Elasticidad lineal
Dr. Alejo O. Sfriso Universidad de Buenos Aires SRK Consulting (Argentina) AOSA
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Elasticidad lineal
La idea de la elasticidad lineal isotrópica El material elástico lineal tiene un comportamiento elástico reversible para cualquier tensión aplicada Ingredientes • Módulo de Young 𝑬 = 𝜕𝜎⁄𝜕𝜖 = 𝜎⁄𝜖 • Coeficiente de Poisson 𝝂 = − 𝜕𝜖)⁄𝜕𝜖* = − 𝜖)⁄𝜖* • Energía elástica almacenada (1D) * * 𝑈, = 𝜎 · 𝜖 = 𝜖 · 𝐸 · 𝜖 -
2
-
𝜎
𝐸 𝑈, 𝜖
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Elasticidad lineal
Elasticidad lineal isotrópica
La relación 𝜎 = 𝐸 · 𝜖 es 1D (𝜎 y 𝜖 son escalares) En el espacio general de tensiones la relación es • En componentes
8 𝜎01 = 𝐾 · 𝜖33 𝛿01 + 2𝐺 · 𝜖01
• En notación tensorial 𝝈 = 𝐾 · 𝜖: · 𝟏 + 2𝐺 · 𝝐8 • Para deformación plana (caso 2D) con tensiones iniciales 𝜎== 𝜎>> 𝜎?? 𝜎=>
1−𝜈 𝐸 𝜈 = 𝜈 1 − 2𝜈 1 + 𝜈 0
𝜈 1−𝜈 𝜈 0
𝜈 𝜈 1−𝜈 0
0 0 0 1 − 2𝜈
D 𝜎== 𝜖== D 𝜖>> 𝜎>> 𝜖?? + 𝜎 D ?? 𝜖=> D 𝜎=>
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Restricciones a los parámetros elásticos
Elasticidad lineal
El trabajo de deformación debe ser positivo 8 8 8 𝑊̇ = 𝝈: 𝝐̇ = 𝑝𝜖:̇ + 𝑠01 𝜖̇01 = 𝐾𝜖: · 𝜖:̇ + 2𝐺𝜖01 𝜖̇01 𝑊̇ > 0 ∀ 𝝐̇ → 𝑲 > 𝟎 ∧ 𝑮 > 𝟎
Las relaciones entre parámetros elásticos son 𝐺=
𝐸 2 1+𝜈
𝐾=
𝐸 3 1 − 2𝜈
𝐸U,8 =
1−𝜈 𝐸 1 + 𝜈 (1 − 2𝜈)
Por lo que también 𝐾 > 0 ∧ 𝐺 > 0 → 𝑬 > 𝟎 ∧ −𝟏 < 𝝂 < 𝟎. 𝟓𝟎 4
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Elasticidad lineal
Relaciones simples empleadas en geotecnia Relación tensión-deformación
𝑞 = 𝜎) − 𝜎* = 𝐸𝜖Y = 3𝐺 · 𝜖Z
Deformación por corte
𝜖Z =
Presión Trayectoria edométrica
2 𝜖Y 𝜖) − 𝜖* = 3 1 − 2𝜈 𝜎* + 𝜎- + 𝜎) 𝑝= = 𝐾 · 𝜖: 3 𝜕𝜎= 𝜈 3𝐾 − 2𝐺 = = 𝜕𝜎? 1 − 𝜈 3𝐾 + 4𝐺
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Elasticidad lineal
Elasticidad lineal anisotrópica
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Un material elástico puede ser • Isotrópico: las mismas propiedades en todas direcciones (rocas ígneas) • Ortotrópico: propiedades diferentes con tres direcciones ortogonales principales (rocas sedimentarias, madera) • Anisotrópico: propiedades diferentes sin direcciones principales (algunas rocas metamórficas)
commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=539591
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Elasticidad lineal
Elasticidad lineal ortótropa D 𝜎** 𝜖** D 𝜎-𝜖-D 𝜖)) 𝜎)) + D 𝜖*𝜎*𝜖-) D 𝜎-) 𝜖)* D 𝜎)* 0 0 0 0 0 0 0 0 1⁄𝐺*0 Jointed-Rock 0 2(1 + 𝜈model -- )⁄𝐸-
𝜎** 𝜎-𝜎)) Modelling Rock in Plaxis Útil para simular el comportamiento 𝜎*- = 𝐃 · de terreno estratificado 𝜎-) 𝜎)* 1⁄𝐸−𝜈-- ⁄𝐸−𝜈*- ⁄𝐸* 𝐃= 0 0 0
−𝜈-- ⁄𝐸1⁄𝐸−𝜈*- ⁄𝐸* 0 0 0
−𝜈*- ⁄𝐸* −𝜈*- ⁄𝐸* 1⁄𝐸* 0 0 0
0 0 0 1⁄𝐺*0 0
Cinco parámetros con las restricciones
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•
rock formation
•
E1
𝐸* > 𝐸- > 0 𝐺*- > 0 1 − 𝜈** 𝐸- ≥ 2𝜈*-𝐸*
E2 major joint direction
stratification
(Plaxis UM)
•
Anisotropic elastic behaviour for intact rock Maximum of 3 planes with – shear failure according to Mohr-Coulomb – Tension cut-off Plane 1 is assumed to be the stratification direction
Parameters: • •
Intact rock : Maximum of 3 planes with – shear failure according to Mohr-Coulomb – Tension cut-off
E1, ν1 ,E2, ν2, G2 ci, φi,ψi for i=1,2,3 σt,i for i=1,2,3
Elasticidad lineal
Problemas “elásticos” en geotecnia y determinación de parámetros Cuando el suelo está lejos de “falla” • Propagación de ondas • Fundaciones con cargas de servicio • Vibraciones de máquinas • Carga lateral en pilotes • Tensiones alrededor de túneles • Minería subterránea a gran escala Los parámetros elásticos dependen del rango de deformación del problema Las tensiones locales se resuelven x con modelos elastoplásticos
Jointed Rock model – orientation of sliding planes Direction of sliding plane defined by: • Dip angle (α1) • Dip direction (α2) • Declination
declination z y
N
t = horizontal direction of sliding plane s = falling direction of sliding plane s* = horizontal component of s
t α2 s* α1
s
sliding plane
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α1 = angle between s* and s, measured clockw s* to s looking into the direction of positiv α2 = angle between North (N) and s* , measured clockwise from N to s* looking downwards Declination = angle between North and positiv
NOTE: when creating input this is based on the z-plane with highest z-coordinate lookin origin
4 CG2 - Buenos Aires, Argentina - Octobre 2010
