Tipos de elemento Ejercicio elemento cuatro nodos
Dr. Alejo O. Sfriso Universidad de Buenos Aires SRK Consulting (Argentina) AOSA
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Ejercicio elemento 4 nodos
Elemento 2D de 4 a 9 nodos
2
Para aumentar la precisión se pueden agregar más elementos o usar elementos con mas nodos Cuadrado • 4 nodos: interpolación bi-lineal
(Bathe 1996)
1
Ejemplo (mecánica continuo) ⎧⎪ 1.5 + 0.1xy ⎫⎪ u ⎡⎣ x, y ⎤⎦ = x − x = ⎨ ⎬ ⎪⎩ 0.5 + 0.1xy ⎪⎭ ⎧⎪ 1.5 + 0.1x0.5x0.4 ⎫⎪ ⎧⎪ 1.52 ⎫⎪ u ⎡⎣0.5,0.4 ⎤⎦ = ⎨ ⎬= ⎨ ⎬ ⎩⎪ 0.5 + 0.1x0.5x0.4 ⎭⎪ ⎩⎪ 0.52 ⎪⎭
Ejercicio elemento 4 nodos
end
ini
⎧ ∂u1 1 ⎛ ∂u1 ∂u2 ⎞ ⎪ + ∂x 2 ⎜⎝ ∂x2 ∂x1 ⎟⎠ ⎪ 1 ε ⎡⎣ x, y ⎤⎦ = ⎨ ∂u2 ⎪ 1 ⎛ ∂u1 ∂u2 ⎞ ⎪ 2 ⎜⎝ ∂x + ∂x ⎟⎠ ∂x 2 1 2 ⎩ ⎧⎪ 0.04 0.045 ⎫⎪ ε ⎡⎣0.5,0.4 ⎤⎦ = ⎨ ⎬ ⎪⎩ 0.045 0.05 ⎪⎭
∂u1 ∂ ⎡⎣1.5 + 0.1xy ⎤⎦ = = 0.1y ∂x1 ∂x ∂u1 ∂ ⎡⎣1.5 + 0.1xy ⎤⎦ = = 0.1x ∂x2 ∂y ∂u2 ∂ ⎡⎣0.5 + 0.1xy ⎤⎦ = = 0.1y ∂x1 ∂x ∂u2 ∂ ⎡⎣0.5 + 0.1xy ⎤⎦ = = 0.1x ∂x2 ∂y
⎫ ⎪ 0.1y 0.05( x + y ) ⎪ ⎧⎪ ⎬= ⎨ 0.1x ⎪ ⎪⎩ 0.05( x + y ) ⎪ ⎭
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
3
Ejercicio elemento 4 nodos
Ejemplo 2D: desplazamientos FEM
4
1
ue = f[Ue] = H x Ue
4
3
2
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ue = H ⋅U e = H ⋅ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩
U1 ⎫ ⎪ ⎧ V1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ U2 ⎪ ⎪ ⎪⎪ V2 ⎪⎪ ⎬ = H⋅⎨ U3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ V3 ⎪ ⎪ ⎪ U4 ⎪ ⎪⎩ ⎪ V4 ⎪ ⎭
1.5 0.5 1.5 0.5 1.6 0.6 1.5 0.5
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭
2
Ejercicio elemento 4 nodos
Ejemplo 2D: desplazamientos FEM
4
3
1
2
⎡ (1− x ) (1− y ) H=⎢ ⎢ 0 ⎣
0
(1− x )(1− y )
x (1− y ) 0
0
xy
0
x (1− y )
(1− x ) y
0
xy
0
⎤ ⎥ (1− x ) y ⎥⎦ 0
5
Ejercicio elemento 4 nodos
Ejemplo 2D: desplazamientos FEM
⎡ (1− x ) (1− y ) H=⎢ ⎢ 0 ⎣
0
xy
0
x (1− y )
(1− x ) y
0
xy
0
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ 0.3 0 0.3 0 0.2 0 0.2 0 ⎤ ⎪⎪ ue = H ⋅U e = ⎢ ⎥⎨ ⎣ 0 0.3 0 0.3 0 0.2 0 0.2 ⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ue = f[Ue] = H x Ue ⎪⎩
1.5 0.5 1.5 0.5 1.6 0.6 1.5 0.5
0
(1− x )(1− y )
x (1− y ) 0
⎤ ⎥ (1− x ) y ⎥⎦ 0
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎧⎪ 1.52 ⎫⎪ ⎬= ⎨ ⎬ ⎪ ⎩⎪ 0.52 ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭
6
3
Ejercicio elemento 4 nodos
Ejemplo 2D: deformaciones FEM ⎡ − (1− y ) 0 1− y ⎢ ∂H ⎢ B= = 0 − (1− x ) 0 ∂x ⎢ ⎢ − (1− x ) 2 − (1− y ) 2 − x 2 ⎣
0
y
0
−y
−x
0
x
0
(1− y )
2 x 2
y 2
(1− x )
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ −0.6 0 0.6 0 0.4 0 −0.4 0 ⎤⎪ ⎥⎪ ε = B ⋅ U e = ⎢⎢ 0 −0.5 0 −0.5 0 0.5 0 0.5 ⎥ ⎨ ⎢⎣ −0.25 −0.3 −0.25 0.3 0.25 0.2 0.25 −0.2 ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ue = H x Ue ⎪⎩
1.5 0.5 1.5 0.5 1.6 0.6 1.5 0.5
ε = B x Ue
⎤ ⎥ 1− x ⎥ ⎥ 2 −y 2 ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ ⎪⎪ ⎪ 0.04 ⎬ = ⎨ 0.05 ⎪ ⎪ 0.045 ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪⎭ 0
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
7
Ejemplo 2D: tensiones (elasticidad)
Ejercicio elemento 4 nodos
ìs xx ü E ï ï ís yy ý = 2 ïs ï 1 -n î xy þ
8
0 ü ìe xx ü ì1 n ï ïï ï 0 ý íe yy ý ín 1 ï0 0 1 -n ï ïe ï î þ î xy þ
E = 1000 MPa ν = 0.20 ⎧ σ ⎪⎪ xx ⎨ σ yy ⎪ ⎪⎩ σ xy
ue = f[Ue]⎧⎪ σ xx ⎪ ε = f[ue] ⎨ σ yy ⎪ σ = f[ε] ⎪⎩ σ xy
⎫ ⎧ ε ⎪⎪ 1000 MPa ⎧⎪ 1 0.2 0 ⎫⎪ ⎪⎪ xx ⎬= ⎨ 0.2 1 0 ⎬ ⎨ ε yy 1− 0.22 ⎪ ⎪ 0 0.8 ⎪⎭ ⎪ ε xy ⎩ 0 ⎪⎭ ⎩⎪
⎫ ⎧ 1 0.2 0 ⎪⎪ 1000 MPa ⎪ = ⎬ ⎨ 0.2 1 0 1− 0.22 ⎪ ⎪ 0 0.8 ⎩ 0 ⎪⎭⎡0.5,0.4⎤ ⎣ ⎦
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
⎫ ⎧ 0.04 ⎫ ⎧ 52 ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ 0.05 ⎬ = ⎨ 60 ⎪ ⎪ 0.045 ⎪ ⎪ 38 ⎭⎩ ⎭ ⎩
⎫ ⎪ ⎬ MPa ⎪ ⎭
4
