Unidad Nº2 :ECUACION DE LA RECTA Función lineal Una variable es un símbolo al que se le puede asignar un conjunto de valores. En general se representan las variables con las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z. Una constante es un símbolo al que se le puede asignar un solo valor. En general se representan las constantes con las primeras letras del alfabeto: a, b, c. Llamaremos función lineal a una ecuación del tipo y = mx +b

La función lineal gráficamente es una recta , donde m es la pendiente de la misma es decir la que dá la inclinación de la recta y b es la ordenada al origen que es el punto de intersección de la recta con el eje y. Gráficamente la recta y=

3 x+3 2

3 3

2

1

Donde la pendiente es m =

2 ,lo que significa que la pendiente 3

se define como la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta con el semieje positivo del eje x y para calcularla es : m= tg. α =

y x

ECUACIONES DE LA RECTA *ECUACION EXPLICITA y= m . x + b *ECUACION IMPLÍCITA Para llegar a la ecuación implícita se parte de la ecuación anterior y= m . x + b , se lleva todo al primer miembro y – m . x + b = 0 , si al coeficiente de “x” se lo denomina A , al coeficiende de “y” B y al término independiente C , la ecuación queda de la forma A . x + B . y + C = 0 , que es la ecuación implícita o general de la recta . *ECUACION SEGMENTARIA Si en la ecuación A x + B y + C = 0 se divide ambos miembros por – C queda de la forma

A. X B.Y C 0 + + = −C −C −C −C Llamamos a =

−C −C C = −1 yb= , además A B −C

Por lo tanto la ecuación queda de la siguiente forma

X Y + − 1= 0 a b X Y + =1 a b

Que es la ecuación segmentaria de la recta .

2

Los valores a y b son los puntos de intersección de la recta con los ejes OX y OY . y b a

x

CLASIFICACION DE LA FUNCION LINEAL 1)Caso general : y = m x + b Grafica y = 2x + 3 2)Función constante : y = b con m = 0 Grafica y = 5 3)Función lineal : y = m x con b= 0 Grafica y = -2 x 4)Función identidad : y = x Grafica y = x 5)Función traslación : y = x + b con m= 1 Grafica y = x + 1

3

Clasifica las siguientes rectas:

•

Grafica las rectas que siguen, en el sistema de ejes dado a continuación.

y = 2x +2 y=

1 x +2 3

y = 2x+3

y=

−

1 x -2 2

y =-3x -2 y=

1 x +3 3

4

RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Sean un punto P(x,y) y m la pendiente de la recta , la ecuación de la recta que pasa por ese punto es : y – y1= m . ( x – x1) Por ejemplo : Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto de coordenadas P ( 2, 3) y cuya pendiente es m = -3 Solución: Se reemplaza en la ecuación los datos del problema : y – 3 = (-3) ( x – 2) y – 3 = -3 x + 6 y = - 3x + 6 + 3 y= - 3 x + 9 RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS Sean dos puntos P1( x1, y1) y P2( x2, y2 ) la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos es : y- y1 =

y 2 − y1 ( x - x1 ) x 2 − x1

Por ejemplo : Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P ( 2,1) y Q (3,2)

Solución:

Se reemplaza en la ecuación los datos del problema : y-1 =

2− 1 ( x- 2) 3− 2

5

1 1

y-1= ( x – 2) y-1=x-2 y=x–2+1 y=x-1

*Halla las expresiones que determinan las siguientes rectas y grafique. * Una recta de pendiente dos que pasa por el punto (3,4). * Una función lineal que pasa por el punto P, de coordenadas (18;3) y el J de coordenadas (1;-3) * Una recta con m igual a -2/5 y término independiente igual a cinco. *Responde las siguientes cuestiones y grafique. * Si y =

3 x + 3x, determine el valor de b. 2

* Si y = 3 +

* Si t =

1 x, determine el valor de m 2

2 + x + 3, determine el valor de m y b 5

RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES Sean dos rectas : r1 = m1 x + b1

r2 = m2 x + b2

son paralelas si y solo sí:

son perpendiculares si y solo sí:

Resuelve 1)Las coordenadas de los vértices de una figura cuadrangular en el plano son: A: (-3;4), B: (6;12), C: (-1/2; -3), y D: (2; -6). Determine el punto dónde se cortan sus diagonales. 2)Un función lineal tiene raíz en x= 3/4 otra tiene término independiente igual a 2 y la misma raíz que la función anterior. Determine dónde se cortan.

6

3)f(x)= -4/5 x + 6/7 y g(x)= 2/3x +b se cortan en el punto (8;y). Determine las coordenadas de dicha intersección. 4)h(x)= 125x + x/2, determine para que valor de x , y vale 125/2 5)En el punto (3;4) se cortan dos rectas. Una de ellas tiene raíz en x igual a -12/5, la otra tiene término independiente en (0;-12/5). Determine la expresión que define ambas rectas. 6)r(x)= 2(1/13x +2x -3 +2/3)/2, s(x)=8 -3/2+x. Determine y justifique si son o no perpendiculares. 7)j(x)= jx +3, d(x)= (-125/5)x +c. Determine el valor de j para que sean paralelas. Explique si c tiene que tener algún valor particular. 8)¿Qué particularidad tienen dos funciones lineales que se cortan en el término independiente? 9)f(x)= 4 -3x+1/2. Determine una paralela a ella que tenga término independiente igual a 18/4. 10)g(x)= 8- x(10/13). Determine la perpendicular que pasa por el punto medio del segmento que determina su término independiente y su raíz. 11)3= 4x +1+y. Determine f(x). 12)Tenemos tres puntos: A: (-2; -3/5), B: (4; 7/8), C: (-4; -4/5). ¿Pertenecen o no a la misma recta?. Justifique. 13)Tenemos tres puntos: A: (-2; -3/5), B: (4; 7/8), C: (a; b). Determine valores de a y de b tal que los tres puntos estén alineados. Comente sobre la/s posible/s solución /es.

INTERSECCION DE RECTAS Sean dos rectas : R1 : A 1 x + B1 y + C1 = 0 R2 : A 2 x + B2 y + C2 = 0 Para determinar si dos rectas tienen intersección con R1 y R2 ecuaciones con dos incógnitas

se forma un sistema de dos

 A1 x + B1 y = − C1   A2 x + B2 y = − C 2 Se resuelve aplicando el método de determinante. ∆

=

A1

B1

A2

B2 7

∆x=

C1

B1

C2

B2

Si . ∆ ≠ 0, ∆

x

∆y=

≠ 0 y∆

y

A1

C1

A2

C2

≠ 0 el sistema es Compatible Determinado , lo que significa que el

sistema tiene solución y dicha solución es única . Geométricamente son dos rectas que se intersectan en un punto P ( x , y ), con x= Gráficamente:

∆x ∆y ,y= . ∆ ∆

R1

Si ∆ = 0, ∆

x

= 0 y∆

R2

= 0 el sistema es Indeterminado , lo que significa que el sistema tiene

y

infinitas soluciones .Geométricamente son dos rectas coincidentes. R1= R2

Si ∆ = 0, ∆

x

≠ 0∨ ∆

y

≠ 0 el sistema es Incompatible , lo que significa que el sistema no tiene

solución .Geométricamente son dos rectas paralelas.

R1 R2

8

Encuentra si las siguientes rectas se intersectan o no ( En forma grafica y analítica)  2x + 3y = − 1  3x − 2 y = 3  2 = x + 2y x+ y+ 2= 0 a)  b)  c)  d)   3x − 2 y + 3 = 0  6x − 4 y − 6 = 0  − 5 = 2x − 2 y  5 x = − 5 y − 10

9