Presentación

Desde pequeños tenemos contacto con los números. Frecuentemente los utilizamos en la vida cotidiana para contar y efectuar las operaciones básicas que son indispensables a diario; por ejemplo para pagar el transporte, los alimentos, ropa y otras necesidades básicas y de lujo, de acuerdo a nuestras posibilidades. Además, tienen ciertas características que nos facilitan su uso. Imagina que tienes que encontrar la dirección de una persona. Si las calles de la ciudad no estuvieran numeradas y ordenadas, ¿te imaginas la cantidad de tiempo que perderías buscando un lugar específico? Quizá te interese buscar información en un libro, una revista, una biblioteca o cualquier otro sitio donde se utilice un índice y se cuente con un orden para organizar la información. Pero si lo que te interesa es conocer estaturas de personas, pesos, temperaturas, distancias o cualquier otro fenómeno que no se represente con un valor entero, podemos hacer uso de los números fraccionarios o decimales, de acuerdo a las necesidades que tengamos. La Geometría es sin duda la materia más representativa físicamente en nuestra vida. Mira a tu alrededor y encontrarás múltiples objetos con formas geométricas: tu cama, el espejo, las fotografías, las lámparas, las pelotas de los niños, las latas de refresco, los envases para guardar alimentos, el trazado de las calles, las vías del metro, tu computadora y en fin, muchísimos objetos que son indispensables en nuestras vidas. Las formas y cuerpos geométricos no se eligen por capricho, sino porque tienen características que nos permiten optimizar el espacio y la comodidad.

Como te podrás dar cuenta, la Aritmética y la Geometría constituyen una parte indispensable de nuestra vida cotidiana que puede ser evidente para todos; pero las Matemáticas no son sólo eso. Han acompañado al ser humano desde tiempos inmemoriales en la búsqueda de respuestas sobre el entorno físico y social que le rodea, y también constituyen una herramienta indispensable en el avance de las ciencias y la tecnología. Por ejemplo, en el diseño de una licuadora, en el horno de microondas, en la aspiradora, en las cajas registradoras del supermercado, en la báscula, en el automóvil, en los teléfonos celulares, por mencionar sólo algunos aparatos que tanto usamos, existe una maravillosa conjunción de las Matemáticas con otros campos de conocimiento. Una de las ramas de las Matemáticas que ha contribuido a su propio desarrollo y al avance de las ciencias y la tecnología es el Álgebra, ya que a través de ella se pueden estudiar y expresar de manera general los fenómenos que estudian la Física, la Economía, la Química, la Biología y la Medicina, entre otras disciplinas. Revisemos juntos los elementos del Álgebra que te permitirán comprender mejor los conocimientos de otras ciencias y construir “modelos” de situaciones cotidianas.

El propósito de este curso es asegurar que manejes adecuadamente los algoritmos de Aritmética y Geometría euclidiana, así como que estés familiarizado con los elementos de Álgebra básica y puedas conceptualizar de manera abstracta los números a partir del uso de literales, para que tengas mucho éxito en su aplicación. Sabemos que ya conoces muchos de los temas que veremos en este curso, y queremos reforzar los cimientos para que tengas un exitoso desempeño en la construcción de conocimientos que desarrollarás en el futuro. Por ello, este curso propedéutico se ajustará a tu ritmo de aprendizaje y a tu nivel de conocimiento y manejo de las bases de Matemáticas que te permitirán cursar con éxito tus estudios posteriores en este campo. Así, con frecuencia encontrarás algunos ejercicios que se califican de forma automática. Aquellos que contestes de manera adecuada te conducirán directamente al siguiente tema, de tal forma que siempre estarás en contacto con información interesante y ajustada a tu nivel individual de rendimiento. En este sentido, es posible que, si ya manejas eficientemente los temas que este curso revisa, lo completes en menos del total de horas previsto. Por supuesto, si deseas ver el material que "saltaste" por tu buen desempeño, puedes accesarlo con la flecha que indica "anterior"

que tienes en el menú inferior.

Debido a esta característica de auto-ajuste, es muy importante que realices todos los ejercicios con gran cuidado, para que tengas acceso a los materiales que te corresponden de acuerdo a tu nivel de conocimiento previo. Tenemos dos tipos de desafíos: aquellos en los que practicas y a través de tu esfuerzo aprendes conceptos y procedimientos, y otros en que, además de aprender, evaluaremos tu desempeño. En los primeros, si te percatas de que cometiste algún error o no moviste como se debe el ratón, presiona la tecla F5 que se encuentra en la parte superior de tu teclado para “refrescar” la pantalla y poder volver a comenzar. En aquellas actividades en que guardamos calificación, no es posible volver a hacer el ejercicio. Sin embargo, todas las explicaciones y ejercicios previos te permitirán asegurarte de haber comprendido, además, tu asesor estará siempre disponible para apoyarte con tus dudas. Si hay algún comentario o pregunta que quieras hacerle, envíale un mensaje electrónico usando el botón que tiene un sobre en la parte superior derecha de la pantalla. Te contestará en las siguientes 24 horas y nunca tardará más de 48 en darte respuesta. En algunos de los temas que integran cada una de las unidades, encontrarás un submenú que aparecerá en tu pantalla principal. Esto ocurre cuando los temas se encuentran divididos en varios subtemas. Trata de terminar siempre el tema o subtema. Es importante que recuerdes dónde te quedaste, ya que la siguiente ocasión que abras tu propedéutico querrás empezar exactamente en el punto donde estuviste la última vez. Si no terminas el tema o el subtema completo, es posible que tengas que repetir algunos de los desafíos que comprende. Por ello, asegúrate siempre de terminarlos. Antes de empezar te recomendamos explorar los contenidos para que sepas cuáles son los temas que tienen una subdivisión. Estamos seguros de que este curso te será útil en tus estudios posteriores, en tu vida diaria y en tu trabajo. Te damos la bienvenida y te pedimos que completes tu: Te recordamos que... Para navegar exitosamente en tu propedéutico sigue estos pasos:

Te sugerimos terminar cada subtema en la misma sesión de aprendizaje para que en tu próximo ingreso no repitas las actividades que los integran. Introducción de Unidad 1

"Un matemático, al igual que un pintor o un poeta, es un creador de patrones. Si sus patrones son más duraderos que los de los otros dos, es porque en ellos se da la circunstancia de que están hechos de ideas" Godfrey Harold Hardy (1877-1947) ¿Qué opinas acerca de estas palabras? ¿Crees que nos hacen reflexionar sobre la importancia de las ideas, del razonamiento? En este sentido, la Matemática tiene un papel primordial que desempeñar. Nos permite desarrollar el pensamiento para que sea estructurado, analítico, lógico y con mayor poder de abstracción. La preparación matemática permite resolver problemas y situaciones de diversa índole. Por esta razón, la sociedad actual requiere de personas que posean una formación matemática y por lo tanto, sean capaces de desempeñar cualquier ocupación. Así que ¡adelante!, recorre con gusto, convencimiento y empeño este curso y los que te esperan más adelante. Sistemas de Numeración Propósito: Que el estudiante distinga entre número y numeral (símbolo), comprenda el origen de los sistemas de numeración, en particular el origen del sistema decimal, sus características y manera de operar para sentar las bases de las operaciones aritméticas con números reales; para leer, escribir y comprender adecuadamente los números, por muy grandes que sean. ¿Cuándo crees que se originó la Matemática?

La matemática se origino cuando el hombre tuvo la necesidad de contar, de realizar cálculos (cálculo viene del latín calcŭlus: piedrecilla, ya que al principio, los hombres usaban pequeños guijarros para hacer cuentas).

Sabemos que mucho antes de que se inventara la escritura, el hombre empezó a rayar (o tarjar) en las paredes de las cuevas que habitaba y en las rocas para indicar “cuántos”. Los primeros hombres tenían la intuición de número. Eran suficientes los dedos de la mano para contar, ya que sólo necesitaban representar cantidades pequeñas. Tal vez únicamente podían distinguir entre uno, dos o muchos.

En la actualidad existen pueblos primitivos que aún cuentan con las manos. El Dr. José Antonio de la Peña, en su libro Álgebra en todas partes (que te recomendamos mucho), señala que los miembros de la tribu Sibiller de Nueva Guinea, cuentan hasta el 27 utilizando para ello la mano izquierda y diferentes partes del cuerpo. La noción de número siempre ha sido necesaria. El hombre la ha utilizado para manejar y resolver desde sencillos problemas hasta otros de mayor dificultad. El ser humano tiene esa gran capacidad de abstraer conceptos plasmados en la naturaleza y convertirlos en símbolos. A medida que la sociedad evolucionaba, se requerían cálculos más complicados, por lo que el hombre comenzó a sistematizar estos símbolos. Creó reglas para establecer algoritmos (es decir, métodos, procedimientos o patrones para encontrar sumas, diferencias, productos o cocientes). Los algoritmos dieron pie a las operaciones aritméticas y a la creación de los sistemas de numeración. Estos sistemas de numeración permiten, de una manera estructurada y simbólica, manejar la noción de número.

En la actualidad, el ser humano tiene contacto con la Matemática desde muy temprana edad. Por lo general, un niño aprende a decir cuántos años tiene, aunque sea indicándolo con los dedos de la mano, y estamos tan familiarizados con los numerales (símbolos con los que representamos a los números), que no estamos conscientes de su lenta evolución y de los siglos que tuvieron que pasar para que se fusionaran y desarrollaran los nombres hablados de los números y las rayas, en un sistema de símbolos que representaran esta fusión. Como se puede observar en la tabla siguiente, los numerales usados para un mismo número son diferentes según la cultura. Fíjate en la forma en que algunos usan igual número de signos que la cifra representada por su numeral. Así los mayas, egipcios y romanos usaban tres signos para representar el 3. Seguramente recordarás los sistemas de numeración, como el egipcio, que es de los más antiguos. El babilonio floreció en Mesopotamia con los sumerios, asirios y caldeos, y también tenemos otros como el griego, romano, chino y maya.

LOS SISTEMAS DE NUMERACION DE LA ANTIGÜEDAD El Sistema de Numeración Egipcio Los conocimientos sobre desarrollo matemático que tuvieron los egipcios provienen del estudio de papiros como el de Ahmes, el de Harris, el de Rollin y el de Moscú. Los egipcios usaron un sistema de escritura para los números en base diez, en forma aditiva no posicional, utilizando jeroglíficos en donde cada símbolo era una pintura de algún objeto, por lo cual era pictórico. La dirección de la escritura era de derecha a izquierda. Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Su uso quedó reservado a las inscripciones en los monumentos; para su vida cotidiana usaban la escritura hierática, de formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas. Los jeroglíficos usados por los egipcios para representar los números se muestran a continuación. El Sistema de Numeración Griego El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Se utilizaban tantos símbolos como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas. Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico. Como podrás observar, los símbolos para el 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, utilizando un principio multiplicativo. El Sistema de Numeración Babilónico En la antigua Mesopotamia fueron encontradas por un grupo de arqueólogos 400 tabletas de arcilla con un importante contenido sobre la matemática usada por los babilonios. Los babilonios tenían un sistema de numeración sexagesimal, heredado por los sumerios junto con su tipo de escritura cuneiforme. Para la unidad usaban la cuña vertical. Se podían repetir sin exceder de nueve, porque si requerían 10 cuñas verticales entonces las sustituían por una horizontal. Para escribir números iguales o mayores a 60 usaban un sistema posicional utilizando los mismos símbolos que para el uno, pero dejando espacios y las potencias de 60 eran agrupadas en forma decreciente; desconocían el cero, para utilizar este concepto dejaban un lugar vacío. Ejemplos: El número 62 se representaba así:

▼ 1 x 601 +

▼▼ 2 x 600 = 60 + 2 = 62

El número 81 se representaba así: ▼

➤▼ ➤ 1 x 601 + 21 x 600 = 60 + 21 = 81 El número 1362: ➤▼ ➤▼

➤ ➤▼ ➤▼ ➤

22 x 601 + 42 x 600 = 1320 + 42 = 1362 El número 4 962: ➤▼ ➤▼

▼

➤ ➤▼ ➤▼ ➤

1 x 602 + 22 x 601 + 42 x 600 = 3 600 + 1320 + 42 = 4 962 El Sistema de Numeración Maya La civilización maya floreció en el suroeste de la República Mexicana. Fue la primera cultura que desarrolló el concepto de valor posicional y la primera en utilizar un símbolo para el cero dentro de su sistema de numeración. El pueblo maya alcanzó un gran esplendor, llegando a la cima en diferentes disciplinas como la astronomía, las matemáticas, la escultura, el comercio, la educación, la arquitectura. El manuscrito maya llamado Códice Dresde, muestra que tenían un sistema de numeración con base 20 y un símbolo para el cero, con el 5 como base auxiliar. La unidad se representaba por un punto, el 2, 3 y 4 con dos, tres, y cuatro puntos. El 5 era una barra horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos barras, y de la misma forma se continúa hasta el 19, el 20 se representaba con el símbolo del cero y un punto encima.

Símbolo Valor

1

1

2

3

4

11

12

13

14

5

0

5

15

Cada numero superior a veinte lo escribían sobre una columna vertical que contenía tantos pisos como órdenes de unidades. El primer orden correspondía a las unidades simples, el cero o cualquier numero del 1 al 19. Del segundo orden en adelante, el cero o las “unidades simples” representaban agrupamientos de 20 en 20. Había una sola excepción, la del tercer orden, en donde los agrupamientos se hacían de 18 en 18. Un número maya se escribe en columna, de abajo hacia arriba. Ejemplo:

18X203 = 144 000 1X202 =

20

0X201 =

0

9 = 9 144 029 Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica, y para expresar los números correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Un día era 1 kin. Un mes 1 uinal que constaba de 20 días (20 kines). Un año 1 tun, que tenía 18 uinales. Como 1 uinal tenía 20 días, 18 x 20 = 360 días para completar una cifra muy próxima a la duración de un año. Un ciclo era 1 katun = 20 tunes, o sea, 7 200 días. Un período era 1 baktun = 20 katunes, o sea, 7 200 x 20 días = 144 000 días. 1 pictun = 20 baktunes, o sea 144 000 x 20 días = 2 880 000 días. Podían seguir contando ciclos 20 veces mayores, cada vez, que el anterior. -----------------------------------------------------------------------Sistema de numeración romano Este sistema se rigió por el principio aditivo. Los números romanos como se conocen en la actualidad datan del siglo 1 d.C. y son formas actualmente estilizadas de un sistema de numeración inventado por los etruscos y las tribus ítalas que dominaron la península antes que los romanos.

Símbolos romanos I

Notación en sistema decimal 1

V

5

X

10

L

50

C

100

D

500

El sistema de numeración romano tuvo el mérito de ser capaz de expresar todos los números del 1 al 1000 000 utilizando sólo 7 símbolos. Para evitar la repetición de cuatro cifras, como se hacia en el sistema antiguo, los romanos aplicaron la regla “todo signo numérico colocado a la izquierda de una cifra de valor superior se debía restar”. Es decir, cuando alguna de las cifras I, X, o C era escrita a la izquierda de otra mayor, el valor de ésta era restado. M

1000

Ejemplos: IX = 10 –I = 9 XC =100-10 = 90 CD = 500-100 = 400 El sistema de numeración romano además del principio aditivo, también tenía un principio multiplicativo. Al colocar una barra horizontal sobre el número, su valor quedaba multiplicado por mil. Ejemplos: MDLII = 1 000 000 + 500 + 50 + 2 = 1 000 552 VDXXII =5 522 X =10 000 También utilizaban como recurso, el multiplicar por 100 000 la cantidad encerrada en un rectángulo incompleto. Ejemplos: ❘ XX ❘ = 20 x 100 000 = 2 000 000 A más de 2 000 años de su aparición, los números romanos todavía se utilizan en nuestros días, generalmente con fines decorativos. La numeración romana tiene el inconveniente de no ser adecuada para realizar operaciones aritméticas. Algunos de estos sistemas son posicionales, y otros no. Los que no son posicionales resultan inadecuados para hacer operaciones. ¿Qué significa entonces la palabra posicional? Posicional significa que en un numeral, el valor de cada cifra depende del lugar que ocupa dentro del numeral, y a este valor se le llama valor relativo. Por ejemplo, el 34 significa que hay 4 unidades y que el 3 vale 30, por su posición en el numeral. Un ejemplo de un sistema no posicional es el romano, en donde VIII significa 8 y XXXIV significa 34. Sumar 8+34 usando VIII + XXXIV no es nada fácil, como puedes ver. SISTEMA DECIMAL INDOARABIGO Uno de los Sistemas Numéricos más importantes es el nuestro, el Sistema Decimal, llamado así por tener base 10. ¿Por qué su base es diez? Porque son 10 los símbolos básicos que se utilizan, llamados dígitos: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 y el cero. La razón de que la base sea diez y no otra diferente, es que en las primeras culturas el proceso de contar en muchos casos, recordarás, se realizaba con los dedos de las manos. Al parecer, la notación que usamos para los numerales del 1 al 9 se originó en la India por el año 500 de nuestra era, y alrededor del siglo X los árabes se apropiaron de todos estos conocimientos y los llevaron a España, de donde se extendieron al resto de Europa. Por esa razón también se le conoce a este sistema decimal como sistema indoarábigo, o simplemente arábigo. Con el cero es otra historia. El cero es un gran logro de la humanidad, y uno de los más grandes aciertos de la ciencia. El número cero fue el último de los números en ser descubierto, y su representación, o sea, su numeral “0”, fue inventado en último lugar. Sin el cero, nuestro Sistema Decimal no sería más eficiente que el romano. Se dice que los babilonios ya tenían un símbolo para el cero, y que inicialmente dejaban un espacio para este número. La cultura maya tenía un sistema de numeración vigesimal (de base veinte) y también el concepto de cero, que manejaban como el cierre de un ciclo y el principio de otro en sus calendarios y relaciones astronómicas. Esta cultura fue de las primeras en usar un sistema posicional y un símbolo para el cero.

Características del Sistema Decimal Indoarábigo El Sistema Decimal es uno de los más perfectos y se utiliza en la mayor parte del mundo. Es un Sistema Internacional, porque permite escribir cualquier número por muy grande que sea con pocos símbolos (sólo 10), gracias a que es posicional. Recordarás que es posicional porque el valor de cada dígito depende del lugar que ocupa dentro de un numeral. A este valor se le llama valor relativo, y facilita también los algoritmos de las operaciones aritméticas. Son dos las características del sistema decimal: 1. Cada dígito de un numeral tiene dos valores En un numeral, cada dígito (también se le puede llamar cifra y va del 0 al 9) que lo constituye tiene dos valores: Valor absoluto, el valor del dígito (o de la cifra; en el 34 el valor absoluto del 3 es 3). Dos valores Valor relativo, el valor de acuerdo a la posición que ocupa el dígito (o la cifra) en el numeral (En el 34, el valor relativo del 3 es 30). A continuación, se presenta una tabla que aclara esta idea. Obsérvala y contesta lo que se solicita más adelante.

Analicemos el caso del 2 en el primer numeral de la tabla: Numeral Valor absoluto Valor relativo 85 317 234 2 200 2. Los números del sistema decimal obedecen a un orden y una clase bien definida El orden y la clase se explican a continuación Orden

El orden se basa en la idea de agrupamientos de 10 en 10: unidades, decenas, centenas, unidades de millar, etc.

Lectura y escritura de los números del sistema decimal Para poder leer, escribir y comprender adecuadamente los números del sistema decimal, por muy grandes que sean, se requiere entender bien su composición de acuerdo al orden y clase a la que pertenecen. El orden permite conocer con precisión el valor relativo, o sea la posición de cada cifra del número en consideración. Vamos a entenderlo bien: Observa nuevamente la tabla.

Una vez conocidas las partes separadas por órdenes de un número, éste se lee y se forma como se indica en el siguiente ejemplo: • 85 317 234 Se lee: 8 decenas de millón, 5 unidades de millón, 3 centenas de millar, 1 decena de millar, 7 unidades de millar, 2 centenas, 3 decenas, 4 unidades. Lo que significa que este número se forma con:

El sistema decimal además de ser posicional es también aditivo, porque el valor relativo de cada cifra se obtiene al multiplicar la cifra por el orden que indica su posición. Fíjate en el caso anterior: 8 por 10 000 000, 5 por 1 000 000, 3 por 100 000, etc., y los resultados de estas multiplicaciones se van sumando para formar el número que se está considerando, en este caso, el 85 317 234. Este número queda formado así: 85 317 234 = 80 000 000 + 5 000 000 + 300 000 + 10 000 + 7 000 + 200 + 30 + 4

Esta forma de escritura se llama notación desarrollada o extendida. Entonces la notación desarrollada consiste en escribir una cantidad como la suma de los valores relativos (o sea, de las posiciones) de cada cifra que la constituye. Ahora sabes que, conocidas las partes separadas por órdenes que tiene un número, éste se forma como antes se indicó. Ejemplo: Completemos ahora todos los espacios en blanco que permitan formar el número que se presenta a continuación, según el ejemplo que vimos anteriormente.

Enseguida se presentan dos ejemplos en notación desarrollada, para escribirlos en la forma condensada.

Los números enteros positivos son los que hasta ahora hemos tratado, pero no son los únicos. Estudiaremos los números decimales más adelante, en la unidad relativa a los racionales. ¿Cómo le vas a hacer para acordarte de los conceptos que hemos revisado: valor posicional y orden? Detente un momento y piensa: ¿qué es el valor posicional? Ahora, ¿cómo me voy a acordar de que el valor posicional es el valor relativo que tiene una cifra por el lugar que ocupa en un numeral? Quizá uses una clave personal como “decena” para acordarte que el 3 en 34 no vale 3 sino 30; quizá uses otra estrategia. Lo importante es que sepas cómo te acordarás. Tómate un momento para registrarlo en tu memoria. Clase Como se indicó, para poder leer, escribir y comprender de forma adecuada los números del sistema decimal, se requiere entender bien su composición de acuerdo al orden y clase a la cual pertenecen. Ya hablamos del orden, ahora analizaremos la clase.

Podemos también observar que el agrupamiento de tres cifras recibe el nombre de clase o periodo, y para una mayor comprensión al escribir el numeral, la clase se separa por medio de un pequeño espacio, como en los ejemplos siguientes: 1. En el número 85 317 234

En cada una de las clases, los dígitos se leen de forma normal (ochenta y cinco, trescientos diecisiete, doscientos treinta y cuatro, etc.), y se le añade el nombre de la clase o un derivado, por ejemplo "millones","mil", etc. Por tanto este número 85 317 234 se lee como: Ochenta y cinco millones trescientos diecisiete mil doscientos treinta y cuatro unidades. 2. En el número 625 529 718 432 En primer lugar se consideran cada una de las clases que están entre los grupos de tres cifras.

Por tanto este número 625 529 718 432 se lee como: Seiscientos veinticinco mil quinientos veintinueve millones, setecientos dieciocho mil cuatrocientos treinta y dos unidades. Resolución de problemas aplicando operaciones aritméticas con números naturales Revisa los problemas que se presentan a continuación. Tal vez en este momento sientas que no puedes resolverlos, pero al terminar la unidad relativa a números naturales que en seguida inicia, serás capaz de resolver éstos y más. • Dos amigos salen en bicicleta de sus casas situadas a 16 kilómetros una de la otra. Caminan sobre el periférico en sentidos opuestos, para encontrarse. Uno de ellos va a 7 km por hora, el otro a 9 km por hora. Si salieron a las 6 de la mañana. ¿a qué hora se encontrarán? • Una papelería tenía cierta cantidad de mochilas al inicio del ciclo escolar. Vendió 115 mochilas, y recibió 137 mochilas de la bodega. Después vendió 70 mochilas. Si en este momento le quedan 204 mochilas, ¿cuántas tenía al principio? • Dos estudiantes deciden trabajar durante sus vacaciones, con un sueldo de $1 800 por cada 5 días. Si uno de ellos recibe un pago de $120 diarios, ¿cuál es el salario diario de su compañero? 2 2 2 • Un propietario posee tres terrenos separados, con una extensión de 425m , 850m y 1 700m respectivamente. Él desea venderlos a una empresa constructora que dividirá los terrenos en partes exactamente iguales. ¿Cuál es la medida que deben tener los terrenos para que todos tengan la misma superficie?

Los números Naturales El propósito de este tema es que conozcas y desarrolles las habilidades que te permitan operar correctamente con los números naturales y adquieras las bases para entender que los conjuntos numéricos fueron creciendo por las necesidades cada vez mayores de una sociedad en evolución. "Dios creó a los números naturales, lo demás es invención del hombre" Estas palabras han causado polémica respecto a qué persona las pronunció. Algunos autores señalan que fueron dichas por el matemático alemán Leopold Kronecker (1823-1891), y otros afirman que son del matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932). Sean de uno o de otro, son muy significativas, y nos hacen pensar en la respuesta a la pregunta. ¿Cuáles números consideras que aparecieron primero, según las necesidades que tuvo el hombre de contar? La respuesta es: aquéllos que surgen de forma evidente en la naturaleza, por eso se llaman naturales. Hasta este momento hemos mencionado números, pero sin hacer clasificación alguna de ellos. Empezaremos por los números naturales. Ya antes señalábamos que son los que surgen de manera evidente en la naturaleza porque son los que sirven para contar. Entonces, ¿que números formarán el conjunto de los naturales? Más fácil, ¿cuál será el primer número natural que apareció sobre la Tierra? Antes de contestar esta pregunta es importante tener claro que las Matemáticas son como un juego: para poder trabajar con ellas, de la misma manera que en cualquier juego, necesitamos conocer las reglas, para saber qué se puede o no hacer, y así jugar bien. Diderot afirmaba que "se podía establecer una semejanza entre el matemático y un jugador, ya que, en el fondo, ambos jugaban según unas reglas, las reglas abstractas que ellos mismos habían creado".

Adición de números naturales Si nos ponemos a pensar qué hacemos cuando queremos saber cuántos dulces hay en dos bolsitas, hacemos algo que parece complejo, aunque sabemos que sumar es muy sencillo. Esta operación consiste en contar los números de la misma naturaleza, y recopilar el resultado correspondiente en una sola expresión llamada suma. Los elementos de la misma naturaleza que se agrupan se llaman sumandos, y el resultado se llama suma, ejemplo:

Propiedad de cerradura para la adición Debes tener presente que el conjunto de números naturales es un conjunto cerrado para la operación de adición, porque si a un número natural le sumamos otro número natural el resultado también es un número natural. Entonces, si el conjunto de números naturales cumple con la propiedad de cerradura para la adición, significa que son suficientes los elementos que forman este conjunto para realizar cualquier operación de adición, y en consecuencia es posible dar el resultado con un elemento del mismo conjunto, o sea, con otro número que también sea natural. Para que esta propiedad quede más clara, imagínate que tenemos un conjunto formado solamente por dos elementos, el número 1 y el número 2, te preguntamos: ¿este conjunto cumple con la propiedad de cerradura para la adición?, es decir, si quiero sumar estos dos números, 1+2 = 3 ¿el resultado lo puedo dar con un elemento del mismo conjunto? La respuesta es no, porque el resultado de esta suma es 3, y 3 no forma parte de este conjunto. En conclusión, este conjunto que sólo tiene dos elementos (el 1 y el 2), no es un conjunto cerrado para la operación de adición. Como el conjunto de los números naturales sí es un conjunto cerrado para la adición, me permite afirmar que, si tengo un natural y le sumo otro de la misma naturaleza, el resultado dará también un número natural. Retomando la pregunta ¿qué números forman el conjunto de los naturales? Respondemos: sólo sabemos que el 1 es natural, aunque gracias a la propiedad de cerradura para la operación de adición podemos obtener el resto de los naturales de la manera siguiente. El uno es natural, si lo sumamos a sí mismo obtenemos el 2, por la propiedad de cerradura, el 2 es natural y repetimos este procedimiento como sigue:

Fíjate, “n” representa cualquier número. Podría ser 138, 722, 914, 5 678, 89 437, o cualquier otro natural que quieras, ya que ésta es una manera matemática de decir que los números naturales siguen, siguen y siguen hasta el infinito. Concluimos, entonces, que el conjunto de números naturales está formado así: Naturales: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,...n, n+1, n+2…, hasta el infinito. Por lo tanto, todos los números enteros y positivos que existen se llaman naturales.

¿Para qué pueden usarse los naturales? Uso de los números naturales Estos números son muy importantes, además de servir para contar, también sirven para ordenar. Cuando desempeñan el primer papel, se les llama cardinales, cuando se utilizan para asignar un orden reciben el nombre de ordinales. Si tienes mil pesos, podrás comprar el regalo (cardinal). Si ganas la carrera te premiarán con el primer lugar (ordinal).

Para la numeración de los domicilios.

Para asignar los números de cuenta a las tarjetas de crédito.

Como identificación de las líneas telefónicas.

Para las cantidades que se utilizan en la expedición de cheques. Orden en los números naturales Compara las superficies de los Estados que se mencionan en la tabla siguiente, escribe en el espacio el símbolo que corresponde a la respuesta correcta y a continuación su significado, debes elegir uno de los tres símbolos que se presentan a continuación > < = “mayor que”, “menor que” o “igual a” respectivamente. Fíjate en escribir los términos tal como se te indica antes de presionar el recuadro Revisar respuestas.

Orden en los números naturales Ejemplo: El Estado de Baja California Sur tiene una superficie de 73 475 Km2 y el Estado de Zacatecas de 73 252 Km2. ¿Cuál de los dos Estados tiene una superficie mayor? Solución: Como en 73 475 y en 73 252 las cifra de los millares es la misma, comparamos la cifra de las centenas. En este caso: 73 475 > 73 252 En general, cuando se comparan dos números naturales (enteros y positivos) se realizan los pasos siguientes: 1. Si es distinto el número de cifras, el que tiene más es mayor. 2. Cuando el número de cifras es el mismo, se compara la primera cifra de la izquierda de cada número. Si alguna de ellas es mayor, entonces ése es el número más grande. 3. Si son iguales se repite el proceso con la cifra siguiente y así sucesivamente. Ejemplos 1. Compara 236 889 con 236 887 Solución: Como ambos números tienen la misma cantidad de cifras, comparamos de izquierda a derecha, de acuerdo a lo indicado. La primera cifra en la que existe diferencia es la de las unidades; como 9 > 7 entonces 236 889 > 236 887.

Los números naturales (enteros y positivos) cumplen con una relación de orden que permite compararlos. Entonces, al comparar dos números enteros y positivos supongamos que los representemos por a, b- sólo puede cumplirse una de las tres situaciones que se presentan a continuación:

Evaluación Arrastra a la recta numérica los números de los municipios que tienen los siguientes Estados de la República. Recuerda que estos números son naturales y por lo tanto cumplen con un orden ya establecido, lo que deberás tomar en cuenta cuando los sueltes a la recta numérica (es muy importante que no sueltes el número antes de llegar al espacio adecuado, de otra manera será considerado como error).

Plano unidimensional Este plano se llama así porque es de una sola dimensión y se representa con una sola recta horizontal. En esta recta se encuentran dibujados puntos colocados a una longitud unitaria uno del otro a partir del cero (te recordamos que el cero no es un número natural, el primer número natural es el 1) para que puedas observar que cada número natural tiene su punto correspondiente en esta recta. En esta recta, cualquier número a la derecha siempre será mayor (>) que cualquiera que esté a su izquierda. Observa el ejemplo siguiente. Coloca el cursor sobre los números de color naranja y ve la respuesta:

Algoritmo de la adición con notación desarrollada La notación desarrollada ayuda a entender razonadamente el algoritmo de las operaciones aritméticas, evitando su aprendizaje como “recetas de cocina”, porque claramente se confirma que sólo se pueden sumar las unidades con las unidades, decenas con decenas, centenas con centenas, etc., (es decir, dígitos de la misma naturaleza). El proceso se inicia con las unidades. Los ejemplos siguientes lo ratificarán. Efectuaremos las sumas utilizando notación desarrollada empezando con las unidades. Ejemplos:

¿Por qué al sumar se utilizan procesos de "llevar"? ¿Esto qué significa? Analiza el ejemplo que sigue, al sumar verticalmente 59 y 96, decimos 9 + 6 = 15, escribimos 5 y llevamos una. ¿Qué significa llevar una?

Como se mostró y muestra en los ejemplos siguientes, debemos sumar unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas, etc. Si al estar haciendo esto nos queda en la columna de las unidades un resultado con decenas, o en la columna de las decenas un resultado con centenas, se escribe el número en notación desarrollada y se acomoda cada dígito en su lugar. Por ejemplo 9 + 6 da 15. El 15 se descompone en 10 + 5, se escribe el 5 en las unidades y se dice que se lleva 1 porque efectivamente se lleva una decena, que se escribe con un “1” en la columna de las decenas. Después, debemos sumar todos los elementos de la misma naturaleza (unidades con unidades, decenas con decenas, etc.), y finalmente dar el resultado en forma condensada. Analiza los siguientes ejercicios:

Sumar 5 478 con 8 936

Toma lápiz y papel y resuelve los mismos ejercicios antes revisados con notación desarrollada, hasta que los entiendas bien. Compara tu procedimiento con el presentado aquí (que sabemos es larguísimo), el cual expusimos para que tengas idea del por qué “se llevan” números al sumar verticalmente. Algoritmo de la adición usando notación condensada Hacer todo lo anterior cada vez que sumamos sería muy tardado. Vamos a usar la forma más práctica, la notación condensada. El procedimiento es el mismo: se suman cifras de la misma naturaleza, es decir, unidades con unidades, decenas con decenas, etc., empezando con las unidades. Toma lápiz y papel, realiza las siguientes sumas con notación condensada, y compara tu resultado con el aquí mostrado. Recuerda que se suman unidades con unidades, decenas con decenas, etc. Se inicia con las unidades.

Ingresemos a una escuela. La maestra pide a los alumnos sumar de tres formas diferentes los números 3, 5 y 8, y que se tenga el mismo resultado. ¿Tú cómo lo harías?

Si has observado, las operaciones que siempre realizamos son binarias, es decir, sólo podemos sumar dos números al mismo tiempo. Si queremos sumar más de dos, tenemos que sumar primero dos de ellos, y al resultado sumarle el siguiente número. El problema anterior, en el que pide la maestra tres formas diferentes de sumar 3, 5 y 8, sirve de ejemplo: Para sumar 3, 5 y 8, podemos agrupar dos sumandos, ya sea como se indica a la izquierda o como se indica a la derecha:

De cualquier manera se obtiene 16.

Fíjate que en la suma, sin importar qué sumandos agrupes para sumarlos primero, siempre tendrás el mismo resultado. A esta propiedad se le llama asociativa de la adición, porque indica cómo asociar los números para poderlos sumar correctamente y que el resultado no se altere.

Jerarquía de las operaciones (primera parte) Ya se habló de la propiedad asociativa, que es muy importante conocer para saber cómo se pueden sumar más de dos números cuando la asociación no se ha señalado previamente con los respectivos paréntesis. Por ejemplo, si nos piden sumar 3 + 8 + 6, sin marcar los paréntesis, sabemos ya, por la propiedad asociativa, que:

Por tanto, no existe problema alguno con la decisión que se tome, puesto que tendremos siempre el mismo resultado. Pero ¿qué hacer si tenemos la expresión 5 + 6 • 8? Si sumamos primero 5 + 6 = 11 y luego lo multiplicamos por 8 da como resultado 88. Pero, si multiplicamos primero 6 por 8 = 48 y a este resultado le sumamos 5, se obtiene 53, que es un resultado diferente al anterior: 88. Entonces, cuál es el resultado correcto? Para una situación como ésta, existen reglas que indican la jerarquía de las operaciones, y son las siguientes: 1. Se realizan primero las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha. 2. Después se efectúan las sumas y restas también en ese orden. Entonces, en la expresión 5 + 6 • 8 la respuesta correcta es 53 porque, de acuerdo a las reglas sobre la jerarquía de la operaciones, se llevan a cabo primero las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, o sea, primero multiplicamos 6•8 = 48; y después se efectúan las sumas y restas también de izquierda a derecha, y por lo tanto a esta cantidad se le suma 5. Queda así: 48 + 5 = 53. A continuación observa los siguientes ejemplos.

Jerarquía de las operaciones (segunda parte) Pueden presentarse casos donde las expresiones ya tienen los paréntesis ( ) que indican el orden en el que se desea realizar las operaciones, u otros tipos de símbolos de agrupamiento o asociatividad, como corchetes [ ] y llaves { }. En estos casos es necesario conocer las reglas para aplicarlas correctamente. Si existe sólo un tipo de símbolos que denotan la asociatividad, primero se efectúan las operaciones dentro de esos símbolos, siguiendo las reglas ya explicadas (primero multiplicación y división y luego sumas y restas). Después se llevan a cabo las operaciones señaladas. Ejemplo:

Si existen varios símbolos de asociatividad, uno dentro de otro, primero se realizan las operaciones de los símbolos interiores y luego las de los exteriores.

Ejemplo:

Cuando un signo de multiplicación está junto a un paréntesis, el signo se puede suprimir. Ejemplo: 6•(4 + 8) puede quedar como 6 (4 + 8).

División Imagínate que tenemos 12 chocolates y 3 bolsas. Necesitamos repartir los chocolates en cada bolsa, en forma equitativa. ¿Cuántos chocolates deben estar en cada bolsa?

Se divide el número de chocolates entre las tres bolsas:

El resultado de la división indica que corresponden 4 chocolates en cada bolsa. Esta división también puede presentarse de la manera siguiente:

Así como el caso anterior la división de 12 entre 3 se prestó para ejemplificarla con una repartición de chocolates, ahora tú inventa una historia para cada una de las siguientes divisiones:

Entonces, ¿qué es dividir? Dividir significa encontrar un número que al multiplicarlo por el divisor del dividendo. Ese número encontrado se llama cociente. Por ejemplo en:

O encontrar un número que al multiplicarlo por el denominador dé el numerador.

Dividir 12 entre 3 consiste en encontrar un número que al multiplicarlo por 3 nos dé 12. ¿Qué número multiplicado por 3 da como resultado 12? Únicamente el 4, este es el resultado de esa división y se llama cociente.

¿Cuánto es 14 entre 7? Necesitamos encontrar un número que al multiplicarlo por 7 dé 14. El resultado es 2, porque 2 • 7 = 14. A este 2 se le llama cociente. Si te fijas, dividir nos da la idea de repartir. Algoritmo de la división con notación desarrollada Dividiremos 426 entre 2 y entre 3. Para que sea más fácil la explicación denotaremos la división así:

En estos casos las divisiones son exactas (recuerda que estamos en la unidad relativa a los números naturales). Las divisiones con residuo diferente a cero serán tema de los números racionales. Toma lápiz y papel y resuelve los mismos ejercicios antes revisados utilizando notación desarrollada, hasta que los entiendas bien. Compara tu procedimiento con el presentado aquí. Algoritmo compacto de la división Dividiremos:

Toma lápiz y papel y resuelve los mismos ejercicios antes revisados hasta que los entiendas bien. Compara tu procedimiento con el presentado aquí. Divisibilidad Para hablar de divisibilidad debemos primero recordar qué significa el factor de un número natural (lo vimos en la multiplicación). Analicemos los casos siguientes:

Entonces ¿qué es un factor? Un número es un factor de otro cuando al dividirlo, la división es exacta, o sea, cuando el residuo es cero. En los casos anteriores, 3 es factor de 12 porque el 3, al dividir al 12, da un resultado exacto, por lo que el residuo es 0.

4 es factor de 12 porque al dividirlo da un resultado exacto, por lo que el residuo es 0.

Lo mismo sucede con 3 y 7 en relación al 21.

De acuerdo a lo señalado, podemos afirmar que si un número natural es factor de otro, también es su divisor. Así vemos que la división está ligada con la multiplicación. Analiza el ejemplo: 3 • 4 = 12; 3 y 4 son factores de 12 y también son sus divisores. Comprobemos:

La divisibilidad es una parte de la aritmética que se encarga de estudiar las condiciones que deben cumplir dos números naturales para que uno de ellos divida al otro de forma exacta. Esas condiciones se llaman criterios de divisibilidad y aquí abordaremos algunos que te permitirán obtener divisores de una manera más fácil, rápida, y eficiente. Los criterios de divisibilidad te indicarán si un número natural se puede dividir entre 2, o entre 3, o entre 5, de manera exacta.

Divisibilidad entre 2 Un número natural es divisible entre dos cuando termina en cero o en cifra par. (Te acuerdas que los números naturales terminados en 2, 4, 6 y 8 son pares, ¿verdad? Los terminados en 1, 3, 5 y 7 son impares). Ejemplos: 620 y 432. Al dividir 620 entre 2 da como resultado 310 y el residuo es cero. Al dividir 432 entre 2 da 216 y el residuo es cero. Vemos que el 620 y el 432 son divisibles entre 2 (es decir, se divide entre 2 y el residuo es 0). Divisibilidad entre 3 Un número natural es divisible entre 3 si al sumar sus cifras se obtiene un número divisible entre 3. Ejemplos: 1) 111 Al sumar sus cifras (1+1+1) se obtiene 3. Entonces seguro se puede dividir exactamente entre 3, en este caso el cociente resultante es 37 y el residuo es cero. 2) 54 132 Al sumar sus cifras se obtiene 15, 15 entre 3 es 5 y el residuo es cero. Entonces el 54 132 seguro se puede dividir exactamente entre 3, ¿lo hacemos? En este caso el cociente resultante es 18 044 y el residuo es cero. 3) 321 000 Al sumar sus cifras se obtiene 6, que sí es divisible entre 3, ya que da 2 y el residuo es cero. Entonces el 321 000 seguro se puede dividir exactamente entre 3, en este caso el cociente resultante es 107 000 y el residuo es cero. Muy importante ¿Qué pasaría si el número fuera 321 001? Al sumar sus cifras se obtiene 7. Siete no es divisible entre 3, porque la división no es exacta, ya que el residuo no es cero, por lo tanto, 321 001 no se puede dividir exactamente entre 3. Es importante que entiendas que al hablar de divisor o divisible se está dando a entender que la división debe ser exacta, o sea que el residuo debe ser cero. Esto no significa que existen divisiones que no se pueden hacer, podemos afirmar que las divisiones siempre se pueden hacer, aunque no siempre son exactas. Los casos de las no exactas se estudiarán en el tema de números racionales. Te recordamos que estamos en la unidad relativa a números naturales, o sea, números enteros y positivos. Divisibilidad entre 5 Si la última cifra del número es 0 ó 5, entonces el número es divisible entre 5. Ejemplos: 1) 655 es divisible entre 5, ya que termina en 5. El cociente es 131 y el residuo es cero. 2) 2 345 es divisible entre 5, ya que termina en 5. El cociente es 469 y el residuo es cero. 3) 311 210 es divisible entre 5, ya que termina en 0. El cociente es 62 242 y el residuo es cero.

Pero 311 214 no es divisible entre 5, porque este número no termina en 5 ni en 0. El cociente es 62 242 y el residuo es 4. Toma lápiz y papel y resuelve los mismos ejercicios antes revisados, hasta que entiendas bien los criterios de divisibilidad. Compara tu resultado con el presentado.

¿Cómo lo vas a recordar? Toma un momento para que tengas idea de una estrategia que te permita asegurar que automáticamente uses esta regla en el futuro. ¿Qué estrategia usarás para recordar qué condiciones se deben cumplir para que un número sea divisible entre 3 y entre 5?

Actividad 1 http://www.bunam.unam.mx/moodle/file.php/4/prope_mate/unidad_1/Act/actividades.html Ahora te pedimos que envíes a tu asesor los siguientes problemas con tus procedimientos y respuestas que sólo requieren del uso de números naturales. Tu asesor te comentará a vuelta de correo sobre tu desempeño y calificará este trabajo. Si tienes dudas en su resolución te recomendamos revises el siguiente tema que se refiere precisamente a la resolución de problemas aplicando operaciones aritméticas con números naturales. • Dos amigos salen en bicicleta de sus casas situadas a 16 kilómetros una de la otra. Caminan sobre el periférico en sentidos opuestos para encontrarse. Uno de ellos va a 7 km por hora, el otro a 9 km por hora. Si salieron a las 6 de la mañana. ¿A qué hora se encontrarán? Recuerda que distancia es igual a velocidad por tiempo (d=v•t). • Una papelería tenía cierta cantidad de mochilas al inicio del ciclo escolar. Vendió 115 , y recibió 137 de la bodega. Después vendió 70 mochilas. Si en este momento le quedan 204 mochilas ¿cuántas tenía al principio? • Dos estudiantes deciden trabajar durante sus vacaciones, con un sueldo de $1 800 por cada 5 días. Si uno de ellos recibe un pago de $120 diarios, ¿cuál es el salario diario de su compañero? 2 2 2 • Un propietario posee tres terrenos separados, con una extensión de 425 m , 850 m , 1 700 m respectivamente. Él desea venderlos a una empresa constructora que dividirá los terrenos en partes exactamente iguales. ¿Cuál es la mayor medida que deben tener los terrenos para que todos tengan la misma superficie? Actividad 2 Resolución de problemas aplicando operaciones aritméticas con números naturales Hemos hecho una revisión de las operaciones aritméticas básicas: adición, sustracción, multiplicación y división. Nuestro reto ahora es saber aplicar estas operaciones en la resolución de problemas de la vida cotidiana. ¿Qué te parece si analizamos los siguientes problemas e intentamos resolverlos con las operaciones aritméticas con números naturales que se requieran?

Problema 1 Una tienda de artículos deportivos decide adquirir un lote de sombreros para el sol en $50 250.00 con un costo de $375.00 por sombrero. Estaba muy cerca la época de vacaciones en la que la mayoría de las personas acostumbran pasarlas en la playa, por lo que parecía un buen negocio. Vendió una parte del lote con una ganancia de $325.00 en cada sombrero. Desafortunadamente, no pudo vender todos los sombreros antes del final de la temporada de vacaciones, por lo cual tuvo necesidad de rematar el resto, en la cantidad de $22 750.00, con lo que perdió $50.00 en cada sombrero. ¿Cuántos sombreros compró la tienda? ¿Cuánto ganó finalmente? Para resolver este problema o cualquier otro que se te presente, te recomendamos desglosar paso a paso cada afirmación que se hace en dicho problema. Para que sea más dinámica su resolución, llena los espacios que se encuentran vacíos. Escribe los números sin dejar espacio entre cada uno de ellos, por ejemplo no escribas 50 250 sino 50250. Escribe las palabras sin usar mayúsculas; asimismo no escribas signo de pesos ($).

Problema 2 Jaime estudia y trabaja y desea comprar un coche para poder trasladarse más rápido y cumplir con mayor eficacia sus obligaciones. Para su adquisición tendría que pagar $120 diarios, además de considerar sus gastos personales de $27 000 al año. Está buscando un trabajo adicional, ya que tendría que ganar $800 mensuales más de lo que ahora gana para poder adquirir el coche y solventar sus gastos personales. ¿Cuál es su sueldo mensual? ¿Cuál es el sueldo mensual que debería ganar para comprar el coche y solventar sus gastos personales?

Pero volvamos por un momento al concepto de factor. ¿Cómo se podrá descomponer un número en factores? Los criterios de divisibilidad también sirven para descomponer en factores los números naturales. Este proceso se conoce con el nombre de factorización. Factorizar consiste, entonces, en descomponer un número en una multiplicación de sus factores. Podemos efectuar esta descomposición como se indica a continuación. Primero se analiza si el número es divisible entre 2. Si no es posible, entonces entre 3, si no, entre 4 y así sucesivamente. Por ejemplo, el número 12 es divisible entre 2, entre 3, entre 4, entre 6, entre él mismo y entre 1. Entonces, se puede factorizar así:

Observa, ¿cuántos divisores tiene cada uno de los números anteriores? Si observas bien, unos números tienen más de dos divisores, otros solamente tienen dos y esos dos son precisamente él mismo y la unidad. Puedes corroborarlo con cualquier número que se te ocurra y siempre al obtener los factores sucederá una u otra opción. Podemos afirmar, entonces, que para un número natural distinto de uno, sólo puede haber dos posibilidades: • Que el número tenga más de dos divisores. • Que el número tenga únicamente dos divisores: él mismo y la unidad. Cuando tiene más de dos divisores se llama número compuesto. Cuando tiene sólo dos divisores, se llama número primo. Por tanto podemos concluir que los números naturales se dividen en: Número primo El conjunto de los números primos es un subconjunto de los números naturales que contiene a todos los elementos de este conjunto que son divisibles exacta y solamente entre sí mismos y la unidad, es decir los números primos tiene únicamente dos divisores diferentes, por esta razón el 1 no se considera primo. Los veinte primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67 y 71. Nótese que todos los números naturales son divisibles entre sí mismos y la unidad, pero si solamente tiene estos dos divisores y no más, son números primos, pero si además de estos dos divisores tiene otros, entonces el número se llama compuesto. El teorema fundamental de la Aritmética establece que cualquier entero positivo puede representarse siempre como una multiplicación de números primos, y esta representación (factorización) es única. ¿Cuántos números primos existen? Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año 300 a.C. Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos con métodos diversos. A pesar de que sabemos que hay infinitos números primos, aún quedan preguntas en el aire sobre cuántos primos hay por debajo de cierto número. Un procedimiento empleado para hallar todos los números primos menores que un entero dado es el de la criba de Eratóstenes que se explica a continuación: Criba de Eratóstenes La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado (N). Consiste en formar una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 2 y N ( Número dado) y se van eliminando los números que no son primos, es decir los números compuestos, de la siguiente manera: vamos a suponer que queremos encontrar los primos entre 1 y 21, construimos la tabla con los números enteros entre 2 y 21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 procedemos a eliminar todos los que no son primos: todos los pares excepto el 2 son compuestos y múltiplos de 2, los eliminamos y queda 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

El primer entero que no haya sido tachado, es considerado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos. El primer entero que ahora no fue eliminado es el 3, se procede a eliminar sus múltiplos (los que aun quedan porque algunos ya fueron eliminados en el paso anterior) 2 3 5 7 11 13 17 19 El proceso termina cuando el cuadrado del último número confirmado como primo es mayor que N En este caso es 5. Como 52 = 25. 25 > 21, por lo que el proceso termina. RESULTADO: Los números primos comprendidos entre 2 y 21 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Para que el proceso quede más claro, determinemos mediante este procedimiento, la lista de los números primos menores de 50. Primer paso: escribimos en una tabla los números naturales comprendidos entre 2 y 49. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 Segundo paso: marcamos con rojo el primer número considerado como número primo. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 Tercer paso: eliminamos todos los múltiplos del número que acabamos de marcar como primo. 2

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 Cuarto paso: el cuadrado del primer número que no fue suprimido (el 3) es inferior a 50, y es primo, entonces repetimos el tercer paso, es decir eliminamos sus múltiplos De lo contrario, el algoritmo termina, y todos los enteros no eliminados son declarados primos. Como 32 = 9 < 50, volvemos al tercer paso, eliminamos los múltiplos de 3: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 25 29 31 35 37 41 43 47 49 Quinto paso: en el cuarto paso, el primer número que no ha sido eliminado es 5. Como su cuadrado es menor que 50, el algoritmo continúa. Eliminamos los múltiplos de 5. 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49

Sexto paso: en el quinto paso, el primer número que no ha sido eliminado es 7. Como su cuadrado es menor que 50, el algoritmo continúa. Eliminamos los múltiplos de 7. 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 Sexto paso: en el quinto paso, el primer número que no ha sido eliminado es 11. Como su cuadrado es mayor que 50, el algoritmo termina y consideraremos primos todos los números que no han sido eliminados. Por tanto, los primos menores que 50 son: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47.

Los números primos tienen un papel muy importante que desempeñar, ya que cualquier entero mayor que uno puede factorizarse como una multiplicación de números primos. Es tan importante este papel que desempeñan los primos que es conocido mundialmente como el teorema fundamental de la aritmética. Por lo tanto, factorizar significa descomponer un número en una multiplicación de factores. En esta unidad queremos que aprendas a factorizar un número en factores primos, porque es de gran utilidad, como más adelante veremos. Por ello vamos a aprender cómo hacerlo. Ejemplo: factorizar en factores primos el número 12 significa descomponerlo en sus factores primos que son: 2 • 2 • 3. Como el 2 se repite dos veces, se puede escribir como 2 2 • 3. Se dice que 22 está escrito en forma de potencia. El tema de potencias se verá en otra unidad. Por lo pronto, es importante que conozcas esta forma de representar los números. Factorización en primos de un número natural Factoriza en primos el 24: En primer lugar, recuerda lo que señalamos anteriormente, “los números primos tienen un papel muy importante que desempeñar, ya que cualquier entero mayor que uno puede factorizarse como una multiplicación de primos.” Los criterios de divisibilidad también sirven para descomponer en factores primos los números naturales. Podemos descomponer de la siguiente manera: Primero se analiza si el 24 es divisible entre 2. Si no es posible, entonces entre 3, sino entre 5 y así sucesivamente. Hay diferentes maneras de expresar la división. Por ejemplo, para expresar seis entre dos podemos usar las siguientes:

El 24 es divisible entre 2 porque la última cifra es par, 24: 2 = 12. Ahora se analiza si este 12 es divisible entre 2. Si no es posible, entonces entre 3, si no, entre 5 y así sucesivamente. El 12 es divisible entre 2 porque la última cifra es par, 12: 2 = 6.

Ahora se analiza si el 6 es divisible entre 2. Si no es posible, entonces entre 3, sino entre 5 y así sucesivamente. El 6 es divisible entre 2 porque la última cifra es par, 6: 2 = 3. Como el 3 es primo, sólo se puede dividir entre sí mismo y la unidad, y nos interesa dividirlo entre sí mismo, 3: 3 =1. Cuando se llega al uno se termina la factorización. En conclusión, el 24 queda expresado en factores primos de la siguiente manera: 24 = 2 3 • 3. Para que lo veamos más claro, vamos a hacerlo en el siguiente esquema:

Factorizar en factores primos el 525: El 525 es divisible entre 5 porque termina en 5, 525: 5 = 105. El 105 es divisible entre 5 porque termina en 5, 105: 5 = 21. El 21 es divisible entre 3 porque la suma de sus cifras es 3, entonces 21: 3 = 7. El 7 es primo, y sólo se puede dividir entre sí mismo y la unidad; nos interesa dividirlo entre sí mismo, 7: 7 =1. Cuando se llega al uno se termina la factorización, por lo tanto, hemos terminado. Como conclusión, 525 queda expresado en factores primos de la siguiente manera: 525 = 5 2 • 3 • 7. Recuerda que lo podemos escribir también así: 525 = 3 • 7 • 5 2 ,por la propiedad conmutativa de la multiplicación (el orden de los factores no altera el producto). Para que lo veamos más claro, vamos a hacerlo en el siguiente esquema:

Mínimo Común Múltiplo (MCM) Determina el mínimo común múltiplo (mcm) de los siguientes números: 84 y 56

Máximo Común Divisor (MCD) Problema Una tienda de telas desea evitar pérdidas de dinero sobre los retazos que le van quedando de los cortes que vende, por lo que ha decidido dividirlos de tal manera que todos sean del mismo largo, sin que le sobre o le falte tela y evitar el desperdicio. Con unos retazos que sobran, de 240, 168 y 48 cm, desea confeccionar pañuelos, porque la tela tiene un ancho que puede usarse para pañuelos. ¿Cuál será la máxima medida en que debe dividirlos para que todos sean del mismo largo? Este problema muestra la importancia de saber encontrar el máximo común divisor de estos tres números, ya que éste es la respuesta del problema. El Máximo Común Divisor (MCD) llamado también Máximo Factor Común (MFC) de dos o más números es el más grande de sus divisores (o factores) comunes. Se escriben con mayúscula para distinguirlos del mínimo común múltiplo (mcm) que veremos al terminar este tema. Con el MCD puedes resolver el caso de los pañuelos. Primero: para encontrar el MCD, fíjate en el siguiente procedimiento. Necesitamos realizar la descomposición en factores primos, ya que ésta determina cuántos divisores tiene cada uno de estos números. Esta descomposición ya la sabemos hacer.

Segundo: ya que tenemos los divisores (factores primos) de cada número, analizamos cuáles son los divisores comunes llamados también factores comunes. Vamos a escribirlos juntos para que nos sea más fácil determinarlos. 240 = 2 4 • 3 • 5 168 = 2 3 • 3 • 7

48 = 2 4 • 3 Observamos que los divisores o factores comunes de estos tres números son 2 y 3, ya que 5 y 7 no son comunes a los tres números en consideración. Tercero: el máximo común divisor de ellos es 23 • 3 = 24. ¿Por qué 23?. Vemos que en los tres casos hay 23 y también 3 (en 240, 168 y 48 tenemos 23 • 3). Fíjate que 5 y 7 sólo están presentes en un caso, no en los tres, por lo que no son divisores ni factores comunes. Entonces la respuesta al problema planteado es que los retazos deben dividirse en 24 cm. de longitud. • ¿Cuántos pedazos de 24 cm de largo saldrían de cada retazo? Es importante contestar esta pregunta para comprobar que no falta ni sobra tela que se desperdicie. Respuesta: Del retazo de 240 cm salen exactamente 10 pedazos de 24 cm de longitud cada uno. Del retazo de 168 cm salen exactamente 7 pedazos de 24 cm de longitud cada uno. Del retazo de 48 cm salen exactamente 2 pedazos de 24 cm de longitud cada uno. ¿Te das cuenta de la importancia de saber obtener el MCD? Mínimo común múltiplo (mcm) de un natural Contesta la siguiente pregunta ¿cuál es el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8? Como su nombre lo indica, el mínimo común múltiplo de dos o más números naturales, es el menor de los múltiplos comunes de esos números. Para contestar la pregunta, necesitamos conocer, en primer lugar, cuáles son los múltiplos de cada uno de estos números. Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40,…4n… ¿Cómo se obtiene? Multiplicando el 4 por n, es decir, si n vale 1, 4n=4; si n vale 2, 4n=8; si n vale 3, 4n=12; si vale 1 000 sería 4 000; que por supuesto es múltiplo de 4. Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,…6n,… Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,…8n… Ya sabemos cuáles son los múltiplos del 4, 6 y 8 y cómo se obtienen. Ahora, vamos a fijarnos cuáles son los 3 primeros múltiplos comunes de estos tres números. Primeros tres múltiplos comunes de estos tres números: 24, 48 y 72. Finalmente, ¿cuál es el mínimo (el menor) común múltiplo de estos tres números? El 24. Conclusión: el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8 es el 24. Otra forma de obtener el mcm es eligiendo cada uno de los factores primos de estos números, una vez que cada uno se ha factorizado. Si alguno aparece varias veces, se elige una sola vez con el exponente más alto con el que aparezca. El producto de estos factores constituye el mcm. Ejemplo: Tenemos los números 4, 6 y 8; 4 = 2 2 ; 6 = 2 • 3; 8 = 2 3. Se elige cada uno de los factores primos del 4, 6 y 8, pero como el 2 aparece varias veces se elige una sola vez con el exponente más alto con el que aparezca en todos, es decir, en este caso se elige 2 3. Además aparece el 3, por lo que el mcm de 4, 6 y 8 es: 2 3 • 3 = 24. Observa que el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números debe ser divisible entre cada uno de ellos. Recuerda que ser divisible significa que al dividirse, la división debe ser exacta, o sea el residuo debe ser cero. Lo comprobamos 24: 4 = 6 y el residuo es cero. 24: 6 = 4 y el residuo es cero. 24: 8 = 3 y el residuo es cero. Las aplicaciones de mínimo común múltiplo las manejaremos en el tema de números racionales.