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b. SISTEMAS de ECUACIONES SISTEMAS de ECUACIONES de 1° GRADO con DOS VARIABLES Problema 2: En una semana una agroveterinaria vendió 40 fertilizantes para césped de las marcas A y B. Los de la marca A costaban 4,95 $ cada uno y los de la marca B se vendieron a 7,95 $ cada uno. Las ventas totales en este rubro fueron de 282 $ ¿Cuántos fertilizantes se vendieron de cada tipo? Para conocer la cantidad de fertilizantes vendidos de cada marca expresaremos el enunciado anterior utilizando ecuaciones. En este problema encontramos dos incógnitas, que llamaremos: • *

con la letra x a la cantidad desconocida de fertilizantes vendidos de la marca A con ia letra y a los fertilizantes vendidos de la marca B

Entonces, traduciendo e! enunciado al lenguaje matemático:

.. en una semana una agroveterinaria vendió 40 fertilizantes

->

x + y = 40

->

4,95$*

->

7,95$ y

.. Los de la marca A costaban 4,95 $, entonces por éstos .recibió un total de .. Los de la marca B costaban 7,95 $, entonces por éstos recibió un total de ... Las ventas totales en este rubro fueron de 282 $ ->

4,95$ x + 7,95$ y = 282$

En este problema tenemos ahora dos ecuaciones que deben simultáneamente, la cantidad vendida y la ganancia obtenida:

cumplirse

ÍX + y = 40

[4,95 x + 7,95 y = 282 lo que constituye un sistema de ecuaciones.

Definición: Un sistema de ecuaciones de primer grado, es un conjunto de ecuaciones de primer grado que se deben satisfacer simultáneamente. El o los pares ordenados de números x e y, denotados por (x9y), que verifican todas las ecuaciones del sistema se llaman soluciones. El conjunto formado por todos los pares ordenados que son soluciones del sistema de ecuaciones se llama conjunto solución.

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Representación de un sistema de dos ecuaciones

Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos variables o incógnitas se representa, en su forma general, por:

En el sistema así escrito, la letra a¿¡ representa el coeficiente que multiplica a la primera variable (x) de la primera ecuación, la letra a\i representa el coeficiente que multiplica a la segunda variable - ( y ) de la primera ecuación, y las letras #21 V a22 representan, respectivamente, los coeficientes que multiplican a la primerg variable (x) y a la segunda variable ( y ) de la segunda ecuación. Las letras b\ b2 representan los términos independientes de la primera y segunda ecuación, respectivamente.

Ejemplo 4: En el problema 2, los valores de las letras de la representación general del sistema son:

a\i = 1 «21=4,95

a\2 =1 ¿22=7,95

b\ 40 6 2 =282

RESOLUCIÓN de uin SISTEMA de DOS ECUACIONES Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas se pueden utilizar varios métodos o técnicas para encontrar su conjunto solución. Entre los más usados están el método ¿de sustitución, el método de combinaciones lineales, el método de determinantes o Regla de Cramer, etc.

MÉTODO de SUSTITUCIÓN El Método de Sustitución es una técnica para resolver sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, que consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y reemplazar ésta por su equivalente en la otra ecuación.

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Realizado el reemplazo la nueva ecuación tendrá una única variable, que se puede resolver como ecuación de primer grado,

Ejemplo 5;

Para resolver el sistema del Problema 2.

Jjc + 7 = 40 [4,95 * + 7,95 j; = 282

De la primera ecuación podemos despejar la variable y:

x + y = 4Q

-> y = 40 - x

Reemplazando esta variable en la segunda ecuación obtenemos una nueva ecuación en la única variable x:

4,95jc + 7,95 y =-282 ~> 4,95x4-7,95 (40-*)= 282

El valor encontrado de la variable x, se reemplaza en la primera ecuación para hallar el valor de la incógnita y:

El resultado es el par ordenado (x9y) = (12,28). Es decir la agroveterinaria ha vendido 12 fertilizantes de la marca A y 28 fertilizantes de la marca B.

El par ordenado (12,28) satisface simultáneamente ambas ecuaciones (lo cual puede comprobarse reemplazándolos valores en el sistema inicial), luego el conjunto solución del sistema es:

S = {(12,28)}

Al igual que para una ecuación los siguientes ejemplos muestran que no todo sistema de ecuaciones de primer grado tiene solución única.

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EjemploG:

El siguiente sistema de ecuaciones no tiene solución

Por el método de sustitución, a partir de la primera ecuación podemos despejar y:

= 4-2* por lo cual

6x-6x = 4-l2

-»

O = -8 iiimposiblell-

Como O * -8, quiere decir que no hay ningún x que verifique la ecuación, luego es imposible encontrar el valor de la otra variable y, entonces:

El sistema de ecuaciones no tiene solución y el conjunto solución es un conjunto vacío, es decir, S = ^ = { }

Ejemplo 7:

El siguiente sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones

Por el método de sustitución tenemos:

6* + 3(4 -2*) = 12 -» 6x + 12-6jt =

La última ecuación se verifica para todo número real de x , y por lo tanto se cumplen los dos ecuaciones del sistema también para todo número real y que verifique

El sistema de ecuaciones so verifica para todo par ordenado de números reales (x,y) con y = 4-2x y el conjunto solución se escribe de la forma:

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MÉTODO de COMBINACIONES LINEALES El método de combinaciones lineales es una técnica que consiste en encontrar una combinación de las ecuaciones del sistema, de modo tal que de una de las ecuaciones se elimine una variable, logrando así una ecuación de una única variable que se puede resolver como ecuación de primer grado con una sola incógnita. Las combinaciones lineales de las ecuaciones se realizan utilizando dos propiedades de la suma y la multiplicación, que son: • •

Multiplicar ambos miembros de una ecuación por un número real no nulo. Reemplazar una ecuación por la suma de ésta con la otra ecuación del sistema.

Ejemplo 8:

Resolver por el método de combinaciones lineales el sistema de ecuaciones

Si sumamos las ecuaciones no se eliminar^ ninguna variable. No obstante, si el término 3y , en la primera ecuación, fuese en cambio igual a -67 podríamos eliminar ésta variable, utilizando la segunda propiedad. Para ello multiplicaremos ambos miembros de la primera ecuación por - 2.

Sumando ambas ecuaciones se obtiene:

Sustituyendo el valor de x en cualquiera de las ecuaciones originales se obtiene el valor de la otra incógnita:

• ,-,