Introducción al método de los elementos finitos Ejercicio 1D
Dr. Alejo O. Sfriso Universidad de Buenos Aires SRK Consulting (Argentina) AOSA
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Ejercicio 1D: Corriente en un circuito Introducción elementos finitos - Ejercicio 1D
(3)
I2=0.1A
• La tensión es única en cada nodo (equivalente de compatibilidad) ΔV • Ley de Ohm I= R (relación constitutiva)
R6
R4
(2)
(5) R7
R1 (1)
• Ley de Kirchhoff (equilibrio) 2
R2
Hipótesis
(4)
R3
R5
R8
(6) V6=12V
∑I =0 (N)
(Oñate y Zárate 2000)
1
Ley de Ohm en elemento Introducción elementos finitos - Ejercicio 1D
(1)
(3)
(2) R1=10Ω
(2)
R2
(3)
I2=0.1A
R2=3Ω
(3)
R6
R4
(2)
(5) R7
(4) R1
R3=2Ω
(4)
(4)
R3
R5
(5) (1)
R4=7Ω
(5) ⎧ ⎪ I 6 ⎫⎪ 1 ⎡ 1 −1 ⎤ ⎪⎧ 12V ⎪⎫ ⎨ ⎬= ⎬ ⎢ ⎥⎨ R5 ⎣ −1 1 ⎦ ⎪ V5 ⎪ I ⎩ ⎭ ⎩⎪ 5 ⎪⎭
(6) R5=12Ω
(3)
(5) R6=5W
I=
(2)
(5)
⎧ I ΔV ⎪ i →⎨ R ⎪⎩ I j
(6)
R8
V6=12V
⎫ ⎧ ⎫ ⎪ 1 ⎡ 1 −1 ⎤ ⎪ Vi ⎪ ⎬= ⎢ ⎬ ⎥⎨ ⎪⎭ R ⎣ −1 1 ⎦ ⎪⎩ V j ⎪⎭
R7=4Ω
(1)
(6) R8=9Ω
3
(Oñate y Zárate 2000)
Ley de Kirchhoff en nodo Introducción elementos finitos - Ejercicio 1D
(3) R2
∑I =0→
I2=0.1A 1
(5)
R1
2 2 2 I1( ) + I 2( ) + I 7( ) = I 2
(3)
(3)
I 2 + I3 + I6 = 0
(1)
R5
R8
(6) V6=12V
4 4 I 3( ) + I 4( ) = 0
I 4( ) + I5( ) + I 6( ) + I 7( ) = 0 → 5
5
6 6 I5( ) + I8( ) = 0
4
R4
R7
I1( ) + I 6( ) = 0 (3)
R6
(2)
(N)
1
(4)
R3
5
5
V5 − V4 V5 − V6 V5 − V3 V5 − V2 + + + =0 R4 R5 R6 R7
(Oñate y Zárate 2000)
2
Introducción elementos finitos - Ejercicio 1D
Matriz de conductividad global ⎧ 1 1 + ⎪ ⎪ R1 R8 ⎪ 1 ⎪ − R1 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ K=⎨ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ −R 8 ⎩
−
1 R1
1 1 1 + + R1 R2 R7 −
−
−
1 R2
0
0
1 R2
0
−
1 R7
1 R3
−
1 R6
−
1 R4
1 1 1 + + R2 R3 R6
0
−
1 R3
1 R7
−
1 R6
0
−
1 1 + R3 R4 −
0
1 R4
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎬ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 1 ⎪ (3) − R5 ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ + R2 R5 R8 ⎪ ⎭ −
0
1 1 1 1 + + + R4 R5 R6 R7 −
0
1 R5
1 R8
I2=0.1A
(4)
R3 R6
R4
(2)
(5) R7
R1
R5
(1) 5
R8
(6) V6=12V
(Oñate y Zárate 2000)
Introducción elementos finitos - Ejercicio 1D
Sistema global de ecuaciones
6
K ⋅V = I ⎧ 1 1 + ⎪ ⎪ R1 R8 ⎪ 1 ⎪ − R1 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎨ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ −R 8 ⎩
−
1 R1
1 1 1 + + R1 R2 R7 −
−
1 R2
−
0
0
1 R2
0
−
1 R7
1 R3
−
1 R6
−
1 R4
1 1 1 + + R2 R3 R6
0
−
1 R3
1 R7
−
1 R6
0
0
−
1 1 + R3 R4 −
1 R4 0
0
1 1 1 1 + + + R4 R5 R6 R7 −
1 R5
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎧ 0 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎬⎨ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎪⎪ 1 ⎪⎪ − ⎩ R5 ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ + R5 R8 ⎪ ⎭ −
1 R8
V1 ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ V2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ V3 ⎪ ⎪ ⎬= ⎨ V4 ⎪ ⎪ V5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ V6 ⎪ ⎪ ⎭ ⎩
I1 ⎫ ⎪ I2 ⎪ ⎪ I3 ⎪ ⎬ I4 ⎪ I5 ⎪ ⎪ I6 ⎪ ⎭
(Oñate y Zárate 2000)
3
Introducción elementos finitos - Ejercicio 1D
Condiciones de borde K ⋅V = I ⎧ 1 1 + ⎪ ⎪ R1 R8 ⎪ 1 ⎪ − R1 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎨ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ −R 8 ⎩
−
1 R1
1 1 1 + + R1 R2 R7 −
−
1 R2
−
0
0
1 R2
0
−
1 R7
1 R3
−
1 R6
−
1 R4
1 1 1 + + R2 R3 R6
0
−
1 R3
1 R7
−
1 R6
0
−
1 1 + R3 R4 −
0
1 R4
1 1 1 1 + + + R4 R5 R6 R7 −
0
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎧ 0 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎬⎨ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎪⎪ 1 ⎪⎪ − ⎩ R5 ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ + R5 R8 ⎪ ⎭ −
0
1 R5
1 R8
⎫ ⎪ ⎧ 0 ⎫ V2 ⎪ ⎪ 0.1A ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ V3 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎬= ⎨ ⎬ V4 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ V5 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎩ 0 ⎭ 12V ⎪⎭ V1
7
(Oñate y Zárate 2000)
Introducción elementos finitos - Ejercicio 1D
Reducción de la matriz de conductividad
8
Se elimina la última fila y columna y se actualiza el vector de cargas ⎧ 1 1 + ⎪ ⎪ R1 R8 ⎪ 1 ⎪ − R1 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎨ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ −R 8 ⎩
−
1 R1
1 1 1 + + R1 R2 R7 1 − R2
−
−
0
0
1 R2
0
1 1 1 + + R2 R3 R6
0
−
1 R3
1 R7
−
1 R6
0
0
1 − R3 1 1 + R3 R4 −
1 R4 0
0 −
1 R7
1 − R6 −
1 R4
1 1 1 1 + + + R4 R5 R6 R7 −
1 R5
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎧ 0 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎬⎨ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎪⎪ 1 ⎪⎪ − ⎩ R5 ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ + R5 R8 ⎪ ⎭ −
1 R8
⎫ ⎧ V6 K 61 ⎪ V2 ⎪ ⎪ 0.1A ⎪ ⎪⎪ V3 ⎪ ⎪ 0 ⎬= ⎨ 0 V4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ V5 ⎪ ⎪ V6 K 65 0 12V ⎪⎭ ⎪⎩ V1
⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭
(Oñate y Zárate 2000)
4
Introducción elementos finitos - Ejercicio 1D
Reducción de la matriz de conductividad
9
Se elimina la última fila y columna y se actualiza el vector de cargas ⎧ 1 1 + ⎪ ⎪ R1 R8 ⎪ 1 ⎪ − R1 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎨ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪⎩
−
1 R1
1 1 1 + + R1 R2 R7 −
−
1 R2
−
0
0
1 R2
0
1 1 1 + + R2 R3 R6
0
−
1 R3
1 R7
−
1 R6
−
1 R3
1 1 + R3 R4 −
1 R4
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪⎧ − R7 ⎪⎪ ⎪⎪ 1 ⎪⎪ − ⎬⎨ R6 ⎪⎪ ⎪⎪ 1 − ⎪⎪ R4 ⎪⎩ 1 1 1 1 ⎪ ⎪ + + + R4 R5 R6 R7 ⎪ ⎭ 0
K ⋅V = I
V1 ⎫ ⎧ V K ⎪ 6 61 V2 ⎪ ⎪⎪ 0.1A ⎪ ⎪ V3 ⎬ = ⎨ 0 ⎪ ⎪ 0 V4 ⎪ ⎪ V5 ⎪ ⎪⎩ V6 K 65 ⎭
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭
(Oñate y Zárate 2000)
Introducción elementos finitos - Ejercicio 1D
Solución del sistema
Se invierte la matriz de conductividad reducida y se calcula el sistema lineal ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ −1 V =K ⋅I → ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
V1 ⎫ ⎧ ⎪ 12.39V V2 ⎪ ⎪ 12.82V ⎪ ⎪⎪ V3 ⎬ = ⎨ 12.75V ⎪ ⎪ V4 ⎪ ⎪ 12.74V V5 ⎪ ⎩⎪ 12.68V ⎭
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭
Con la ecuación eliminada se calcula I 6 = 0.1A 10
(Oñate y Zárate 2000)
5
Introducción elementos finitos - Ejercicio 1D
Ejercicio 1D: casos alternativos
Tomando como base el ejercicio resuelto, resolver: Cambia el vector de carga I3=0.1A
(3) R3 R2
R6
I3=0.1A
(3)
(5)
(5) R7
R1
R5
R8
R4
(2)
R7
(1)
(4)
R3 R2
R4
(2)
R1
11
(4)
Cambia la matriz de conductividad
(6) V6=12V
(1)
R5
R8
(6) V6=12V
(Oñate y Zárate 2000)
6
