ECUACIONES DIFERENCIALES ´ DE BERNOULLI E0100 ECUACION Ejemplos.- Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes dy = 2xy(y 3 − 1) (1) 3(1 + x2 ) dx dy y x (2) 2 = − 2 ; y(1) = 1 dx x y 1 dy 3 + y 2 = 1; y(0) = 4 (3) y 2 dx (4) e−x (y 0 − y) = y 2 (5) y 2 dx + (xy − x3 ) dy = 0

canek.uam.mx: 21/ 4/ 2003. 1

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Respuestas Ejemplos.- Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes dy (1) 3(1 + x2 ) = 2xy(y 3 − 1) dx 3(1 + x2 )y 0 = 2xy 4 − 2xy 3(1 + x2 )y 0 + 2xy = 2xy 4 Dividiendo por 3(1 + x2 )

y0 +

2x 2x y= y 4 , que es de Bernoulli. 2 3(1 + x ) 3(1 + x2 )

Multiplicando por y −4 se obtiene

(A)

y −4 y 0 +

2x 2x y −3 = 2 3(1 + x ) 3(1 + x2 )

Se efect´ ua un cambio de variable

z = y −3 ⇒

1 dz dy = −3y −4 ⇒ − z 0 = y −4 y 0 dx dx 3

Sustituyendo en (A)

1 2x 2x − z0 + z= 2 3 3(1 + x ) 3(1 + x2 ) Multiplicando por (−3)

2x 2x z0 − z=− , que es lineal 2 2 1 + x 1 + x Z Z 2x dx = − ln(1 + x2 ) = ln(1 + x2 )−1 p(x) dx = − 2 1+x El factor integrante es

eln(1+x

2 )−1

= (1 + x2 )−1 =

1 1 + x2

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Multiplicando la lineal por el factor integrante   1 2x 2x 0 z = z − 2 2 1+x 1+x (1 + x2 )2 0  2x 1 z =− , integrando 2 1+x (1 + x2 )2 Z 1 z = − (1 + x2 )−2 2x dx 1 + x2 1 (1 + x2 )−1 + c, c constante z = − 1 + x2 −1  1 2 z = (1 + x ) + c = 1 + c(1 + x2 ) 1 + x2 pero z = y −3 =

1 , entonces y3 1 = 1 + c(1 + x2 ), de donde y3 1 , por lo tanto y3 = 1 + c(1 + x2 ) 1 y= p 3 1 + c(1 + x2 )

(2) 2

dy y x = − 2 ; y(1) = 1 dx x y 1 2y 0 − y = −xy −2 x

Dividiendo por 2

y0 −

x 1 y = y −2 , que es de Bernoulli. 2x 2

Multiplicando por y 2 se obtiene

(B)

1 3 x y =− 2x 2 Se efect´ ua un cambio de variable y2y 0 −

w = y3 ⇒

1 dy dw = 3y 2 ⇒ w 0 = y 2y 0 dx dx 3

3

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Sustituyendo en (B)

1 0 1 x w − w=− 3 2x 2 Multiplicando por 3

3 3 w 0 − w = − x, que es lineal 2x 2Z Z Z 3 3 3 dx 3 p(x) dx = − dx = − = − ln x = ln x− 2 2x 2 x 2 El factor integrante es

3 − ln x 2

e

3

= x− 2

Multiplicando la lineal por el factor integrante

x

−

3 2

  3 3 3 0 w − w = − x x− 2 2x 2 3 3 1 [x− 2 w] 0 = − x− 2 2

Integrando

x

−

3 2w

3 =− 2

Z

1 1 3 x− 2 dx = − (2)x 2 + c, c constante 2

3

1

3

w = x 2 [−3x 2 + c] = −3x2 + cx 2 Pero w = y 3

dy 3 + y 2 = 1; y(0) = 4 dx 1 Multiplicando por y − 2 1

(3) y 2

1

y 0 + y = y − 2 , que es de Bernoulli 1

Multiplicando por y 2

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1

3

y2y0 + y2 = 1

(C) Efectuando un cambio de variable 3

si z = y 2 ⇒

1 3 1 dy 2 dz = y2 = z0 = y2y0 dx 2 dx 3

Sustituyendo en (C) 2 0 z +z =1 3 Multiplicando por

3 2 3 3 z 0 + z = , que es 2 Z Z2 3 p(x) dx = dx = 2

lineal 3 x 2

3

El factor integrante es e 2 x 3 Multiplicando la lineal por e 2 x 3 e2x

  3 3 3 0 z + z = e2x 2 2 3 3 3 [e 2 x z] 0 = e 2 x 2

Integrando

3 x 2

e z= 3

3

Z

3 3 3 e 2 x dx = e 2 x + c, c constante 2

3

z = e− 2 x [e 2 x + c] = 1 + ce− 2 x 3

Pero z = y 2 , entonces

3

3

y 2 = 1 + ce− 2 x Considerando y(0) = 4

3

4 2 = 1 + c, de donde c = 7

5

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Por lo tanto

3

3

y 2 = 1 + 7e− 2 x De donde

3

2

y = (1 + 7e− 2 x ) 3 (4) e−x (y 0 − y) = y 2 Multiplicando por ex y 0 − y = ex y 2 , que es de Bernoulli Multiplicando por y −2 y −2 y 0 − y −1 = ex

(D)

w = y −1 ⇒

dw dy = −y −2 ⇒ −w 0 = y −2 y 0 dx dx

Sustituyendo en (D) se obtiene

−w 0 − w = ex O sea

w 0 + w = −ex , que es lineal El factor integrante es R

e

dx

= ex

Multiplicando la lineal por ex

ex [w 0 + w] = −ex ex [ex w] 0 = −e2x Integrando

x

e w=−

Z

1 e2x dx = − e2x + c1 2

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De donde

1 1 w = e−x [−e2x + 2c1 ] = [−ex + ce−x ] 2 2 1 Pero w = y −1 = , entonces y

1 1 = [ce−x − ex ] y 2 Por lo tanto

y=

2 − ex

ce−x

(5) y 2 dx + (xy − x3 ) dy = 0 y2

dx + xy − x3 = 0 dy y 2 x 0 + yx = x3

Dividiendo por y 2

1 1 x 0 + x = 2 x3 , de Bernoulli para x y y Multiplicando por x−3 se obtiene

(E)

1 1 x−3 x 0 + x−2 = 2 y y Si w = x−2 ⇒ Sustituyendo en (E)

1 1 1 − w0 + w = 2 2 y y

1 dw dx = −2x−3 ⇒ − w 0 = x−3 x 0 dy dy 2

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Multiplicando por (−2) 2 2 w 0 − w = − 2 , que es lineal y y El factor integrante es

e−

R

2 y

dy

2

= e−2 ln y = elny = y −2

Multiplicando la lineal por y −2 se tiene que

y

−2

  2 2 0 w − w = − 2 y −2 y y −2 0 [y w] = −2y −4

Integrando

−2

y w = −2

Z

2 y −4 dy = y −3 + c1 3

De donde

w=y Pero w = x−2 =

2



   3 2 2 + cy 3 2 2 + 3c1 y + c = y = 1 3y 3 3y 3 3y

1 , entonces x2 1 2 + cy 3 = x2 3y

De donde

x2 =

3y 2 + cy 3