la ineptitud de los u ´ltimos emperadores Han precipit´o la ca´ıda del imperio y su 2

Este periodo es conocido como “Primavera y Oto˜ no”(771 - 484 a.C) y como “Estados combatientes”(484 221 a.C.). 3 A partir de aqu´ı las fechas, si no se indica lo contrario, se referir´an a d.C. 4 Por b´arbaras se entiende extranjeras, principalmente n´omadas del norte.

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divisi´on: el norte bajo control mongol y el sur bajo dominio chino. Este es el periodo conocido como las dinast´ıas del norte y del sur (220 - 589). Durante este periodo se produjo una expansi´on del budismo lo cual influy´o en el arte y en aspectos socio-pol´ıticos de la China de la ´epoca. Debido a la fragmentaci´on del imperio y la diversidad que ello conllevaba se produjo un periodo de innovaci´on y creatividad posteriormente muy imitado. La reunificaci´on del imperio la realiz´o la dinast´ıa Sui-T´ang (220 - 907) mediante una cuidada pol´ıtica de matrimonios de conveniencia. Este m´etodo permiti´o no solo reunificar la china, sino tambi´en controlar los territorios de asia central. Durante este periodo se realiz´o una reforma importante en la burocracia, esto es, se crean los seis ministerios principales5 : recursos humanos, hacienda, ceremonias, ej´ercito, justicia y obras p´ ublicas.

1.3.

El per´ıodo de esplendor: Dinast´ıas S` ong y Yu´ an

La p´erdida del control econ´omico junto con la ambici´on de algunos miembros de la corte y las las derrotas militares y/o rebeliones en los territorios “controlados”provoca un periodo de anarqu´ıa y fragmentaci´on del imperio. Mediante un golpe de estado la dinast´ıa S`ong del norte y sur (960 - 1220) sube al poder. Inmediatamente se toman medidas para controlar imperio: se retira de sus puesto a todos los altos cargos militares, se crea el ej´ercito de palacio, se centraliza la burocracia, se toman medidas para difundir la cultura (creaci´on de escuelas) y se adopta el neoconfucionismo. Durante este periodo China goza del liderazgo mundial en pr´acticamente todos los campo: tecnolog´ıa, ciencia, filosof´ıa y cultural. Este liderazgo no solo se muestra en los libros publicados durante este periodo mediante la t´ecnica reci´en descubierta de impresi´on en papel, sino en la construcci´on de barcos de gran tama˜ no, en los avances militares (p´olvora), inventos de la ´epoca (timones, br´ ujulas...), uso de papel moneda, etc. Aparece tambi´en una nueva clase social, los eruditos, que se une a la agr´ıcola, artesana y comerciante. La industria era muy activa y su mercado era puramente interior, casi exclusivo de palacio, y autosuficiente. Con la llegada de “aventureros” como Marco Polo y su posterior difusi´on del esplendor chino, se produce un aumento del comercio exterior y del intercambio cultural. En los u ´ltimos a˜ nos del periodo aparecen estados “fuerte” no-chinos en la frontera norte (Liao, Jin, Yu´an) a la vez que el r´egimen se debilita debido al descontento del ej´ercito con el modelo neoconfucionista. La ineptitud diplom´atica fue incapaz de evitar la invasi´on mongol y la instauraci´on de la dinast´ıa Yu´an (1227 - 1368). Los dirigentes de este periodo gobernaban sobre una extensi´on de terreno extremadamente grande (pr´acticamente toda Asia) y no se centraron en mantener el control sobre sus dominios. Este periodo se caracteriza por una tolerancia ´etnico-religiosa muy grande adem´as de un gran intercambio cultural con occidente por medio de la “ruta de la seda”. 5

Esta organizaci´ on ministerial permanecer´ıa invariante hasta el siglo XX.

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1.4.

Primera entrada de las matem´ aticas occidentales: Dinast´ıa M´ıng

Una sublevaci´on militar consigui´o recuperar el control del imperio y contener a los Yu´an. Sube al poder la dinast´ıa M´ıng (1368-1644) y instaura un r´egimen absolutista. Inmediatamente se procede a instaurar un “c´odigo de conducta” y un r´egimen de violencia y terror. La reforma llevada a cabo en el sistema tributario para mejorar las condiciones de vida del pueblo y la corrupci´on generalizada ocasiona una debilidad econ´omica muy fuerte y que se prolongar´ıa durante siglos. En lo cultural se vuelve a los modelos Han y Sui-T´ang obteniendo resultados exitosos en campos como la filosof´ıa, la literatura o el arte. En contraposici´on con estas medidas se abandona la flota, el comercio exterior y el imperio comienza a desinteresarse por los sucesos que ocurren fuera de sus fronteras. Todo esto unido al periodo renacentista europeo hace perder a China el liderazgo tecnol´ogico-cultural. Los manch´ u invaden China y ocupan el poder sin demasiada dificultad debido a la debilidad del r´egimen. Se inaugura as´ı la u ´ltima dinast´ıa, los Q´ıng (1644 - 1911). Se desarroll´o una creciente inter´es por la cultura cl´asica y por la cultura introducida durante las misiones jesuitas. Por este motivo se promueve desde palacio la traducci´on e impresi´on de obras occidentales tanto de matem´aticas como de otras ciencias. Este gusto por los libros se complementa con la creaci´on de grandes enciclopedias de varios centenares de cap´ıtulos que conten´ıan gran parte del saber de la ´epoca. Sin embargo, el contraste es muy fuerte cuando nos damos cuenta del escaso inter´es en el comercio mar´ıtimo o exterior que exist´ıa en la ´epoca.

1.5.

El periodo feudal y la segunda entrada de las matem´ aticas occidentales

Durante el periodo manch´ u se produce un aumento de poblaci´on, pero parad´ojicamente la productividad de la tierra desciende. No es lo u ´nico que desciende en este periodo. La introducci´on del opio por parte de los ingleses para mejorar la balanza comercial con China unida a la corrupci´on (motivada en gran parte por el opio) y la hambruna generalizada desmoralizan al pueblo. Pero no solo el pueblo ha perdido la confianza en si mismo, tambi´en los gobernantes debido a las humillantes derrotas en las guerras (Guerras del opio) que se sucedieron con las potencias occidentales por la negativa china a abrir sus fronteras al comercio exterior y por los posteriores tratados (Tratados desiguales) que dejan a la china imperial al borde de la quiebra y con la confianza de sus dirigentes muy minada. Se produce una apertura al exterior motivada por la presi´on externa y comienza la invasi´on cultural en China. En contraposici´on a esta corriente surge el nacionalismo y comienzan revueltas por todo el pa´ıs. Tras largos a˜ nos de levantamientos locales y guerras con las potencias occidentales la dinast´ıa cae. En su lugar se proclama la Rep´ ublica Popular China.

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2. 2.1. 2.1.1.

Los comienzos de las matem´ aticas en la antigua China El origen del concepto de n´ umero y de las figuras geom´ etricas Leyendas

Puesto que la civilizaci´on china es muy antigua, hay que remontarse mucho tiempo atr´as para poder establecer cu´ando surgieron las matem´aticas. Es muy dif´ıcil responder a esta cuesti´on y no puede hacerse con precisi´on, y por ello es por lo que en China han surgido diversas leyendas que hacen alusi´on a este tema. El Libro sobre los ancestros es un antiguo libro sobre la prehistoria china que se encuentra perdido, pero que conocemos por referencias que hacen de ´el en otros escritos. En este libro aparece la leyenda del emperador Amarillo, al cual se le atribuye haber reinado durante los a˜ nos 2698 - 2598 a.C. Este emperador encarg´o a varios de sus s´ ubditos que cada uno realizara una tarea diferente: observar el Sol, la Luna, las estrellas, fijar la escala musical, establecer m´etodos para determinar el tiempo y la disposici´on de las estaciones, y a uno de ellos le encarg´o crear la aritm´etica. Esta leyenda se extendi´o ampliamente por China, en la antig¨ uedad, y se encuentra en varios textos antiguos. Atribuirle la creaci´on de la noci´on de n´ umero a una sola persona es inveros´ımil, puesto que s´olo es posible que este concepto se haya ido formando a lo largo de la historia, gradualmente, seg´ un las necesidades de la actividad humana. Existen tambi´en leyendas que hablan de la utilizaci´on de quipus6 durante la prehistoria. Estas leyendas dicen que los hombres prehist´oricos usaban varios tipos de nudos para recordar diferentes asuntos y que luego fueron sustituidos por la escritura. No es descabellado pensar que las tribus chinas de la Edad de Piedra usaran este m´etodo para registrar n´ umeros, ya que el sistema de nudos aparece explicado en escritos antiguos. Otras leyendas atribuyen a diferentes personas la invenci´on de la escuadra y el comp´as. Se han encontrado grabados en los que aparecen los personajes de las leyendas usando dichos instrumentos, uno de ellos data de la ´epoca de la dinast´ıa Han, alrededor del siglo II d.C. Tambi´en se mencionan en relatos de la historia de la dinast´ıa Xi´a. Por todo esto, se cree que estos instrumentos, aparecieron en una ´epoca bastante temprana, con los que se realizaban figuras geom´etricas sencillas. De todos estos mitos podemos sacar en claro que desde tiempos remotos, los chinos empezaron a tener conciencia de los n´ umeros y las figuras geom´etricas. 2.1.2.

Arqueolog´ıa

Atendiendo a la arqueolog´ıa se pueden encontrar indicios de los comienzos de las matem´aticas chinas. Seg´ un restos encontrados en excavaciones, hace alrededor de 100.000 a˜ nos, el hombre de H´e T`ao tallaba sus utensilios de piedra en forma de diamante. En la cultura Y˘angsh´ao, m´as avanzada (5.000 a.C.), se realizaban dise˜ nos de animales y figuras geom´etricas en los objetos de cer´amica. Algunos de estos dibujos geom´etricos estaban formados por combinaciones de l´ıneas rectas y tri´angulos y otros por c´ırculos y l´ıneas curvas. 6

Un quipu es un juego de cuerdas anudadas seg´ un un sistema codificado que permite llevar la contabilidad, y que tambi´en fue usado por los Incas debido a la necesidad de realizar inventarios.

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Despu´es de varias decenas de miles de a˜ nos desde las primeras poblaciones primitivas, surgi´o una sociedad con estructura de clases (2.000 a.C.). Esta fue la sociedad esclavista que exist´ıa durante la dinast´ıa Sh¯ang (siglo XVI - XI a.C.), que estaba bastante desarrollada, pues hab´ıa una divisi´on de las labores dentro de la comunidad. Los chinos es esa ´epoca ten´ıan una agricultura adelantada y se han encontrado construcciones de planta circular y rectangular que serv´ıan para el almacenamiento del grano. Adem´as se extendi´o el uso del bronce con el que fabricaban armas y diversos utensilios. De la divisi´on de las tareas en la sociedad surgi´o el comercio, y con ´el, el dinero. Se han encontrado monedas con un agujero en el centro que fueron usadas en esos tiempos. Alrededor del siglo XIV a.C., la dinast´ıa Sh¯ang cambi´o de lugar la capital y la econom´ıa y la cultura dieron un paso adelante. Y en las u ´ltimas ´epocas de esta dinast´ıa aparecieron algunas formas de calendario gracias a los requerimientos de la agricultura.

2.2. 2.2.1.

Sistemas de numeraci´ on Numeraci´ on oracular

Desde finales del siglo XIX d.C. se ha encontrado una gran cantidad de inscripciones realizadas en conchas de tortuga (m´as concretamente la concha inferior) y huesos de animales en excavaciones hechas en la provincia de H´en´an. Las investigaciones han mostrado que los nobles del periodo de la dinast´ıa Sh¯ang rend´ıan culto a los esp´ıritus de sus antepasados y los invocaban para preguntarles toda clase de cuestiones, como por ejemplo, interrogarles para saber cu´ales eran los tiempos mejores para viajar, recoger las cosechas o celebrar fiestas. Las preguntas que formulaban eran registradas en conchas y huesos junto con las respuestas recibidas. Todas las inscripciones que se han encontrado con esta clase de graf´ıa son or´aculos y por eso, este tipo de caracteres se denomina escritura oracular. La forma m´as temprana de escritura que se ha descubierto en China es la oracular, aunque tambi´en se han encontrado s´ımbolos aislados en la alfarer´ıa del periodo Y˘angsh´ao. Es un material valioso para entender mejor el tiempo de la dinast´ıa Sh¯ang y gracias a ella tenemos informaci´on escrita de ´epocas remotas. Por los restos encontrados, sabemos que durante la dinast´ıa Sh¯ang, la gente utilizaba una escritura de 5.000 caracteres y entre ellos estaban los numerales. A menudo, en estos huesos oraculares est´a registrado el n´ umero de animales cazados, prisioneros capturados, enemigos eliminados, animales dom´esticos ofrecidos en sacrificio a los esp´ıritus, etc. Tambi´en est´an inscritas fechas y aparecen c´omputos de d´ıas. Los numerales de la escritura oracular forman un sistema multiplicativo de base diez, el n´ umero menor que se encuentra es el uno, no hab´ıa s´ımbolo para el cero, y el mayor es el treinta mil. Los n´ umeros del uno al diez tienen caracteres especiales, as´ı como el cien, el mil y el diez mil, los dem´as n´ umeros se forman combinando estos caracteres. Estos son los ideogramas de los n´ umeros del uno al diez, cien, mil y diez mil en la escritura oracular, junto con la numeraci´on moderna que se usa actualmente en china, tambi´en llamada numeraci´on est´andar, que se deriva de la oracular:

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Podemos observar que el veinte, treinta,. . . , doscientos, trescientos,. . . , dos mil, tres mil,. . . y treinta mil se expresan con s´ımbolos compuestos por dos de los anteriores, por ejemplo, el doscientos, se representa con el s´ımbolo del dos pegado al del cien. En la numeraci´on est´andar se escribe un s´ımbolo a continuaci´on del otro, el doscientos se representa con el s´ımbolo del dos seguido por el del cien.

De esta manera, en la numeraci´on oracular, el dos mil seiscientos cincuenta y seis, se representa Adem´as de la escritura oracular se conocen otros tipos de escrituras antiguas posteriores. Durante la ´epoca de la dinast´ıa Zh¯ou (siglo XI - 221 a.C.) aparece la llamada “escritura del bronce”, denominada de esa forma porque se ha encontrado en grabados hechos en bronce. Los numerales pertenecientes a este tipo de graf´ıa son similares a los oraculares y se utilizaba el s´ımbolo (en la escritura moderna es , que significa “y”) para separar las unidades de las decenas, las decenas de las centenas, etc. En la dinast´ıa H`an (206 a.C. - 221 d.C.) el car´acter usado para las separaciones fue eliminado, y la forma de los n´ umeros era casi igual a la actual.

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Actualmente tambi´en existen otros dos tipos de n´ umeros derivados de los est´andar, son los oficiales y los comerciales. Los n´ umeros oficiales son una versi´on m´as decorativa de los n´ umeros est´andar, que se utilizan en los documentos legales y los billetes de banco para evitar falsificaciones. Y los n´ umeros comerciales son una simplificaci´on de los n´ umeros est´andar, y fueron dise˜ nados en el siglo XVI d.C. para escribir m´as r´apidamente y poder usarlos en el comercio. 2.2.2.

Varillas de contar

Antiguamente en China, realizar c´alculos no implicaba directamente el manejo de numerales escritos. El medio que se usaba para realizar operaciones eran las varillas de contar. Dichas varas, hechas de bamb´ u, se utilizaban para operar con ellas, orden´andolas en diferentes configuraciones sobre el suelo o cualquier superficie plana, para representar n´ umeros y realizar c´alculos con ellos. Estas varillas se transportaban en un manojo hexagonal que se pod´ıa llevar c´omodamente en la mano y su longitud ha variado mucho durante el transcurso del tiempo. Desde la dinast´ıa H`an hasta la dinast´ıa Su`ı ha ido disminuyendo gradualmente desde los 14 cm. a los 7 cm. Esto se debe, probablemente, a que las varillas peque˜ nas son m´as f´aciles de manipular. Con respecto al momento hist´orico en el que aparecieron, no se sabe nada a ciencia cierta, s´olo que surgieron debido a los requerimientos del desarrollo de la sociedad, el comercio, la administraci´on y la ciencia, que precisaban de un sistema de c´alculo eficiente y r´apido, y que desde el periodo de los Estados Combatientes (481 - 221 a.C.) la gente estaba familiarizada con ellas, puesto que se ha encontrado cer´amica de esta ´epoca que tiene marcas hechas con varillas. Por lo que puede ser que el sistema de notaci´on decimal posicional haya aparecido durante la ´epoca Primavera y Oto˜ no (770 - 476 a.C.) o durante los Estados Combatientes. Las varas de contar m´as antiguas que se han encontrado datan de la ´epoca de la dinast´ıa H`an.

De este sistema de c´alculo se deriva la palabra matem´aticas (mecanismo para calcular) en chino, que se escribe , car´acter formado por , que significa “jugar con” y por , que significa “bamb´ u”, por lo tanto, matem´aticas ser´ıa “jugar con bamb´ u”. 9

2.2.2.1.

Notaci´ on decimal posicional

La representaci´on de los n´ umeros con varillas de contar es un sistema de numeraci´on decimal posicional. Hay dos maneras de expresar los n´ umeros del uno al nueve, la forma vertical y la forma horizontal, y el cero se expresa con un espacio en blanco.

Para formar cualquier n´ umero, las unidades se pondr´ıan con la forma vertical, las decenas con la horizontal, las centenas con la vertical, y as´ı alternativamente. Se colocan de derecha a izquierda, empezando por las unidades, de la misma manera que el sistema de numeraci´on que se utiliza en occidente hoy en d´ıa. Por ejemplo:

Al hacer los c´alculos, dejar un espacio para el cero no plantea problemas, pues el calculista siempre conoce las cantidades con las que est´a trabajando, la dificultad apareci´o cuando las posiciones de las varillas pasaron a ser signos escritos. Entonces s´ı pod´ıan producirse confusiones al interpretar los n´ umeros. Esto se solucion´o en 1247 d.C. con la aparici´on de un signo circular para esta cifra. A comienzos de la Era Cristiana aparecieron los n´ umeros positivos y negativos, que iban con varillas rojas y negras respectivamente. En la notaci´on escrita, los n´ umeros negativos se representaban tachando su u ´ltima columna. N´otese que en las cifras del seis al nueve, la varilla de contar situada en la parte superior simboliza cinco varillas, as´ı no se necesitan m´as de cinco varas para cada d´ıgito, se ahorra espacio y se trabaja mejor con ellos. De hecho, en este sistema se bas´o el ´abaco chino: cada cuenta que est´a por encima de la barra se entiende como cinco cuentas de las de por debajo. Aunque ´este fue un invento muy posterior, su uso se generaliz´o a mitades del siglo XV d.C.

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2.2.2.2.

Operaciones aritm´ eticas con las varillas de contar

Las cuatro operaciones aritm´eticas b´asicas se usaron en China desde ´epocas muy tempranas, aunque es de suponer que se inventaran primero la suma y la resta. SUMA: ejemplo: 456+789 Para sumar se representan los n´ umeros con las varillas en filas y se va sumando de izquierda a derecha, en este caso se empieza por las centenas, a˜ nadir 7 a 4, luego se suman las decenas y despu´es las unidades, recolocando el resultado en cada paso.

RESTA: ejemplo: 1245-789 La resta es similar a la suma, se colocan los dos n´ umeros y se empieza restando de izquierda a derecha, en este caso comenzamos restando 7 de las centenas, (2-7 no se puede restar, entonces convertimos una unidad de mil en diez centenas y sustraemos 12-7) y luego hacemos lo mismo con las decenas y las unidades, recolocando el resultado en cada paso.

La multiplicaci´on y la divisi´on est´an asociadas a la “Rima de los nueve nueves”, que todos los chinos conocen: Un uno es uno, un dos es dos, un tres es tres,. . . , un nueve es nueve. Dos dos son cuatro, dos tres son seis,. . . ” Como vemos, son las tablas de multiplicar, aunque parece ser que en el pasado esta rima era un poco diferente, se cree que fue adoptada a lo largo de toda China no mucho despu´es de la ´epoca de Primavera y Oto˜ no o de los Estados combatientes y empezaba con “nueve nueves son ochenta y uno” y acababa con “dos dos son cuatro”. Y por empezar as´ı, se le dio el nombre de 11

“Rima de los nueve nueves”. Se han encontrado tiras de bamb´ u de la ´epoca de la dinast´ıa H`an en la que aparece la rima de est´a manera, es en el siglo XIII ´o XIV d.C., durante la dinast´ıa S`ong, cuando el orden de la rima se invierte y queda como hoy en d´ıa, empezando por la tabla del uno y acabando por la del nueve. ´ MULTIPLICACION: ejemplo: 234 · 456

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Tenemos los dos n´ umeros colocados como en el diagrama (1). La fila superior es el multiplicador, la inferior es el multiplicando. Para multiplicar se pone un n´ umero encima del otro, de tal manera que la cifra de mayor valor del n´ umero superior coincida con la de menor valor del inferior, dejando una fila en blanco en medio de los dos, que ser´a en la que obtengamos el producto. Seguidamente se multiplica la cifra de mayor valor del n´ umero de arriba, el 2, por cada uno de los d´ıgitos de la fila de abajo, 4, 5 y 6, de izquierda a derecha, sumando el resultado en la fila del medio despu´es de cada multiplicaci´on. Obtenemos 912, como podemos observar en el diagrama (2). Se quita el 2 del multiplicador, para indicar que ya ha sido usado para multiplicar. A continuaci´on movemos el n´ umero inferior un espacio hacia la derecha, situando su cifra de menor valor, debajo de la segunda cifra de mayor valor del n´ umero superior, el 3, como se aprecia en el dibujo (3), y multiplicamos el segundo d´ıgito de mayor valor del n´ umero superior por cada uno de los d´ıgitos de la fila inferior, sumando los resultados en la fila del medio, obtenemos 10488. Se quita el 3 del multiplicador, y se vuelve a rodar el multiplicando, como vemos en (4). Usamos el u ´ltimo d´ıgito de la fila superior, 4, para multiplicarlo por cada uno de las cifras de la fila inferior, sumando los resultados en el medio, obteniendo 106704, que es el producto que busc´abamos y quitamos el 4, como aparece en (5). El m´etodo utilizado para dividir es el mismo que el de la multiplicaci´on, pero a la inversa.

2.3. El conocimiento matem´ atico en los antiguos textos de antes de la dinast´ıa Q´ın (221 - 206 a.C.) 2.3.1.

El Libro de las artes, el Libro del maestro M` o y otros

El Libro de las artes fue escrito por letrados del estado feudal Q´ı en la ´epoca de los Estados Combatientes (475 - 221 a.C.). Trata b´asicamente sobre t´ecnicas de fabricaci´on de objetos, como coches de caballos, embarcaciones y arcos y flechas. Adem´as describe pautas y dimensiones para su elaboraci´on. Por tanto contiene algunos datos sobre fracciones, ´angulos, y unidades de medida. 7

Est´a escrito con n´ umeros ar´ abigos para una mejor comprensi´on.

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En una parte del libro aparece la l´ınea “una d´ecima parte de una pulgada”, que obviamente representa una fracci´on. En ´epocas posteriores tambi´en se us´o ese tipo de terminolog´ıa para referirse a las fracciones: una d´ecima parte de una pulgada, dos d´ecimas partes de una pulgada, etc8 . Las unidades para medir ´angulos que se encuentran en este libro son: j˘ u = 90o xu¯an = 45o (= 1/2 j˘ u) zh´ u = 67o 300 (= 1 1/2 xu¯an) k¯e = 101o 150 (= 1 1/2 zh´ u) q´ıngzh´e = 151o 520 3000 (= 1 1/2 k¯e) Aunque tambi´en se med´ıan ´angulos usando arcos de circunferencia. Por ejemplo, nos encontramos el siguiente pasaje, que describe c´omo se hac´ıan los arcos para los nobles de la dinast´ıa Zh¯ou: Hacer arcos para el emperador, nueve arcos juntos forman una circunferencia. Hacer arcos para los se˜ nores feudales, siete arcos juntos forman una circunferencia. Arcos para los oficiales del emperador, cinco arcos juntos forman una circunferencia. Arcos para los letrados, tres arcos juntos forman una circunferencia. Este es un caso en el que se usa el arco de la circunferencia para medir el ´angulo de curvatura que tiene que tener este arma en cada caso. En esta ´epoca, al concepto de ´angulo se le daba mucha importancia. En el libro mencionado anteriormente tambi´en aparece la medida est´andar de capacidad, el f´ u, que es un recipiente de un pie c´ ubico9 . Tambi´en se dan los vol´ umenes est´andar d`ou y sh¯eng. Naturalmente, las medidas que propuso el Libro de las artes s´olo se aplicaron en el estado feudal Q´ı, cuando lleg´o la dinast´ıa Q´ın y unific´o China, se unificaron las medidas de longitud, volumen, capacidad y masa. Obviamente, para esto hicieron uso de las matem´aticas. El Libro del maestro M`o es otra obra escrita antes de la dinast´ıa Q´ın, se cree que fue escrita por los disc´ıpulos del maestro M`o y es conocida tambi´en como Cuatro cap´ıtulos de M` oz˘i. Contiene una colecci´on de apartados con conceptos y definiciones, y muchos de ellos tratan de matem´aticas, l´ogica y f´ısica.

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La pulgada en China ha tenido diferente longitud a lo largo de las distintas ´epocas de su historia, variando entre 220 5 y 330 3 mm. 9 El pie, al igual que la pulgada, ha variado de valor a lo largo de la historia china.

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Este tratado contiene conceptos de geometr´ıa: Igual: Misma altura. En l´ınea recta: Tres puntos alineados. Misma longitud: Emparejar de forma exacta. Centro: Punto a la misma longitud. Circunferencia: Un centro con la misma longitud. Tambi´en contiene la noci´on de punto, l´ınea, superficie, s´olido y las nociones de suma y resta. Hacia finales del periodo de los Estados Combatientes, algunos sabios empezaron a abstraer lo que ve´ıan en el mundo f´ısico y surgi´o la l´ogica. Estos pensadores escribieron frases parad´ojicas como “un pollo tiene tres patas”, “el fuego no es caliente”, etc. Muchas de estas frases son absurdas, pero otras tienen un significado matem´atico, como la siguiente: Un palo de un pie de largo, le quitamos la mitad cada d´ıa y no se terminar´a en diez mil generaciones. Lo que corresponde a la expresi´on: 1 1 1 1 + 2 + 3 + · · · + n −→ 1 2 2 2 2 A medida que vamos sumando t´erminos nos vamos aproximando a uno, pero nunca llegamos. Estos eruditos llegaron con esto al concepto matem´atico de que un segmento finito de una recta se puede representar como suma infinita de segmentos finitos. Muchos libros de texto matem´aticos usados actualmente en China, usan frecuentemente el ejemplo de “tomar la mitad diariamente” para explicar la noci´on de l´ımite. 2.3.2.

La educaci´ on matem´ atica y la aparici´ on de los oficiales S¯ihu`ı, Fˇ asu` an y Ch´ our´ en

Durante el gobierno de los Zh¯ou, se establecieron varios cargos p´ ublicos, que se dedicaban a diversas tareas. Uno de ellos era el de oficial B˘ao Sh`ı. Estos oficiales se dedicaban a la educaci´on, puesto que en esta ´epoca ya hab´ıa un sistema educativo para los ni˜ nos de la nobleza y se les ense˜ naban las seis artes que todo caballero deb´ıa conocer: rituales, m´ usica, arquer´ıa, equitaci´on, caligraf´ıa y matem´aticas. El plan de estudios era el siguiente: 6 a˜ nos: Contar del uno al diez y los puntos cardinales. .. . 9 a˜ nos: Trabajar con d´ıas y fechas. 14

10 a˜ nos: Historia, escritura y c´alculo. Los oficiales llamados S¯ihua`ı eran los encargados de los censos dentro de las fronteras del imperio, estaban bien organizados y eran los encargados de realizar las estad´ısticas. Durante los Estados Combatientes, en el ej´ercito hab´ıan oficiales especializados en hacer las estad´ısticas militares. Tambi´en hab´ıa un rango de la armada llamado F˘asu`an. Quien tuviera este cargo, era el que ten´ıa bajo su responsabilidad la distribuci´on del armamento, comida, el sueldo de los soldados, las entradas de dinero y los gastos realizados por el ej´ercito. Por supuesto, estos trabajos requer´ıan de las matem´aticas. Hab´ıa tambi´en otros oficiales que ten´ıan que saber mucho de c´alculo para poder realizar su trabajo, eran los que se dedicaban a la astronom´ıa y el calendario. Los oficiales F´eng Xi¯an Sh`ı se dedicaban a computar el calendario y establecer las cuatro estaciones, los Bˇao Zh¯ang Sh`ı realizaban mapas estelares y determinaban el movimiento de los astros, y los oficiales Ch´our´en tambi´en eran astr´onomos.

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3.

La formaci´ on de sistemas matem´ aticos en la antigua China. Dinast´ıa H` an (206 a.C. - 220 d.C.) En este periodo destacan dos libros importantes, que se ver´an a continuaci´on.

3.1.

El cl´ asico de la aritm´ etica del gnomon y las sendas circulares del cielo

Poco despu´es de que la dinast´ıa H`an reemplazara a la Q´ın, hubo un gran incremento en la capacidad de producci´on que fue seguido por un r´apido desarrollo en varias ´areas de la ciencia y la tecnolog´ıa. Esto foment´o un gran auge en las matem´aticas. El cl´ asico de la aritm´etica del gnomon y las sendas circulares del cielo. Es un escrito sobre astronom´ıa y contiene algunos conceptos de matem´aticas. Esta obra es consecuencia de una acumulaci´on gradual de resultados cient´ıficos de los periodos de las dinast´ıas Zh¯ou y Q´ın, y se cree que fue escrito alrededor del final del siglo II a.C. Este libro ha sido comentado por matem´aticos posteriores, y los contenidos matem´aticos que destacan son c´alculos sobre agrimensura y cuerpos celestes utilizando el teorema G¯oug˘ u (Pit´agoras) y c´alculos con fracciones. Durante la ´epoca H`an se estudi´o mucho la astronom´ıa, y a finales de esta dinast´ıa ya hab´ıa tres escuelas que se dedicaban al estudio del cielo: la escuela Zh¯oub`ı, la Xu¯an Y`e y la H´ un Ti¯an. ´ Esta u ´ltima estaba representada por el escritor, astr´onomo, matem´atico y ge´ografo Zh¯an H´eng. Zh¯an H´eng naci´o en el a˜ no 78 d.C. en el seno de una familia importante, y fue educado en el confucionismo. Primeramente, estudi´o literatura y realiz´o varias obras que le dieron una fama considerable como poeta y escritor, pero a la edad de treinta a˜ nos se decant´o por los estudios cient´ıficos. En el a˜ no 116 d.C. lo designaron funcionario de la corte del emperador, llegando a ser, m´as tarde astr´ologo principal y ministro, aunque no eran ambicioso respecto a ascender en su carrera y pasaba muchas temporadas alejado de la capital, en soledad, para meditar sobre la naturaleza del universo. Uno de sus inventos fue el sism´ografo, y como astr´ologo principal corrigi´o el calendario, seg´ un sus observaciones, en el a˜ no 123 d.C. y fue la primera persona en construir una esfera celeste. Su teor´ıa sobre el universo consist´ıa en que la Tierra era muy peque˜ na comparada con la inmensidad del universo. Desde su faceta de matem´atico investig´o sobre los cuadrados m´agicos de orden 3×3, que fueron estudiados por matem´aticos de ´epocas posteriores, y ser´an explicados m´as adelante. Tambi´en propuso, en un tratado sobre √ las circunferencias inscritas y circunscritas en un cuadrado, que se le diera a π el valor de 10 ≈ 30 162 y dio la expresi´on del volumen de una esfera en funci´on del volumen del cubo circunscrito. Aunque estos resultados no son muy exactos, su trabajo se diferencia de los logros matem´aticos anteriores en que fue basado en un c´alculo te´orico y no en la pr´actica, como se hac´ıa anteriormente. Zh¯an H´eng muri´o en el a˜ no 139 d.C. La escuela de astronom´ıa Zh¯oub`ı se dedic´o a estudiar y desarrollar una teor´ıa llamada G`ai Ti¯an, que una de las cosas que afirma es que “el cielo es como un paraguas y la Tierra es como un cuenco al rev´es”, haciendo referencia a los tama˜ nos de nuestro planeta y la esfera celeste. 16

A continuaci´on se detalla el contenido de El cl´ asico de la aritm´etica del gnomon y las sendas circulares del cielo. 3.1.1.

El di´ alogo sobre matem´ aticas entre R´ ong F¯ ang y el maestro Ch´ en.

En este libro aparece un di´alogo entre R´ong F¯ang y el maestro Ch´en, en el que el maestro Ch´en da su punto de vista sobre los objetivos de las matem´aticas y sus m´etodos, y tambi´en comenta sobre las actitudes que se tienen frente al aprendizaje de las matem´aticas. Lo que aparece en este pasaje no s´olo es interesante, sino que tiene un valor pedag´ogico. En este discurso del maestro, en primer lugar dice que las matem´aticas tienen una amplia aplicaci´on y, en segundo lugar, recalca la importancia de instruirse en el pensamiento deductivo e inductivo. 3.1.2.

El teorema G¯ oug˘ u. El teorema G¯oug˘ u es el conocido en occidente como teorema de Pit´agoras. Este teorema se usaba mucho para medir distancias, ello se hac´ıa teniendo en cuenta la longitud de un palo vertical y la sombra que arrojaba, por lo que se considera a uno de los catetos del tri´angulo rect´angulo, llamado G˘ u, como dicho palo, y el otro cateto ser´ıa su sombra, que recibe el nombre de G¯ou. A la hipotenusa se le puso el nombre de Xi´an. Esto podemos apreciarlo en la figura. El tri´angulo rect´angulo recibe el nombre de “forma G¯ougˇ u”. En este libro, aparece una de las primeras demostraciones de este teorema, realizada mediante diagramas, que se ilustra en las siguientes figuras:

La traducci´on del texto dice lo siguiente: Cortemos un rect´angulo (por la diagonal), de manera que la anchura sea 3 (unidades) y la longitud 4 (unidades). La diagonal entre los (dos) extremos tendr´a entonces una longitud de 5. Ahora, tras dibujar un cuadrado sobre esta diagonal, circunscribirlo con semirrect´angulos como el que ha sido dejado en el exterior, de modo que se forme una figura plana (cuadrada). As´ı, los (cuatro) semirrect´angulos 17

exteriores, de anchura 3, longitud 4 y diagonal 5, forman en conjunto dos rect´angulos (de 24 de ´area); luego (cuando esto se resta de la figura plana cuadrada de ´area 49), el resto tiene 25 de ´area. Este proceso se llama “apilamiento de rect´angulos”. En t´erminos de la figura b), el cuadrado mayor ABCD tiene un lado de 3 + 4 = 7 y, consecuentemente, un ´area de 49. Si a partir de este cuadrado grande se eliminan cuatro tri´angulos (AHE, BEF , CF G y DGH), que en conjunto forman dos rect´angulos, cada uno de ellos de ´area 3 · 4 = 12, nos queda el cuadrado m´as peque˜ no HEF G. Impl´ıcitamente tenemos: (3 + 4)2 − 2 · (3 · 4) = 32 + 42 = 52 Esta demostraci´on es un caso particular, la ampliaci´on de esta prueba a un caso m´as general se dio posteriormente. El teorema G¯oug˘ u se consideraba muy importante en la ´epoca en la que se escribi´o el libro, ya que en ´el se menciona que el emperador no podr´ıa gobernar sin el conocimiento de este teorema. Adem´as aparecen muchos ejemplos de su aplicaci´on, como por ejemplo, calcular la hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo: G¯ou, G˘ u, cada uno multiplicado por s´ı mismo y sumados, y entonces tomando la ra´ız cuadrada obtenemos la hipotenusa. Es decir: c =

√

a2 + b 2

Tambi´en hay ejemplos en los que se miden alturas, profundidades y distancias, estas mediciones en la superficie de la Tierra eran bastante exactas, aunque cuando se aplicaban a la astronom´ıa daban lugar a resultados err´oneos. Con ayuda del gnomon, que es la vara vertical de un reloj de sol, se med´ıan alturas como vemos en la siguiente figura:

El segmento CD es el gnomon, y conocidas las distancias AD, CD y AB, y por semejanza de tri´angulos y el teorema G¯oug˘ u, se averiguaba la altura del ´arbol.

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3.1.3.

Fracciones

El cl´ asico de la aritm´etica del gnomon y las sendas circulares del cielo contiene algunos c´alculos con fracciones relativamente complicados, y aunque no hay duda de que estos c´alculos fueran hechos con varillas de contar, no hay explicaciones en el libro de los sistemas utilizados para realizarlos. Todas estas manipulaciones con fracciones eran absolutamente necesarias para el c´omputo del calendario y la astronom´ıa, por eso aparecen en el libro dichos c´alculos, que ten´ıan un nivel bastante avanzado. En la computaci´on del calendario, calculaban que un a˜ no tiene una duraci´on de 356 14 d´ıas (vemos que usaban n´ umeros mixtos), esto lo sacaban de consideraban que el Sol se rueda en su posici´on un grado cada d´ıa, observado desde la Tierra. Sacaron la cuenta de que deber´ıan a˜ nadir 7 meses lunares adicionales al cabo de 19 a˜ nos, por lo que cada a˜ no deber´ıa tener en 7 umero de d´ıas en cada mes lunar deber´ıa ser: promedio, 12 19 meses lunares y por eso el n´ 1 7 499 365 ÷ 12 = 29 4 19 940 En la u ´ltima secci´on del libro, aparece un m´etodo para dividir las fracciones anteriores. Ahora se conoce que en cada mes hay 29 499 d´ıas, por consiguiente la Luna se mueve en 490 7 promedio cada d´ıa 13 19 grados. Por ello, buscar la posici´on de la Luna despu´es de 12 meses lunares requiere m´as c´alculos complicados, de hecho, es equivalente a calcular el resto de la siguiente divisi´on: (29

7 1 499 · 12 · 13 ) ÷ 365 940 19 4

6612 El resto es: 354 17860

En el libro se calculan el ´angulo recorrido por la Luna en un a˜ no bisiesto (un a˜ no de 13 7 meses solares) y en un a˜ no promedio de 12 19 meses lunares.

3.2.

Nueve cap´ıtulos sobre el arte matem´ atico

Nueve cap´ıtulos sobre el arte matem´ atico es un tratado matem´atico que se cree que fue confeccionado alrededor del siglo I d.C., de autor an´onimo, y hasta hace poco, se ha considerado como el escrito especializado en matem´aticas m´as antiguo que se conservaba, pero en el a˜ no 1984 apareci´o, en una excavaci´on arqueol´ogica, una colecci´on de tiras de bamb´ u en las que estaba grabado un texto matem´atico m´as antiguo que ´este. Dicho trabajo tiene por t´ıtulo Un libro sobre aritm´etica y data de la primera mitad del siglo II a.C. o antes. Est´a escrito con el mismo estilo que los Nueve cap´ıtulos y tiene muchas similitudes con ´el, incluso aparecen fragmentos iguales, por lo que es de suponer que este escrito es un antecesor directo suyo. De hecho, Nueve cap´ıtulos sobre el arte matem´atico es una recopilaci´on de lo m´as b´asico de todos los trabajos que se hab´ıan hecho hasta entonces, puesto que algunos problemas que aparecen en el libro son muy antiguos, mientras que otros aparecieron m´as tarde y luego fueron recopilados todos en el mismo libro. Esto se puede ver en que, por ejemplo, hay ejercicios en los que aparecen medidas 19

usadas en el periodo de los Estados Combatientes, otros en los que salen rangos de la nobleza que se utilizaban en la dinast´ıa H`an. El desarrollo gradual de las antiguas matem´aticas chinas en los periodos Zh¯ou y Q´ın y los posteriores avances realizados en la dinast´ıa H`an, se acumularon hasta formar un sistema completo. Los Nueve cap´ıtulos es un trabajo representativo del desarrollo de las antiguas matem´aticas, desde la dinast´ıa Zh¯ou hasta la H`an. Esta gran obra tuvo una importante influencia en el desarrollo posterior de las matem´aticas y form´o su base. Est´a escrito en forma de preguntas y respuestas, contiene un total de doscientos cuarenta y seis problemas y est´a dividido en nueves cap´ıtulos. Por una parte, el libro se puede ver simplemente como una colecci´on de ejercicios resueltos, y por otra, se puede usar como manual para resolver problemas pr´acticos del mismo tipo que los que aparecen en ´el, ya que cada tipo de ejercicios se resuelve con un m´etodo determinado. Esta forma de escribir los libros, en ejercicios resueltos, tuvo una gran influencia posterior, y a partir de entonces, los escritos matem´aticos de la antigua China se escribieron as´ı. Los cap´ıtulos en los que se divide el texto son los siguientes: Cap´ıtulo I “Medici´on del terreno”. Su tema central es el c´alculo de ´areas, y adem´as contiene una detallada discusi´on sobre el c´alculo con fracciones. Cap´ıtulo II “Alpiste y arroz”. Trata de porcentajes y proporciones relacionados con estos cereales. Cap´ıtulo III “Distribuciones proporcionales”. Se ocupa de la distribuci´on de la propiedad y del dinero seg´ un unas normas prescritas, que conducen, en algunos casos, a realizar progresiones aritm´eticas y geom´etricas, y muchas de las veces, se requiere la regla de tres. Cap´ıtulo IV “¿Qu´e anchura?” Dada el ´area del cuadrado o el volumen del cubo, encontrar el lado. En esta secci´on se explican los m´etodos para realizar ra´ıces cuadradas y c´ ubicas. Cap´ıtulo V “Un texto de consulta para ingenieros”. C´alculo de vol´ umenes de figuras s´olidas. Cap´ıtulo VI “Justos impuestos”. Se calcula la manera m´as justa de cobrar los impuestos, teniendo en cuenta el tama˜ no de la poblaci´on de un lugar y su distancia a la capital. Cap´ıtulo VII “Exceso y defecto”. Problemas con dos inc´ognitas. Cap´ıtulo VIII “M´etodo de las tablas”. Sistemas de ecuaciones lineales y explicaci´on de los conceptos de n´ umero positivo y negativo. 20

Cap´ıtulo IX “G¯oug˘ u”. Se introduce el m´etodo para resolver ecuaciones cuadr´aticas y aparecen aplicaciones del teorema G¯oug˘ u. Vemos que los contenidos de Nueve cap´ıtulos sobre el arte matem´ atico est´an ligados a la vida real y reflejan la sabidur´ıa colectiva y las habilidades de la gente en la antigua China. Este tratado ha sido utilizado como libro de texto durante dinast´ıas posteriores y muchos matem´aticos empezaron sus investigaciones haciendo comentarios sobre ´el. Circul´o tambi´en por Jap´on y Corea y tuvo una gran influencia en la matem´atica que se desarroll´o en estos pa´ıses. Finalmente, la comunidad cient´ıfica internacional se ha dado cuenta de este importante trabajo. 3.2.1.

Logros en aritm´ etica.

El trato sistem´atico de operaciones aritm´eticas con fracciones, varios tipos de problemas de proporciones, problemas del tipo “exceso y defecto” y otros problemas dif´ıciles son los logros obtenidos en aritm´etica con este libro. Operaciones con fracciones: Para operar con fracciones se usaron varillas de contar y la representaci´on de ´estas tiene su origen en el m´etodo de la divisi´on. Los procedimientos que aparecen en el libro son bastante similares a los que se usan en el presente, en el cap´ıtulo “Medici´on del terreno” aparece la simplificaci´on de fracciones, buscar denominadores comunes, comparar dos fracciones con distinto denominador y la suma, resta multiplicaci´on y divisi´on de fracciones. En la simplificaci´on fracciones, se utilizaba el m´etodo de la sustracci´on sucesiva para encon, trar el m´aximo com´ un denominador10 . Si consideramos una fracci´on reducible de la forma m n la regla es la siguiente: Si los dos n´ umeros (m y n) pueden dividirse por la mitad, entonces div´ıdanse. Si no, col´oquese el denominador debajo del numerador y r´estese del n´ umero mayor el n´ umero menor. Contin´ uese este proceso hasta que se obtenga el divisor com´ un, “teng”. Simplif´ıquese la fracci´on original dividiendo ambos n´ umeros por el “teng”. Para la adici´on y la sustracci´on de fracciones es preciso que tengan el mismo denominador. En el cap´ıtulo “Medici´on del terreno”se usa como denominador com´ un el producto de todos los denominadores, sin embargo, en “¿Qu´e anchura?” se utiliza el m´ınimo com´ un m´ ultiplo. Para multiplicar fracciones se utilizaba el mismo m´etodo que el actual: numerador por numerador y denominador por denominador. En la divisi´on se busca un denominador com´ un para el dividendo y el divisor, entonces el cociente se obtiene tomando el numerador del divisor como denominador y el numerador del dividendo como numerador. b d bc ad bc ÷ = ÷ = a c ac ac ad 10

El algoritmo de Euclides, que utilizamos actualmente, se deriva de ´este m´etodo.

21

Proporciones: En el cap´ıtulo “Alpiste y arroz” aparecen problemas en los que se hace uso de la regla de tres, y en “Distribuciones proporcionales” salen problemas del tipo: “Tenemos 5 piezas de caza y las tenemos que repartir entre oficiales de cinco rangos diferentes: 5, 4, 3, 2 y 1”. En “Justos impuestos” se estudia la recaudaci´on de impuestos en en proporci´on directa con el tama˜ no de la poblaci´on de las provincias y en proporci´on inversa a la distancia a la capital. Exceso y defecto: Los problemas de este tipo son como el siguiente: Un grupo de personas compran en conjunto unas gallinas. Si cada persona dio 9 wen, quedar´an 11 wen de sobra despu´es de la compra. Si, en cambio, cada persona contribuye con 6 wen, quedar´an 16 wen a deber. ¿Cu´antas personas hay en el grupo y cu´al es el coste de las gallinas? En t´erminos algebraicos, llamando a las dos contribuciones a y a0 y al exceso y al defecto (lo que sobra y lo que deben) b y b0 , respectivamente, la soluci´on propuesta en el libro es la siguiente: 

a a0 b b0



 =

 9 6 11 16



ab0 a0 b b b0



 =

 144 66 11 16



ab0 + a0 b b + b0



 =

 210 27

ab0 + a0 b 210 = =7 a − a0 3 b + b0 27 El n´ umero total de personas es: = =9 a − a0 3 El problema anterior se puede reformular como un sistema de ecuaciones de dos inc´ognitas, siendo x el n´ umero de personas e y el coste. El coste total de las gallinas es:

ax − cy = b a0 x − c0 y = −b0

9x − y = 11 6x − y = −16

Se puede observar que el m´etodo sugerido aqu´ı es un caso particular de la regla de Cramer para ecuaciones de dos inc´ognitas con c = c0 . 3.2.2.

Logros en geometr´ıa:

En el libro se muestra que conoc´ıan las ´areas y vol´ umenes de las figuras geom´etricas m´as comunes como: Rect´ angulo A = ab donde a y b son los lados del rect´angulo. 22

1 Tri´ angulo A = bh donde b es la base del tri´angulo y h su altura. 2 C´ırculo11 A =

PD donde D es el di´ametro del c´ırculo y P su per´ımetro. 2 2

Prisma rectangular V = abc donde a es el alto del prisma, b el ancho y c el largo. 1 Pir´ amide V = a2 h donde a es el lado de la base de la pir´amide y h su altura. 3 Cilindro V = Cono V =

1 2 P h donde P es el per´ımetro de la base del cono y h su altura. 36

Esfera V =

3.2.3.

1 2 P h donde P es el per´ımetro de la base del cilindro y h su altura. 12

9 3 D donde D es el di´ametro de la esfera. 16

Logros en ´ algebra

Los principales avances en el ´area del ´algebra que aparecen en Nueve cap´ıtulos sobre el arte matem´ atico son el m´etodo de resoluci´on de sistemas de ecuaciones, la introducci´on de los n´ umeros negativos, los m´etodos para resolver ecuaciones, los algoritmos para obtener ra´ıces cuadradas y c´ ubicas y el m´etodo para resolver ciertas clases de ecuaciones cuadr´aticas. En el cap´ıtulo VIII, titulado “M´etodo de las tablas”, se resuelven sistemas de ecuaciones, y el sistema utilizado no es otro que el conocido m´etodo de Gauss para resolver sistemas de varias ecuaciones con varias inc´ognitas. En este mismo cap´ıtulo se introducen los n´ umeros positivos y negativos. El m´etodo que usaban para sumarlos y restarlos es el mismo que el actual, pero la divisi´on y multiplicaci´on con n´ umeros negativos no la descubrieron hasta el siglo XIII. El principio fundamental en que se basan los algoritmos para realizar la extracci´on de ra´ıces cuadradas y c´ ubicas que aparecen en los Nueve cap´ıtulos es justamente el mismo que usamos actualmente. Y por eso el m´etodo para sacar ra´ıces cuadradas es casi el mismo que el moderno. De dicho algoritmo se deriv´o un m´etodo para resolver ecuaciones de segundo grado.

11

En los c´alculos que impliquen conocer el valor de π se ha tomado una aproximaci´on π = 3.

23

4.

Desarrollo de las matem´ aticas Chinas

4.1.

Dinast´ıas W´ ei, J´ın, Norte y Sur (221 - 589) Este periodo se caracteriza por las revueltas de campesinos y levantamientos religiosos, es una etapa de desuni´on, en la que el territorio se fragmenta. Sin embargo, para la ciencia fue una ´epoca de creatividad e innovaci´on, sobre todo en el campo de las matem´aticas.

En el periodo anterior, aparecieron varios libros que tuvieron una gran repercusi´on. Uno de ellos fue el libro Cl´ asico de la aritm´etica del gnomon y las sendas circulares del cielo, del cual el matem´atico Zh´ao Shu˘ang hace un comentario. Zh´ao vivi´o, aproximadamente, entre los periodos W´ei y J´ın. El cap´ıtulo m´as importante de dicho libro es el “Comentario ilustrado del tri´angulo rect´angulo, c´ırculo y cuadrado”. El texto est´a escrito con quinientos caracteres chinos. Contiene veinti´ un teoremas sobre cuatro sistemas relacionados con los ´angulos rectos de las tri´angulos y las relaciones con los tres lados. Usando la notaci´on actual se sigue12 :

se obtiene a2 + b2 = c2 Esto es lo mismo, que el llamado Teorema G¯oug˘ u que aparece en el libro original, cuyo resultado es el Teorema de Pit´agoras, muy importante para la historia antigua de las matem´aticas, pues de ´este procedieron grandes descubrimientos en geometr´ıa. Desgraciadamente, todos los diagramas de este cap´ıtulo se han perdido. Sin embargo, podemos deducir algunos como el Diagrama de la Hipotenusa, el G¯ou-gnomon y G˘ u-gnomon. En el primero se hace una demostraci´on del Teorema de Pit´agoras, utilizando la representaci´on de figuras geom´etricas en las demostraciones. Es necesario, para poder demostrar el teorema de Pit´agoras en el diagrama anterior que se verifiquen las siguientes suposiciones: 1. Tanto el ´area de una figura plana como el volumen del s´olido permanecen constante tras su traslaci´on r´ıgida a otro lugar. 2. Si una figura plana o s´olida se corta en varias secciones, la suma de las ´areas o vol´ umenes de las secciones es igual al ´area o volumen de la figura original. Si son ciertas, es posible deducir relaciones aritm´eticas sencillas entre las ´areas o vol´ umenes de diversas secciones de las figuras planas o s´olidas resultantes de disecci´on y reagrupamiento. 12

Usando la notaci´ on actual se sigue que g¯ ou = a y g˘ u = b.

24

El proceso para la demostraci´on era el siguiente, como indica la figura: t´omese un cuadrado con cada lado igual a la hipotenusa del tri´angulo original y quite un peque˜ no cuadrado cuyo lado sea igual a la longitud del lado horizontal, entonces la parte restante tiene de ´area c2 − b2 = a2

El g¯ou-gnomon, como indica la figura anterior, representa el apilamiento de rect´angulos. El desarrollo matem´atico de esto dos u ´ltimas diagramas, g¯ou-gnomon y g˘ u-gnomon, es equivalente 2 a resolver una ecuaci´on de segundo grado como la siguiente:−x + Bx = A El siguiente matem´atico destacado es Li´ u Hu¯i, vivi´o en la dinast´ıa J´ın, donde el territorio fue nuevamente unificado. Escribe dos libros, por los que ser´a reconocido como uno de los matem´aticos m´as ingeniosos de la ´epoca. El primer libro es un comentario de los Nueve cap´ıtulos sobre el arte matem´ atico, en el que pretende hacer explicaciones de los textos, a˜ nadiendo nuevos m´etodos y verificando los c´alculos. Su descubrimiento m´as destacado es el M´etodo de la divisi´on del c´ırculo, pues crea un nuevo m´etodo para calcular π, mediante la raz´on de la circunferencia de un c´ırculo a su di´ametro. Los cient´ıficos chinos, se hab´ıan preocupado por encontrar π, pero ninguno hab´ıa hallado un m´etodo para calcularlo. Adem´as se conceptualiza π, no s´olo como la raz´on de la circunferencia de un c´ırculo, sino como un objeto matem´atico. Sol´ıan tomar π=3, a´ un sabiendo que este valor no era el correcto, pues no sab´ıan como encontrar una buena aproximaci´on. Las razones por las que π ha despertado tanto inter´es matem´atico a lo largo de la historia son las siguientes: mayor exactitud en los c´alculos requeridos en astronom´ıa 25

por la construcci´on del calendario, poder utilizar π para resolver el problema de la cuadratura del c´ırculo13 y averiguar el del valor del propio π.

Hu¯i usa pol´ıgonos inscritos para aproximar el c´ırculo y encontrar π. El m´etodo de la divisi´on del c´ırculo aparece en un problema de los Nueve cap´ıtulos sobre el arte matem´ atico, del que 2 sigue la f´ormula S = r 2πr = r π, esto es exacto pues el valor tomado es π = 3. Para aproximar 2 el c´ırculo se parte de un dodec´agono inscrito, de forma que el ´area resultante es menor que el verdadero valor del ´area. El modo correcto de proceder, seg´ un Hu¯i es el siguiente: se inscribe un hex´agono, y un pol´ıgono con el doble de lados que el anterior, en este caso el dodec´agono, luego conociendo el per´ımetro de estas dos figuras se aplica el teorema de Pit´agoras dos veces, y as´ı se encuentra una aproximaci´on de π, se contin´ ua partiendo de un dodec´agono y el siguiente pol´ıgono con el doble de lados (pol´ıgono de 24 lados), se repite el proceso hasta encontrar una buena aproximaci´on de π. Verificando los c´alculos de Nueve cap´ıtulos sobre el arte matem´ atico, calcul´o la longitud de un pol´ıgono regular de 96 lados y el ´area del pol´ıgono de 192 lados y hall´o π = 3, 141024, pero afirmaba que este resultado se pod´ıa seguir aproximando. Para ello, hab´ıa que incrementar el n´ umero de lados hasta un n´ umero infinito entonces el l´ımite del ´area del pol´ıgono regular es el 14 ´area del c´ırculo . Finalmente, Hu¯i lleg´o a encontrar π = 3, 1416, una buena aproximaci´on de π, y la mejor hasta entonces. En el proceso del c´alculo se introduce la noci´on de l´ımite, desarrollando la teor´ıa y pr´actica sobre aproximaci´on en los c´alculos. Notar que es la primera vez que se utiliza este concepto para resolver problemas, no s´olo para ´este en particular sino tambi´en es utilizado para calcular el ´area de figuras irregulares. M´as adelante, el l´ımite jugar´a un papel muy importante en el desarrollo del an´alisis infinitesimal. Tambi´en, trabaj´o con geometr´ıa, desarrollando nuevos m´etodos. Por ejemplo, el problema de calcular la longitud del lado de un cuadrado inscrito en un tri´angulo rect´angulo cuyos lados (a, b) adyacentes al ´angulo recto son dados, continuando con la f´ormula que aparece en los Nueve ab Se comprueba que la f´ormula es correcta pues cap´ıtulos sobre arte matem´atico se tiene x = a+b ab = 2∆ABC, reorganizando el tri´angulo ADEF que aparece en la siguiente figura: 13

Se demostr´o que era imposible. Paralelamente, Arqu´ımides utilizaba para el c´alculo de ´areas no s´olo pol´ıgonos inscritos, sino tambi´en circunscritos. 14

26

As´ı, para calcular el volumen de los objetos, proced´ıa de forma similar que para hallar el ´area, reorganizando varios tipos de figuras tridimensionales llamadas q´ı. Este m´etodo de combinaci´on de figuras, es similar a lo que hoy conocemos en geometr´ıa plana como traslaciones y rotaciones. Las figuras que constitu´ıan el q´ı eran: el cubo, prisma, pir´amide y tetraedro, las tres u ´ltimas se relacionan con el cubo. El prisma se define como la mitad del cubo cortado diagonalmente. La pir´amide como 13 del cubo. El volumen del tetraedro era 16 del cubo. Anal´ıticamente, para calcular los vol´ umenes sigue con la f´ormula que aparece en los Nueve cap´ıtulos sobre el arte matem´ atico V = 31 h(ab + a2 + b2 ).

Usaba m´etodo similares para calcular el volumen de otros cuerpos, como muestra la figura:

Para calcular el volumen de la primera figura usaba dos o cuatro tetraedros con un prisma. Para la segunda cuatro pir´amides y para la tercera empleaba dos cubos, ocho prismas y cuatro pir´amides.

Para calcular vol´ umenes de secciones planas utilizaban m´etodos geom´etricos. Descubre que la raz´on del volumen de la esfera respecto del volumen de lo que llamaba “dos paraguas15 ” era 15

Los dos paraguas est´ an formados por la intersecci´on de dos cilindros que circunscriben a la esfera y por la intersecci´on de ejes que forman ´ angulos rectos.

27

π : 4. Sin embargo, no calcul´o el valor de “dos paraguas”, sino que lo dej´o indicado para su resoluci´on por matem´aticos posteriores. Otro descubrimiento que se atribuye a Hu¯i es la notaci´on en base decimal junto con la 4 1 5 1 + 100 + 1000 + 10000 introducci´on del punto decimal, como por ejemplo 3, 1415 = 3 + 10 De esta forma, contin´ ua con la geometr´ıa en su segundo libro: Manual matem´ atico de la isla ¯ del mar. Actualmente, los dos libros de Hui aparecen como independientes, pero en realidad, el segundo fue una continuaci´on del primero, pues era un desarrollo del cap´ıtulo que trata del G¯oug˘ u. Dicho segundo libro, desarrolla el llamado “m´etodo de las segundas diferencias” y recibe su nombre pues el principal problema que trata es el de calcular la altura y la distancia de una isla. Gracias a este libro, se posee mayor exactitud, por lo que los mapas son m´as precisos. Era muy complicado calcular las distancias entre tierras y r´ıos, por lo que dificultaba la construcci´on de mapas. En la actualidad se ha encontrado un mapa que utilizaba u ´nicamente el “m´etodo de las segundas diferencias”. En el m´etodo de las segundas diferencias se necesitan b´asicamente dos observaciones, pero algunos problemas requieren tres o cuatro, dependiendo de la naturaleza del mismo. Destaca el problema del c´alculo de la altura x y la distancia y, se resuelve de la siguiente forma:

Se toman dos astas AG y EK como se indica en la figura, la altura de las astas es h y la distancia entre ellas es d. Mientras que las dos astas est´en alineadas en el mismo plano vertical, se toma a1 la distancia del asta EK hasta que est´en alineados la cima de la monta˜ na y la parte superior del asta. Se repite el proceso con el asta AG obteniendo a2 , y de esta forma se encuentra la altura de la isla y la distancia entre la isla y el asta. Se obtienen las f´ormulas: x=

d d h+h y = a1 a2 − a1 a2 − a1

Tambi´en, se utiliza este proceso otros problemas similares, como el calcular la altura de un ´arbol en una monta˜ na, que requiere tres observaciones. Otro matem´atico destacado de este periodo es Z˘ u Ch¯ongzh¯i, junto a su hijo Z˘ u G˘eng. Vivieron en la dinast´ıa Norte y Sur. Desde varias generaciones, la familia de Ch¯ongzh¯i se hab´ıa dedicado a la astronom´ıa y a la computaci´on del calendario. Por lo que, se interesa por las matem´aticas y hace un estudio del conocimiento matem´atico anterior. Destaca por mejorar los m´etodos utilizados anteriormente y por corregir errores de los matem´aticos anteriores, como por ejemplo Li´ u Hu¯i, Li´ u X¯in, Zh¯ang H´eng y W´ang F´an. 28

Hizo grandes contribuciones al campo de la ciencia y la tecnolog´ıa. Se interesa por la ingenier´ıa y astronom´ıa. Descubre graves errores en el calendario de H´e Ch´engti´an, que era el usado en aquel entonces. Por lo que construye, con tan solo 33 a˜ nos, un nuevo tipo de calendario llamado “Calendario D´a Ming”, que provoc´o objeciones entre personas muy influyentes por lo cual no fue aceptado. En defensa de su trabajo, emprende un debate p´ ublico con D´ai F¯ uaxing16 , entre otros, y escribe un ensayo llamado R´eplica. El tema del debate era la distinci´on entere ciencia y no-ciencia, progresar y conservar. D´ai F¯ uaxing afirmaba que todo deb´ıa conservarse igual que en la antig¨ uedad pues ning´ un humano tiene el derecho de cambiar el calendario, por lo que acusa a Z˘ u Ch¯ongzh¯i de blasfemo y trabajar en contra de los cl´asicos. Sin embargo, Z˘ u Ch¯ongzh¯i afirma que el Sol, la Luna y los cinco planetas conocidos no eran esp´ıritus ni fantasmas y que conociendo la forma se puede trabajar sin n´ umeros. Finalmente, su calendario fue instaurado a los diez a˜ nos de su muerte. Para la construcci´on del calendario, calcul´o el volumen de la esfera como actualmente conocemos V = 43 πr3 . De esta forma, corrigi´o el error que aparec´ıa en los Nueve cap´ıtulos sobre el arte matem´ atico, el nuevo m´etodo fue desarrollado por su hijo. El m´etodo usado por la familia Z˘ u es el siguiente: t´omese un ´ peque˜ no cubo con lado igual al radio de la esfera r. Esto es 18 del cubo circunscrito en la esfera. En la figura se tomaba como centro O y r como radio de la esfera original, construyendo dos cilindros que corten el lado y las caras frontales del cubo. As´ı, el peque˜ no cubo se corta en cuatro partes como se muestra desde la figura (b) a la (e). En (b), tenemos 81 Hu¯i llam´o “dos paraguas cuadrados”, aqu´ı lo llamamos “partes del paraguas”. Ahora recombinando cuatro partes se toma un peque˜ no cubo y la altura h de la secci´on cortada. En (f) se tiene un tri´angulo rect´angulo ABC, AB es el radio r, BC la altura h y AC la longitud del lado de la secci´on cuadrada a, y por el teorema G¯oug˘ u se tiene que a2 = r2 −h2 2 2 2 de la que se sigue S = r − a = r − (r2 − h2 ) = h2 Siendo S la secci´on cuadrada. Finalmente se obtiene que el volumen de la no. Luego parte del “paraguas” es 23 del volumen de un cubo peque˜ se deduce que el volumen de dos “paraguas” cuadrados es 23 del volumen de un cubo grande, que es igual al di´ametro D, se sigue:

V =

π2 3 4 3 D = πr 43 3

Sin embargo su mayor descubrimiento fue aproximar π a siete cifras decimales, usando la raz´on de la circunferencia, a su di´ametro, situ´andolo en este intervalo 3, 1415926 < π < 3, 1415927 De tal manera, que si el radio es de 10 Km., el error es como mucho de mm. Siglos m´as tarde, haciendo uso del ordenador se encontrar´ıan una aproximaci´on mayor, pero en aquel entonces esta aproximaci´on era un gran descubrimiento. 16

Cortesano.

29

4.2.

Dinast´ıas Su´ı y T´ ang (589 - 907)

La dinast´ıa Su´ı es un periodo de cambios en astronom´ıa y en la computaci´on del calendario. Continuamente, se mejora el calendario, pues los eclipses solares y lunares, requieren saber con exactitud las posiciones del Sol, la Luna y los cinco planetas conocidos. Anteriormente, se cre´ıa que la velocidad de movimiento de los astros siempre era la misma. Sin embargo, en el periodo anterior, Ji˘a Ku´ı observa que el movimiento de los astros unas veces es m´as r´apido y otras es m´as lento. Sin embargo, fue Z¯ang Z˘ix´ın quien descubre que la trayectoria descrita por los cuerpos celestes conocidos es una elipse, no que se desplazan a lo largo de una ´orbita circular, de forma que los c´alculos necesitan una mayor exactitud. Se crea el “m´etodo de las segundas diferencias de interpolaci´on” usado por Li´ u Zhu´o. De esta forma, se pretende predecir los eclipses de Luna y Sol, por lo que se necesita conocer las posiciones de los astros en el firmamento. Para ello se necesitan dos observaciones, pues durante el d´ıa debido a los intensos rayos de sol era imposible estudiar las posiciones de otros astros como los cinco planetas conocidos. Se sigue la f´ormula que conocemos como la f´ormula de interpolaci´on de Newton. f (w + s) = f (w) + s∆ +

s(s − 1) 2 ∆ 2!

Aplic´o el m´etodo, a lo que se llam´o el calendario imperial est´andar, usando intervalos de tiempo iguales. Posteriormente en el periodo T´ang (618-907), el famoso astr´onomo Monk Y´ı X´ıng, us´o este m´etodo para sus c´alculos, pero tomando intervalos desiguales. Gracias a este m´etodo construy´o un calendario llamado D´a Y˘an. sL1 d1 f (w + s) = f (w) + s + L1 L1 + L2



∆1 ∆2 − L1 L2



s2 − L1 + L2



∆1 ∆2 − L1 L2



´ En los u ´ltimos a˜ nos de este periodo, X´ u Ang simplific´o la f´ormula de Monk construyendo as´ı un calendario llamado Xu¯an Ming, simplificando tambi´en se obtiene la f´ormula de Newton. s s2 f (w + s) = f (w) + sd1 + (d1 − d2 ) − (d1 − d2 ) 2 2 Se crean Los diez manuales matem´aticos, en los cuales se recoge toda la informaci´on de la ´epoca, en forma de problemas y m´etodos para resolverlos. Fueron creados para ser utilizados por la Academia Imperial y para los ex´amenes de los soldados. Entre ellos destacan: Nueve cap´ıtulos sobre el arte matem´atico, Cl´asico de la aritm´etica del gnomon y las sendas circulares del cielo, Manual matem´atico de la isla del mar, Manual matem´ atico del maestro S¯ un, etc. El Manual matem´atico del maestro S¯ un est´a dividido en tres vol´ umenes. El primero trata sobre m´etodos de multiplicaci´on y divisi´on usando palillos; en el segundo se trabaja con fracciones y extracci´on de ra´ıces cuadradas. Ambos libros ponen en pr´actica el trabajar con palillos, adem´as en ellos se corrigen algunas erratas que aparecen en los Nueve cap´ıtulos sobre el arte matem´ atico. El u ´ltimo volumen recoge problemas dif´ıciles de aritm´etica. Actualmente, hay un problema de este libro que es muy famoso, el llamado problema del Maestro S¯ un. Escrito en notaci´on algebraica, el problema es el siguiente: dado un n´ umero N se divide por m1 y el resto 30

es r1 . Se divide por m2 y el resto es r2 . Se divide por m3 y el resto es r3 ¿Cu´anto vale N ? Esto es equivalente a encontrar N donde:

N ≡ r1 (mod m1 ) N ≡ r2 (mod m2 ) N ≡ r3 (mod m3 ) No es muy dif´ıcil de resolver. Se deben calcular a1 , a2 , a3 tal que a1 divide a m2 y m3 con resto 1 cuando divide a m1 . a2 divide a m1 y m3 , pero da 1 cuando divide a m2 . a3 divide a m1 y m2 pero da 1 cuando divide a m3 . Entonces, la soluci´on de las congruencias es a1 r1 + a2 r2 + a3 r3 y se obtiene la soluci´on por sucesivas sustracciones del m´ ultiplo com´ un de m1 , m2 y m3 . Este problema despert´o gran inter´es por lo que tambi´en fue conocido por otros nombres. Se utiliz´o para la computaci´on del calendario. Se supon´ıa que hac´ıa N a˜ nos, a medianoche, tuvo lugar el solsticio de invierno, en el que el sol, la luna y los cinco planetas conocidos estaban en la misma posici´on. Sin embargo, se sabe que los astros tienen diferentes periodos de rotaci´on, pero observando N a˜ nos despu´es en la hora Q del d´ıa P del mes M , sus posiciones y trayectorias son diferentes. Entonces m1 , m2 , m3 ,. . . son los periodos de rotaci´on de los astros, el Sol, la Luna y los cinco planetas, respectivamente. Usando esto para dividir N a˜ nos M meses, P d´ıas y Q horas se tiene r1 , r2 , r3 ,. . . que indican el desplazamiento de los cuerpos celestes, en el mismo orden que antes. Conociendo m1 , m2 , m3 . . . y r1 ,r2 ,r3 . . . podemos calcular el n´ umero total de a˜ nos N , y as´ı encontrar la soluci´on del problema del Maestro S¯ un. Cuando se empez´o a utilizar este m´etodo para calcular los a˜ nos fue llamado M´etodo de Sh´ang Yu´an, siendo N el n´ umero de a˜ nos. Sin embargo, en el calendario de Z˘ u Ch¯ongzh¯i el m´etodo era m´as complicado, pues utilizaba once congruencias para N , adem´as los periodos m1 , m2 ,. . . no son enteros. Desgraciadamente, a pesar de ser tan complicados los m´etodos se siguieron utilizando. Otros libros importantes son Cinco cl´ asicos de aritm´etica, Memorias de algunas tradiciones del arte matem´atico y Manual matem´atico de las cinco secciones del gobierno. Estos tres libros fueron escritos por Zh¯en Lu´an, que vivi´o en la dinast´ıa Norte y Sur. Era astr´onomo dedicado a la construcci´on calend´arica. Su calendario Ti¯an H´e fue adoptado oficialmente. Su primer libro, Manual matem´atico de las cinco secciones del gobierno trata sobre aritm´etica aplicada. Estaba dividido en cinco bloques: finanzas, haciendas, armada, aduanas, almacenes. Cada cap´ıtulo versaba sobre un bloque. El de haciendas trataba sobre el c´alculo de ´areas para cultivar en el terreno. Algunas ´areas eran calculadas por m´etodos de aproximaci´on. El segundo cap´ıtulo sobre problemas militares. El tercer cap´ıtulo trata sobre los problemas de las aduanas oficiales con el comercio. El cuarto acerca de la comida y la capacidad de los almacenes. El u ´ltimo sobre finanzas del gobierno. Los u ´ltimos cap´ıtulos de este libro no se rigen por los Nueve cap´ıtulos sobre el arte matem´atico 17 . Se recurre a los m´etodos de multiplicaci´on, divisi´on y proporci´on. En lo Cinco cl´asicos de aritm´etica se discuten, como su nombre indica, cl´asicos del periodo H´an. No aparece nada relevante en este libro, simplemente se recopilan problemas de aritm´etica, pero no se crea un nuevo m´etodo. 17

Para sus c´alculos no trabajaban con varillas.

31

En Memorias de algunas tradiciones del arte matem´ atico, destaca por la complejidad del mismo. Se introducen frases budistas, taotistas y m´ısticas en su desarrollo. Se exponen otros m´etodos de trabajar con n´ umeros mediante palillos, pero la idea es impracticable. Se introducen por primera vez diagramas de filas y columnas, que actualmente se conocen como cuadrados m´agicos. Estos diagramas, se caracterizan por la suma constante de una fila, una columna o una diagonal. El cuadrado m´agico de orden tres es llamado Lu`o-sh¯ u18 , y la suma constante es 15, de esto se siguen las siguientes f´ormulas: S = 1/2n2 (n2 + 1)

s = S/n

S es la suma total de todos los n´ umeros contenidos en las n celdillas y s es la suma constante de los n´ umeros de cada fila, columna o diagonal. La construcci´on del Lu`o-sh¯ u, es muy sencilla. Se colocan los nueve primeros n´ umeros en forma de escalera, de tres en tres, como indica la figura. Se cambian de lugar los extremos, el 1 y 9, 3 y 7. Se introducen los n´ umeros en las celdillas y as´ı, ya tenemos el cuadrado m´agico.

Adem´as de esta forma tambi´en se representa un principio importante de la filosof´ıa china: el equilibrio notable entre dos fuerzas complementarias del yin (femenino) y yang (masculino) en la naturaleza, representadas por n´ umeros impares (cuentas blancas) y pares (cuentas negras), respectivamente, dispuestas alrededor del n´ umero central que es el 5 como muestra la figura siguiente:

Posteriormente, trabajaron con cuadrados m´agicos de orden cuatro y cinco. M´as adelante el orden de los cuadrados aumentar´a notablemente. El siguiente libro es el Manual matem´ atico de Xi´ah´ou Y´ang sigue usando las varillas de contar. En tres cap´ıtulos se pueden encontrar ochenta y tres problemas relacionados con situaciones de la vida diaria. Se recogen las leyes del periodo T´ang, en forma de problemas que enunciaban 18

Aunque para su aprendizaje en la escuela se sol´ıa llamar nueve casas.

32

la legislaci´on de propiedades particulares. Hay problemas de c´alculo de dos impuestos de arroz y dos impuestos de Palacio. Destaca por trabajar con varillas, esto se mantendr´a hasta que muchos siglos despu´es se desarroll´o un nuevo instrumento de c´alculo, el ´abaco. El Manual matem´atico de Zh¯ang Q¯iuji`an est´a dividido en varios vol´ umenes, de los que s´olo se conserva el primero con noventa y dos problemas. En el prefacio de este libro se recomendaba para personas que no tuvieran miedo de trabajar con multiplicaciones y divisiones, pero que tuvieran dificultades para encontrar denominadores comunes. Usando la notaci´on del ´algebra moderna, se siguen las siguientes f´ormulas: 1. Conociendo el primer t´ermino a y el u ´ltimo l, sabiendo que hay n t´erminos, la suma de los n t´erminos es: 1 S = (a + l)n 2 2. Dados a, n y s, encontrar la diferencia com´ un d:  d=

 2s − 2a /(n − 1) n

Destacan los problemas con fracciones y la dificultad de las multiplicaciones y divisiones para encontrar un denominador com´ un. Tambi´en, se trabaja con sucesiones, series y resoluci´on de sistemas de dos ecuaciones con tres inc´ognitas. Por u ´ltimo, encontramos el libro Continuaci´ on de las matem´ aticas antiguas, compuesto por veintid´os problemas, escrito por W´ang Xi´aot¯ong, astr´onomo y matem´atico. Problemas de construcci´on de plataformas y diques de diferentes alturas, reparaci´on de almacenes. Es el primero en usar el “m´etodo del corolario de ra´ıces c´ ubicas”. Se preocupa por la resoluci´on de ecuaciones de tercer grado.

x3 + ax2 + bx = A Todo el contenido matem´atico de los libros anteriores era muy importante, sin embargo en la Academia Imperial, el n´ umero de estudiantes disminu´ıa. Se cambiaron las leyes, y se utilizaban como material did´actico estos libros. El conocimiento de los Diez manuales matem´ aticos era fundamental, se deb´ıa saber resolver los problemas que aparecen en ellos, sin olvidar los libros importantes de las etapas anteriores como Nueve cap´ıtulos sobre el arte matem´ atico, Manual de la isla del mar. Los ex´amenes para militares consist´ıan en la resoluci´on de problemas que aparecen en los libros. Este periodo, T´ang, en el la China de la ´epoca est´a unificada fue una etapa caracterizada por la apertura de influencias extranjeras, siendo un renacimiento art´ıstico y literario. Sus principales innovaciones tecnol´ogicas fueron la imprenta y la p´olvora. Se introduce el budismo notablemente, y otras corriente religiosos y razonamientos. Los primeros libros que se introducen 33

son: M´etodos de c´alculo de la escuela Brahma, Manual matem´ atico de la escuela Brahma y C´ alculo del calendario de la escuela Brahma. Los conceptos que se introducen son en su mayor´ıa conocidos por lo que no despiertan inter´es. Se introduce la medida de los arcos, tabla de senos trigonom´etricos y los numerales hind´ ues, estos u ´ltimos nunca fueron adoptados. Adem´as, los conocimientos se expanden a Corea y Jap´on. Con la creaci´on de los Diez manuales matem´ aticos, como hecho destacado, se dar´a lugar a una etapa de esplendor.

34

5.

Matem´ aticas durante el periodo de esplendor chino. Dinast´ıas S` ong y Yu´ an (960 - 1368)

Durante las dinast´ıas anteriores, las matem´aticas se desarrollaron a partir de un sistema que ten´ıa como base los Diez libros de matem´ aticas cl´ asicos. En este periodo, las matem´aticas se desarrollaron m´as. La t´ecnica de impresi´on fue muy desarrollada. A partir de esto, el gobierno mand´o a copiar los libros que se encontraban en la administraci´on, donde se guardaban todos los trabajos de las dinast´ıas anteriores. Se mand´o a copiar libros como los Nueve cap´ıtulos sobre el arte matem´ atico y otros que fueron utilizados como libros de texto en escuelas y universidades. En este momento, dinast´ıa S`ong, China estaba dividida en dos zonas: la zona norte y la zona sur. En la zona norte hab´ıa una estabilidad en las matem´aticas que se desarrollaba en la academia imperial, pero hab´ıa momentos en los que las matem´aticas no se desarrollaban, pues se consideraban extravagantes y se pensaba que no contribu´ıan al avance del pa´ıs. Sin embargo, en esta zona, las matem´aticas se estabilizaron con el paso de los a˜ nos. Por otro lado, en la zona sur, la situaci´on fue distinta. Las matem´aticas al inicio de la dinast´ıa S`ong estaban estabilizadas pero lleg´o un momento que no se continuaron y nunca m´as se volvieron a estabilizar. En 1127, con la invasi´on de los Mongoles, los libros que se encontraban en la administraci´on fueron destruidos. A partir de aqu´ı comienza un nuevo periodo para la zona norte Mongol (periodo Yu´an), mientras que en la zona sur, se encuentra el periodo S`ong. Los matem´aticos m´as importantes de este momento fueron Q´ın Ji˘shao y Y´ang ¯ Hui en la zona sur y Zh¯ u Sh`ıji´e y L˘i Zh`ı en la zona norte, que reflejaron en sus trabajos todo el esplendor matem´atico del momento. Actualmente, los trabajos de Y´ang Hu¯i se conservan incompletos. Tambi´en destacaron otros matem´aticos en la zona norte durante la dinast´ıa S`ong, es decir, antes de la invasi´on de los Mongoles, como son Sh˘en Ku`o, Zh¯ u Ji y Ji˘a Xi`an, que hicieron contribuciones al campo de astronom´ıa, series y soluci´on de ecuaciones. Los tratados m´as destacados de cada uno de ´estos matem´aticos son los siguientes: Sh˘ en Ku` o : Ensayos sobre un conjunto de sue˜ nos. Q´ın Ji˘ shao : Tratado matem´atico en nueve secciones. L˘i Zh`ı : Espejo marino de las medidas circulares. Y´ ang Hu¯i : An´ alisis detallado de los m´etodos matem´ aticos de los nueve cap´ıtulos. M´etodos de c´alculo para el uso diario. M´etodos de c´alculo. Zh¯ u Sh`ıji´ e : Introducci´on a los estudios matem´ aticos. 35

Espejo precioso de los cuatro elementos. Las matem´aticas chinas en este periodo S`ong y Yu´an constituyen un periodo de gran esplendor matem´atico, que se desarroll´o durante el periodo medieval en Europa. Los campos que se trataron en este momento fueron muy diversos: m´etodos de extracci´on de ra´ıces, operaciones con polinomios, series, an´alisis indeterminado, cuadrados m´agicos y trigonometr´ıa esf´erica; destacando m´as los tres primeros. Adem´as contribuyeron a avances tecnol´ogicos y avances en la fabricaci´on de calendarios.

5.1.

M´ etodos de extracci´ on de ra´ıces

Durante las dinast´ıas anteriores ya se hab´ıa desarrollado un m´etodo para resolver ecuaciones del tipo x2 = A y x3 = B. Este m´etodo era el “m´etodo de abrir el cuadrado”que consist´ıa en extraer ra´ıces cuadradas de las ecuaciones, pues todas las ecuaciones ordinarias se pueden reducir a ecuaciones del tipo x2 + ax = b. Este m´etodo se fue desarrollando y lleg´o a ser el “corolario de extracci´on de ra´ıces cuadradas”. Por otro lado, el m´etodo para solucionar ecuaciones ordinarias de tipo c´ ubico x3 + ax2 + bx = c, “el corolario de tomar ra´ıces c´ ubicas” se desarroll´o del m´etodo de extraer ra´ıces c´ ubicas. Estos m´etodos pueden ser encontrados en Los nueve cap´ıtulos sobre el arte matem´atico y El manual matem´ atico de Zh¯ang Q¯iuji`an (“corolario de extracci´on de ra´ıces cuadradas”) y el corolario de tomar ra´ıces c´ ubicas se encuentra en el libro Continuaci´on de las antiguas matem´ aticas. La configuraci´on del conteo con varillas del m´etodo que aparece en los Nueve cap´ıtulos sobre el arte matem´ atico se explica a continuaci´on: Se daban cinco filas de arriba abajo: La primera fila sh¯ang, daba el resultado. La segunda fila sh´ı, daba el n´ umero dado. La tercera fila f`ang (el cuadrado) daba el coeficiente de x2 . La cuarta fila, li`an (el lado) daba el t´ermino c´ ubico, coeficiente de x3 . La quinta fila, y´ u (la esquina). El procedimiento era el siguiente: Colocaban la primera aproximaci´on de la ra´ız. Si, por ejemplo, resolv´ıan un problema de tipo x3 = N x = (a + b + c). Se tomaba la primera aproximaci´on de x en este caso a. Despu´es de colocar a en la fila del resultado, se desarrollaba aparte el binomio (a+b)3 = a3 +3a2 b+3ab2 +b3 y se colocaban los coeficientes de a en las filas correspondientes. A partir de esto, colocaban la segunda aproximaci´on de la ra´ız (a + b) en la fila resultado y desarrollaban aparte el binomio ((a + b) + c)3 = (a + b)3 + 3(a + b)2 c + 3(a + b)c2 + c3 y colocaban los coeficientes de (a + b) en las filas correspondientes, y as´ı, hasta llegar al tercer lugar de la aproximaci´on de la ra´ız c.

36

Los matem´aticos de este periodo se dedicaron a buscar m´etodos para la extracci´on de ra´ıces de ecuaciones de grados arbitrarios. Ji˘an Xi`an introdujo un m´etodo para extraer ra´ıces cuadradas y c´ ubicas que m´as tarde se generaliz´o para encontrar ra´ıces de grados arbitrarios. Todos los trabajos de Ji˘an Xi`an se encuentran perdidos. Este m´etodo se encuentra recopilado en el libro Reclasificaci´on de los m´etodos matem´ aticos de los nueve cap´ıtulos por Y´ang Hu¯i. Este m´etodo es el llamado “m´etodo de extracci´on de ra´ıces cuadradas por sucesivas multiplicaciones”. ´ Este es m´as directo que el anterior, pues los c´alculos se realizan en la misma distribuci´on de conteo con varillas. Veamos el procedimiento para el problema del ejemplo anterior, x3 = N x = (a + b + c). Despu´es de conseguir el primer lugar de la ra´ız, el m´etodo de Ji`an Xi`an dice lo siguiente: Usando el resultado, a, multiplicando por la varilla de la “esquina”, se consigue el “t´ermino lineal” a. Multiplicando el “t´ermino lineal” por la ra´ız, a, se consigue el “t´ermino cuadrado” a2 , multiplicando de nuevo, a, por el “t´ermino cuadrado” a2 , y restando esto al “n´ umero dado”, se obtiene el nuevo “n´ umero dado” N − a3 . Despu´es de esto, tomar de nuevo la ra´ız multiplicada por la “esquina” y sumarla al “t´ermino c´ ubico” anterior, a3 , dando, 2a; multiplicar esto por el “t´ermino lineal” o el “resultado”, a y a˜ nadirlo al coeficiente de x2 , esto es, 2a2 + a2 = 3a2 . De nuevo, multiplicar por la fila “esquina” y a˜ nadir al coeficiente de x, dando 2a + a = 3a. Para encontrar la segunda aproximaci´on de la ra´ız (a + b) se sigue el mismo procedimiento hasta que se encuentra N − (a + b + c)3 y esta es la ra´ız c´ ubica (a + b + c)3 .

37

Este m´etodo es el que actualmente se conoce como el “m´etodo de Horner” veamos esto: Resolveremos el problema (a + b + c)3 = N por el “m´etodo de Horner” actual. Esto es, resolver x3 − N = 0: 1

0

0

−N

1

a a

a2 a2

a3 −N + a3

a

a 1 2a

2a2 3a2

a

a 1 3a

a

38

1

3a

3a2

−(N − a3 )

1

b 3a + b

3ab + b2 3a + 3ab + b2

3a2 b + 3ab2 + b3 −N + a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = −(N − (a + b)3 )

1

b 3a + 2b

3ab + 2b2 3a2 + 6ab + 3b2 = 3(a + b)2

1

b 3a + 3b

b

b

b

2

1

3a + 3b

3(a + b)2

−(N − (a + b)3 )

1

c 3a + 3b + c

3ac + 3bc + c2 3(a + b)2 + 3(a + b)c + c2

3(a + b)2 c + 3(a + b)c2 + c3 −N − (a + b + c)3

1

c 3a + 3b + 2c

3(a + b)c + 2c2 3(a + b)2 + 6(a + b)c + 3c3 = 3(a + b + c)2

1

c 3(a + b + c)

c

c

c

Nota: Observar que los restos obtenidos coinciden con las columnas de las distintas aproximaciones de x del m´etodo de “extracci´on de ra´ıces por sucesivas multiplicaciones” El m´etodo de Horner fue publicado por Horner en Europa en 1819 y por Ruffini en 1804, sin embargo, Ji˘an Xi´an introdujo el m´etodo de extracci´on de ra´ıces cuadradas y c´ ubicas por sucesivas multiplicaciones a mediados del siglo XI, lo que equivale a unos 800 a˜ nos antes de lo que se desarroll´o en Europa. Adem´as, el m´etodo de la extracci´on de ra´ıces cuadradas y c´ ubicas por sucesivas multiplicaciones influy´o en el desarrollo de las matem´aticas durante este periodo. Ji˘an Xi`an busc´o un m´etodo para encontrar los coeficientes binomiales, pues los necesitaba para el m´etodo de extraer ra´ıces de alto grado. Adem´as del m´etodo de encontrar los coeficientes binomiales desarroll´o un diagrama para ´estos. Este diagrama aparece en An´ alisis detallado de ¯ los m´etodos matem´aticos en los nueve cap´ıtulos de Y´ang Hui. Se llamaba “La fuente del m´etodo de extracci´on de ra´ıces” y fue desarrollado por Ji˘an Xi`an hasta orden seis en el siglo XI. La configuraci´on de los n´ umeros es la siguiente:

39

1 1 1 1 1 1 1

2 3

4 5

6

1

6 10

15

1 3

1 4

10 20

1 5

15

1 6

1

El n´ umero de la fila (n + 1) es el que indica el grado del binomio (a + b)n . El diagrama se desarrolla a partir del m´etodo de extracci´on de ra´ıces por sucesivas multiplicaciones. Para llegar a los coeficientes del binomio (a + b)6 Ji˘an Xi`an us´o el m´etodo de extracci´on de ra´ıces por sucesivas multiplicaciones.

Por otro lado, en el trabajo de Zh¯ u Sh`ıji´e, Espejo precioso de los cuatro elementos, aparece un diagrama similar desarrollado hasta orden ocho y al lado de cada fila aparecen unos caracteres que designan ´esta. Debajo aparece un comentario que explica la forma de su construcci´on y los usos a los que se puede aplicar: Los n´ umeros en la fila (n + 1) muestran los coeficientes del desarrollo bin´omico de (a + b)n , siendo n un n´ umero entero positivo. Los coeficientes unidad a lo largo del borde en pendiente a la izquierda (la chi shu) y de la l´ınea extrema en pendiente a la derecha (la yu suan) son los coeficientes del primero y del u ´ltimo t´ermino, respectivamente, de cada desarrollo del binomio. Los n´ umeros internos ((2)), ((3, 3)), ((4, 6, 4)),. . . , son los t´erminos internos de las ecuaciones bin´omicas de segundo, tercero, cuarto,. . . , grados. Zh¯ u Sh`ıji´e contin´ ua indicando la estrecha relaci´on que existe entre la construcci´on del tri´angulo y la resoluci´on de ecuaciones num´ericas de orden superior. Multipl´ıquense los coeficientes de la fila (n + 1) por un valor sugerido para la ra´ız; a continuaci´on, sustr´aigase la potencia en´esima de la fila sugerida de Shi (esto es, la constante cuya ra´ız hay que extraer) y div´ıdase la diferencia por el producto del valor sugerido y del coeficiente para obtener el nuevo valor de la ra´ız. La cresta del pavo real 40

Este diagrama es lo que se conoce en Europa como el tri´angulo de Pascal, (1623-1662). Por otro lado, el matem´atico ´arabe Al-Kashi en 1427 dio una tabla de coeficientes binomiales y en 1527, Apianus matem´atico alem´an, tambi´en hizo su aportaci´on al tri´angulo, pero en China, Ji˘an Xi`an desarroll´o un “diagrama de la fuente de extracci´on de ra´ıces” unos 400 a˜ nos antes que Al-Kashi y unos 500 a˜ nos antes que la primera aparici´on del m´etodo en Europa, dada por Apianus. Despu´es del desarrollo de este diagrama, la resoluci´on de ecuaciones de altos grados se desarroll´o en el siglo XIII, en el cual, el ´algebra era la cima del conocimiento matem´atico chino. Hasta el momento para resolver ecuaciones cuadradas y c´ ubicas todos los coeficientes eran no negativos. L´ıu J`ı en su obra Discusi´ on sobre la antigua fuente la cual se encuentra perdida y lo u ´nico que se tiene es una recapitulaci´on de algunos problemas en obras de Y´ang Hu¯i. Estas ecuaciones, con coeficientes negativos, se resolv´ıan por el “m´etodo de extraer ra´ıces por productos acumulados” o bien por el “corolario de extraer ra´ıces cuadradas por sustracciones”. Adem´as de resolver ecuaciones con coeficientes negativos, se resolv´ıan ecuaciones con coeficientes en los t´erminos de altos grados. El m´etodo que se usaba es el mismo que el “m´etodo de extracci´on de ra´ıces por multiplicaciones sucesivas”, pero en vez de a˜ nadiendo (sumar), lo que se hace es restar.

Sin embargo, el m´etodo de generalizaci´on de ra´ıces cuadradas por sucesivas multiplicaciones se dio en el siglo XIII y aparece en el libro Tratado sobre matem´ aticas en nueve secciones de Q´ın Ji˘shao. Esta generalizaci´on es llamada “m´etodo de extracci´on de ra´ıces” pues incluye extracci´on de ra´ıces de ecuaciones con grados arbitrarios y con coeficientes negativos o no.

5.2.

Trabajos con ecuaciones polin´ omicas

En el campo de las ecuaciones se consideran dos pasos: el primero es encontrar la ecuaci´on y el segundo es resolver esa ecuaci´on. Para el segundo paso se tiene el “m´etodo de extracci´on de ra´ıces por sucesivas multiplicaciones” que se vio anteriormente. Para el primer paso, encontrar la ecuaci´on, se usaba la “t´ecnica del elemento celestial”, y la “t´ecnica de las cuatro inc´ognitas” que surgi´o a partir de la anterior. La “t´ecnica del elemento celestial” es el m´etodo general para obtener una ecuaci´on dadas unas condiciones. Esto se describe en el Espejo marino de medidas circulares y Nuevos pasos en los c´ alculos de L˘i Zh`ı. Adem´as tambi´en se encuentra en los trabajos de Zh¯ u Sh`ıji´e Introducci´on a los estudios de matem´aticas y el Espejo precioso de los cuatro elementos, donde generaliza

41

la obtenci´on de ecuaciones de una a cuatro inc´ognitas. Por tanto, la “t´ecnica del elemento celestial”, era usada para obtener ecuaciones. El procedimiento de esta t´ecnica es similar al que se utiliza actualmente en los libros de ´algebra. Adem´as los matem´aticos chinos de este periodo sumaban, restaban, multiplicaban y divid´ıan polinomios. Todos los polinomios los expresaban de forma racional, esto es, de la forma ax2 + bx + c. Si ten´ıan un polinomio de forma irracional, eliminaban los cuadrados, o bien, multiplicaban en cruz. El origen de esta t´ecnica se sit´ ua a principios del siglo XIII, finales del XII y se atribuye al desarrollo social. Por lo que se cree que la t´ecnica se dio de forma local, seg´ un el desarrollo cultural y comercial de cada zona. La configuraci´on del conteo con varillas era la siguiente: Para indicar una ecuaci´on polin´omica se usaban los caracteres ( primer grado y ( t`ai) t´ermino constante.

yu´an) coeficiente de

Los coeficientes del polinomio se escrib´ıan en columna y, al lado, a la derecha, los caracteres correspondientes.

Hab´ıa varias formas, pero en este periodo, la m´as usada era la forma B, caso 2. La generalizaci´on de la “t´ecnica del elemento celestial” dio lugar a la “t´ecnica de las cuatro inc´ognitas”. Esto tuvo lugar por el intento de obtener sistemas de ecuaciones mediante la t´ecnica anterior. La “t´ecnica de las cuatro inc´ognitas” se describe en el Espejo precioso de los cuatro elementos de Zh¯ u Sh`ıji´e. Las cuatro inc´ognitas que se consideran en esta t´ecnica son: x como el elemento celestial. y como el elemento tierra. z como el elemento humano. u como el elemento material.

42

La configuraci´on en el m´etodo de conteo con varillas era la siguiente: se colocaba ( ) t`ai, el t´ermino constante y alrededor del car´acter se pon´ıan los coeficientes de las distintas inc´ognitas, x por abajo, y a la izquierda, z a la derecha y u por arriba del t´ermino, esto es: Para escribir los coeficientes de las distintas inc´ognitas multiplicadas unas por otras lo que se hac´ıa es: Si las inc´ognitas multiplicadas estaban seguidas, se coloca el coeficiente en el cuadrante que est´a entre las dos inc´ognitas dadas. Si las inc´ognitas multiplicadas son opuestas en la configuraci´on de conteo con varillas, los coeficientes se colocan en la diagonal.

Veamos ejemplos de ecuaciones de cuatro inc´ognitas:

Para resolver estas ecuaciones se usaba el “m´etodo de eliminaci´on” que se basaba en el reemplazo de los distintos elementos. Veamos un ejemplo de este m´etodo para tres inc´ognitas, que se desarrolla en un trabajo de Zh¯ u Sh`ıji´e. Resolvemos el sistema siguiente de tres ecuaciones por “la t´ecnica de las cuatro inc´ognitas”:

Primera f´ormula:

Segunda f´ormula:

Tercera f´ormula: 43

La explicaci´on dada por Zh¯ u Shiji´e en su texto original es la siguiente: Usando la segunda f´ormula separando y eliminando. El elemento humano reemplaza la inc´ognita celestial en las dos f´ormulas. La primera f´ormula da (despu´es de sustituir por y 2 desde la tercera f´ormula y dividiendo por x)

y la segunda da

Eliminando por reducci´on del denominador escondido19 , da a la izquierda:

y a la derecha:

Multiplicar la columna interior por cada una dada

La columna exterior dada

Eliminar los productos usados de las columnas interior y exterior. Dividir por cuatro y obtener la f´ormula

Solucionando esta ecuaci´on se consigue que z = 5. 19

Consiste en multiplicar y dividir el polinomio por la constante necesaria para que no haya denominadores en ´el.

44

En notaci´on moderna la eliminaci´on final da:

Columna derecha:

Columna izquierda: Lo cual es equivalente a resolver:

(7 + 3z − z 2 )x + (−6 − 7z − 3z 2 + 3z 3 ) = 0 f´ormula izquierda (13 + 11z + 5z 2 − 2z 3 )x + (−14 − 13z − 15z 2 + −5z 3 + 2z 4 ) = 0 f´ormula derecha

Cuando las f´ormulas de los lados son puestas −6−7z −3z 2 +z 3 y 13+11z +5z 2 −2z 3 son las “columnas interiores” y 7 + 3z − z 2 y −14 − 13z − 15z 2 + −5z 3 + 2z 4 son las columnas exteriores. Luego multiplicando juntas las dos columnas interiores y exteriores, restando y simplificando tenemos 4(−5 + 6z + 4z 2 − 6z 3 + z 4 ) = 0 Dividiendo por cuatro llegamos a una ecuaci´on cuadr´atica que si la resolvemos obtenemos la respuesta z = 5.

5.3.

Investigaciones en series finitas

Las investigaciones en series de igual diferencia en este periodo fueron llevadas a cabo por Sh˘en Ku`o, Y´ang Hu¯i y Zh¯ u Sh`ıji´e principalmente. De estas investigaciones se obtuvieron resultados excepcionales en las series de igual diferencia de altos ´ordenes. El orden de una serie es el n´ umero de veces que se deben realizar las diferencias entre los t´erminos de la serie hasta que las diferencias sean un mismo t´ermino. Por ejemplo, si se tiene la serie de los cuadrados, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, . . . hacemos las diferencias y tenemos que: Serie 1 4 9 16 25 36 ...

Primera diferencia

Segunda diferencia

4−1=3 9−4=5 16 − 9 = 7 25 − 16 = 9 36 − 25 = 11

5−3=2 7−5=2 9−7=2 11 − 9 = 2

Por lo que se tiene que la serie es de orden dos. Las primeras investigaciones en este campo fueron las desarrolladas por Sh˘en Ku`o con su “teor´ıa de los peque˜ nos incrementos”, que se basaba en problemas de amontonar pilas. Para resolver estos problemas se usaba el “m´etodo de la plataforma rectangular” que consist´ıa en contar las cosas que estaban amontonadas a partir 45

de pilas de base rectangular donde hubiera n capas. El primer rect´angulo de lo alto ser´ıa de ancho a y de largo b y el rect´angulo de abajo ser´ıa de ancho c y largo d; de lo que se obtiene la f´ormula:

S = ab + (a + 1)(b + 1) + . . . + cd =

n n [(2b + d)a + (2d + b)c)] + (c − a) 6 6

que viene dada de calcular el volumen de la pila rectangular. Esta t´ecnica se encuentra en la secci´on de t´ecnicas del trabajo Ensayos sobre un conjunto de sue˜ nos de Sh˘en Ku`o. Por otro lado, otros matem´aticos tambi´en se dedicaron a investigar en los problemas de amontonar pilas, como por ejemplo el matem´atico Y´ang Hu¯i, pues en sus trabajos un An´alisis detallado de los m´etodos matem´ aticos de nueve cap´ıtulos y Alpha y omega de una selecci´ on sobre aplicaciones de m´etodos aritm´eticos. Aparecen cuatro tipos de problemas de amontonar pilas que se basan en el “m´etodo de la plataforma rectangular” de Sh˘en Ku`o. Pila rectangular20 o pila de frutas S = ab + (a + 1)(b + 1) + . . . + cd =

n n [(2b + d)a + (2d + b)c)] + (c − a) 6 b

Pila de frutas o pir´amide de base cuadrada S = 12 + 22 + 32 + . . . + n2 =

n (n + 1)(n + 1/2) 3

Pilas cuadradas o plataformas cuadradas n S = a + (a + 1) + (a + 2) + . . . + b = 3 2

2

2

2



b−a a + b + ab + 2 2

2



Pila triangular o tetraedro S = 1 + 3 + 6 + 10 + . . . +

n(n + 1) n = (n + 1)(n + 2) 2 6

Todas estas ecuaciones son casos particulares de la primera. La investigaci´on de las series de diferencias finitas de alto orden, lleg´o a relacionar los problemas de series finitas de igual diferencia con los problemas de interpolaci´on. Los problemas de interpolaci´on estaban relacionados con los movimientos del sol, la luna y los cinco planetas que se conoc´ıan y eran utilizados en la fabricaci´on de calendarios. Por tanto, las investigaciones en series de igual diferencia fueron utilizadas en los calendarios. De la observaci´on del movimiento del sol y de la luna, los astr´onomos chinos como Gu¯o Sh˘ouj`ıng, realizaron Calendarios de trabajos y d´ıas en el cual, de las tablas de valores obtenidas, se sacaron dos series de igual diferencia, una de orden cuatro “diferencias acumuladas” y otra de orden tres “promedio de las diferencias acumuladas” que se constru´ıa dividiendo las diferencias acumuladas por el n´ umero de d´ıas del 20

Es la misma que la plataforma rectangular de Sh˘en Ku`o

46

periodo considerado. La generalizaci´on de esto, dio lugar a los polinomios de interpolaci´on de altos grados. En el Espejo precioso de los cuatro elementos de Zh¯ u Sh`ıji´e, se encuentran los mejores resultados en el campo de las series, adem´as de la “t´ecnica del elemento celestial” y la “t´ecnica de las cuatro inc´ognitas”. Las investigaciones de Zh¯ u Sh`ıji´e se basaron en los problemas de amontonar pilas y en las diferencias finitas. Zh¯ u Sh`ıji´e generaliz´o la f´ormula de las pilas triangulares que en notaci´on moderna es:

n X 1 r (r + 1)(r + 2) · · · (r + p − 2)(r + p − 1) = p! r=1

=

1 n(n + 1)(n + 2) · · · (n + p − 1)(n + p) (p + 1)!

Variando p = 1, 2, 3 . . . se obtienen las distintas pilas triangulares. A estos problemas de amontonar pilas le a˜ nad´ıa una capa m´as y generalizando esto lleg´o a la f´ormula de las pilas con pico. La f´ormula en notaci´on moderna es:

X 1 r r (r + 1)(r + 2) · · · (r + p − 2)(r + p − 1) = p! 1 = n(n + 1)(n + 2) · · · (n + p)((p + 1) + (n + 1)) (p + 2)! Adem´as encontr´o m´as subproblemas de las pilas triangulares, haciendo cambios y operaciones en la f´ormula general de ´estos. En el ´area del c´alculo de las diferencias finitas Zh¯ u Sh`ıji´e introdujo la f´ormula exacta de las diferencias finitas hasta orden cuatro que aparece en Europa por los trabajos de Newton unos 400 a˜ nos m´as tarde.

1 (n)(n + 1)∆2 + 2! 1 + (n)(n + 1)(n + 2)∆3 + 3! 1 + (n)(n + 1)(n + 2)(n + 3)∆4 4!

f (n) = n∆ +

Los coeficientes de los distintos ´ordenes de las diferencias vienen dados por la f´ormula de las pilas triangulares para p = (orden de la diferencia). Estas investigaciones en el campo de las series de igual diferencia y las diferencias finitas fueron utilizadas en astronom´ıa, pasando as´ı la astronom´ıa china a un nuevo nivel en este periodo. 47

5.4.

Investigaciones en otras ´ areas

5.4.1.

An´ alisis indeterminado

Otra ´area de investigaci´on en este periodo fue el an´alisis indeterminado. El an´alisis indeterminado consiste en solucionar problemas de congruencias lineales que en notaci´on moderna es N ≡ r(mod m). Estos problemas aparecieron en China durante periodos anteriores pues en el Manual de matem´aticas del maestro S¯ un, aparece el siguiente problema de congruencias lineales: Problema: Tenemos un n´ umero desconocido de objetos. Se cuentan en grupos de 5, el resto es 3 y cuando se cuentan en grupos de 7, el resto es 2. ¿Cu´antos objetos hay? Respuesta: 23. El problema da lugar a la resoluci´on de las siguientes congruencias:

N ≡ 2(mod 3) N ≡ 3(mod 5) N ≡ 2(mod 7) Donde N es el valor entero m´as peque˜ no que verifica el problema. Existen varias formas de solucionarlo. Si las condiciones y los n´ umeros eran simples, se obten´ıa el conjunto de soluciones por ensayo y error, pero si las condiciones y los n´ umeros eran complicados se utilizaba el “m´etodo de encontrar uno por la mayor extensi´on”, que es un m´etodo similar al algoritmo de Euclides. Este m´etodo surgi´o a partir de la fabricaci´on de calendarios y el problema de encontrar exactamente el n´ umero de a˜ nos (medidos en d´ıas) desde el comienzo del calendario. La descripci´on sistem´atica del problema fue dada por Q´ın Ji˘shao que con el “m´etodo de encontrar uno por la extensi´on”, resolv´ıa problemas de congruencias lineales, como se explica en su trabajo Tratado matem´atico en nueve secciones. En notaci´on moderna, este m´etodo de Q´ın Ji˘shao puede ser descrito de la siguiente forma: Primero sustraer mi repetidamente desde M/mi as´ı que se llega al resultado final G, que satisface G ≡ M/mi (mod mi ) Usando la notaci´on moderna el procedimiento que se sigue para resolver estos problemas por el “m´etodo de encontrar uno por la gran extensi´on” es el siguiente:

mi = GQ1 + R1 G = R1 Q2 + R2 R1 = R2 Q3 + R3 R2 = R3 Q4 + R4 R3 = R4 Q5 + R5

K1 K2 K3 K4 K5

= Q1 = K1 Q2 + 1 = K2 Q3 + K1 = K3 Q4 + K2 = K4 Q5 + K3 48

Rn−2 = Rn−1 Qn + Rn , (Rn = 1) Kn = Kn−1 Qn + Kn−2 . Si Rn−1 = 1 y Kn−1 es impar, entonces se usa 1 para dividir Rn−1 as´ı que Rn−1 = 1, 0 + Rn , el Q es cero y el resto Rn = 1. Veamos un ejemplo de esto: Resolver la siguiente congruencia: 2970a1 ≡ 1(mod 83) Se tiene que G = 2970 − 35 · 83 = 65 y mi = 83, entonces:

83 = 1 · 65 + 18 65 = 3 · 18 + 11 18 = 1 · 11 + 7 11 = 1 · 7 + 4 7=1·4+3 4=1·3+1

K1 K2 K3 K4 K5 K6

=1 =3·1+1=4 =1·4+1=5 =1·5+4=9 = 1 · 9 + 5 = 14 = 1 · 14 + 9 = 23

Por tanto como R6 = 1 y K6 = 23, se tiene que el valor de a1 = 23 y se verifica que 23 · 2970 ≡ 1(mod 83) 5.4.2.

Cuadrados M´ agicos

Durante este periodo, los cuadrados m´agicos o diagramas de filas y columnas tambi´en fueron objeto de estudio. Yang Hi´ u se dedic´o a esto en su libro Continuaci´ on de los antiguos m´etodos matem´ aticos para aclarar lo extra˜ no (propiedades de los n´ umeros) examina los cuadrados m´agicos hasta el orden 10 × 10. El de orden 7 × 7 Y´ang Hu¯i lo denominaba la extensi´on del n´ umero del diagrama. Durante este periodo al cuadrado m´agico de orden 6 × 6 se le domino “cuadrado m´agico central”

Diagrama de n´ umeros en extensi´on: (cuadrados m´agicos) 9 × 9 suma de columnas, filas y diagonal es 369. 49

5.4.3.

Trigonometr´ıa esf´ erica

Durante las dinast´ıas anteriores Su´ı y T´ang se introdujeron en China conocimientos sobre trigonometr´ıa esf´erica desde la India, pero estos no fueron de inter´es para los matem´aticos y astr´onomos chinos de estos periodos. Aunque en los Nueve cap´ıtulos sobre el arte matem´ atico se menciona una breve relaci´on sobre el arco, la sagita y la cuerda, no es hasta el siglo XI cuando realmente se introduce una f´ormula que relaciona el arco, la sagita y la cuerda. Esta f´ormula fue dada por Sh˘en Ku`o y se llam´o “t´ecnica de interceptar c´ırculos” que fue usada por los astr´onomos de la ´epoca para calcular “la inclinaci´on hasta el ecuador”, esto es, la longitud y “los grados acumulados a lo largo del ecuador”, es decir, la latitud. De todos estos c´alculos apareci´o el campo de la trigonometr´ıa esf´erica. Sin embargo, estos conocimientos no se siguieron desarrollando, pues con la “t´ecnica de interceptar c´ırculos” los c´alculos que se realizaban eran inexactos, ya que consideraban π = 3. Hasta el siglo XVII en Europa que usaron como base los conocimientos chinos de trigonometr´ıa esf´erica de este periodo.

5.5.

Intercambio de conocimientos matem´ aticos durante este periodo

En el periodo S`ong y Yu`ang el intercambio de conocimientos matem´aticos entre China y el resto del mundo fue mucho mejor que en los periodos anteriores. Con el avance de los de Mongoles se desarrollaron avances en el intercambio entre China y los pa´ıses isl´amicos durante el siglo XIII. En el periodo Yu`ang se cre´o un observatorio isl´amico en la capital. A ra´ız de esto, muchos textos isl´amicos fueron introducidos en China de los cuales muchos se han perdido pues no hubo traducci´on de ellos. Todos estos textos astron´omicos isl´amicos se recogieron en el Colecci´ on de los recopilatorios oficiales del periodo Yu´ ang en la secci´on de libros isl´amicos. Al mismo tiempo se pasaron los numerales ar´abigos y m´etodos de c´alculo. En 1956, en una excavaci´on se encontr´o una plancha de hierro en la que estaba grabado un cuadrado m´agico de orden 6 × 6 que era utilizado para derrotar los esp´ıritus del diablo y para exorcismos. En esta plancha de hierro, los d´ıgitos del cuadrado m´agico son similares a los n´ umeros llamados “n´ umeros ar´abigos” procedentes de pa´ıses isl´amicos.

50

Se ha visto tambi´en que los chinos usaban m´etodos de c´alculo en arena o tierra para lo que utilizaban pizarras de arena o tierra con un palillo de bamb´ u o de hierro, pero los c´alculos eran cortos. En este periodo tambi´en se introdujo el m´etodo de escribir los c´alculos “c´alculos escritos”. Para esto se expon´ıa una cuadr´ıcula y se tra´ıa el multiplicando y el multiplicador por toda la cuadr´ıcula hasta rellenarla. De esta forma se mostraban los c´alculos realizados a lo largo de todo el proceso. Este m´etodo tambi´en era de Arabia. Sin embargo, no s´olo se introdujeron conocimientos isl´amicos en China, sino que a la vez, los conocimientos matem´aticos chinos tambi´en fueron intercambiados. Cuando los Mongoles ocuparon Bagdag construyeron un observatorio astron´omico, Maraghah, en el que trabajaron muchos matem´aticos y astr´onomos que usaban los conocimientos matem´aticos chinos en sus trabajos, como son la descripci´on de m´etodos de divisi´on, extracci´on de ra´ıces cuadradas, c´ ubicas o de grados superiores y la tabla obtenida por Ji˘a Xi`an para coeficientes binomiales del “m´etodo de extracci´on de ra´ıces”, pues estos conceptos s´olo hab´ıan sido mencionados en China en este periodo. Adem´as, por otro lado, los conocimientos matem´aticos chinos influyeron tremendamente en Corea y Jap´on, lleg´andose a transcribir algunos trabajos matem´aticos chinos a coreano como de Y´ang ¯ Hui, Zh¯ u Sh`ıji´e y otros trabajos. En Jap´on, sin embargo, se reescribieron estos textos a˜ nadiendo algunos comentarios. Estas copias han hecho que algunos trabajos matem´aticos chinos de este periodo no se hayan perdido actualmente.

51

6.

El ´ abaco. Dinast´ıa M´ıng (1368 - 1644)

Como hemos observado anteriormente hab´ıa un tremendo desarrollo en las matem´aticas, estos logros estaban basados en c´alculos con varillas de contar. Algunos de ellos son, por ejemplo, el “m´etodo del elemento celestial” o el “m´etodo de las cuatro inc´ognitas”. Pero por el siglo XV los matem´aticos no comprend´ıan estos m´etodos. ¿C´omo ocurri´o esto? Hay muchas razones para ello, pero la m´as importante fue la necesidad de la sociedad China en encontrar una aplicaci´on pr´actica. Adem´as el contenido de muchas de estas matem´aticas era dif´ıcil y duro de comprender por lo que tantos conocimientos estaban perdidos. Durante la dinast´ıa M´ıng se desarrollaron varios tipos de artesan´ıas, en particular el comercio y la industria que aumentaron los problemas para los matem´aticos en llevar a cabo las computaciones para el trato con el crecimiento de tama˜ no y compleja informaci´on. Los cuatro c´alculos aritm´eticos (suma, resta, multiplicaci´on y divisi´on) eran demandados para c´alculos r´apidos. Bajo estas circunstancias las t´ecnicas de varillas de contar pasaron a la antig¨ uedad porque llegaron a ser insuficientes en los siguientes conceptos: 1. Las operaciones de multiplicar y dividir requieren una muestra de tres filas desde la parte de arriba al pie para los c´alculos con varillas de contar y esto no es muy conveniente. 2. En los c´alculos con varillas de contar las t´ecnicas para sumar y restar exigen continuos cambios en la configuraci´on. Como consecuencia, naci´o una nueva forma de calcular con el ´abaco para adaptarse a la nueva situaci´on.

La aparici´on del ´abaco fue el mayor evento en la historia de las matem´aticas chinas. El aparato de f´acil transporte y simple manejo es todav´ıa muy utilizado por toda China. En el 52

tiempo de esta invenci´on, el ´abaco pas´o por Corea, Jap´on y otros pa´ıses asi´aticos, donde es utilizado hoy en d´ıa. Los c´alculos con ´abaco se desarrollaron desde los c´alculos b´asicos con varillas de contar. ¿Cu´ales eran las condiciones requeridas para que los c´alculos con varillas de contar evolucionaran en c´alculos con ´abaco? Describir´e tres etapas: 1. La revoluci´on en los c´alculos con varillas de contar principalmente supuso la mejora de t´ecnicas para multiplicar y dividir. El m´etodo de multiplicaci´on y divisi´on en los c´alculos con varillas de contar requieren exhibir tres filas: la parte de arriba, centro y la parte de abajo. Los matem´aticos en el fin del T´ang trabajaron duro para encontrar un m´etodo r´apido para multiplicar y dividir, la configuraci´on de las tres filas podr´ıa ser efectiva usando justo una fila de varillas de contar. Hay algunos ejemplos conservados en el Manual matem´ atico de Xi` ah´ ou Y` ang. 2. Las f´ormulas de rimas tienen un importante lugar en el curso de la evoluci´on desde los c´alculos con varillas de contar al ´abaco. Un ejemplo de problemas en la forma de poema es el que sigue: “Tomo una botella con algo de vino para una excursi´on en el manantial. Al localizar una taberna doblo ese contenido y bebo uno y nueve d´ecimos d˘ou en la taberna. Despu´es pasando por cuatro tabernas la botella esta vac´ıa, ¿cu´anto vino hab´ıa al principio?” Adem´as de problemas en la forma de rimas, algunas de las t´ecnicas de c´alculo eran tambi´en presentadas en forma de versos. Entre los versos m´as importantes debemos incluir el “convirtiendo a decimal” y “versos en divisi´on”. Esto era requerido para encontrar el precio de un li˘ang de art´ıculos con el precio dado por j¯in, que son las medidas de peso usadas en China. Los “versos en divisi´on” tienen una importante marcaci´on en el cambio desde los c´alculos con varillas de contar al ´abaco. En los c´alculos con varillas de contar la divisi´on fue llamada ‘divisi´on directa’. Con los ‘versos a decimal’ uno tiene ‘1, va detr´as 625’, as´ı recitando el verso inmediatamente das el cociente. Hoy en d´ıa casi todos los chinos conocen estos versos y muchos de ellos todav´ıa son aplicables en divisi´on cuando el divisor tiene un s´olo d´ıgito. 3. La conclusi´on de los “versos en divisi´on” era una llave para dar un paso en el proceso de evoluci´on desde los c´alculos con varillas de contar a los c´alculos con ´abaco. Esto es debido a que el movimiento de la mano no es tan r´apido como recitando, y es incluso despacio cuando comparas con la velocidad de razonamiento en calcular. Una vez llegado a esta etapa, los c´alculos con varillas de contar han llegado al punto donde tuvo lugar el cambio. Como una consecuencia, las cuentas en un ´abaco reemplazaron a las varillas de contar. Al mismo tiempo las cuentas fueron diferenciadas en altura y compartimentos, en el inferior las cuentas toman el valor uno y en el superior cinco. Consecuentemente el ´abaco tuvo como modelo los c´alculos con varillas de contar.

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¿Cu´ando fue el ´abaco introducido? ¿Qui´en fue ese primer inventor? Estas dos preguntas permanecen sin una respuesta definitiva en el d´ıa de hoy. La situaci´on descrita muestra que los c´alculos con ´abaco no fueron la invenci´on de una persona sino el producto de una era. Fue a trav´es de la necesidad y demandas de la poblaci´on en su vida diaria que el ´abaco gradualmente se desarroll´o y fue finalmente completado. En este periodo debemos destacar a Ch´eng D`aw`e˘i y su libro Tratado sistem´ atico sobre aritm´etica. Dicho libro es un texto pr´actico matem´atico que usa como c´alculo principal el ´abaco. El libro consta de diecisiete cap´ıtulos y contiene quinientos noventa y cinco problemas.

La completaci´on del Tratado sistem´ atico sobre aritm´etica y su amplia distribuci´on se˜ nalan la completaci´on de la evoluci´on desde c´alculos con varillas de contar a c´alculos con ´abaco. Desde ese tiempo el ´abaco lleg´o a ser el principal aparato para realizar c´alculos. Por tanto, los c´alculos con varillas de contar de tiempos remotos fueron gradualmente olvid´andose y perdiendo utilidad.

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7.

La primera entrada de las matem´ aticas occidentales. Dinast´ıa M´ıng (1368 - 1644)

A finales del siglo XVI y comienzos del XVII hab´ıa un gran desarrollo en la econom´ıa por toda China y en algunos comercios hab´ıan desarrollado varios m´etodos capitalistas de producci´on. Sin embargo, a causa de extrema crueldad y extorsi´on por las reglas M´ıng y tambi´en a causa de las guerras que continuaron por bastante n´ umero de a˜ nos desde el fin de la dinast´ıa M´ıng al comienzo de la dinast´ıa Q´ıng, la econom´ıa fue incapaz de continuar expandiendo y por un per´ıodo bastante largo eso fue estancado. En otra mano la Europa de estos d´ıas fue justamente lo contrario. Durante el siglo XV y XVI, Europa gradualmente cambi´o desde un feudalismo a una sociedad capitalista. Como es bien sabido, el desarrollo capitalista es inseparable de la competici´on por materiales crudos, mercados y trabajos. Como consecuencia los pa´ıses europeos comenzaron a penetrar el Extremo Este y China. Adem´as llegaron a China una multitud de misioneros los cu´ales eran en su mayor´ıa miembros de la Sociedad de Jes´ us21 . La Sociedad de Jes´ us es una organizaci´on cat´olica conservativa fundada en el siglo XVI por pa´ıses sur europeos como una fuerza para la religi´on Cat´olica Romana conservadora, los cu´ales eran opuestos a la Reformaci´on Protestante. El sacerdote jesuita m´as importante que lleg´o a China fue Matteo Ricci. En ese tiempo, China estaba preocupada por fortalecer el pa´ıs econ´omica y militarmente, por ello, mostr´o intenso inter´es en la ciencia y tecnolog´ıa del occidente. Los primeros trabajos occidentales traducidos a chino fueron Elementos de geometr´ıa de Eucl´ıdes y la m´as pura Expresi´on de aritm´etica pr´ actica de Clavius. Vamos a hablar de ello: X˘ u Gu¯angq˘i (1562 - 1633), ten´ıa conocimientos en astronom´ıa y agricultura. Fue la principal figura en la reforma del calendario en el fin de la dinast´ıa M´ıng. Juntos, ´el y Matteo Ricci tradujeron los Elementos de geometr´ıa o Elementos de Eucl´ıdes compuesto de trece libros. En 1607 completaron la traducci´on de los seis primeros libros. No terminaron de traducirlos para ver si era provechoso para la gente. La traducci´on termin´o en 1857 por Alexander Wylie y L˘i Sh`anl´an. Fue el primer trabajo traducido del lat´ın en China y se caracteriza por una deducci´on l´ogica.

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Jesuitas

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L˘i Zh¯iz˘ao (1565 - 1630) fue recomendado por X˘ u Gu¯angq˘i para participar en el trabajo de corregir el calendario en el fin de la dinast´ıa M´ıng. La expresi´ on de aritm´etica pr´ actica conocida en China como Tratado sobre aritm´etica europea fue traducida por ´el y Matteo Ricci. Dicho libro est´a compuesto por once cap´ıtulos. Los cu´ales introducen los conocimientos aritm´eticos occidentales, adem´as de m´etodos de c´alculo usando papel y pluma. Otra cosa a destacar es que para calcular fracciones el denominador es puesto sobre la parte superior con el numerador en la parte inferior.

Como podemos observar, la entrada de las matem´aticas occidentales en China era b´asicamente orientada a corregir el calendario. Veamos por qu´e: El calendario chino denominado D`a T˘ong ten´ıa muchos errores as´ı que la correcci´on del calendario lleg´o a ser una importante tarea en el fin de la dinast´ıa M´ıng. Adem´as estaba el calendario Isl´amico, para la gente isl´amica, que tambi´en ten´ıa errores. Matteo Ricci supo las limitaciones de sus conocimientos, as´ı que ´el envi´o varias cartas a misioneros que supieran de ese tema. Los cu´ales no tardaron en llegar. Despu´es de varias propuestas fallidas el gobierno M´ıng decret´o que el m´etodo occidental deber´ıa ser adoptado y por tanto, cambiar el calendario. Poco despu´es el ej´ercito Manch´ u penetr´o en China y la dinast´ıa M´ıng dej´o de existir. Al segundo a˜ no del comienzo de la dinast´ıa Q´ıng el gobierno decreta la adopci´on del nuevo calendario basado en el calendario occidental, el cu´al fue llamado Calendario Sh´ıxi`an. Hay un mont´on de matem´aticas incluidas en varios libros de calendarios . Lo m´as importante es trigonometr´ıa plana y esf´erica y las tablas que son requeridas para tales matem´aticas. Adem´as de Huesos de Napier, divisores Galileanos y varios c´alculos ingeniosos. Los m´etodos de trigonometr´ıa plana y esf´erica Las longitudes de segmentos eran usadas para definir el significado de funciones trigonom´etricas. Por ejemplo en el capitulo siete de la Completa teor´ıa de observaci´ on: Cada arco y cada ´angulo tiene ocho tipos de l´ıneas: seno (zh¯eng xi`an), tangente (zh¯eng que xi`an), secante (zh¯eng g¯e xi`an), versine22 (zh¯eng sh¯i), coseno (y´ u xi`an), cotangente (y´ u qi¯e xi`an), cosecante (y´ u g¯e xi`an) y coversine23 (y´ u sh¯i)24 . 22

(1 − cos x) (1 − sen x) 24 Los caracteres chinos significan ‘cortando’ en varios sentidos. 23

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Aqu´ı AD es el seno, CH es la tangente, BH la secante, AC el versine, DE el coseno, GF la cotangente, BG la cosecante y EF el coversine. Adem´as hab´ıan varias f´ormulas de trigonometr´ıa plana. En ese tiempo en Europa tampoco hab´ıa notaci´on para funciones trigonom´etricas, por lo tanto, las f´ormulas eran escritas en palabras. Usando notaci´on moderna esas f´ormulas eran equivalentes a:  sen α ·     cos α ·     tan α ·        tan α =        cot α =         sen2 α +

cosec α = 1 sec α = 1 cot α = 1  2  c = a2 + b2 − 2ab cos C b2 = c2 + a2 − 2ac cos B  2 a = b2 + c2 − 2bc cos A

sen α cos α cos α sen α cos2 α = 1

b c a = = sen A sen B sen C



tan

sen(α ± β) = sen α cos β ± cos α sen β cos(α ± β) = cos α cos β ± sen α sen β

o

A−B a−b A+B = tan 2 a+b 2

 sen 2α =     α     sen 2 =

2 sen α cos α s

1 − cos α 2 

o

sen α = sen(60 + α) + sen(60 − α)

sec α = tan α + tan



90o − α 2



Por otro lado, llegaron a China una multitud de f´ormulas de trigonometr´ıa esf´erica. Los trabajos de Smogulecki y Xu¯e F`engzu`o trajeron m´etodos para calcular los lados y ´angulos de tri´angulos usando logaritmos, as´ı ellos introdujeron funciones trigonom´etricas logar´ıtmicas.

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Logaritmos: Los logaritmos fueron inventados por el matem´atico escoc´es John Napier (1550 - 1617). En ese tiempo no eran llamados ‘logaritmos’ sino ‘n´ umeros correspondientes’ (B˘i l`ı sh` u) o ‘n´ umeros poderosos’ (ji˘a sh` u). Los logaritmos fueron originalmente tra´ıdos para c´alculos astron´omicos. Los c´alculos escritos en varios libros por Smogulecki y Xu¯e F`engzu`o estaban hechos usando logaritmos. Ellos introdujeron m´etodos generales para varios tipos de c´alculos trigonom´etricos logar´ıtmicos. Por ejemplo, la regla del seno:

b c a = = sen A sen B sen C fue cambiada a:

log b = log a + log sen B − log sen A Por otra parte fueron introducidos varios aparatos de c´alculo como son: ‘Divisores Proporcionales’ tambi´en conocidos como ‘Divisores Galileanos’. La mayor´ıa de ellos est´an hechos de bronce o marfil, y algunos de ellos estaban hechos en China. Tienen forma de comp´as. Hay dos tipos, con ocho puntos o patas poco afiladas. En sus dos patas son inscritas varias graduaciones. Los ‘Divisores Proporcionales’ fueron construidos usando el principio de comparaci´on de los lados correspondientes de tri´angulos similares y ellos pueden ser usados para varios tipos de c´alculos como: multiplicaciones, divisiones, encontrando el t´ermino medio de una proporci´on, extrayendo ra´ıces cuadradas, ra´ıces c´ ubicas, etc. Para extraer ra´ıces cuadradas o c´ ubicas requiere usar otro tipo de graduaciones, por ello hab´ıan cuatro o cinco filas diferentes de tipos de graduaci´on a lo largo de las dos patas.

58

Un ejemplo de ello es el siguiente: Para multiplicar 7 por 13 hacemos lo que sigue: Localizamos la graduaci´on 10 en una pata. Abre los divisores as´ı como construyas la distancia entre la graduaci´on 10 en las dos patas sea 13. Luego localiza la graduaci´on 70 en las patas y mide la longitud de la base y de esta manera consigues la respuesta, 7 × 13 = 91. Otro tipo de c´alculo ingenioso tra´ıdo a China durante el fin de la dinast´ıa M´ıng y el comienzo de la dinast´ıa Q´ıng fue el ‘varillas de contar occidental’ (X¯i y´ang ch¯ou su`an). Este tipo de c´alculos ingeniosos era tambi´en conocido como ‘huesos de Napier’. ‘Huesos de Napier’. Son equivalentes a un tipo de tablas de multiplicaci´on separables. Usando esto, multiplicaciones y divisiones pueden ser cambiadas a sumas y restas.

Para multiplicar 85714 por 1260 se hace lo siguiente:

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Tomas los huesos 8, 5, 7, 1, 4 y alin´ealos. Luego tomas las filas 1, 2 y 6. Esto es similar al m´etodo ‘calculando sobre el suelo’ (lo que es diferente es que nosotros no tenemos que dibujar ning´ un cuadrado). Lo siguiente es sumar los resultados obtenidos.

Otros aparatos a destacar son las ‘reglas occidentales’ y la ‘m´aquina de c´alculo’ o ‘m´aquina de Pascal’. De las reglas occidentales hab´ıan varios tipos: la ‘regla del logaritmo’, la ‘regla del seno’ y la ‘regla de la tangente’. De acuerdo a la informaci´on que se tiene, las ‘m´aquinas de c´alculo’ llegadas fueron del tipo que invent´o Pascal en 1642 y son el distante antepasado del reciente, no electr´onico, calculador de mano. Despu´es de las matem´aticas occidentales que hab´ıan llegado a China en el fin de la dinast´ıa M´ıng, varios trabajos matem´aticos escritos por M´ei W¯end˘ing aparecieron sobre el comienzo de la dinast´ıa Q´ıng. Estos trabajos indican que despu´es del estado inicial de la primera introducci´on de las matem´aticas occidentales, los matem´aticos de China en ese tiempo eran capaces de encajar los varios tipos de m´etodos de introducci´on y digerir los conocimientos matem´aticos pasados en China. De estos conocimientos ellos emprendieron m´as investigaciones. Este matem´atico tambi´en fue recomendado por un amigo para participar en el trabajo de escribir el libro del calendario en la historia de la dinast´ıa M´ıng. El dedic´o su vida a estudiar matem´aticas y computaci´on calend´arica, escribi´o m´as de ochenta trabajos. Despu´es de la muerte de M´ei W¯end˘ing, M´ei Ju´ech´eng compil´o sus comentarios escritos en la Colecci´ on trabajos de la familia M´ei. En ello, est´an coleccionados los trabajos de M´ei W¯end˘ing sobre matem´aticas, astronom´ıa y la computaci´on del calendario. Las partes concernientes a matem´aticas son: 1. C´alculos con bol´ıgrafo. 2. Huesos de Napier. 3. Proporcionales divisores. 4. Introduciendo los m´etodos para extraer ra´ıces de grandes grados desde antigua China25 . 25

La mayor es una ra´ız de grado 12.

60

5. Teor´ıa de series rectangular. M´etodo de soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales desde antigua China. 6. Tri´angulos de ´angulo recto. 7. Explicaciones en geometr´ıa. 8. Elementos de trigonometr´ıa plana. 9. Cuadrados y c´ırculos. Cubos y esferas. Problemas sobre inscribir y circunscribir c´ırculos y cuadrados e inscribir y circunscribir esferas y cubos. 10. Suplemento de geometr´ıa. Problemas de tetraedro regular, octaedro y s´olidos regulares. 11. Elementos de trigonometr´ıa esf´erica. 12. Geodesia. B´asicamente sobre pruebas de teoremas geom´etricos concernientes a cosenos de ´angulos en tri´angulos esf´ericos. 13. Observando s´olidos. Teoremas geom´etricos concernientes a la relaci´on entre tri´angulos de ´angulos rectos sobre esferas y ´angulos esf´ericos. Qi`and˘ u es uno de los s´olidos especiales. Todos sus trabajos eran presentados en su propio lenguaje. M´ei W´ending no solamente sistematiz´o tratados, edit´o y describi´o las matem´aticas llegadas. ´ desarroll´o todos estos temas. Un ejemplo de ello es el c´alculo de los vol´ El umenes de s´olidos regulares con doce superficies. ´ es el primer ejemplo de matem´atico Chino que asimila las matem´aticas occidentales, por El lo tanto, es una figura clave, pues recibe de sus precursores y abre el camino a sus sucesores. Por otro lado debemos destacar al emperador K¯ang X´ı. Fue el segundo emperador de la dinast´ıa Q´ıng, el cu´al mostr´o intenso inter´es en las ciencias matem´aticas26 y dedic´o a ello una considerable cantidad de tiempo. Adem´as pidi´o a expertos en la materia que le dieran clase. La compilaci´on de la Colecci´on b´asica principios de matem´ aticas era otro evento supervisado por ´el. Este libro fue impreso en el primer a˜ no del reinado Y¯ong Zh¯ing (1723), pero por ese tiempo el emperador K¯ang X´ı estaba muerto. La Colecci´ on b´asica principios de matem´ aticas tom´o los conocimientos de las matem´aticas occidentales que hab´ıan sido nuevamente introducidas en China y trato eso en un orden y secuencia l´ogica. Los libros cubr´ıan todos los conocimientos matem´aticos en ese momento y por tanto pod´ıan ser considerados como una enciclopedia, representando el nivel de matem´aticas. 26

Astronom´ıa, computaci´ on calend´ arica y matem´aticas.

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Este libro permaneci´o como un texto obligatorio para aprender matem´aticas por un largo per´ıodo. Adem´as era un importante libro de referencias para buscar informaci´on matem´atica. La Colecci´ on b´asica principios de matem´ aticas esta dividida en dos vol´ umenes: Los contenidos del primer volumen, dividido en cinco cap´ıtulos, son establecer los objetivos y comprender el sistema. Los cuarenta cap´ıtulos del segundo volumen est´an divididos en partes espec´ıficas y para aplicaciones; adem´as hay cuatro tipos de tablas contenidas en ocho cap´ıtulos. El primer cap´ıtulo del primer volumen es la ‘Fuente de las matem´aticas’, el segundo, tercero y cuarto cap´ıtulo son los ‘Elementos de geometr´ıa’. El cap´ıtulo cinco es la ‘Fuente de computaci´on en m´etodos’ y trata multiplicaciones de n´ umeros naturales, m´ ultiplos comunes, divisores comunes, proporciones y series aritm´etica y geom´etrica. El segundo volumen esta dividido en cinco largas secciones: ‘Introducci´on’, ‘L´ıneas’, ‘Superficies’, ‘S´olidos’ y ‘Conclusi´on’. La ‘Introducci´on’ son dos cap´ıtulos, describe los sistemas de medida de longitudes y pesos. Contiene los sistemas para fijar el lugar decimal y las cuatro operaciones aritm´eticas para enteros y fracciones. Las ‘L´ıneas’ son ocho cap´ıtulos y contienen problemas en varios tipos de proporcionalidad, el “m´etodo de calcular por exceso y defecto” y la “t´ecnica de series de rect´angulos27 ”. ‘Superficies’ son diez cap´ıtulos con problemas sobre tri´angulos, ´areas de varias figuras rectangulares, ´areas de c´ırculos y sus segmentos, elipses, problemas de extracci´on de ra´ıces, etc. ‘S´olidos’ son ocho cap´ıtulos, con c´alculos de varios vol´ umenes como: esferas, segmentos de esferas, elipsoides, etc. C´alculo de longitudes de los lados de varios tipos de s´olidos regulares y sus relaciones con sus di´ametros de circunscribir e inscribir esferas y problemas de extraer ra´ıces c´ ubicas. La ‘Conclusi´on’ son diez cap´ıtulos con el “m´etodo de completar el cuadrado” para resolver ecuaciones cuadr´aticas. Esto es el ´algebra occidental que hab´ıa sido introducido en China. Adem´as tambi´en trata logaritmos y Divisores proporcionales galileanos.

27

M´etodo de resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales de la antigua China.

62

8.

Matem´ aticas durante el periodo feudal de “Puerta cerrada”. Dinast´ıa Q´ıng (1796 - 1911)

8.1.

Estudio y comentario de las obras antiguas

En este periodo se realizaron numerosas ediciones de libros antiguos que estaban perdidos. Se produjo una b´ usqueda de los manuales cl´asicos para su comentario y reedici´on o para incluirlos en obras de mayor tama˜ no como enciclopedias o colecciones. Este esfuerzo despert´o un esp´ıritu, entre la comunidad matem´atica china, de estudio de las obras cl´asicas antiguas. Este esp´ıritu puede denotar una falta de originalidad o estancamiento, y de hecho en este periodo se produce un estancamiento, aunque m´as adelante veremos que tambi´en se realizan algunos desarrollos propios. Entre las colecciones de libros se realizaron durante este periodo podemos destacar estas cuatro28 : Colecci´ on de libros antiguos y modernos (Enciclopedia de m´as de diez mil cap´ıtulos). Librer´ıa completa de las cuatro ramas de la literatura (Enciclopedia con m´as de treinta y seis mil vol´ umenes). Diez libros de matem´aticas cl´asicas. Edici´on de los trabajos de Q´ın Ju˘ishao y L˘i Zh`ı (matem´aticos del periodo S`ong y Yu´an). ´ Una obra muy importante que se recuper´o fue el libro Diez manuales matem´ aticos. Este, en particular, fue estudiado y comentado por L˘i Hu`ang y G` u Gu¯angu¯ang lo que permiti´o su comprensi´on por los matem´aticos de la ´epoca. Otras obras que ocuparon el inter´es de los matem´aticos fueron los escritos del periodo S`ong y Yu´an como: Tratado matem´atico en nueve secciones. Los libros escritos por Y´ang Hu¯ı recogidos en la Gran enciclopedia del periodo del reino de Y˘ ang L´e. Espejo marino de la medici´on del c´ırculo y Nuevos pasos en computaci´ on recogidos en la Biblioteca Completade L˘i Zh`ı. Este estudio de los escritos de este periodo se complet´o gracias al descubrimiento de una copia coreana de Introducci´on a los estudios matem´ aticos, con la que fue posible recuperar los conocimientos de la ´epoca. Otra tarea a la que se dedicaron editores y matem´aticos durante este periodo fue a la creaci´on de biograf´ıas de matem´aticos y astr´onomos, tanto chinos como extranjeros (la obra recoge casi doscientas cincuenta). Esta colecci´on de biograf´ıas ha sido posteriormente ampliada en varias ocasiones. 28

En la p´agina 64 se encuentra un cuadro resumen con las diversas obras y su estado en las diversas ´epocas.

63

64 Museo de palacio

Museo de Palacio

Biblioteca de Sh`angh˘ai

Biblioteca de la universidad de B˘ij¯ing

Manual matem´atico de las cinco secciones del gobierno

Museo de Palacio

Museo de Palacio

Manual matem´atico de Zh¯ang Q¯iuji¯an

Biblioteca de Sh`angh˘ai

Cl´asico de la aritm´etica del gnomon y las sendas circulares del cielo

Museo de Palacio

Biblioteca de Sh`angh˘ai

Biblioteca de Sh`angh˘ai (solo cinco cap´ıtulos)

Nueve cap´ıtulos sobre el arte matem´atico

Biblioteca Privada de J´ı G˘ u (1684)

Manual matem´atico del maestro S¯ un

S`ong del sur (1213)

T´ıtulo del libro

Edici´on

Copiado de la Gran enciclopedia del reino de Y˘ ong-l¯e

Copiado de la edici´on S`ong de la familia M´ao

Copiado de la Gran enciclopedia del reino de Y˘ ong-l¯e

Copiado de la Gran enciclopedia del reino de Y˘ ong-l¯e

Copiado de la Gran enciclopedia del reino de Y˘ ong-l¯e

Librer´ıa completa de las cuatro ramas de la literatura (1773)

Editado por D`ai Zh`en

Editado por D`ai Zh`en

Editado por D`ai Zh`en

Editado por D`ai Zh`en

Editado por D`ai Zh`en

Edici´on K˘ong de los Diez manuales matem´aticos (1773)

65

Biblioteca de la universidad de B˘ij¯ing

Memorias en algunas tradiciones del arte matem´aticos

No se copi´o

No se copi´o

No se copi´o

Perdido

Aritm´etica en cinco cl´asicos

Perdido

Museo de Palacio

Perdido

Continuaci´on de las matem´aticas antiguas

Manual matem´atico de la isla del Mar

Museo de Palacio

Perdido

Manual matem´atico de X`ıa H´ouy´ang

Librer´ıa privada de J´ı G˘ u (1684)

S`ong del sur (1213)

T´ıtulo del libro

Basado en el libro del gobernador de las dos Ji¯angs

Copiado de la Gran enciclopedia del reino de Y˘ ong-l¯e

Copiado de la Gran enciclopedia del reino de Y˘ ong-l¯e

Copiado de la edici´on S`ong de la familia M´ao

Copiado de la Gran enciclopedia del reino de Y˘ ong-l¯e

Librer´ıa completa de las cuatro ramas de la literatura (1773)

Editado por D`ai Zh`en

Editado por D`ai Zh`en

Editado por D`ai Zh`en

Editado por D`ai Zh`en

Editado por D`ai Zh`en

Edici´on K˘ong de los Diez manuales matem´aticos (1773)

8.2.

Investigaciones y desarrollos propios

Aunque durante este periodo las matem´aticas chinas sufrieron un estancamiento y no gozaron del esplendor de anta˜ no, se realizaron avances muy importante en diversos campos como: el estudio de la trigonometr´ıa, teor´ıa de ecuaciones, suma de series, teor´ıa de n´ umeros y la “T´ecnica de los conos circulares”. Muchos de estos descubrimientos ya se hab´ıan realizado en occidente varios siglos antes. Esto no le resta m´erito, pues una particularidad de la cultura china ha sido su aislamiento del resto del mundo, por lo que podemos asegurar que estos matem´aticos descubrieron de forma independiente sus resultado. En estos estudios hab´ıan varios pasos al l´ımite y c´alculos complejos, por lo que podemos asegurar que estos avances apuntaban hacia el desarrollo independiente del c´alculo diferencial e integral de no ser por su introducci´on por parte de los matem´aticos occidentales en el siguiente periodo. Veamos con m´as detalle cada una de los campos en los que trabajaron. 8.2.1.

Estudio de la trigonometr´ıa

El misionero jesuita Pierre Jartoux introdujo en China tres de las f´ormulas de Gregory. A saber: n Y 2

π = 3+

2

2

2

2

2

3·1 ·3 3·1 ·3 ·5 3·1 + 2 + + ... = 4 · 3! 4 · 5! 43 · 7!

∞ X

(2m + 1)2

3 m=0 4n (2n + 1)! n=0

∞

X a5 a7 a2n+1 a3 n (−1) + − + . . . = r sen α = a − 3!r 5!r4 7!r7 (2n + 1)!r2n n=0 ∞

X a2 a4 a6 a2n n−1 (−1) − + ± . . . = 2!r 4!r3 6!r6 (2n)!r2n−1 n=1 a donde α = r

r(1 − cos α) =

No se conoce si se les fue dada una prueba, pero los matem´aticos chinos usaron argumentos de tipo geom´etrico para demostrarlas como la t´ecnica “Encontrar la cuerda conocido el arco” que describimos a continuaci´on: Intentamos aproximar el arco ADB mediante una l´ınea poligonal de m lados iguales Cm Definimos la funci´on f (m) = m · Cm longitud de la poligonal. L´ogicamente cuando m se hace muy grande (m → ∞) entonces la longitud de la poligonal se asemeja mucho a la longitud del arco (m · Cm → C). Mediante diversos argumentos geom´etricos los matem´aticos de la ´epoca consiguieron demostrar la f´ormula para hallar la longitud de la cuerda cuando m es par (en este caso resulta un sumatorio de infinitos t´erminos) y cuando m es impar (en este caso resulta un sumatorio finito). En la demostraci´on de ambos caso se utilizan diversos pasos al l´ımite y uso del c´alculo de series y sumas finitas que se hab´ıan desarrollado en los periodos anteriores. A nota de curiosidad, la f´ormula general final que se dio fue la que se obtiene para m = 10000. 66

8.2.2.

Investigaciones en Teor´ıa de ecuaciones

El redescubrimiento de los textos S`ong y Yu´an y la reintroducci´on del m´etodo de “Completar los cuadrados” por parte de occidente abri´o un nuevo camino en el estudio de la teor´ıa de ecuaciones. Antes de comenzar con los descubrimientos que se produjeron durante esta ´epoca comentemos ciertas particularidades de la matem´atica china. Los matem´aticos chinos consideran que una ecuaci´on est´a resuelta cuando existe al menos una ra´ız positiva. En notaci´on matem´atica29 : Sea P (x) = 0 entonces P (x) resuelta ⇐⇒ ∃ x0 > 0 / P (x0 ) = 0 en otro caso P (x) no estar´ıa resuelta Durante este periodo se introduce una definici´on alternativa, ecuaciones completamente determinadas. Esto es, una ecuaci´on esta completamente determinada cuando existe una u ´nica soluci´on positiva. En notaci´on matem´atica:

P (x) esta completamente determinada ⇐⇒ ∃| x0 > 0 / P (x0 ) = 0 Si @ x0 > 0 / P (x0 ) = 0 entonces P (x) no se puede resolver Si ∃ x0 . . . xn / P (x0 ) = . . . = P (xn ) = 0 entonces P (x) no est´a completamente determinada En este periodo se descubre la relaci´on entre los coeficientes de la ecuaci´on y la resolubilidad de la ecuaci´on. W¯ang L´ai realiza una colecci´on con noventa y seis tipos distintos de ecuaciones cuadr´aticas y c´ ubicas del estilo: a, b, c, d ∈ R bx + c = ax2 bx − c = ax2 cx + d = ax3 cx − d = ax3 .. .

completamente determinada no completamente determinada completamente determinada no completamente determinada .. .

Lo sorprendente es que en los escritos W¯ang L´ai no se ven indicios que demuestren que conoc´ıa el caso general. Sin embargo no tardaron en aparecer otros autores que comienzan a encontrar reglas pseudoregulares como L˘i Ru`ı, que resume las noventa y seis tipos de reglas en tres proposiciones:

Sea P (x) =

n X

ai xn−i = 0 entonces

i=0 29

A partir de ahora se usar´ a notaci´ on matem´atica moderna pues resulta mucho m´as c´omoda para representar los conceptos matem´ aticos descritos.

67

1. Si a0 ·an < 0 ∧ ∃| i ∈ {1 . . . n} / ai ·ai+1 < 0 entonces P (x) completamente determinado. 2. Si a0 · an < 0 ∧ ∃ i, j ∈ {1 . . . n} / ai · ai+1 < 0 ∧ aj · aj+1 < 0 ∧ P (α) = 0 , α > 0 entonces:  — Si a0 . . . a0i > 0 ∀i entonces P (x) completamente  !  n−1  X determinado. P (x) = (x−α) a0k xn−(k+1) — En caso contrario P (x) no completamente   k=0  determinado. 3. Si a0 · an < 0 entonces P (x) no completamente determinado o no se puede resolver. Observamos como la segunda proposici´on es muy compleja y bastante impracticable (aparte de darse en muy pocos casos). Cuando W¯an L´ai vi´o el trabajo de L˘i Ru`ı qued´o impresionado por la idea e introduce una idea similar al actual discriminante. Los resultados a los que lleg´o pueden resumirse en:

2

x − px + q = 0 x3 − px + q = 0



Si q ≤ ( p2 )2 ⇒ ∃ x > 0 / P (x) = 0 Si q > p2 ⇒ @ x > 0 / P (x) = 0

Si q ≤

2p 3

pp 2



≡ p2 − 4q ≥ 0 (discriminante)

⇒ ∃ x > 0 / P (x) = 0 ≡ 4p3 − 27q 2 ≥ 0 (discriminante)

Los estudios de W¯an L´ai continuaron intentando encontrar una soluci´on al caso general xn − pxm + q = 0. No se sabe cuando llegaron a manos de L˘i Ru`ı estos estudios, pero a partir de ellos lleg´o a la siguiente conclusi´on: Si los coeficientes de una ecuaci´on P (x) cambian de signo: a) Una vez, entonces puede haber una soluci´on positiva. b) Dos veces, entonces puede haber dos soluciones positivas. c) Tres veces, entonces puede haber una o tres soluciones positivas. d) Cuatro veces, entonces puede haber dos o cuatro soluciones positivas. e) . . . Como se puede observar es una versi´on “china”de la “Regla de los signos” de Descartes. Estas investigaciones llegaron incluso m´as lejos llegando a sospechar la existencia de “no n´ umeros” y su presencia siempre emparejadas en las soluciones de las ecuaciones. En cierto sentido se puede afirmar que descubrieron las ra´ıces complejas de las ecuaciones.

68

8.2.3.

Suma de series finitas30

Varios matem´aticos chinos se interesaron por el problema de las series finitas. Adem´as de estudiar y comentar los resultados logrados por los matem´aticos del periodo S`ong y Yu´an tambi´en destacaron los desarrollos propios hechos por Ch´en Sh`ır´en y L˘i Sh`anl´an. Ch´en Sh`ır´en dio la f´ormula general de las siguientes sumas (ya conocidas en el periodo S`ong y Yu´an). n X

n X

r (pila de juncos)

r=1 n X r(r + 1) r=1 n X r=1 n X

2

r (pila de juncos, suma parcial)

r=m n X

r(r + 1) (pila triangular, suma parcial) 2 r=m

(pila triangular)

n X

2

r (pilas cuadradas)

r=m n X

r3 (pilas c´ ubicas)

r2 (pilas cuadradas, suma parcial) 2r−1 (pilas dobles)

r=1

r=1

A las cuales a˜ nade las sumas de los t´erminos pares o impares de algunas de ellas, las cuales dan resultados interesantes como los siguientes: n X

(2r − 1) = n2 (pila de juncos, omitiendo los pares)

r=1 n X

n (2r − 1)r = 3 r=1

n X r=1 n X

(2r − 1)2 =



1 3 n + n+ 2 2 2

 (pila triangular, omitiendo los pares)

n (4n2 − 1) (pilas cuadradas, omitiendo los pares) 3

(2r − 1)3 = n2 (2n2 − 1) (pilas c´ ubicas, omitiendo los pares)

r=1

L˘i Sh`al´an en su libro Suma de pilas de varios tipos hace un estudio en cuatro tipos de series finitas usando el cl´asico sistema de “reducci´on al caso anterior” para afrontar el c´alculo de series complejas. Un resumen de su trabajo en este campo podr´ıa ser seguir la estructura propia del libro, esto es: 30

La traducci´on palabra por palabra ser´ıa “suma de pilas finitas”.

69

Cap´ıtulo 1o “Pilas Triangulares”. a) Pila Triangular. X 1 r(r + 1)(r + 2) · · · (r + p − 2)(r + p − 1) = p! 1 = n(n + 1)(n + 2) · · · (n + p − 1)(n + p) (p + 1)! b) Pila Triangular multiplicada por una pila complementaria. X 1 r(r + 1)(r + 2) · · · (r + p − 2)(2r + p − 2) = p! 1 n(n + 1) · · · (n + p − 1)(2n + p − 1) = (p + 1)! c) Pila Triangular doblemente multiplicada por una pila complementaria. X 1 r(r + 1)(r + 2) · · · (r + p − 2)(3r + p − 3) = p! 1 = n(n + 1) · · · (n + p − 1)(3n + p − 2) (p + 1)! d ) Pila Triangular triplemente multiplicada por una pila complementaria. X 1 r(r + 1)(r + 2) · · · (r + p − 2)(4r + p − 4) = p! 1 = n(n + 1) · · · (n + p − 1)(4n + p − 3) (p + 1)! .. . e) Pila Triangular m veces multiplicada por una pila complementaria. pile31 X 1 r(r + 1)(r + 2) · · · (r + p − 2)(mr + p − m) = p! 1 = n(n + 1) · · · (n + p − 1)(mr + p − m + 1) (p + 1)! Cap´ıtulo 2o “Pilas Cuadradas”. Realizaremos primero unas definiciones previas a fin de compactar lo m´as posible la notaci´on. Definimos:

fpr = 31

1 r(r + 1) · · · (r + p − 1) p!

Caso general.

70

Aip como la i-´esima componente de la fila p-´esima del siguiente “tri´angulo32 ”:

1 1 1

4

1 1

1 1

11 26

X

r

s

11 66 ···

p

=

1 26

1

XX |

... {z

X

rs

}

p veces

a) Pilas cuadradas con una pila complementaria. " n−i+1 # X X X rp = Aip fpr b) Cuadrado de una pila cuadrada con una pila complementaria. X p r2 similar al caso anterior. c) Cubo de una pila cuadrada con una pila complementaria. X

r3

p

=

n X

r fp+2 +4

n−1 X

r fp+2 +

n−2 X

r fp+2

.. . Cap´ıtulo 3o “Pila triangular elevada al cuadrado”. a) Pila triangular elevada al cuadrado33 . " # p+1 n−i+1 X X X r 2 (f2p ) (fpr )2 = (Aip )2 i=1

r=1

Donde Aip denota la i-´esima componente de la fila p-´esima del “tri´angulo de pascal”. 32

Este tri´angulo se obtiene con la siguiente f´ormula recursiva: • A1p = 1 , App = 1 1 • Aip = (p − i + 1)Ai−1 p−1 + iAp−1

33

Esta es la conocida “Identidad de L˘i Sh` anl´an”.

71

b) Pila triangular elevada al cubo. .. . Cap´ıtulo 4o “Pila triangular modificada”. a) Pila triangular modificada. X

rfpr

=

n X

r fp+1

+p

r=1

n−1 X

r fp+1

r=1

b) Segunda pila triangular modificada. X

r2 fpr =

n X

r fp+2 + (1 + 3p)

n−1 X

r=1

r fp+2 + p2

r=1

n−2 X

r fp+2

r=1

c) Tercera pila triangular modificada. X

r3 fpr =

n X

r fp+3 + (4 + 7p)

r=1

+ [(2p + 1)2 +

n−1 X

r fp+3 +

r=1 n−2 X r fp+3 2p2 ] r=1

+ p3

n−3 X

r fp+3

r=1

Observamos como comienza dando la f´ormula general de la “pila triangular”, ya conocida con anterioridad, y a medida que se progresa en la lectura del libro aumenta considerablemente la complejidad del t´ermino a sumar a la vez que el autor recurre a sistemas m´as complejos para reducir las sumas a resolver otras ya conocidos. 8.2.4.

Investigaciones en otras ´ areas

Dentro de este apartado intentaremos destacar y resumir diversos logros que alcanzaron los matem´aticos chinos en otras ramas. Teor´ıa de n´ umeros. • Desarrollo de la “T´ecnica de encontrar uno por gran extensi´on” por Zh¯ang D¯ uren. • Definici´on china de los n´ umeros primos34 y la descomposici´on en n´ umeros primos por Hu´ang Z´ongxi`an. • La demostraci´on del “Peque˜ no teorema de Fermat” y otros resultados b´asicos por ˘ Li Sh`anl´an. Estudios de la elipse y el c´alculo de su per´ımetro. 34

Root numbers

72

Teorema binomial por D`ı X˘ u. ∞

X m(i) m(2) 2 α + ... = αi (1 + α) = 1 + m α + 2! i! i=0 m

(1)

Desarrollo de la “T´ecnica de los conos circulares” por L˘i Sh`anl´an y con ella obtener los siguientes resultados: • Z

h

axn dx =

0

ahn+1 n+1

• n Z X i=1

h

h

Z

i

ai x dx =

0

0

n X

ai xi dx

i=1

• C´alculo del ´area del c´ırculo. • C´alculo del logaritmo natural.  loge n =

n−1 n



1 + 2



n−1 n

2

• Desarrollo de la tangente. tan a = a +

a3 2a5 + + ... 3 3·5

73

1 + 3



n−1 n

3 + ... =

 i ∞ X 1 n−1 i=1

i

n

9.

Segunda entrada de la matem´ atica occidental. Siglo XX

9.1.

Cambio de mentalidad

Durante este periodo, la gran presi´on exterior que sufre China por parte de occidente la obliga a una apertura a “rega˜ nadientes” y posteriormente a un cambio de mentalidad. Se produce una apertura hacia occidente, con el objetivo de aprender su ciencia para poder competir con ellos y modernizar la sociedad china. Para ello comienza la traducci´on de libros de ciencia, entre ellos de matem´aticas. Se traducen libros de geometr´ıa anal´ıtica, calculo diferencial e integral, teor´ıa de probabilidad, etc. Aparte de las traducciones tambi´en se produce un cambio en la mentalidad popular china, se abole el uso del ´abaco35 y se introduce la notaci´on occidental moderna de c´alculo, tanto la simbolog´ıa como los algoritmos.

9.2.

Traducci´ on de textos

Dos son los matem´aticos que se dedicaron mayoritariamente a la traducci´on de libros: L˘i Sh`anlan y Hu`a H´engf¯ang. Hagamos un breve comentario de los libros m´as importantes que tradujeron: L˘i Sh`anlan • Los elementos (´ ultimos nueve libros). Se trata de la u ´nica traducci´on china completa del texto. ´ • Los elementos de Algebra de A. de Morgan (1835) Fue el primer texto de ´algebra que lleg´o a China. Esta rama de la matem´atica fue denominada “conocimiento de sustituir n´ umeros36 ” que es el t´ermino usado actualmente no solo en China, sino (convenientemente adaptado) en Jap´on y otras zonas pr´oximas. • Dieciocho cap´ıtulos de Los elementos de geometr´ıa anal´ıtica y diferencial y el C´ alculo integral por E. Loomis (1850), que fue el primer texto de geometr´ıa anal´ıtica y c´alculo en traducirse. Notar que el pr´ologo est´a escrito con la notaci´on de Leibniz aunque en el cuerpo del libro se usa una notaci´on propia que es la que actualmente usada en China. Fue de los pocos libros de L˘i Sh`anlan que se us´o como libro de texto. • Compendio de astronom´ıa de Herschel (1849) y algunos cap´ıtulos de los Principia de Newton. • Teor´ıa de las secciones c´onicas. Los libros de este autor fueron criticados por ser excesivamente formales y poco pr´acticos. Pr´acticamente se pod´ıa decir que estaban orientados para la especializaci´on matem´atica. 35 36

De manera institucional, popularmente se continua usando ampliamente a´ un en nuestros d´ıas. Knowledge of substituting numbers.

74

Hu`a H´engf¯ang ´ • Algebra • Flujos • Tratado de Trigonometr´ıa Plana y Esf´erica ´ • Complemento al Algebra de Wood • Probabilidad y combinatoria Sin embargo Hu`a H´engf¯ang tradujo libros de una manera m´as simple y fueron m´as usados para la ense˜ nanza que los de L˘i Sh`anlan.

9.3.

Nuevo m´ etodo de ense˜ nanza y los nuevos textos matem´ aticos

Para llevar a cabo el objetivo de estudiar la ciencia occidental los chinos crean diversos centros de estudio. En un principio dichos centros ten´ıan como misi´on el estudio de las lenguas extranjeras, pero pronto aparecen departamentos de matem´aticas y otras ciencias. El primer centro fue el “Foreing Lenguages Institute” al que posteriormente se le unir´ıan varios m´as. El periodo acad´emico en el instituto era de ocho a˜ nos. A partir del cuarto comenzaba la ense˜ nanza matem´atica. En 1898 se produce una reforma educativa que divide la ense˜ nanza en etapas. El sistema fue ligeramente modificado durante la revoluci´on. La cantidad de libros de texto publicada durante esta ´epoca es considerable. Las causas de estos es el “vac´ıo” que exist´ıa pues no hab´ıan textos susceptibles de ser usados como material did´actico. Los primeros libros obtuvieron fuertes ventas y fueron muchas veces reimpresos aunque no por su calidad sino por el “vac´ıo” anteriormente citado. Una caracter´ıstica importante de estos libros de texto es el uso de la notaci´on occidental tanto num´erica como simb´olica (con algunas excepciones) que fue convenientemente adaptada a la escritura china (de derecha a izquierda, de arriba a abajo).

75

76

M´etodos de c´alculo para el uso diario M´etodos de c´alculo

Book on ancestries Book of crafts Book of master M` o The arithmetical classic of the gnomon and the circular paths of the heaven Nine chapters on the mathematical art Commentary on the arithmetical classic of the gnomon and the circular paths of the heaven Commentary on the nine chapters on the mathematical art Sea island mathematical manual Master S¯ un’s mathematical manual Memoir on some traditions of matematical art

Libro sobre los ancestros Libro de las artes Libro del maestro M`o Cl´asico de la aritm´etica del gnomon y de las sendas circulares del cielo Nueve cap´ıtulos sobre el arte matem´atico Comentario del Cl´asico de la aritm´etica del gnomon y de las sendas circulares del cielo Comentario sobre los nueve cap´ıtulos sobre el arte matem´atico Manual matem´atico de la isla del mar Manual matem´atico del maestro S¯ un Memorias de algunas tradiciones del arte matem´atico Cinco cl´asicos de aritm´etica Manual matem´atico de las cinco secciones de gobierno Manual matem´atico de Xi`ah´ou Y´ang Manual matem´atico de Zh¯ang Q¯iuj`ıan Continuaci´on de la matem´aticas antiguas Ensayo sobre un conjunto de sue˜ nos Tratado matem´atico en nueve secciones Espejo marino de las medidas circulares An´alisis matem´aticos de los nueve cap´ıtulos Arithmetic in the five classics Mathematical manual of the five goverment departaments Xi` ah´ ou Y´ ang’s mathematical manual ¯ Zh¯ ang Qiuj`ıan’s mathematical manual Continuation of ancients mathematics Dream pool essays Mathematical teatrise in nine sections Sea mirror of circle measurements A detailed analisus of mathematical methods in the nine chapters Computing methods for daily use Methods of computation

Traducci´ on inglesa

Lista de libros chinos

Traducci´ on espa˜ nola

A.

Riy´ong su`an f˘a Y´ang Hu¯i’s su`anf˘a

X´ ug˘ u suanj¯ing M´eng q¯i b˘i t˘an Sh´ ush¯ u ji˘zh¯ang C`eyu´an h˘aij´ıng Xi´angji˘e ji˘ uzh¯ang su`anf˘a

Xi`ah´ou Y´ang

W˘ uj¯ing S` uansh` u W˘ u c´ao suanj¯ing

H˘id˘o suanj¯ing S¯ unz˘i suanj¯ing Sh` ush` u j`ıyi

Commentary on the J˜iuzh¯ ang su` ansh` u

J˜iuzh¯ang su`ansh` u Commentary on the Zh¯oub`ı suanj¯ing

Sh`ı B˘en K˘ao G¯ong M`oz˘i Zh¯oub`ı suanj¯ing

T´ıtulo original (Pinyin)

77

Introducci´on a los estudios matem´aticos Espejo preciosos de los cuatro elementos Calendario de trabajos y d´ıas Construcci´on de los antiguos m´etodos matem´aticos para aclarar lo extra˜ no Tratado sistem´atico sobre aritm´etica Elementos de geometr´ıa Expresi´on de aritm´etica pr´actica Completa teor´ıa de observaci´on Colecci´on de trabajos de la familia M´ei Colecci´on b´asica principios de matem´aticas Colecci´on de libros antiguos y modernos Librer´ıa completa Diez libros de matem´aticas cl´asicas Suma de pilas de varios tipos Elementos de ´algebra Elementos de geometr´ıa anal´ıtica y diferencial y c´alculo integral Compendio de astronim´ıa ´ Algebra Probabilidades Combinatoria

Introduction to mathematical studies Precious mirror of the four elements Works and days calendar Continuation of ancient mathematical methods for elucidating the strange Systematic treatise on aritmetic Elements of geometry Epitome of practical arithmetic Complete theory of surveying Collected Woks of the M´ei family Collected basic principles of mathematics Collection of ancient and modern books Complete library of four branches of literature Ten books of mathematical classics Sum of piles of various types Elements of algebra Elements of analytical geometry and of differential and integral claculus Outlines of astronomy Algebra Probabilities Combinatorics T¯an ti¯an D`ai sh` u xu´e Ju´e y´ı sh` u xu´e G˘e sh` u sh` u

Du`o j¯i b˘i l`ei D`ai sh` u xu´e `ai w´ei j¯i sh¯i j¯i

M´ei sh`ı c´ongsush¯ u j´ıy`ao Sh` u l˘i j¯ing y` un G˘ u j´ın t´ u sh¯ u j´ı ch´eng

T´ong w´en su`an zh˘i

Su`anf˘a t˘ongz´ong

Su`anxu´e q˘im`eng S`ıyu´an y` uji`an Sh`ou sh´ı l`ı X` ug˘ u zh¯aiqi su`anf˘a

B.

Bibliograf´ıa

L˘i Y˘an y D` u Sh`ır´an (1987) Chinese mathematics, a concise history. Oxford, Oxford science publications. Gheverghese J.G (1996)La cresta del pavo real. Madrid, Pir´amide. Boyer C.B. (1996)Historia de la matem´ atica. Madrid, Alianza Editorial. Fairbank J.K. (1996)China: una nueva historia. Barcelona, Andres Bello.

C.

Recurso en red

The MacTutor History of Mathematics archive.

78

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/