Ángulos

Ante la necesidad de medir el tiempo, las antiguas civilizaciones se guiaban por el día y la noche o los ciclos de la luna. El primer reloj creado por el hombre fue el solar, que indicaba los momentos del día por la sombra del sol. Estos relojes tenían el inconveniente de no servir en el amanecer, crepúsculo, días nublados y en la noche. Los romanos marcaban velas en forma de regla para medir el tiempo en la noche. Más adelante surgió el reloj de arena, que consistía en dos recipientes esféricos de vidrio unidos con un estrecho canal; con este instrumento, llegaban a medir todo un día. Luego, nació un mecanismo con movimiento rotatorio continuo y regular, que se ha modificado y perfeccionado con la finalidad de medir el tiempo con mayor exactitud. En la actualidad hay diferentes tipos de relojes y una gran cantidad de modelos. Si observas las manecillas del reloj, verás que se forman diferentes ángulos entre ellas. Y esto, ¿qué relevancia tiene?, justamente para ejemplificar cómo en la medida de un ángulo se utiliza el plano cartesiano con ayuda de una semirrecta. Si la semirecta tiene su punto inicial sobre el plano y se desplaza en sentido antihorario, es decir, en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el signo del ángulo es positivo. Si la semirrecta se desplaza en sentido horario, o a favor del movimiento de las manecillas, entonces el signo es negativo.

Entonces, ¿hay ángulos positivos y negativos?

La medida de un ángulo se representa por el signo (°) que indica grados. El símbolo se utiliza para indicar w=67°, estamos diciendo que el ángulo w mide 67°. ángulo, por ejemplo si escribimos Cuando un ángulo mide entre 0 y 90 grados entonces el ángulo pertenece al primer cuadrante. Los ángulos ubicados en el segundo cuadrante miden entre 90 y 180 grados. Los ángulos que miden entre 180 y 270 grados están en el tercer cuadrante. Por último, si un ángulo se encuentra en cuarto el cuadrante, entonces el ángulo debe medir entre 270 y 360 grados; siempre y cuando la medición de estos ángulos sea en sentido

antihorario. Si el ángulo mide más de 360 grados, significa que el ángulo ya dio al menos una vuelta en el plano.

Por ejemplo, si son las 3:00 p.m., el ángulo formado entre la manecilla que marca la hora y la manecilla que indica los minutos es de 90°, si es medido en senti do antihorario (como debe hacerse, aunque podemos decir que forma un ángulo de -270 en sentido horario). Del mismo modo, cuando el reloj marque las 9:00, el ángulo formado entre las manecillas también es de 90°.

Hay que tener cierto cuidado para interpretar los ángulos que se pueden observar en un reloj, ya que las divisiones que vemos en la carátula tienen un uso diferente según la manecilla. Por ejemplo, la manecilla más pequeña indica las horas y su posición en 5 indicaría las 5 horas, aunque la manecilla más larga, también en el 5 indica 25 minutos. Como sabemos que el movimiento de las manecillas de un reloj es circular, utilizaremos una circunferencia como auxiliar para hacer el análisis de los ángulos. Además, realizaremos un análisis por separado para no confundirnos.

Empezaremos con el movimiento del minutero. De acuerdo a la imagen, el minutero tiene 60 posiciones y cada una de ellas es un minuto que corresponde a una hora. Por otro lado, una circunferencia tiene un ángulo interno de 360°. Si lo dividimos entre las 60 posic iones del minutero obtenemos 6°. Por lo tanto, cuan do el minutero avanza un minuto, se desplaza 6°.

Colocaremos un eje coordenado para tener una referencia de los ángulos, de manera que podamos indicar cuántos grados se ha desplazado el minutero después de cierto tiempo. Si el minutero se encuentra en el minuto 36, indica cuál es el valor del ángulo positivo y del ángulo negativo. (Considera el ángulo positivo desde 3 en sentido antihorario y el ángulo negativo desde 3 en sentido horario).

Ahora escribe el ángulo positivo y negativo si el minutero está señalando al número 10.

Ahora pensemos en la manecilla que indica la hora. Sabemos que el reloj incluye 12 horas, es decir, cada 12 horas la manecilla del reloj da una vuelta completa. Considerando nuevamente la circunferencia como referencia, al dividir 360° entre 12 horas, tenemos que 360º/12 = 30º. Esto significa que cada hora está separada por 30°. Por otro lado, entre cada hora hay otras 4 marcas, lo que significa que dividimos 30° en 5 partes igua les. Esto equivale a decir cada marca tiene una separación de 6°, como ya lo habíamos mencionado en el análisis del minutero, ¿te acuerdas?

Además, la distancia entre dos números indica que ha transcurrido una hora, eso implica que entre dos números debe haber 60 minutos. Como entre 2 números hay 4 marcas, podemos deducir que cada marca comprende 12 minutos. Si entre cada marca hay 6° y además hay 12 minutos, significa que cada minuto se desplaza 0.5°, o sea, si la manecilla se desplaza 1° han transcurrido 2 minutos .

Si la manecilla está como se muestra en la figura anterior, dirigida hacia la segunda marca, que se encuentra entre el 9 y el 10, indica que son las 9:24. Ayúdame a encontrar el ángulo positivo y negativo de la manecilla.

Ya que estamos en esto, encuentra los ángulos que se forman, si la manecilla que indica la hora señala el punto medio entre el 1 y la primera marca de la derecha.

Bien, ahora que ya te estás volviendo un experto en medir los ángulos generados por las manecillas de un reloj, ¿qué tal si combinamos las manecillas y me dices cuál es el ángulo comprendido entre ambas, así como el que forma con los ejes? Para facilitar un poco el trabajo, sólo vamos a indicar los ángulos positivos, al fin que ya sabemos que el ángulo negativo siempre es el complemento de 360°.

Si el reloj marca las 2:30, el minutero se encuentra apuntando hacia el 6, y la manecilla más pequeña está dirigida a la mitad entre 2 y 3. (Para indicar el ángulo que forman las manecillas, debes considerar la manecilla del minutero como inicio del ángulo en sentido antihorario).

Un ángulo puede medir desde 0 hasta 360°. El signo negativo es para indicar la dirección en que se mide el ángulo. Si alguna vez te encuentras un ángulo mayor a 360°, significa que el indicador del ángulo dio más de una vuelta en los ejes. Por ejemplo, podemos representar el ángulo de 400° como: 360°+ 40° = 400° , esto es, el indicador dio una vuelta en sentido antihorario una vez, y al llegar al punto inicial siguió girando 40° más. Existen ángulos que tienen ciertas características y de acuerdo a éstas se han clasificado. A continuación hay una tabla que indica el nombre que se ha asignado a un ángulo de acuerdo a su medida.

En el siguiente reloj son las 3:00. Si observamos el ángulo del minutero con respecto al eje coordenado, es 90°. Por otro lado, el ángulo entre la manecilla de la hora y el eje es 0°. Si sumamos los ángulos de las dos

manecillas obtenemos que 90° + 0° = 90°. Cuando ten emos este resultado se dice que los ángulos son complementarios. Otro ejemplo de ángulos complementarios será si a = 46° y b = 44°, y como a+ b = 90°, por lo tanto, los ángulos complementarios suman 90°.

Ahora observemos el reloj que marca las 10:45. El ángulo positivo formado entre la manecilla de la hora y el eje es de 121.5°, y el ángulo formado entre las dos manecillas es 58.5°. Al sumar los dos ángulos, ten emos que 121.5°+58.5° = 180°. Este resultado es conocido como ángulos suplementarios. Siempre que la suma de dos ángulos sea 180° diremos que los ángulos son suplementarios. Por ejemplo, si: x = 15° y = 165° x+ y = 180°. Entonces los ángulos x y y son suplementarios. al sumar De acuerdo a los siguientes datos a = 30°, b = 80°, c = 90°, d = 70°, e = 100° y relaciona las columnas al escribir en los paréntesis los números que correspondan.

f = 10°,

Triángulos A continuación te vamos a mostrar algunas imágenes de zonas arqueológicas que se encuentran en México. Estos tesoros representan uno de los muchos atractivos turísticos de nuestro país. Palenque se encuentra situado en el borde del este del Río Usumacinta en las colinas de la Sierra Madre Oriental, 130 kilómetros al sur del golfo de México. Palenque representa la variante regional occidental de la civilización clásica Maya.

La ciudad de Teotihuacan, también conocida como La ciudad de los Dioses, data del año 200 a .C. y sobrevivió hasta alrededor de los años 750 d.C. Contaba con unos 20 km2. y aproximadamente 150 mil habitantes en su época de florecimiento1. Se encuentra ubicada a unos 50 km al norte de lo que hoy conocemos como la Ciudad de México.

Chichén Itzá es una ciudad arqueológica maya del estado mexicano de Yucatán. El nombre de Chichén-Itzá tiene raíz maya y significa "en la orilla del pozo de los itzáes". Se estima que Chichén-Itzá fue construida alrededor de los años 435 y 455 de nuestra era. Las construcciones son impresionantes, pero ¿te imaginas la cantidad de trabajo que hay detrás de estas construcciones? Más aún si pensamos que en el tiempo en que fueron hechas no contaban con las herramientas que tenemos actualmente. Estas construcciones tienen características similares. Asombrosamente, las construcciones tienen formas geométricas casi perfectas, y para nosotros es un verdadero misterio de cómo es que se llevaron a cabo tales obras de arte. Como te podrás dar cuenta, los arquitectos antiguos tenían una visión espacial impresionante: algunas figuras que nosotros alcanzamos a diferenciar son triángulos, rectángulos, trapecios y cuadrados. Observa con cuidado las imágenes y dinos si identificas alguna figura más… Después de tus observaciones, te sugerimos que te fijes en las cosas que te rodean e identifiques figuras geométricas. Me imagino que encontraste una gran cantidad de objetos con formas geométricas. La Geometría es muy importante; justamente una de sus aplicaciones es el diseño de objetos. Por eso es interesante conocer las características de algunas figuras geométricas. Por ejemplo, un triángulo es una figura plana que tiene 3 lados, 3 vértices que son la intersección de sus lados y 3 ángulos que son la abertura entre sus lados.

De acuerdo a los componentes de un triángulo, se pueden clasificar de dos maneras:

Rectas notables en el triángulo Existen 4 rectas importantes que son trascendentales en las construcciones de triángulos.

Ángulos interiores y exteriores Patricia está remodelando su casa y le encanta modificar; cambiar la distribución, pintar los muros y hacer otros arreglos. Ahora quiere diseñar una lámpara que colocará en la recámara. La idea es que cuando la prenda no le lastime la luz. Para esto piensa colocar una base en forma de triángulo invertido, de manera que los lados del triángulo retengan la luz del foco, más o menos como se muestra en la figura.

Según ella, el triángulo debe ser isósceles, y si los ángulos que son iguales miden 56°, entonces obte ndrá la cantidad de luz que ella necesita para su cuarto. La cuestión es que ella no sabe bien cuánto debe medir el otro ángulo para lograr que la lámpara quede a su gusto. Podrías ayudar a Patricia y decirle ¿cuánto mide el ángulo de la base del foco?

Juan pertenece a un grupo de Boy Scouts, y el próximo mes saldrán de campamento al Popocatépetl. Los integrantes del grupo deben presentar una serie de pruebas para pertenecer al mismo. Una de las principales

pruebas es que los chicos sepan armar una casa de campaña. Juan tendrá que presentar esta prueba en el siguiente campamento, así que ahora se encuentra practicando en el patio de su casa. Juan sabe que debe colocar las estacas a una misma distancia de ambos lados, y los cordones deben tener suficiente tensión, de manera que parezca una línea sobre el piso como se muestra en la figura.

Cuando hablamos de la clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos, dijimos que un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto, es decir, de 90°. También dijimos que los lados que forman el ángulo de 90° son llamados catetos y el lado del tr iángulo opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Por ejemplo, la figura que se forma al colocar una escalera sobre una pared.

Ángulos interiores y exteriores

Fíjate en el Teorema de Pitágoras. Los valores de los lados del triángulo están elevados al cuadrado, esto significa que lo podemos relacionar con áreas, de manera que si construimos cuadrados sobre cada uno de los lados del triángulo, obtenemos la siguiente figura.

Observa que el cuadrado que se construyó sobre la hipotenusa es el cuadrado con mayor área. Esto es porque de los 3 lados de un triángulo rectángulo, la hipotenusa siempre es el lado más largo. Además, el teorema dice que la suma de las áreas de los cuadrados que se construyeron sobre los catetos es igual al área que se construyó sobre la hipotenusa. Para observar el Teorema de Pitágoras de forma geométrica utilizaremos un ejemplo clásico, en el cual los catetos miden 3 y 4 respectivamente. De manera que analíticamente tenemos lo siguiente:

Pero como estamos midiendo longitud, y una longitud no puede ser negativa, el único resultado es h=5. Ahora, trazaremos el triángulo con la medida de los catetos que ya indicamos y trazaremos un cuadrado sobre cada uno de los lados del triángulo. Además trazaremos cuadrículas de 1cm2, para hacer los cálculos. Como cada uno de los cuadros internos tiene área de 1cm2, sólo tenemos que contar el número de cuadritos internos para determinar el área de cada cuadrado. Por ejemplo:

Tiene un área de 9 unidades cuadradas. Los cuadrados tienen 9, 16 y 25 cuadrados internos respectivamente. Si lo que queríamos era observar si es cierto que la suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos es igual al área del cuadrado sobre la hipotenusa, entonces sumaremos las áreas de los dos cuadrados, de manera que 9+16 = 25. Efectivamente, la suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos es igual al área sobre la hipotenusa, y esto se cumple para cualquier figura regular que se trace sobre los lados del triángulo.

Vamos a recapitular: el teorema de Pitágoras nos indica que la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa (o sea, del lado opuesto al ángulo recto):

Esta relación es muy útil para muchísimos problemas de la vida cotidiana. Haz una estrategia mental para recordar la información del recuadro anterior. Asegúrate en este momento que entiendes y vas a recordar durante mucho tiempo (¡toda la vida!) el teorema de Pitágoras. Cuando estés listo(a), presiona Se desea diseñar una resbaladilla. Las características de la resbaladilla se muestran en la siguiente figura, a la que sólo le faltan algunos datos. Usando la figura encuentra los valores del ángulo α debajo de la escalera, la longitud de la escalera (y) y la longitud de la resbaladilla (x). Favor de escribir los resultados con 2 decimales.

Semejanza de triángulos Una maqueta es la reproducción física "a escala", es decir en tamaño reducido, de algo real o ficticio. La maqueta no solamente puede ser "a escala", sino que también representa la simulación de cualquier cosa en otro material (por ejemplo la maqueta de un teléfono celular hecho en cartón), sin el acabado ni la apariencia real. Por ejemplo, la siguiente imagen representa una maqueta de una iglesia:

La maqueta tiene una escala de 1:100, lo que significa que cada uno de los elementos que conforman la iglesia serán 100 veces más grandes en la realidad. Por ejemplo, si la puerta de entrada tendrá 3.3m2, la maqueta debe tener una puerta con área igual 0.033m2 o 3.3cm2. Un error grave con las áreas a escala, si la escala es de 1:100, las longitudes del objeto real son 100 veces mayores a las del objeto a escala, PERO, las áreas del objeto real son ¡10,000 veces más grandes! Supongamos una puerta de base b y altura a en la maqueta. Como cada una de esas longitudes es cien veces más grande en el objeto real, su área es (100 a)(100 b) = 10, 000(ab). Una empresa constructora compró un terreno para crear un conjunto habitacional, y dentro del proyecto habrá un parque. Con la intención de realizar una exposición del proyecto y vender las casas, construirán una maqueta del complejo habitacional. La escala de la maqueta será 1:150, o sea que cada casa que se encuentre en la maqueta será 150 veces más grande. En el diseño del parque colocaron la representación de un columpio. De acuerdo a las medidas de la maqueta, ¿cuáles son las medidas del columpio real? (la unidad de medida es en centímetros). Indica las respuestas en centímetros.

En un poblado de Hidalgo hay un río. A un costado del río hay una marca que han puesto unos urbanistas para indicar la distancia que deben considerar las personas que van a acampar, ya que por las noches crece el río y pueden estar en peligro. De acuerdo a la información de los urbanistas, la marca que ellos colocaron está relacionada con el ancho del río. Con esta información podemos hacer unos trazos que nos permitan conocer la distancia del río. Si bien las orillas de río no son exactamente lineales, bien podríamos aproximarnos a la medida del ancho del río (la unidad de medida de las longitudes es metro).

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales. Fíjate en el ángulo que se encuentra en los vértices A y E. Ambos son perpendiculares a la orilla del río, lo que significa que los dos miden 90°. En el punto C se forman 4 ángulos. Podem os decir que DCE = ACB, porque son ángulos opuestos por el vértice. Si tenemos dos triángulos con dos ángulos iguales significa que el ángulo restante también es igual. Podemos expresar esta información de la siguiente manera:

Si los ángulos de dos triángulos son iguales, entonces sus lados correspondientes son proporcionales. Para indicar semejanza utilizaremos el siguiente símbolo ~. Los lados correspondientes son: AB~DE BC~DC AC~EC Con esta información, ayúdanos a conocer el ancho del río, es decir, la longitud de AB.

Polígonos Miguel quiere vender un terreno en Tulancingo, Hidalgo. Consiguió una persona que le ayudará a valuar el terreno. De acuerdo a la ubicación del terreno le informaron que el metro cuadrado costaba 920 pesos. El problema ahora es que Miguel no sabe cómo medir el área del terreno. Lo único que conoce son las dimensiones de los lados. Ayudemos a Miguel a calcular el área e indicarle el costo total del terreno (las medidas están en metros)

La forma del terreno de Miguel se conoce como polígono. La palabra polígono se deriva del prefijo Poli que significa muchos, y gonos que es ángulo, y por lo tanto la palabra en su conjunto polígonos es muchos ángulos. Un polígono es una figura plana cerrada, es decir, el punto donde inicia es el mismo punto donde termina. Existen dos tipos de polígonos: • •

Irregulares: Son aquellos que tienen sus lados desiguales. Regulares: Son aquellos que tienen todos sus lados iguales.

Los polígonos se clasifican de acuerdo al número de lados. Existen algunos que tienen nombres particulares, sin embargo, un polígono tiene al menos 3 lados. A continuación hay una tabla con nombres de algunos de ellos.

¿Alguna vez has observado un balón de futbol? En realidad es una esfera, pero dicha esfera es asombrosamente un conjunto de polígonos, como se observa en la figura. Resulta que para lograr la curvatura del balón se unieron 5 hexágonos a cada lado de un pentágono. Un balón profesional tiene 12 pentágonos y 20 hexágonos, o sea 32 gajos en forma de polígonos.

Si nos interesa conocer el área de un balón de futbol, podríamos realizar un corte en las costuras e intentar extenderlo. Supongamos que la longitud de los lados de los polígonos es de 4cm (cada uno de los lados del héxagono y del pentágono son de 4cm). Para calcular la superficie del balón de futbol, necesitamos conocer el área de cada pentágono y hexágono. El área de cada polígono se puede obtener calculando el perímetro por la apotema entre 2. Como sabemos, el perímetro es la suma de las longitudes de sus lados y la apotema es la distancia del centro del polígono al punto medio de uno de sus lados.

Todo polígono regular puede ser inscrito en una circunferencia. Es decir, se puede trazar una circunferencia que pase por los vértices de un polígono, lo que implica que el centro de la circunferencia es el centro del polígono. Como habíamos mencionado anteriormente, la palabra polígono significa “muchos ángulos”. Los polígonos regulares tienen lados iguales, pero también ángulos iguales. Determina la medida del ángulo de cada polígono.

La ciencia avanza mucho cuando el hombre es capaz de detectar los patrones o las regularidades de un fenómeno. Es una habilidad que te dará muchas ventajas en la vida. Fíjate en el tipo de polígono del reto anterior y determina qué patrón puedes establecer con relación al número de triángulos que lo integran. De acuerdo al número de lados, hay una relación con el número de triángulos que obtenemos. Fíjate: si el número de lados es 5, obtenemos 3 triángulos. Hay dos números de diferencia. Cuando el número de lados es 6, trazamos 4 triángulos; nuevamente dos números de diferencia. Finalmente, cuando teníamos 7 lados se obtuvieron 5 triángulos; otra vez dos números de diferencia. Podemos escribir esta regularidad por medio de una expresión algebraica. Si decimos que n es el número de lados de un polígono, entonces n-2 será el número de triángulos que se forman dentro del polígono. Ángulo de un polígono regular de n lados = 180 (n-2)/n

¿Sabías que en náhuatl papalotl quiere decir mariposa? De ahí viene la palabra en español papalote. Las mariposas monarcas son conocidas como los papalotes de la montaña. En España le llaman cometas a los papalotes y en inglés se dice kites. Seguramente alguna vez haz hecho un papalote. Es muy bonito. Incluso hay países en donde se realizan concursos de papalotes. A México llega con los españoles. Los indígenas lo llamaron papalote (en realidad papalotl - mariposa) pues les pareció eso más que otra cosa. También se le llama papalote a un árbol de la familia de las ulmáceas, el olmo (Chaltopolea mexicana), pues sus frutos (o semillas) tienen pequeñas alas. Actualmente hay diversas formas de papalotes, los más populares y fáciles de hacer son los de forma rómbica, pues basta un par de varillas de madera y un trozo de tela o plástico para el cuerpo, un cordón para volarlo y trozos de tela o plástico para la cola. Los más elaborados se usan en competencias donde se evalúan la velocidad, belleza y coordinación (al estilo de los vuelos coordinados de los aviones) y pueden llegar a costar varios cientos de dólares.

Para lograr un mejor diseño es importante unir las varillas fuertemente, así lograrás que esté mejor extendido y vuele con mayor facilidad. La clave está en colocar las varillas de manera que los ángulos entre ellas sean de 90°. Las varillas se unen en el punto medio de l a varilla más corta, y en la tercera parte de la varilla más larga.

¿Alguna vez has desayunado chocolate caliente en la mañana o lo has tomado en la noche cuando hace frío? Tal vez lo has tomado frío, también es rico. Te parece conocida una caja amarilla que contiene barras de chocolate. Fíjate que estamos creando un empaque similar al de la caja de chocolates con las siguientes dimensiones: altura 10.5, longitud de los lados de la base es de 4.5 cm, el volumen de la caja es de 550 cm3. Ayúdanos a encontrar el área de caja para saber cuánto cartón utilizaremos en la construcción de la caja.

Podemos pensar en la caja abierta sin pestañas.

El volumen es igual al área de la base por la altura, es decir, si A es el área de la base y h la altura de la caja escribimos: V=Ah Además sabemos que el volumen de la caja es de 550 cm3, y la altura es de 10.5 cm. Así que: V=Ah=550 A(10.5)=550 Despejamos el área de la base y tenemos que:

A=550/10.5=52.38 Por otro lado sabemos que la base es un hexágono, así que el área se calcula perímetro (P) por apotema (a) entre 2, de manera que:

El perímetro es igual al número de lados por la longitud de sus lados, entonces: P=6(4.5)=27cm

De la fórmula de área despejamos la apotema

= 3.88

Circunferencia y círculo Creemos que uno de los postres que le gusta a la mayoría de la gente es el pastel. Hay de todo tipo de sabores, colores, formas, e incluso hay algunos que tienen formas de personajes de caricaturas. En fin, hacer un pastel es todo un arte. Pero definitivamente también es un arte saber cortar un pastel. Resulta que muchas veces es muy complicado medir o calcular la cantidad de cortes (tanto el tamaño como en modo), en función de la concurrencia. Hay gente muy hábil para hacer cálculos, como dicen por ahí, “a ojo de buen cubero”. Además, las figuras de circunferencia son todavía más complicadas de cortar. Por eso hoy haremos algunos cortes de un pastel en forma circular, aprovechando que conocemos algunas propiedades de la circunferencia. ¿Te parece bien?

Representaremos el pastel como una circunferencia y haremos algunos cortes. Como el pastel es de chocolate lo representaremos de color café. Los que saben dicen que la clave está en realizar cortes que pasen por el centro, ya que esto propiciaría lados iguales. Hay dos trazos que pasan por el centro de una circunferencia. Uno es el radio, que va del centro a cualquier punto de la circunferencia. El otro es el diámetro, que une dos puntos sobre la circunferencia y además pasa por el centro. El diámetro es el segmento de mayor longitud que se puede trazar sobre una circunferencia, y su longitud es igual a dos veces el radio. Si haces dos cortes en forma de radio y te comes esa rebanada, entonces lo que te comiste se conoce como sector, que es una parte de un círculo comprendida entre dos radios.

Si haces cortes que no pasan por el centro de una circunferencia, entonces lo que estas haciendo es trazar una cuerda. La cuerda es un segmento que une dos puntos que se encuentran sobre la circunferencia y qué no pasa por el centro; además su longitud siempre es menor al diámetro. Hablando de pasteles, la mamá de Luis va a poner un puesto de postres para una kermés organizada en la escuela, y justamente uno de los postres que piensa preparar es un pastel. La cuestión es que ahora está pensando en la forma de cortarlo de manera que tenga ganancias, y además en cuánto debe vender cada rebanada de pastel. Ella piensa que hay dos opciones para cortar. La más fácil es rebanadas iguales y todas a un mismo precio. La segunda es haciendo un cuadrado al centro del pastel y vendiendo más caras las rebanadas cuadradas que las de las orillas porque el área es mayor.

El área del pastel es la misma, la cuestión es que la división genera diferentes formas de cobrar. Si ella usa la primera opción, daría la rebanada a $10.00 pesos, por lo que si vende todo el pastel, obtendrá $120.00 pesos. De acuerdo al segundo corte ¿cuánto deben costar las rebanadas para obtener la misma cantidad de dinero, es decir, $120.00 pesos? Ten en cuenta que hay rebanadas que tienen una parte circular. A la curva que forma parte de una circunferencia se le llama arco. Por eso decíamos que las rebanadas que contienen un arco deben ser más baratas que las que son rectangulares.

El área de una circunferencia está determinada por la fórmula A = πr². A es el área de la circunferencia,π es un número irracional y se puede aproximar a 3.141593, se le llama pi (π). A veces se utilizan más o menos

decimales, según el uso, pero si utilizas los cuatro primeros decimales ya tendrás una buena aproximación. Por último, r representa el radio de la circunferencia. La circunferencia es una de las figuras más usadas en la geometría, ¿te acuerdas cuando te invitamos a observar a tu alrededor las cosas que tienen figuras geométricas?; seguramente encontraste algunas circunferencias. Quizá alguna vez has oído hablar del Yin Yang, ¿lo conoces? Esta figura está diseñada con circunferencias, hablemos un poco más de esto… La dualidad Yin Yang es quizá el tema de la filosofía china más difundido en occidente. El principio Yin Yang simboliza la unidad del universo constituido por los aspectos Yin (negro) y Yang (blanco) inseparables en toda manifestación de la totalidad. Dentro de la mitad de cada color hay un círculo menor del color opuesto en posición central, indicativo de que cada uno de los dos aspectos, en el punto culminante de su despliegue, lleva en germen a su opuesto polar para operar su transmutación. El símbolo se encuentra trazado sobre una circunferencia de radio10cm. La circunferencia más pequeña tiene radio de 1cm.

Hacer uso de otras figuras geométricas para encontrar características o propiedades de una figura geométrica en particular, es una práctica común en geometría. Si te fijaste en el diseño del Yin Yang, se requirió utilizar otras circunferencias que tuvieran diámetro igual a la longitud del radio de la circunferencia inicial. Aunque parezca extraño la circunferencia también tiene ángulos, para encontrarlos necesitamos trazar algunos segmentos como veremos a continuación. En una circunferencia se determinan dos ángulos a saber: a) Ángulo central- es el doble del ángulo inscrito ya que tiene por lados dos radios y su vértice es la intersección de esos radios, es decir, su vértice es el centro de la circunferencia; b) Ángulo inscrito- es el que se forma al intersecar dos cuerdas sobre la circunferencia. Cuando un ángulo inscrito y un ángulo central comparten un mismo arco, es decir que los lados de los ángulos coinciden en un punto sobre la circunferencia, el ángulo central es el doble.

Se desea diseñar un portamonedas en forma cilíndrica, de manera que el ancho del mismo sea el de una moneda de $10.00 pesos. La altura del portamonedas permite introducir hasta $150.00 pesos de monedas de $10.00. Si las medidas de una moneda son 2.7cm de diámetro y 0.2cm de alto, hay que agregar un espacio (0.4cm al diámetro) y otro a la altura para que no queden muy juntas las monedas en ese recipiente.

Te diste cuenta que para el diseño del portamonedas implicó pensar en más de una figura geométrica. Hay ocasiones en que no es fácil visualizar las figuras que están implicadas, como les pasó a Germán y a Alberto. Vamos a conocer su caso. Alberto y Germán jugaban futbol en la calle donde viven, cuando de repente golpearon el balón tan fuerte que rompieron el vidrio de una ventana. Como te podrás imaginar después de la regañada que les dieron, ahora deben pagar el vidrio, aunque tienen problemas para calcular el área de la ventana. La ventana tiene forma de cuadrado y en la parte superior hay una media circunferencia. ¿Podrías ayudarles? Lo único que saben es que la ventana tiene un ancho de 2 metros (escribe la respuesta con 2 decimales).

Hasta ahora hemos hablado de las propiedades de varias figuras geométricas. Seguramente ya conocías algunas y las volviste a repasar, o quizá aquí las descubriste, lo importante es que las tengas presentes porque la Geometría no es sólo para las Matemáticas, también es utilizada como herramienta para explicar algunos fenómenos en la vida cotidiana, como lo verás en algunas materias más adelante. Lee cuidadosamente la instrucción y selecciona la respuesta correcta. ¡Muchas Felicidades! Esperamos que hayas recordado los elementos suficientes para comenzar tus Asignaturas. Responde con toda honestidad el siguiente cuestionario, tus respuestas nos serán de gran utilidad para completar nuestro perfil de ingreso de los estudiantes de este propedéutico de Matemáticas. Con esta actividad concluyes tu trabajo con esta unidad y con ello el curso de Matemáticas. ¡Felicidades!. Antes de que cierres este propedéutico te pedimos que selecciones el botón Cuestionario que aparece un poco más abajo en esta pantalla y nos des tu opinión sobre los distintos elementos del curso. También te recordamos que debes consultar en el calendario la fecha y la hora en que debes asistir a la sede en que estás inscrito para presentar el examen final de acreditación. Deseamos que continúes con entusiasmo y empeño el programa propedéutico del Bachillerato a Distancia. Cuestionario