Geometría en el Primer Ciclo ¿Cuál es el propósito de la enseñanza de la geometría en el primer ciclo? ¿Cuáles son los objetos de estudio? El estudio de la geometría1 permite abordar el tratamiento de las figuras, los cuerpos y sus propiedades como también -bajo cierta gestión de la clase- generar condiciones y oportunidades de introducir a los alumnos en un trabajo intelectual propio de la actividad matemática. Por otra parte, favorece la entrada en el trabajo deductivo y anticipatorio que, de no ser abordado en la escuela, quedaría fuera del alcance de los niños dado que no es propio de la vida cotidiana ni se desarrolla espontáneamente. Por ejemplo, la actividad geométrica permite determinar la imposibilidad de dibujar un triángulo que posea dos ángulos obtusos, sin necesidad de construirlo. Si bien este ejemplo será objeto de trabajo en el segundo ciclo, es interesante pensar de qué modo, en los primeros años, se abona el terreno para su abordaje. Los objetos de estudio de la geometría en el primer ciclo refieren a las características de las figuras y de los cuerpos geométricos. Ha sido motivo de discusión durante mucho tiempo si es conveniente enseñar primero las figuras geométricas o los cuerpos geométricos. Diferentes argumentos enfatizan una u otra entrada. Sin embargo, no hay razones suficientes, hoy día, para afirmar la conveniencia de uno u otro modo de entrada a estos objetos. Es importante abordar las relaciones entre unos y otros, cualquiera sea el orden. El análisis de las propiedades de las figuras geométricas se propone inicialmente a través de la exploración de una variedad de formas, de tal manera que los alumnos puedan identificar, por ejemplo, cantidad de lados, igualdad o no de los lados, lados rectos y curvos, cantidad de vértices, diagonales, etc. Posteriormente a esta entrada por “todas” o “cualquier” figura 2, se introduce un análisis más detallado de algunas, en particular: cuadrados y rectángulos. Los diferentes tipos de problemas favorecerán el reconocimiento y explicitación de sus características. Respecto de los cuerpos geométricos también el trabajo inicial propuesto es la identificación de algunas de sus características (cantidad de caras, forma de las caras, cantidad de aristas, longitud de las aristas, cantidad de vértices, etc.). Otro aspecto lo constituye el análisis de las relaciones entre las caras de los cuerpos y las figuras geométricas. En tercer año, se propone iniciar el estudio de los desarrollos planos de cubos. El trabajo en el primer ciclo tendrá una impronta fuertemente exploratoria. Los dibujos serán un buen punto de partida para la enseñanza de las figuras geométricas3, pero es importante estar alertas frente a lo que permiten “ver”. Es decir, se trata en el primer ciclo de que los alumnos vayan un poco “más allá” del reconocimiento puramente visual de las figuras y cuerpos y empiecen a pensar en algunas de las características que los definen y que se intenta representar en los dibujos. Desde el primer ciclo será conveniente presentar diversidad de representaciones de las figuras (en variadas posiciones con respecto a la hoja y de distintas dimensiones) para favorecer que los alumnos no confundan las características de las figuras con algunas de sus representaciones. Se propone también introducir a los alumnos en un modo de trabajo en que deban hacerse responsables de la verdad o falsedad de las respuestas obtenidas. En algunos problemas se admitirá que determinen la validez por estrategias más próximas a lo empírico, por ejemplo, la superposición entre el original y la copia frente a un problema que propone copiar una figura. Progresivamente se promoverá que puedan elaborar razones que expliquen los resultados o respuestas obtenidas mediante el uso de algunas propiedades de las figuras y los cuerpos. Por ejemplo, frente al problema “¿Se podrán construir en hoja cuadriculada tres rectángulos 1

En adelante, al hablar de geometría, haremos referencia a la geometría euclideana. La referencia a todas o cualquier figura implica, tal como se propone en la grilla de contenidos, que los alumnos traten con una gran variedad de figuras geométricas (regulares, irregulares, con lados curvos, rectos o ambos, con o sin “nombre”, etc.), en aquellos problemas en los que se busca que identifiquen características, diferencias, similitudes, pero sin necesidad de conocer los “nombres”. 3 A veces se confunden dibujo y figura. El dibujo es la marca en la hoja en tanto que la figura es un objeto “ideal” que puede caracterizarse por un conjunto de relaciones. 2

diferentes, que tengan dos lados de 4 cm?”, los alumnos podrán argumentar que es posible, porque los otros dos lados “pueden ser más largos o más cortos”. ¿Qué clases de problemas proponer a los alumnos? Al igual que se plantea para la enseñanza de los números y de las operaciones, se propone la entrada a la enseñanza de los conceptos geométricos a través de problemas. Algunos de ellos, demandan la exploración e identificación de las características distintivas de una figura o de un cuerpo dentro de una colección. Por ejemplo, aquellos problemas en los cuales se debe adivinar una figura o un cuerpo mediante preguntas dentro de una colección que se propone. En este recorrido, los alumnos podrán identificar algunas características de las figuras o los cuerpos y apropiarse progresivamente de un vocabulario específico -admitiendo en este acercamiento algunas expresiones provisorias que se van a ir ajustando a medida que avanzan los espacios de reflexión y se van estableciendo nuevos acuerdos- . Otros problemas permiten establecer relaciones entre distintas figuras geométricas. Por ejemplo, si se propone explorar de qué manera se podrá plegar una hoja de forma cuadrada de forma tal que al abrirla, se obtengan cuatro triángulos. Una idea que subyace a este problema es que la diagonal del cuadrado lo divide en dos triángulos iguales. Estas relaciones podrán ser explicitadas en el momento de analizar la resolución del problema. Con la finalidad de que los alumnos puedan establecer relaciones entre figuras y cuerpos se proponen otros problemas. Por ejemplo, si se trata de determinar cuántos triángulos son necesarios para cubrir las caras de una cierta pirámide. Otro grupo de problemas permite estudiar con mayor detenimiento características de algunas figuras o algunos cuerpos. Se trata de situaciones que implican reproducir o construir figuras o cuerpos. Por ejemplo, algunas actividades de copiado de figuras posibilitan identificar que los cuadrados tienen todos sus lados iguales, o que los rectángulos tienen lados opuestos iguales, etc. En primer año los alumnos pueden copiar sencillas figuras en hoja cuadriculada y más adelante, en 3º año, se podrá proponer el copiado de figuras en hoja lisa usando regla y escuadra. Hacia el fin del ciclo los alumnos podrán resolver problemas que impliquen ampliar o reducir determinadas figuras usando hoja cuadriculada. En otros problemas se demandará construir figuras, sin dar el modelo a la vista, bajo ciertas condiciones. Por ejemplo: “Construir en hoja cuadriculada, usando regla, un rectángulo con uno de sus lados de 4 cm y otro en hoja lisa usando regla y escuadra”. Los instrumentos geométricos (regla y escuadra) y las diferentes clases de hojas (lisa, cuadriculada, rayada) varían la exigencia de la tarea demandada al alumno y por lo tanto las propiedades que se ponen en funcionamiento. Por ejemplo, para la construcción en hoja cuadriculada el ángulo recto está ya determinado por los cuadraditos, en cambio la construcción en hoja lisa provoca la necesidad de identificar y construir ángulos rectos usando la escuadra. Esta cuestión será objeto de reflexión en relación al rectángulo y sus características. Entre los problemas que demandan construcciones, algunos incluyen producir e interpretar información para reproducir el dibujo de una figura. Por ejemplo, se podrá solicitar a un grupo que elabore un mensaje escrito, sin dibujos, que describa una figura dada. Otro grupo deberá reproducir dicha figura en hoja lisa a partir de la información recibida. Al finalizar, se realiza la superposición de la copia con el modelo para verificar si quedaron iguales. Más allá del éxito o no de la tarea de reproducción, la reflexión se centrará en cuál es la información necesaria para poder reproducir una figura y el mejor modo de comunicarla. Esta información está asociada a las características de las figuras. Algunos problemas de construcciones involucran tratar con cuerpos. Por ejemplo, construir “esqueletos” de cuerpos - a partir de varillas que funcionen como aristas y bolitas que representen los vértices -, o bien reproducir cuerpos a partir de tener disponibles sus caras. Finalmente, interpretar desarrollos planos es parte del trabajo solicitado a los alumnos de 3º año para estudiar algunas de las características de los cubos. En el trabajo geométrico en el primer ciclo, a partir de problemas como los enunciados anteriormente, se promueve una tarea exploratoria, en la que los alumnos podrán construir,

probar, dibujar, superponer, desarmar, borrar y empezar otra vez. Pero a la vez, es necesario que el docente invite a los alumnos a abandonar - por un momento- dicha actividad más próxima a lo empírico y favorezca una entrada a un trabajo anticipatorio. Apoyados en el tarea que vienen realizando, el docente podrá “tirar de la cuerda” para presentar nuevos problemas que apunten a anticipar “sin ensayar”. Por ejemplo: “¿Podríamos doblar el cuadrado y obtener cuatro cuadrados? ¿Cuántas aristas y cuántos vértices deberíamos solicitar para construir “el esqueleto” de un cubo? ¿Qué medidas convendría tomar para estar seguros de que la copia de este rectángulo quede igual que el original? ¿Qué instrumento convendría usar para poder hacer un cuadrado en hoja lisa? ¿Cuál sería la “huella” que dejaría una esfera si la apoyáramos despacito en una hoja? Este tipo de trabajo anticipatorio se inicia en el primer ciclo y se profundiza en el segundo ciclo. Bibliografía sobre la enseñanza de la geometría en el Primer Ciclo • Broitman, C. ; Itzcovich, H. (2003): “Geometría en los primeros grados de la escuela primaria: problemas de su enseñanza, problemas para su enseñanza” en: Panizza (comp.) Enseñar matemática en el Nivel Inicial y primer ciclo de EGB: Análisis y Propuestas. Paidós. • Broitman, C., Itzcovich, H. (2002): Figuras y cuerpos geométricos. Propuestas para su enseñanza. Bs. As. Novedades Educativas. • Castro, A (2000): “Actividades de Exploración con cuerpos geométricos. Análisis de una propuesta de trabajo para la sala de cinco” en: Malajovich (comp): Recorridos didácticos en la educación Inicial. Paidós. Bs. As. • Dirección General de Educación Básica. Pcia. de Bs. As. (2001): Orientaciones didácticas para la enseñanza de la Geometría en EGB. Documento Nº 3/01. Matemática DGEB. Prov. Bs. As. • Fregona, D. (1995): Fregona, D. (1995): Les figures planes comme “milieu” dans l’enseignement de la géométrie : interactions, contrats et transpositions didactiques. Thèse, Université de Bordeaux I • Gálvez,G. (1994): “La Geometría, la psicogénesis de las nociones espaciales y la enseñanza de la geometría en la escuela elemental”. En Parra, C y Saiz (comp.), Didáctica de Matemáticas. Ed. Paidós. Bs. As. • Parra, C; Sadovsky, P. y Saiz, I (1995): Enseñanza de la Matemática. Geometría. Selección bibliográfica III. PTFD Programa de transformación de la Formación Docente, Ministerio de Cultura y Educación. • Quaranta, M. E y Ressia de Moreno, B (2004) “El copiado de figuras como un problema geométrico para los niños”. En Enseñar matemática. Números, formas, cantidades y juegos. Colección de 0 a 5. Nº 54. Edic. Novedades Educativas • Saiz, I (1996): “El aprendizaje de la geometría en la EGB” , en Revista Novedades Educativas nro. 71