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TRABAJO PRÁCTICO Nº 1: FUNCIONES ASIGNATURA: MATEMATICA I (Lic. en Economía) U.N.R.N. – AÑO: 2015 ¿Sabías que... Newton (1642-1727) fue el primero que se aproximó al concepto de función, utilizando el término fluyente para cualquier relación entre variables. Leibniz (1646-1716) se sirvió por primera vez de la palabra función para indicar las cantidades que dependen de una variable. También introdujo las palabras constante, variable y parámetro. La forma de expresar una función como f(x), la más utilizada en la actualidad, se debe a Euler (1707-1783).

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Concepto de función – Formas de expresarla

1) Dados los siguientes gráficos, indicar en cada caso si representan una función f , f : A → R . Justificar. En el caso de las funciones: analizar si son inyectivas, suryectivas o biyectivas. Justificar.

2) Construir funciones que representen las situaciones siguientes: a) Un rectángulo tiene un área de 160 m2. Expresar su perímetro como función de uno de sus lados. b) Un depósito de azúcar tiene la siguiente tarifa: si la compra es hasta 50kg, el costo es de 35 centavos el kilo, y si es superior a 50kg, es de 30 centavos el kilo. Expresar el costo en función de los kilos comprados. c) El sueldo de un vendedor de una empresa se compone de un sueldo básico de $500 más una comisión si sus ventas superan los $6000 mensuales, que consiste en un 8% sobre el excedente de los $6000 que haya vendido. Definir la función que representa el sueldo en función del monto mensual vendido. d) Una empresa de electricidad tiene la siguiente tarifa mensual: un cargo fijo de $5, más 50 centavos por kw hasta un consumo de 120 kw mensuales y luego 45 centavos por kw excedente. Calcular cuánto paga el usuario A que consumió 97 kw en el mes y el usuario B que consumió 234 kw en el mes. Definir una función que permita calcular una factura cualquiera. 3) Hallar los ceros (o raíces) y el dominio de cada función: a) h( x ) =

b) k ( x) = x 2 − 5

x+3

f) p(u ) = ln(u ) + 1

e) f ( x ) = 2 x + 1 i) m( x ) = 3 2 x − 5 +

1 x

j) h( x) =

2x − 7 x+7

1 t g) h( x) = 2 x − 5 c) f (t ) =

k) f ( x ) =

5 x +1 2

2 x −1 h) g ( x) = ln(3x − 2) d) g ( x ) =

l) g ( x) =

x x −1 2

4) Evaluar cada función donde se indica.

2 x + 1 si x < 0 2 x + 2 si x ≥ 0

a) f ( x) = 

i) f (−1) ii) f (0) iii) f (2) iv) f (t 2 )

 x + 1 si

c) h( x) = 

x 1 i) g (−2) ii) g (0) iii) g (1) iv) g (g (1))  x + 4 si x ≤ 5 ( x − 5) 2 si x > 5

d) s ( x) = 

i) s(−3) ii) s(0) iii) s(5) iv) s(10) + 2s(−3)

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Gráfica de funciones

5) a) Dar un ejemplo gráfico de una función par con dominio en el intervalo [–5 ; 5] que tenga dos raíces reales distintas. b) Dar un ejemplo gráfico de una función par cuyo dominio sea R y cuya imagen sea (−∞; 4). c) Dar la razón por la cual una función par no puede ser biyectiva. 6) Graficar las funciones del ejercicio 4. 7) A partir del gráfico de f(x), graficar g(x) sabiendo que: a) g ( x) = f (− x)

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b) g ( x) = f ( x) − 1

Operaciones entre funciones

8) Hallar ( f + g )( x) , ( f − g )( x) , ( f ⋅ g )( x) , ( f / g )( x) y

a) f ( x) = 2 x − 7 c) f ( x ) =

1 x

;

; g ( x) = 3x + 5

g )(x) , y dar los dominios de cada una:

b) f ( x) = 2 x 2 + 1 ;

g ( x) = x + 2

9) Hallar la función inversa de la función

(f

d) f ( x ) = 4( x − 1) 2

a) f ( x ) =

g ( x) = 2 x + 5 2 ; g ( x) = x −1

1 5 1 ⋅ 2 x − 3 + 9 ; b) f ( x) = ⋅ 3 2 − 7 x − 4 7 5

10) Sea C = f (x) el costo de un campo de “x” hectáreas. Explicar qué representan las siguientes cantidades

f (600) y f −1 (10000) . Si I = g (C ) expresa el importe en concepto del impuesto que debe pagarse por un campo que cuesta C pesos, explicar que representa g f y, en particular, g f (1500) . •

Función lineal

10) Una agencia de alquiler de autos (A) cobra 14 dólares más 15 centavos de dólar por kilómetro. Una segunda agencia (B) cobra 20 dólares más 5 centavos por kilómetro. ¿Qué agencia ofrece el mejor trato? 11) Una pieza de equipo comprada hoy en 8000 dólares se devalúa linealmente hacia el valor de chatarra de 200 dólares después de 20 años. En cambio otra pieza de equipo comprada hoy en 8560 dólares se devalúa linealmente hacia el valor de chatarra de 600 dólares después de 16 años. a) Escriba una fórmula del valor V para cada pieza en función del tiempo. b) Determine cuál de las dos piezas se devalúa más rápidamente. c) Determine cuándo, en los próximos 16 años, valdrán lo mismo. d) Haga un gráfico de la situación e interprete en él cada respuesta. 12) Hallar las coordenadas del punto de intersección (gráfica y analíticamente) de las rectas: a) x – y – 7 = 0 ,y, x + y = 5 b) 6 y + 24 = - 4 x ,y, y – x – 1 = 0 • Función Cuadrática 13) Para cada una de las siguientes funciones de segundo grado, hallar el vértice, hallar las intersecciones con los ejes X e Y, escribirla en sus otras dos formas y graficar, indicando dominio, imagen e intervalos de crecimiento: 9 a) g ( x) = x 2 − 6 x − 7 b) m( x) = x 2 − x + 2

2 d) n( x) = 2 x − 1 2

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1  3   x +  4  2  2 e) p( x) = 6 x + 4 x

f) q ( x ) = −( x + 1) 2 +

c) h( x) =  x −

3

1 2

14) Para cada recta y parábola: i) Encontrar los puntos de intersección de la recta con los ejes cartesianos. ii) Encontrar los puntos de intersección de la parábola con los ejes cartesianos. iii) Encontrar las coordenadas de los puntos de corte de la recta y la parábola. iv) Graficar. a) y = 2 x + 1 ; y = − x 2 + 3 b) y = 3 x + 5 ; y = 2 x 2 + 1 c) y = −3 x − 7 ; y = x 2 − x + 1 •

d) y = 2 x + 3 ; x − 2 x + 3 2

Funciones Exponencial y Logarítmica

15) Encuentrar el dominio y las raíces de las siguientes funciones:

(

a) f ( x) = log x 2 − 4 d) m( x) = e x −4

)

b) g ( x) =

1 ln( x)

c) h( x) =

e) p( x) = e x − 4

log( x − 2) log( x) − 1

f) t ( x ) = 1 − ln x

16) Restringir el dominio y/o imagen de cada función para poder hallar las funciones inversas, indicando dominio e imagen de cada una. Graficar. a) f ( x) = log(x) + 2 c) h( x) = ln( x − 1) − 2 b) g ( x) = e x +1 17) Resolver los siguientes problemas: a) La densidad de población a x km del centro de una ciudad viene dada por la función D ( x ) = 8 ⋅ e miles de personas por km2. ¿Cuál es la densidad en el centro de la ciudad? ¿Y a 7 km. del centro?

−0.07 ⋅ x

0.04⋅t

b) La población proyectada p de una ciudad está dada por p(t ) = 150000 ⋅ e , donde t es el nro. de años después de 1998. Pronostique la población en el año 2011 y 2020. ¿Qué crecimiento hubo desde el año 2000 a hoy? c) Un elemento radioactivo decae de modo que después de t días el número de miligramos presentes N está −0.06.t

. ¿Cuántos miligramos están presentes inicialmente? ¿Cuántos al cabo dado por N (T ) = 100 ⋅ e de 100 días? ¿Se desintegrará completamente el elemento en algún momento? 18) La fórmula de Ehrenberg ln(P) = ln(2.4) + 1.84 A es una fórmula empírica que relaciona la altura A en metros con el peso P en kg. de niños entre 5 y 13 años de edad. La fórmula ha sido verificada en muchos países. a) Expresar A como función de P . b) Expresar P como función de A . c) Hallar el peso de un niño de 1,2 metros de altura. • Funciones Trigonométricas 19) Expresar en radianes: a) 30º b) 90º c) 120º d) 210º e) – 10º f) 45º g) 150º h) 360º 20) Expresar en grados sexagesimales: a)

3 π π rad b) rad 2 8

c) −

π

12

rad d)

π

3

rad e)

3 π rad 4

21) Representa las funciones f(x)=sen(x), cos(x) y tg(x) y analiza sus gráficas. a) Dominio b) Imagen c) Continuidad d) Crecimiento e) Máximos y mínimos f) Raíces g) Periodicidad 22) Resolver las siguientes ecuaciones para 0 ≤ x ≤ 2π (2 ) = 1 a) c) 3 ( ) + 3 = e) senx + cos x = 1

: b) − =0 ( )−1 = 0 d) 4 4 f) 2 sen x − 9 sen 2 x + 4 = 0

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Funciones Económicas

23) Determinar la cantidad de artículos x que se deben producir en cada uno de los siguientes casos, para que la oferta sea igual a la demanda: a) O( x) = x + 48 ; D( x) = −3 x + 88 b) O( x) = 4 x + 3 ; D( x) = 153 − 2 x 24) Por un viaje de 15 km una empresa cobra $95 y por uno de 40 km cobra $170. Suponiendo que la función de oferta de la empresa es lineal, a) escriba la expresión de la función de oferta, b) Grafique la función, c) Indique dominio e imagen. 25) Para un taller de cerámica los costos totales de producción están dados por la siguiente ecuación: C ( x) = 41x + 800 , en donde x representa el número de unidades producidas. ¿Qué significado tienen los números 41 y 800 en la ecuación? ¿Cuántas unidades se deben producir para que los costos totales sean como máximo $7500? 26) Un fabricante puede vender un cierto producto por 110$ cada unidad. Sus gastos fijos son 7500$ y sus costos de producción son 60$ por unidad. a) ¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para llegar al punto de beneficio nulo? b) ¿Cuál es el beneficio o pérdida del fabricante si produce 100 unidades? c) ¿Cuántas unidades debe vender para obtener un beneficio de 1250$? 27) Una hostería paga $780 en concepto de impuestos y servicios fijos por día. Tiene un solo tipo de habitación, cuyo precio es $250 por día. La suma de los costos diarios por habitación ocupada es de $55. Determinar: a) La función de costo, la función de ingreso y la función de beneficio. b) El punto de equilibrio. c) Graficar en un mismo gráfico las funciones de ingreso y de costo, indicando el punto de equilibrio. d) Si un día se ocupan 3 habitaciones, ¿gana o pierde dinero? ¿cuánto? e) Si desea ganar por lo menos $195 diarios, ¿cuántas habitaciones se deberían ocupar? 28) Una pequeña agencia de turismo paga un alquiler mensual del local de $1500 y $700 adicionales en concepto de impuestos fijos mensuales. Vende un solo tipo de excursión, cuyo precio es $70. La suma de los costos por turista es de $15. Determinar: a) La función de costo, la función de ingreso y la función de beneficio. b) El punto de equilibrio. c) Graficar en un mismo gráfico las funciones de ingreso y de costo, indicando el punto de equilibrio. d) Si vende la excursión a 25 turistas por mes, ¿gana o pierde dinero? ¿cuánto? e) Si desea ganar por lo menos $2200 mensuales, ¿cuántos turistas tiene que llevar de excursión? 29) El costo de fabricar 10 bolsas de cartón al día es de $2,20, mientras que fabricar 20 bolsas del mismo tipo cuesta $ 3,80. Suponiendo que se trate de un modelo de costo lineal, determine la fórmula correspondiente a producir x bolsitas de papel en el día y construya su gráfica. • Análisis de gráficas de funciones diversas 30) Analizar para las funciones graficadas: a) dominio, b) imagen, indique si la imagen es un conjunto acotado y, de corresponder, si tiene ínfimo, mínimo, supremo o máximo, c) ceros, d) paridad, e) si son inyectivas, suryectivas o biyectivas, f) intervalos de crecimiento y decrecimiento, g) intervalos de positividad y negatividad, h) ¿tienen función inversa? Si-no, ¿por qué?

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