www.aosa.com.ar asfriso@aosa.com.ar. El material elástico lineal tiene un comportamiento elástico reversible para cualquier tensión aplicada. Ingredientes.
La idea de la elasticidad lineal isotrópica El material elástico lineal tiene un comportamiento elástico reversible para cualquier tensión aplicada Ingredientes • Módulo de Young 𝑬 = 𝜕𝜎⁄𝜕𝜖 = 𝜎⁄𝜖 • Coeficiente de Poisson 𝝂 = − 𝜕𝜖)⁄𝜕𝜖* = − 𝜖)⁄𝜖* • Energía elástica almacenada (1D) * * 𝑈, = 𝜎 · 𝜖 = 𝜖 · 𝐸 · 𝜖 -
2
-
𝜎
𝐸 𝑈, 𝜖
1
Elasticidad lineal
Elasticidad lineal isotrópica
La relación 𝜎 = 𝐸 · 𝜖 es 1D (𝜎 y 𝜖 son escalares) En el espacio general de tensiones la relación es • En componentes
8 𝜎01 = 𝐾 · 𝜖33 𝛿01 + 2𝐺 · 𝜖01
• En notación tensorial 𝝈 = 𝐾 · 𝜖: · 𝟏 + 2𝐺 · 𝝐8 • Para deformación plana (caso 2D) con tensiones iniciales 𝜎== 𝜎>> 𝜎?? 𝜎=>
1−𝜈 𝐸 𝜈 = 𝜈 1 − 2𝜈 1 + 𝜈 0
𝜈 1−𝜈 𝜈 0
𝜈 𝜈 1−𝜈 0
0 0 0 1 − 2𝜈
D 𝜎== 𝜖== D 𝜖>> 𝜎>> 𝜖?? + 𝜎 D ?? 𝜖=> D 𝜎=>
3
Restricciones a los parámetros elásticos
Elasticidad lineal
El trabajo de deformación debe ser positivo 8 8 8 𝑊̇ = 𝝈: 𝝐̇ = 𝑝𝜖:̇ + 𝑠01 𝜖̇01 = 𝐾𝜖: · 𝜖:̇ + 2𝐺𝜖01 𝜖̇01 𝑊̇ > 0 ∀ 𝝐̇ → 𝑲 > 𝟎 ∧ 𝑮 > 𝟎
Las relaciones entre parámetros elásticos son 𝐺=
𝐸 2 1+𝜈
𝐾=
𝐸 3 1 − 2𝜈
𝐸U,8 =
1−𝜈 𝐸 1 + 𝜈 (1 − 2𝜈)
Por lo que también 𝐾 > 0 ∧ 𝐺 > 0 → 𝑬 > 𝟎 ∧ −𝟏 < 𝝂 < 𝟎. 𝟓𝟎 4
2
Elasticidad lineal
Relaciones simples empleadas en geotecnia Relación tensión-deformación
Un material elástico puede ser • Isotrópico: las mismas propiedades en todas direcciones (rocas ígneas) • Ortotrópico: propiedades diferentes con tres direcciones ortogonales principales (rocas sedimentarias, madera) • Anisotrópico: propiedades diferentes sin direcciones principales (algunas rocas metamórficas)
commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=539591
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Elasticidad lineal
Elasticidad lineal ortótropa D 𝜎** 𝜖** D 𝜎-𝜖-D 𝜖)) 𝜎)) + D 𝜖*𝜎*𝜖-) D 𝜎-) 𝜖)* D 𝜎)* 0 0 0 0 0 0 0 0 1⁄𝐺*0 Jointed-Rock 0 2(1 + 𝜈model -- )⁄𝐸-
𝜎** 𝜎-𝜎)) Modelling Rock in Plaxis Útil para simular el comportamiento 𝜎*- = 𝐃 · de terreno estratificado 𝜎-) 𝜎)* 1⁄𝐸−𝜈-- ⁄𝐸−𝜈*- ⁄𝐸* 𝐃= 0 0 0
−𝜈-- ⁄𝐸1⁄𝐸−𝜈*- ⁄𝐸* 0 0 0
−𝜈*- ⁄𝐸* −𝜈*- ⁄𝐸* 1⁄𝐸* 0 0 0
0 0 0 1⁄𝐺*0 0
Cinco parámetros con las restricciones
7
•
rock formation
•
E1
𝐸* > 𝐸- > 0 𝐺*- > 0 1 − 𝜈** 𝐸- ≥ 2𝜈*-𝐸*
E2 major joint direction
stratification
(Plaxis UM)
•
Anisotropic elastic behaviour for intact rock Maximum of 3 planes with – shear failure according to Mohr-Coulomb – Tension cut-off Plane 1 is assumed to be the stratification direction
Parameters: • •
Intact rock : Maximum of 3 planes with – shear failure according to Mohr-Coulomb – Tension cut-off
E1, ν1 ,E2, ν2, G2 ci, φi,ψi for i=1,2,3 σt,i for i=1,2,3
Elasticidad lineal
Problemas “elásticos” en geotecnia y determinación de parámetros Cuando el suelo está lejos de “falla” • Propagación de ondas • Fundaciones con cargas de servicio • Vibraciones de máquinas • Carga lateral en pilotes • Tensiones alrededor de túneles • Minería subterránea a gran escala Los parámetros elásticos dependen del rango de deformación del problema Las tensiones locales se resuelven x con modelos elastoplásticos
Jointed Rock model – orientation of sliding planes Direction of sliding plane defined by: • Dip angle (α1) • Dip direction (α2) • Declination
declination z y
N
t = horizontal direction of sliding plane s = falling direction of sliding plane s* = horizontal component of s
t α2 s* α1
s
sliding plane
8
α1 = angle between s* and s, measured clockw s* to s looking into the direction of positiv α2 = angle between North (N) and s* , measured clockwise from N to s* looking downwards Declination = angle between North and positiv
NOTE: when creating input this is based on the z-plane with highest z-coordinate lookin origin
