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UNIDAD Nº 5: CUERPOS VINCULADOS Hasta el inicio de la presente unidad hemos considerado a los cuerpos como libres y sometidos a la acción de fuerzas. En la realidad los cuerpos (en nuestro caso específico las estructuras) se encuentran conectados por medio de dispositivos físicos (vínculos) al planeta tierra (para nosotros el suelo, entendiéndose por tal al material encontrado a partir de -1,00 m como mínimo contado a partir del nivel natural del terreno). Como conclusión decimos: LOS CUERPOS SE ENCUENTRAN VINCULADOS. Al sistema de fuerzas que actúa sobre el cuerpo lo denominaremos sistema de fuerzas activas y es que se transmitirá al planeta tierra por intermedio de los vínculos. Al sistema de fuerzas con que el planeta tierra reacciona sobre el cuerpo y que se transmiten al mismo a partir de los vínculos lo llamaremos sistema de fuerzas reactivas o comúnmente reacciones de vínculos. Esta claro que la interacción cuerpo – planeta, se rige por el principio de acción y reacción. DEFINICIONES GENERALES Numero de grados de libertad de un cuerpo (N°GL): Se define como el número de desplazamientos independientes que el mismo posee. Otra definición habla del número de coordenadas libres que el mismo posee. Al analizar el cuerpo, aplicaremos la definición aclararemos los conceptos. Condición de vínculo (CV): Es todo dispositivo físico capaz de proporcionar al cuerpo una o mas condiciones de vínculo. Reacción de vínculo: Es aquella fuerza capaz de provocar sobre el cuerpo el mismo efecto cinemática que la condición de vínculo, si se reemplaza una por otra.

Surge como claro hasta ahora que si pretendemos que el cuerpo permanezca en reposo, todos los movimientos posibles del mismo deberán ser restringidos. O sea, que como mínimo deberá resultar: En este caso diremos que el cuerpo se encuentra vinculado en forma ISOSTÁTICA, que es lo que estudiaremos. Cuando N°CV > N°GL, se define al sistema como HIPERESTÁTICO, de estudio en cursos superiores. Cuando N°CV < N°GL, el sistema se define como HIPOSTÁTICO. Estos sistemas no son de interés en INGENIERÍA CIVIL.

2 ANÁLISIS DE LOS CUERPOS EN EL ESPACIO Ya hemos analizado en la unidad 4 que el movimiento de un cuerpo puede definirse en el caso más general como una ROTO-TRASLACIÓN. r Entendiéndose r C C C C que tanto la traslación T r queda definida por sus tres componentes T (TX ; TY ; TZ ) al igual que la rotación R ( R X ; R Y ; R Z ) . O sea que el número de desplazamientos independientes para el cuerpo en el espacio será 6. Es decir:

Esto implica que si deseamos vincular al cuerpo de forma ISOSTÁTICA deberemos imponer 6 condiciones de vínculo. O sea:

En lo que sigue analizaremos los dispositivos de vínculo en relación al número de condiciones de vínculo que son capaces de imponer al cuerpo y que denominaremos ESPECIE DEL VÍNCULO. VÍNCULOS DE PRIMERA ESPECIE Cuerpo Esfera 2 Barra rígida

Biela: Es el vínculo más elemental y se trata de una barra rígida con dos esferas en sus extremos, una de ellas conectada al planeta tierra (PT) y la otra al cuerpo. Permitirá al cuerpo rotar con respecto a la esfera 2 en todas las direcciones posibles como se muestra, al mismo tiempo que podrá trasladarse respecto de la esfera 1. El movimiento impedido será en la dirección de la barra rígida indicada como n – n. O sea:

Esfera 1

Cuerpo

Cuerpo

z

PT x y

b

E2 GIROS PERMITIDOS E1

a

b n n

E2

a DESP. PERMITIDOS E IMPEDIDOS

E1

En cuanto a los desplazamientos serán: a – a y b – b los desplazamientos permitidos y n – n el desplazamiento impedido. Se recuerda que siempre estamos hablando de pequeños movimientos. Cuerpo

Apoyo sobre bolas: Es otro apoyo de primera especie. En este caso el cuerpo se encuentra conectado al vínculo por una esfera o rótula y además el apoyo sobre el planeta tierra se produce a partir de un n a b conjunto de bolas. De esta forma el cuerpo se encuentra con la n b a posibilidad de rotar respecto de la esfera o rótula y podrá desplazarse en plano de deslizamiento pero no lo podrá hacer en la dirección PT PT perpendicular al plano de deslizamiento. O sea que en el caso de la Plano de rodamiento biela o del apoyo sobre bolas, ambos impedirán al cuerpo una Bolas posibilidad de movimiento, por lo que se trata de VINCULOS DE PRIMERA ESPECIE. Esfera o rótula

3 VINCULOS DE SEGUNDA ESPECIE Cuerpo

a

a

E2

b1

b2 E1

E1

Sistema constituido por dos bielas: En este caso el cuerpo podrá rotar con respecto a la esfera E2 según las tres direcciones posibles. Con respecto a desplazamientos, el cuerpo solo podrá desplazarse en dirección perpendicular al plano definido por las bielas b1 y b2 (dirección a – a). Cuerpo Esfera o rótula

Apoyo sobre rodillos: En este caso el cuerpo podrá seguir rotando respecto de la esfera o rótula en las tres direcciones. En cuanto a las posibilidades de desplazamiento del cuerpo, solo se podrá desplazar en la dirección a – a.

a a PT

VÍNCULOS DE TERCERA ESPECIE Cuerpo

E2 b3 b1 b2

PT

Plano de deslizamiento

Rodillos

Sistema constituido por tres bielas: En este caso podrá rotar respecto de la esfera E2 pero no podrá experimentar desplazamiento siempre y cuando la dirección de las bielas b1, b2 y b3 no sean coplanares, ya que si lo fueran, existiría la posibilidad de desplazamiento del cuerpo en forma perpendicular a dicho plano. Cuerpo Esfera o rótula

Apoyo fijo: En este caso el cuerpo podrá rotar con respecto a la esfera o rótula en sus tres direcciones, pero no podrá desplazarse en ninguna dirección. PT

PT

VÍNCULOS DE CUARTA Y QUINTA ESPECIE En este caso los dispositivos de vínculo existente son muy diversos, ya que se trata de vinculación de mecanismos que son de interés en la Ingeniería Mecánica. En consecuencia para cada especie ejemplificaremos uno de los posibles dispositivos. x

Obsérvese que el cuerpo podrá rotar respecto al eje Z e Y, no pudiendo rotar respecto del eje X. El cuerpo no podrá desplazarse. En consecuencia se trata de un vínculo de cuarta especie.

y

Cuerpo

z

y

Vemos en este caso que el cuerpo puede rotar respecto al eje X teniendo impedido el resto de los movimientos, tratándose en este caso de un vínculo de quinta especie. z x

VÍNCULOS DE SEXTA ESPECIE y

En este caso el cuerpo tiene impedidas todas sus posibilidades de movimiento. Este vínculo recibe el nombre de empotramiento.

Cuerpo

x

Cuerpo

z

4 Ahora bien, habíamos definido como reacción de vínculo aquella fuerza que aplicada al cuerpo en reemplazo de una condición de vínculo producía sobre el mismo, idéntico efecto cinemática. Analicemos ahora al reemplazar cada dispositivo de vínculo anteriormente estudiado, cuáles son las reacciones de vínculo que aparecen aplicadas sobre el cuerpo y que por el principio de acción y reacción también quedan aplicadas al planeta tierra. a) Caso de una biela o un apoyo sobre bolas:

R1

Vinculos

R2

Reacciones de Vinculos

Observense dos cuestiones: 1) Cada vínculo aplica al cuerpo una condición de vínculo en este caso. 2) Si bien sabemos que las reacciones de vínculos actúan según el principio de acción y reacción, a partir de ahora solo indicaremos la fuerza que actúa sobre el cuerpo puesto que nuestro estudio independiente de lo que pase con las fuerzas actuando sobre el planeta. Este estudio queda reservado a materias tales como GEOTÉCNICA Y CIMENTACIONES. b) Caso de dos bielas aplicadas al mismo punto o de un apoyo sobre rodillos:

R1

R4 R2

Vinculos

Reacciones de Vinculos

R3

Cada vínculo aplica al cuerpo dos condiciones de vínculos. c) Caso de tres bielas aplicadas al mismo punto y no coplanares o de un apoyo fijo:

R1

R6 R2

R3

Vinculos

Cada vínculo aplica al cuerpo tres condiciones de vínculos. d) Caso de vínculo de 4ª especie:

Reacciones de Vinculos

R4

R5

5 z

Cuerpo

z x

y

Vinculos

Rz Mx

x

Rx Ry y

Reacciones de Vinculos

El vínculo de 4ª especie aplica al cuerpo cuatro condiciones de vínculos. e) Caso de vínculo de 5ª especie:

z

Mz

Cuerpo

z x y

Vinculos

Rz x

Ry

Rx

My y

Reacciones de Vinculos

El vínculo de 5ª especie aplica al cuerpo cinco condiciones de vínculos. d) Caso de vínculo de 6ª especie o empotramiento: z

Mz x

y

Cuerpo

z

Vinculos

Rz Ry My

x

Rx

Mx

y

Reacciones de Vinculos

El vínculo de 6ª especie aplica al cuerpo seis condiciones de vínculos. Analizados los conceptos de vínculo, condición de vínculo, reacción de vínculo y grado de libertad, estamos en condición de analizar la vinculación y el cálculo de reacciones de vínculo de un cuerpo en el espacio sometido a fuerzas. z

C P=50KN

B

0

M=30KNm A y

x

Para ello analizaremos en detalle un caso práctico. Supongamos la siguiente estructura espacial sometida a fuerzas que deberá ser vinculada mediante un sistema de bielas y luego se deberá determinar las reacciones de vínculo. Al proceder a vincular la estructura o bien si la misma ya se encuentra vinculada y se desea analizar si la vinculación es correcta, debe realizarse este procedimiento sobre la estructura sin el estado de cargas.

6 O sea: b6

Si ahora aplicamos en A tres bielas de dirección tal que no sean coplanares, el punto A estará fijo y el cuerpo podrá bie int la er rotar respecto de dicho punto. Fijo el punto A y teniendo en na b5 cuenta que el cuerpo se considera rígido, entonces la B 0 b4 distancia AB es invariable y puede considerarse que el a biel na cuerpo aporta al punto B una biela interna de dirección AB. r i n te A En consecuencia para fijar ahora el punto B solo será b1 b2 necesario agregar dos bielas no coplanares con la biela b3 interna AB, tales como la b4 y b5. Surgen ahora dos posibles análisis para completar la fijación del cuerpo: El primero es considerar que el cuerpo puede rotar respecto del eje AB por lo cual será necesario agregar una biela que no corte a dicho eje. El segundo análisis surge de pensar en fijar un tercer punto del cuerpo para poder fijar un plano del mismo y entonces al pretender fijar el punto C y teniendo en cuenta las bielas internas AC y BC, la tercer biela aplicada en C no podrá ser coplanar con estas dos bielas internas, tal es el caso de la biela b6. Un análisis u otro conducen a decir que para fijar un cuerpo en el espacio es necesario fijar tres puntos no alineados, esto es, fijar un plano del cuerpo. En este caso hemos procedido a vincular el cuerpo y analizar las condiciones que los vínculos que deben cumplir para inmovilizar al cuerpo. En otros casos el cuerpo se encontrará vinculado y será necesario analizar si efectivamente la disposición de los vínculos inmoviliza al cuerpo. bie int la ern a

C

El proceso desarrollado se denomina ANÁLISIS CINEMÁTICO y consta de dos partes: 1) Se debe verificar que N°GL = N°CV. 2) Se debe verificar que la disposición de vínculos inmovilice efectivamente al cuerpo, o sea que no haya CONFIGURACIÓN DE VÍNCULO APARENTE. Si los dos pasos arrojan resultados satisfactorios diremos que el cuerpo se encuentra ISOSTÁTICAMENTE SUSTENTADO y es además CINEMÁTICAMENTE INVARIABLE. Últimos comentarios antes de proceder al cálculo de Reacciones de vínculo. 1) Al definir el número de grados de libertad del cuerpo hablamos del número de desplazamientos independientes, definición que ya fue explicada y también del número de coordenadas libres. Para esta ultima definición y a la luz de la fijación del cuerpo que hemos hecho, podemos ver que al fijar el punto A, hemos fijado sus tres coordenadas, en B al fijar dos coordenadas el mismo queda fijo por la invariabilidad de la distancia AB y en C al fijar una coordenada, el mismo queda definido por la invariabilidad de las distancias AC y BC; de esta forma fue necesario fijar 6 coordenadas para inmovilizar al cuerpo. O sea N°GL = 6, valor que ya habíamos determinado a partir de los movimientos independientes. 2) En la unidad 1 indicamos que íbamos a trabajar con estructuras formadas por barras. Dichas barras presentarán un eje de las características mostradas eje en la figura. Esta claro que la barra presenta una sección transversal a dicho eje, la cual tiene un centro de superficie, comúnmente denominado Baricentro (G) y que se estudia en detalle en la unidad 2. El eje unirá los infinitos baricentros de las infinitas secciones transversales. Al representar nuestras estructuras, G representaremos el eje de la barra. Cálculo de las reacciones de vínculo en la estructura de

7 análisis. A los efectos de determinar las reacciones de vínculo, todo el sistema será reducido al punto A. Entonces:

C X6 P=50KN

R X = 0 ⇒ X1 + X 4 + X 6 + 50KN = 0 R Y = 0 ⇒ X2 = 0 X4 0 R Z = 0 ⇒ X3 + X5 = 0 X3 = 0 B A M=30KNm M x = 0 ⇒ − X 5 × 6m = 0 X5 = 0 X1 A A M Y = 0 ⇒ − X 5 × 7m + X 6 × 5m + 180KNm = 0 X3 X 6 = −36KN X2 M ZA = 0 ⇒ X 4 × 6m + X 6 × 6m + 300KN = 0 X 4 = −14KN Reemplazando X 4 y X 6 en la primer ecuación X 1 = 0 X5

Finalmente:

X1 = 0 ; X2 = 0 ; X3 = 0 ; X4 = -14KN ; X5 = 0 ; X6 = -36KN

Una vez calculadas las reacciones dibujamos la estructura con las fuerzas activas y reactivas en equilibrio. Esta representación será denominada como Diagrama de cuerpo libre. C 36 KN P=50KN

14 KN

0 B M=30KNm A

ANÁLISIS DE LAS CHAPAS EN EL PLANO A efectos de refrescar la definición de chapa, debemos dirigirnos a la unidad N°4. Si analizamos ahora la chapa en el plano y volvemos a recordar que el movimiento general de la misma será una rototraslación de r forma tal que ahora resulta rC C C T (0 ; TY ; TZ ) y R ( R X ;0 ;0 ) entonces el número de grados de libertad para una chapa en el plano será N°GL=3. Obsérvese que así como en el espacio, para fijar el cuerpo era necesario fijar un plano (o lo que es lo mismo 3 puntos no alineados), en el plano resulta suficiente fijar una recta (o solamente 2 puntos). En consecuencia fijadas las

8 coordenadas de un punto A y teniendo en cuenta que la distancia a cualquier otro punto es invariable, alcanza con fijar una coordenada de otro punto confirmando que el N°GL = 3. Para vincular la chapa en forma isostática se deberá cumplir nuevamente que N°GL = N°CV. Antes de proceder al análisis de la vinculación de una chapa, analizaremos los vínculos más habituales en el plano. Vínculo de primera especie

En el caso del Apoyo Móvil es común hablar de la dirección del apoyo (n-n) o lo que es lo mismo la normal al plano de deslizamiento. En ambos casos se habla de la dirección del movimiento impedido.

n

RB

Vinculos

Apoyo Movil

Biela

Reacciones de Vinculos

n

RAM

Vínculo de segunda especie

n

Apoyo Fijo

H

M

n n

Vinculos

Empotramiento n Guiado

Reacciones de Vinculos

H

R

Con el apoyo fijo se impide el desplazamiento total del punto, por lo que un apoyo fijo no tiene dirección. El empotramiento guiado impide el giro y una componente de desplazamiento.

Vínculo de tercera especie

M

H

Empotramiento

Vinculos

El vínculo se denomina empotramiento y limita toda la posibilidad de movimiento de la chapa, es decir la misma se encuentra fija.

H

Reacciones de Vinculos

ANÁLISIS DE LAS DISTINTAS POSIBILIDADES DE VINCULACIÓN DE UNA CHAPA En lo que sigue se analizará la vinculación de una chapa con vínculos de primera y segunda especie, considerando que son estos casos los que conducen al análisis cinemático del cual se puede obtener algunas conclusiones. La vinculación de la chapa con un vínculo de tercera especie (empotramiento) conduce directamente a inmovilizar el cuerpo. En todos los casos a analizar por tratarse de una chapa el N°GL = 3 y en consecuencia para vincularla en forma isostática deberemos aplicar 3 condiciones de vínculo.

9

n

Caso 1

B n

dAB

n

A

Otra forma de verlo sería: Debido a la invariabilidad de distancia entre A y B, el punto B podría desplazarse en dirección perpendicular a la dirección AB y debido al apoyo móvil ubicado en B, podría desplazarse en dirección perpendicular a n-n. Como no puede desplazarse simultáneamente en dos direcciones no coincidentes, entonces debe mantenerse inmóvil.

B n

dAB

El punto A se encuentra fijo por el apoyo fijo ubicado en el mismo. El punto B no puede desplazarse ni en la dirección AB por la rigidez del cuerpo ni en dirección n-n por la existencia en B de un apoyo móvil de esa dirección. Al no poder moverse según dos direcciones no coincidentes, el punto B debe mantenerse fijo. Al tener la chapa dos puntos fijos, la chapa esta fija.

A

La única dirección del apoyo móvil que conduce a una configuración de vínculo aparente, es cuando la dirección n-n es coincidente con la dirección AB y entonces B, si se podrá desplazar y entonces resulta que a pesar que la chapa tiene aplicadas sus tres condiciones de vínculo (dos del apoyo fijo y una del apoyo móvil), la misma presentará posibilidad de movimiento. En definitiva se dice que para que la chapa así vinculada sea cinemáticamente invariable, la dirección del apoyo móvil ubicado en B no debe pasar por el punto fijo ubicado en A. Caso 2

C

O B A

Cabe aclarar que en vez de la biela pudo haberse indicado un apoyo móvil. En este caso, en la intersección de la dirección de la biela y el apoyo móvil ubicado en A encontramos el punto fijo de la chapa y como además la dirección del apoyo móvil ubicado en B no pasa por O, el sistema se encuentra isostáticamente sustentado y es además cinemáticamente invariable

Caso 3 Daremos al menos dos formas de análisis cinemática de este caso. 1) Podemos considerar que en la intersección de las direcciones de los O∞ dos apoyos móviles correspondientes al empotramiento guiado, la chapa O1 presenta un unto fijo ubicado en el impropio en la dirección de dichos O2 apoyos (O ∞). Alcanzaría para que la chapa fuera cinemáticamente B invariable, que la dirección del apoyo móvil ubicado en B no pase por el A punto impropio O ∞, hecho que ocurre. 2) Otra forma de análisis es decir que la chapa dos puntos fijos no coincidentes O1 y O2, resultado de la intersección de la dirección de cada uno de los apoyos móviles del empotramiento guiado con la dirección del apoyo móvil ubicado en B. Al presentar la chapa dos puntos fijos, se encuentra fija.

10 Caso 4

O C

A

En este caso la chapa presenta un único punto fijo determinado por la intersección de las direcciones de los apoyos móviles ubicados en A, B y C pudiendo en consecuencia la chapa rotar respecto de dicho punto fijo (que es un punto fijo propio). Por lo tanto, podemos decir que la chapa es cinemáticamente variable, esto es que tendrá movimiento.

B Caso 5

O∞ A C

B

En este caso la chapa presenta un solo punto fijo por la intersección de las direcciones de los apoyos móviles ubicados en A, B y C. Esto implica que la chapa, a pesar de tener impuestas sus tres condiciones de vínculo, puede trasladarse en forma perpendicular a la dirección normal a los planos de rodamiento. Puede pensarse entonces a la traslación como una rotación respecto de un punto fijo impropio. La chapa será entonces cinemáticamente variable.

Ejemplo

C

D

Dada la siguiente estructura constituida por una sola chapa sometida al estado de cargas indicado y vinculada en forma isobática, se solicita: Análisis cinemática y cálculo de Reacciones de Vínculos.

B A Análisis cinemático: (se efectúa sobre la estructura descargada pues el mismo es independiente del estado de cargas)

C

B

D

O

a) N°GL = N°CV = 3 ⇒ La estructura esta isostáticamente sustentada. b) En la intersección de las direcciones de los apoyos móviles ubicados en A y B encontramos un punto fijo de la chapa (O) y como además la dirección del apoyo móvil ubicado en D no pasa por O, la chapa resulta cinemáticamente invariable

A Cálculo de las reacciones de vínculos: Reemplazando los vínculos por sus correspondientes reacciones de vínculos y planteando las tres ecuaciones de equilibrio general tenemos:

11

C

1) Ry = 0 ⇒ RA x 0,707 + RD + 100 KN = 0 2) Rz = 0 ⇒ RA x 0,707 + RB + 50KN = 0 3) MxA = 0 ⇒ -RB x 1,5m + RD x 4m + 30 KNm – 50KN x 3,5m + 100KN x 2m = 0

D

B A

Resolución: Restando la ecuación 2 de la ecuación 1 resulta ⇒ RD – RB + 50KN = 0 Entonces RD – RB + 50 = 0 ⇒ 4RD – 4RB = – 200KN 4RD – 1,5RB + 55 = 0 ⇒ 4RD – 1,5RB = – 55KN – 2,5RB = – 145KN Por lo tanto

RA = – 152,758 KN

RB = 58 KN

RD = 8 KN

Finalizado el cálculo de reacciones de vínculo, dibujamos el DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE.

C

D

B A Clasificación de las reacciones de vínculo: Las reacciones de vínculo se pueden clasificar en: Reacciones de vínculo externo: cuando corresponden a vínculos que conectan la estructura al planeta y, en consecuencia, los vínculos también se denominarán externos. O bien, Reacciones de vínculo interno: cuando corresponden a vínculos que conectan distintas partes de la estructura entre sí. Nuevamente, los vínculos en este caso, se denominarán internos. n

A

n

B

Con respecto a vínculos externos y sus reacciones ya hemos hablado hasta aquí lo suficiente. Pasaremos a explicar qué son los vínculos internos y sus correspondientes reacciones. Para ello suponemos tener una barra vinculada y cargada tal como se muestra.

Si ahora calculamos las reacciones de vínculo externo ya que, como hemos verificado anteriormente, la vinculación es isostática y la chapa es cinemáticamente invariable, resulta que:

n

A

n

B

12 Si ahora cortamos la estructura con un plano perpendicular al eje de barra, la misma quedará separada en 2 partes, tal como muestra la figura y, lógicamente, habrá que restituir el equilibrio de cada parte. O sea: Con respecto a las fuerzas necesarias para restituir el equilibrio de cada parte, cabe aclarar que: 1) son fuerzas internas de la barra B A pues sólo pudieron ser visualizadas al cortar la misma, 2) dichas fuerzas actúan según el principio de acción y reacción, es decir, que son de igual dirección y módulo, sentido contrario y quedan aplicadas a cuerpos distintos. 3) Las fuerzas que equilibran la parte derecha corresponden a la acción que la parte izquierda ejerce sobre la misma y viceversa. Las fuerzas en estudio son denominadas REACCIONES DE VÍNCULO INTERNO, y para una sección que originalmente era continua resultan ser tres, o sea, que al seccionar y separar la barra en dos partes hemos debido reemplazar un vínculo interno de tercera especie por las reacciones de vínculo interno. El vínculo en cuestión se denomina “vínculo de la continuidad” y, repetimos, es de tercera especie. Esto es, podemos decir, que punto a punto una reacción de barra se empotra en la siguiente. Si ahora deseamos restituir la continuidad de la barra vinculando la parte izquierda y derecha por un sistema de bielas, tenemos que, considerando fija a una de las partes resulta, b1

Parte Izquierda

b2 b3

Parte Derecha

O sea, ambas partes se han vinculado con tres bielas de dirección “no” concurrente a un punto y, entonces, ahora supuesta fija la parte izquierda, la parte derecha no podrá rotar ni trasladarse, lo mismo ocurre si se considera fija la parte derecha. Las bielas b1 y b2 y b3 transfieren de parte izquierda a derecha y viceversa las fuerzas internas que, anteriormente, habíamos puesto en evidencia, reducidas, en este caso, al eje de la barra que sabemos pasa por el centro de superficie (baricentro) de la sección transversal. La falta de alguna de las bielas hará que una parte pueda experimentar desplazamientos respecto de la otra y que, además, alguna de las fuerzas interiores no pueda ser transferida desde una parte a la otra. Esto ocurre y lo analizaremos en lo que sigue. Vinculación entre chapas mediante un vínculo interno de segunda especie Este vínculo, en lo que sigue, se denominará “articulación interna o relativa” y las partes a vincular entre sí ya no serán la parte b1 izquierda y derecha de una misma chapa sino que se vincularán entre sí dos chapas. O sea: b2 S2

S1

Las chapas se designan por la letra S y las articulaciones por la letra A. Ahora, supuesta fija la chapa S1 la chapa S2 podrá rotar

13 respecto de A12, y, supuesta fija la S2, entonces S1 podrá rotar respecto de A12. Este tipo de movimiento se denomina “rotación relativa”. Si S1 la consideramos fija, entonces, ésta transfiere a S2 un apoyo fijo en la intersección de las direcciones de b1 y b2, o sea, en A12. Lo mismo ocurre con S2 al suponerla fija. Como conclusión diremos que si A12, al suponer fija cualquiera de las dos chapas, es un apoyo fijo para la restante, el mismo deberá ser reemplazado por dos fuerzas como reacciones de vínculo y, en consecuencia, la fuerza que no se puede transferir de S1 a S2 por este tipo de vínculo es el momento. “Como conclusión final diremos que cuando dos chapas se encuentran como se indica, el movimiento permitido de una chapa respecto de la otra es el giro relativo y la fuerza interna que no se puede transmitir es el momento.” Veremos, a continuación, otras formas de vincular dos chapas mediante un vínculo de 2º especie (articulación interna o relativa).

b1

S2

b2

A12

S1

En este caso la situación es idéntica a la anterior. Si ahora resulta b1 // b2 surge que:

b1 b2

S1

A12∞

S2

Ahora la articulación relativa es un punto ubicado en el impropio de la dirección de las bielas, de tal forma que ahora las chapas se podrán desplazar en forma relativa en dirección perpendicular a la dirección de las bielas y la fuerza interna que no podrá transmitirse entre las chapas S1 y S2 es la perpendicular a la dirección de las bielas. Resumiendo: tendremos tres formas de vincular entre sí dos chapas con una articulación relativa.

14

A12

S2 S1

S2

S1

A12

Articulación relativa propia A12∞

S2 S1

Articulación relativa impropia Luego de hecho este análisis pasaremos a estudiar las “cadenas cinemáticas de chapas”, las cuales siempre estarán vinculadas entre sí por una articulación relativa. CADENAS CINEMÁTICAS ABIERTAS En este caso la primera y la última chapa no están conectadas entre sí. Cadena cinemática abierta de dos chapas

A12

S1

S2

Si cada chapa tiene 3 GL y la articulación relativa restringe dos grados de libertad, entonces: NºGL= 2 x 3 – 2 = 4 O sea, que la cadena abierta de dos chapas tendrá 4 grados de libertad. En términos generales, si n= número de chapas y n-1 es el nº de articulaciones resultará: Nº GL= 3 x n – 2 (n – 1) = n + 2

⇒

Nº GL = n + 2

15 O sea, que para la cadena abierta de dos chapas tendremos 4 GL, o sea, que es necesario aplicar 4 condiciones de vínculo las cuales, lógicamente, no pueden estar aplicadas las 4 en la misma chapa, puesto que si no una chapa tendrá una condición de vínculo más que la isostáticamente necesaria, y la otra tendría posibilidad de movimiento, o sea:

S2 se mueve

A12

S2

S1

S1 resulta hiperestática O sea, que el tope de vinculación para una chapa es 3 condiciones de vínculo. Analicemos la cadena abierta de dos chapas con tres condiciones de vínculo en una ellas y una condición en la otra.

S1

C A

O

b1

S2

b2

A12 D

B

Trataremos de hacer un análisis cinemático lo más amplio posible de este caso. a. Nº GL= n + 2= 4= Nº CV ⇒ La cadena se encuentra isostáticamente vinculada. b. La chapa S1 posee tres vínculos de primera especie. En la medida que las tres direcciones no se corten en un punto, la chapa S1 estará fija, en particular A12 que pertenece a S1 y S2, y que está dada en la intersección de las direcciones de las bielas b1 y b2. Si ahora la dirección del apoyo móvil ubicado en S2 no pasa por A12, entonces S2 también está fija y la cadena abierta de dos chapas es cinemáticamente invariable. La articulación relativa A12 podrá ser propia o impropia. Analizamos ahora la cadena abierta de dos chapas donde cada chapa posee 2 condiciones de vínculo externo. Este sistema se denomina ARCO DE TRES ARTICULACIONES

A12

S1 O1

S2 O2

Análisis cinemático a. Nº GL= n + 2= 4 = Nº CV ⇒ La cadena se encuentra isostáticamente sustentada.

16 b. La chapa S1 se comporta, para la chapa S2, como un apoyo móvil de dirección O1 (punto fijo de S1) a A12 y aplicado en A12. Lo mismo ocurre con S2, que se comporta para S1 como un apoyo móvil de dirección O2 (punto fijo de S2) a A12 y aplicado a A12. En consecuencia como A12 no se puede mover en dos direcciones no coincidentes, entonces, está fija y cada chapa tiene 2 puntos fijos. De esta manera la cadena abierta de 2 chapas es cinemáticamente invariable. Conclusión: Una cadena abierta de 2 chapas con un punto fijo en cada una de ellas se denomina “ARCO DE TRES ARTICULACIONES”, independientemente de si la misma es o no cinemáticamente invariable. Si los dos puntos fijos y la articulación relativa “no estan alineadas”, el arco será “cinemáticamente invariable” y, por el contrario, si los dos puntos fijos y la articulación relativa “están alineados” entonces el arco será “cinemáticamente variable”. Cálculo de Reacciones de Vínculo En lo que sigue analizaremos cómo proceder al cálculo de Reacciones de Vínculo en cadenas cinemáticas abiertas. Analizaremos una cadena abierta de dos chapas con la vinculación externa indicada.

A12

S1

S2 O2

O1

Ya probamos que este arco de tres articulaciones es cinemáticamente invariable pues O1, O2 y A12 no están alineados. Ahora bien, tendremos por calcular 4 reacciones pero sólo disponemos de tres ecuaciones. Si recordamos, habíamos dicho que al estar vinculadas S1 y S2 por una articulación propia no era posible transferir momento de S1 a S2 y viceversa. Entonces, más allá de las ecuaciones de equilibrio del conjunto, deberá existir una ecuación que evalúe la situación planteada. A las tres ecuaciones de equilibrio del conjunto las llamaremos “ECUACIONES DE EQUILIBRIO ABSOLUTO”. La restante ecuación se denominará “ecuación de equilibrio relativo”. A continuación se dibuja la estructura con las reacciones de vínculo puestas en evidencia y se plantean las ecuaciones que resuelven el problema. Σ Rz = 0 A12 Σ Ry = 0 Equilibrio absoluto c S1 S2 ΣMx=0 Σ M A12xFS1 = 0 ó Σ M A12xFS2 = 0

O1

O2

Equilibrio relativo

17 Tenemos ahora 4 incógnitas y 4 ecuaciones con lo que el problema puede resolverse. La ecuación de equilibrio relativo dice que el momento de las fuerzas que actúan en S1 respecto de A12 debe ser nulo. Esto se, cumple la condición planteada por la articulación propia. También se puede plantear momento nulo respecto de A12 de las fuerzas que actúan en S2. Una u otra ecuación plantea la misma condición, en consecuencia, utilizaremos en cada caso la más conveniente desde el punto de vista del número de incógnitas que una u otra plantea. Para concluir con el tema veamos qué ecuación de equilibrio relativo se plantea cuando la articulación relativa no es propia. En ese caso habíamos dicho que de una chapa a otra no se podía transferir fuerza de dirección perpendicular a la dirección de las bielas tal como se muestra a continuación.

S1

n

S2 n

A 12 ∞

O1

O2

En cuanto al análisis cinemático diremos que el arco de tres articulaciones resultará cinemáticamente invariable en la medida que O1, O2 y A12∞ no se encuentran alineados. Para ello deberá cumplirse que la dirección definida por O1 y O2 no sea la misma que la definida por las bielas que constituyen la articulación impropia. Para el cálculo de Reacciones de Vínculo será

S1

n

Σ Rz = 0 Σ Ry = 0 Σ Mcx = 0

S2 n

O1

A12∞

O2

Equilibrio absoluto

Σ F n-nS1 = 0 ó Σ F n-nS2 = 0

Equilibrio relativo

La ecuación de equilibrio relativo plantea que las fuerzas de S1 no pueden tener componentes de dirección n – n, o sea, perpendicular a la dirección definida por la articulación relativa impropia. Igual que pasa con S2. Una u otra ecuación plantean idéntica condición. Cadenas cinemáticas abiertas de tres chapas Analizaremos las siguientes posibilidades de vinculación externa con distintas posibilidades de articulaciones relativas. A. S1 con tres condiciones de vínculo, S2 y S3 con una condición cada una.

A12∞

S2 S1

A23

S3

18 Análisis cinemático a. NºGL= n + 2= 3 + 2= 5 = NºCV ⇒ la estructura se encuentra vinculada.

isostáticamente

b. S1 está fija por la condición de empotramiento, en particular está fija A12∞ que pertenece a S1 y S2 y, como la dirección del apoyo móvil ubicado S2 no pasa por A12∞, entonces S2 está fija, en particular A23 que pertenece a S2 y S3. Y como la dirección del apoyo móvil ubicado en S3 no pasa por A23, entonces S3 está fija. De esta manera la cadena abierta de tres chapas es cinemáticamente invariable. Cálculo de reacciones de vínculo Lo planteado será de validez general para las cadenas abiertas de tres chapas, independientemente de la forma en que se distribuyan las condiciones de vínculo entre las chapas.

A12∞

S2

S1

Σ Rz = 0 Σ Ry = 0 Σ Mcx = 0

A23

S3

Equilibrio absoluto

Σ F n-nS1 = 0 ó Σ F n-nS2yS3 = 0 M A23xFS1yFS2 = 0 ó Σ M A23xFS3 = 0 Equilibrio relativo

B. S1 con dos condiciones de vínculo al igual que S2 y S3 con una condición de vínculo.

A12∞

S1 A

A23

S2 O2

S3

O1 B

C

D

Análisis cinemático a. NºGL = n + 2 = 5 = NºCV ⇒ la cadena se encuentra isostáticamente sustentada. b. La chapa S1 posee punto fijo en O1, S2 posee punto fijo en la intersección de las direcciones de los apoyos móviles ubicados en B y en C. Las chapas S1 y S2 conforman un arco de tres articulaciones y, como además, O1, O2 y A12∞ no están alineados, hecho que se manifiesta en que la dirección O1-O2 no es paralela a la dirección de A12∞, entonces S1 y S2 están fijas, en particular A23 que pertenece a S2 y a S3. Y como la dirección del apoyo móvil ubicado en S3 no pasa por A23, entonces S3 está fija. En consecuencia la cadena de chapas es cinemáticamente invariable.

19 C. S1 y S3 con dos condiciones de vínculo y S2 con una condición de vínculo

A12

S1 A

S2

A23

O3

C

S3

O1 B

Análisis cinemático a. NºGL = n + 2 = 5 = NºGL ⇒ la cadena está isostáticamente sustentada. b. La chapa S1 se comporta para la chapa S2 como un apoyo móvil de dirección O1-A12 aplicado en A12. También la S3 se comporta para la chapa S2 como un apoyo móvil de dirección O3-A23 aplicado en A23. De esta forma la chapa S2 tiene aplicados tres apoyos de primera especie y, como las direcciones no se cortan en un único punto, entonces S2 está fija, en particular A12 y A23. En consecuencia S1 y S3 tienen 2 puntos fijos cada una y, en consecuencia, todas las chapas están fijas y la cadena de chapas es cinemáticamente invariable. Así como fueron analizadas las cadenas cinemáticas abiertas de dos y tres chapas es posible analizar cadenas abiertas de mayor número de chapas. En lo que sigue serán analizadas las cadenas cinemáticas cerradas de dos, tres o cuatro chapas. Dada la particularidad que presenta la cadena cerrada de dos chapas el análisis se dejará para el final. Cadenas cinemáticas cerradas de chapas Son aquellas donde la primera y la última chapa están unidas entre sí. Cadenas cerradas de tres chapas Como cada chapa tiene 3 GL y cada articulación interna restringe 2 GL, entonces para la cadena cerrada de tres chapas será: NºGL= 3 x 3 – 3 x 2 = 3

A12

S2

S1

A13

S3

A23

En forma general si n es el número de chapas y n es el número de articulaciones resulta: NºGL= 3 x n – 2 x n = n ⇒ NºGL=n

S1 En el caso de la cadena cerrada de tres chapas Nº GL = 3, al igual que una sola chapa, con lo que la cadena cerrada de tres chapas se comporta como una única chapa, pero para que esto ocurra las tres articulaciones internas no deberán estar alineadas, lo que se muestra en la siguiente figura. Obsérvese que S1 está fija por el empotramiento, al igual que A12

A12

S3

S2 A23

A13

20 y A13. S2 S3 forman un arco de tres articulaciones cinemáticamente variable por estar alineadas A12, A23, A13. Considerando que la cadena cerrada de tres chapas tenga sus 3 articulaciones internas no alineadas, entonces las distintas formas de vinculación son las que se muestran. A12

S1

A12

S1

S2

A13

S3

A12

A13

A23

S2

A13

A23

S3

Caso A

S1

S2

S3

Caso B

A23

Caso C

La cadena cerrada se encuentra fija por el empotramiento (Caso A). Caso b: la cadena se encuentra fija siempre que la dirección del apoyo móvil no pase por el punto fijo. Caso c: La cadena se encuentra fija siempre que las direcciones de los tres apoyos móviles no se corten en un punto. Cálculo de reacciones Se analiza el Caso A, pero lo planteado es válido para cualquiera de ellos.

A12

S1 A13

S3

S2

Σ Rz = 0 Σ Ry = 0 Σ Mcx = 0

Equilibrio absoluto

A23

Si fuera necesario abrir la reacciones de vínculo interno

cadena para conocer en alguna sección resulta:

A12

S1 A13

S3'

las

S2

S3''

A23

De esta forma corresponde plantear las ecuaciones correspondientes a una cadena abierta de 4 chapas. O sea: Rz = 0 Ry = 0 Mcx = 0

Equilibrio Absoluto

21 M A13xFS3’ = 0 ó Σ M A13xFS1FS2FS3” = 0 M A12xFS3’FS1 = 0 ó Σ M A12xFS2FS3” = 0 M A23xFS3” = 0 ó Σ M A23xFS3’FS1FS2 = 0

Ecuaciones de Equilibrio Relativo

Si, particularmente, no interesa cuál es la sección donde se abre la cadena cerrada, entonces, convendrá abrir en una articulación donde las incógnitas son 2. Esto se explicará con mejor detalle al abrir la cadena cerrada de cuatro chapas. Cadenas cinemáticas cerradas de 4 chapas En lo que sigue se analizarán distintas condiciones de sustentación para la cadena. Caso A

Análisis cinemático:

A34

a.

NºGL = n = 4 = NºCV ⇒ la cadena está isostáticamente vinculada.

b.

La chapa S1 está fija por el empotramiento, en particular A12 y A14. Si la dirección del apoyo móvil ubicado en S2 no pasa por A12, entonces S2 está fija, en particular A23. Las chapas S3 y S4 formas un arco de tres articulaciones y, en la medida que A14, A34 y A23 no estén alineadas, entonces S3 y S4 estarán fijos. Al estar las 4 chapas fijas la cadena es cinemáticamente invariable.

S3

S4

A23

A14

S1

S2 A12

Caso B

La chapa S1 está fija por el empotramiento, en particular A14 y A12. Las chapas S4 y S2 se comportan, para la chapa S3, como dos apoyos móviles de dirección A14-A34 y A12-A23. En la medida en que la dirección de dichos apoyos, con el aplicado en S3, no se corte en un punto, entonces S3 estará fija. En particular A34 y A23. De esta forma S2 y S4 también estarán fijas. De esta manera la cadena será cinemáticamente invariable. Caso C

A34

S3

S4

A23

A14

S1

S2 A12

A34

S3

S4

A23 O2

A14 O1

S1

S2 A12

Las chapas S1 y S2 conforman un arco de tres articulaciones. En la medida en que O1, A12 y O2 no estén alineadas, entonces S1 y S2 estarán fijas. En particular A14 y A23. De esta forma S3 y S4 forman también un arco de tres articulaciones y en la medida en que A14-A34-A23 no estén alineados, entonces S3 y S4 estarán fijas. De esta manera la cadena será cinemáticamente invariable.

22 Caso D

A13

A34

O3

S3

S4

A23

A14 O1

S1

S2 A12

Si consideramos a las chapas S2 y S4 como bielas que conectan las chapas S1 y S3, de tal forma que queda definida la articulación relativa entre las chapas S1 y S3 (A13), podemos decir que las chapas S1 y S3 conforman un arco de tres articulaciones. Y en la medida en que O1, A13 y O3 no estén alineados, entonces S1 y S3 estarán fijas, como así también A13, lo que implica que S2 y S4 también están fijas. Por lo tanto la cadena será cinemáticamente invariable. Cabe aclarar que si, por ejemplo, O1 y O3 fueran puntos fijos impropios, ambos definirían una recta impropia. Si A13 fuera también una articulación impropia, entonces los tres puntos estarían alineados en la recta impropia y, en consecuencia, la cadena será cinemáticamente variable. Basta que uno de los tres puntos no sea impropio para que la cadena sea cinemáticamente invariable.

Caso E

A34

La chapa S1 transfiere a la chapa S2 un apoyo móvil de dirección O1S3 A12 pudiendo determinarse el punto A23 S4 fijo de S2 en la intersección de la O 2 dirección del apoyo móvil ubicado A14 en S2 y la dirección O1-A12. Igual S2 S1 proceso deberá seguirse para O1 A12 determinar O4. Las chapas S1 y S3 se comportan como articulación A24 relativa entre S2 y S4 (A24). Si ahora O2-O4-A24 no están alineadas, las chapas estarán fijas, en particular A24 y, en consecuencia, S1 y S3. En consecuencia la cadena será cinemáticamente invariable

O4

A13

Caso F El procedimiento es idéntico al Caso E. Cabe aclarar que siempre es necesario analizar el arco de 3 articulaciones S1-S3 y el S2-S4. Es suficiente que uno de ellos sea cinemáticamente invariable para que la cadena se encuentre fija.

A34 O4

O3

S4

Caso G En este caso, dada la complejidad

A23

S2

A14 O1

S3

S1 A12

O2 A24

A34

S3

S4

A23

A14

S2

S1

23 geométrica que implica el análisis cinemático, directamente se procederá a calcular las reacciones de vínculo y evaluar si el sistema de ecuaciones tiene o no solución. Si el determinante se la matriz de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero, el sistema de ecuaciones tendrá solución, lo que implicará que la cadena es cinemáticamente invariable. El único caso particular de análisis cinemático es verificar que la dirección de los 4 apoyos móviles no se corten en un punto, puesto que, en ese caso, la cadena rotará respecto de dicho punto.

A12

Cálculo de reacciones de vínculo La cadena cinemática cerrada de 4 chapas presenta 4 incógnitas como reacciones de vínculo externo y sólo disponemos de 3 ecuaciones de equilibrio absoluto para su resolución. Si abrimos la cadena en una articulación, entonces, si bien se nos incrementarán las incógnitas a 6 (4 reacciones de vínculo externo y dos de vínculo interno), dispondremos también de 6 ecuaciones por tratarse ahora de una cadena abierta de 4 chapas. En este caso podremos plantear 3 ecuaciones de equilibrio absoluto y 3 ecuaciones de equilibrio relativo. A continuación se desarrollará un ejemplo completo de cálculo de reacciones de vínculo en una cadena cinemática cerrada de 4 chapas procediendo, previamente, a efectuar su análisis cinemático.

A

Análisis cinemático S2

A12

A23

a. NºGL = n = 4 = NºCV entonces, la cadena está isostáticamente vinculada.

S3 A34 A14∞

S1

A

S4

b. Las chapas S1 y S2 conforman un arco de tres articulaciones y como O1, A12 y O2 no están alineados, entonces S1 y S2 están fijas, en particular A14∞ y A23. En consecuencia S3 y S4 conforman, también, un arco de tres articulaciones donde, además A23, A34 y A14∞ no están alineados y, en consecuencia S3 y S4 también están fijas. En consecuencia la cadena es cinemáticamente invariable.

24 Cálculo de reacciones de vínculo S2

A12

Ver medidas en la estructura original

A23

Rz = 0) X1 + X2 + X5 – X5 – 300 kN = 0 Ry = 0) X2 + X4 + X6 – X6 + 30 kN = 0 MAx = 0) –X3 x 10 m + X4 x 2 m + (X6 – X6) x 8 m + (X5 – X5) x 7 m + 1500 kNm + 120 kNm + 50 kNm = 0

S3

A14∞ n

Hasta aquí se han planteado las ecuaciones de equilibrio donde se puede observar que las reacciones de vínculo interno no intervienen pues se simplifican.

S4

S1 n

Ahora planteamos las ecuaciones de equilibrio relativo. Σ F n-nS4 = 0 ⇒ – X6 = 0 M A23xS3 = 0 ⇒ X6 x 4m + X5 x 3m = 0 M A12xS2+S3 = 0 ⇒ X6 x 8m + X5 x 3m +30KN x 4m + + X4 x 2m + X3 x 0m = 0 Reduciendo el sistema total de ecuaciones queda: A

X1 – X3 = 300KN ⇒ X1 = 145KN X2 + X4 = – 30KN ⇒ X2 = 30KN – 30 X3 + 2 X4 = – 1670KN ⇒ X3 = 155KN X6 = 0 4 X6 + 3 X5 = 0 ⇒ X5 = 0 8 X6 + 3 X5 + 2 X4 + 0 X3 = – 120KN ⇒ X4 = – 60KN Diagrama de Cuerpo libre S2

A12

A23

S3

A14∞ n

S4

S1 n

A

25 Si ahora despiezamos la estructura en sus chapas componentes.

S2

A12

A23

S3

S1

S4

A

Analicemos, para finalizar, la cadena cinemática cerrada de dos chapas Si, inicialmente, analizamos que NºGL = NºCV para que la vinculación sea isostática, en este caso resulta NºGL = n = 2 = Nº CV, o sea: Se entiende que si la cadena cerrada de tres chapas se comporta como S1 una sola chapa rígida, entonces la cadena cerrada de dos chapas con A12 A12 una articulación menos resulta aún más rígida. Ahora, al calcular un S2 apoyo fijo como vínculo externo, la cadena puede rotar respecto de O2 O2 y, en consecuencia, la cadena será cinemáticamente variable. En consecuencia, la primera conclusión que obtenemos es que la chapa necesita como mínimo de 3 condiciones de vínculo externo. O sea, De esta forma, si la cadena estuviera cargada, aplicando las 3 S1 A12 ecuaciones de equilibrio absoluto es posible determinar las tres A12 reacciones de vínculo externo. S2 O2

Si ahora abrimos la cadena en una articulación aparecerán 2 reacciones de vínculo interno pero dispondremos de una sola ecuación de equilibrio interno y, en consecuencia, quedaría indeterminada una reacción de vínculo interno, tal como se muestra en el siguiente ejemplo. Si calculamos las reacciones de vínculo externo y abrimos la A12 cadena en una articulación resulta

S1

S2

A12

26 Si planteamos ecuación de equilibrio relativo de la chapa S2 respecto de A12 resulta M A12xS2 = 0 ⇒ – X1 x 4m + X2 x 0m = 0 ⇒ X1 = 0 Quedando indeterminado el valor de la incógnita X2.

S1

Si se hubiera planteado la ecuación de equilibrio relativo de la chapa S1 respecto de A12 sería M A12xS1 = 0 ⇒ 10KN x 4m – 10KN x 2m – 20KNm + X1 x 4m + + X2 x 0m = 0 ⇒ X1 = 0 Quedando, nuevamente, indeterminado el valor de X2. En consecuencia, la cadena cerrada de dos chapas es estáticamente indeterminada por vínculo interno y será de estudio en cursos superiores, ya que en el presente curso de Estabilidad no se cuenta con las herramientas necesarias para poder resolver la indicada indeterminación.

A12

S2

Comentario que se desprende del análisis cinemático de un cuerpo vinculado en el espacio B

A

Al realizar dicho análisis vimos que al fijar dos puntos del cuerpo, el mismo podría rotar respecto de un eje determinado entre dichos puntos (AB es el eje de rotación). En consecuencia, para inmovilizar dicho cuerpo, había que aplicarle una biela cuya dirección no cortara al eje AB. En consecuencia, la conclusión que se puede obtener es que: Un cuerpo vinculado en el espacio será cinemáticamente invariable cuando no exista una recta que corte las seis direcciones de las bielas simultáneamente.

Método de prueba de carga nula Cuando la situación de vinculación que tenga un cuerpo en el espacio, o bien, una cinemática en el plano, haga que no sea tan sencillo evaluar si la misma conduce o inmovilización del cuerpo o cadena cinemática, es posible aplicar, en reemplazo del cinemático, el denominado Método de prueba de carga nula, que consiste en proceder a las reacciones de vínculo en la estructura descargada.

cadena no a la análisis calcular

Es lógico y simple de entender que, en dicho caso, todas las reacciones de vínculo deberán ser nulas. En este caso se tratará de un sistema homogéneo de ecuaciones que, según las reglas del álgebra, siempre será compatible, pudiendo arrojar solución única (todas las incógnitas valen cero) o bien, infinitas soluciones. Este resultado dependerá de si el determinante asociado a la matriz de los coeficientes es distinto de cero (solución única) o si es igual a cero (infinitas soluciones). A continuación se analizarán algunos ejemplos donde se han reemplazado los vínculos por sus reacciones.

27 1) 1) Rx = 0) X1 + X3 + X6 = 0 ⇒ X3 + X6 = 0

L1 L2

2) Ry = 0) X4 = 0 ⇒ X4 = 0 3) Rz = 0) X2 – X5 = 0 ⇒ X5 = 0

L3

O

4) MOx = 0) X2 x L2 – X4 x L3 = 0 ⇒ X4 = 0 4) MOy = 0) – X2 x L1 = 0 ⇒ X2 = 0 4) MOz = 0) – X1 x L2 + X4 x L1 = 0 ⇒ X1 = 0

Obsérvese que, en este caso: la ecuación 2) y 4) informan que X4 =0 pero de la 1) surge X3 + X6 = 0 ó X3 = - X6, pero quedan indeterminados sus valores puesto que X3 = -X6 admite infinitas soluciones. En consecuencia, el sistema es “CINEMÁTICAMENTE VARIABLE” 2) Si en el ejemplo anterior X6 es de dirección Y en vez de X, y planteamos el sistema de ecuaciones, resulta. 1) Rx = 0) X1 + X3 = 0 ⇒ X3 = 0 2) Ry = 0) X4 + X6 = 0 ⇒ X6 = 0 3) Rz = 0) X2 – X5 = 0 ⇒ X5 = 0 4) MOx = 0) X2 x L2 – X4 x L3 = 0 ⇒ X4 = 0 4) MOy = 0) – X2 x L1 = 0 ⇒ X2 = 0 4) MOz = 0) – X1 x L2 + X4 x L1 = 0 ⇒ X1 = 0 Ahora el sistema es “CINEMÁTICAMENTE INVARIABLE”.

Ing. Marco