SOLUCIONES rectas 1. Sea A(−1, 8, 7), B(4, 5, 8) y C(4, 6, 7). Determinar los vectores de dirección de las rectas AB , BC y CA . Hallar las ecuaciones paramétricas de dichas rectas. Solución x = −1 + 5λ A = (− 1,8,7 ) AB = (4,5,8) − (− 1,8,7 ) = (5,−3,1) : rAB ≡ : y = 8 − 3λ AB = (5,−3,1) z = 7 + λ x=4 B = (4,5,8) BC = (4,6,7 ) − (4,5,8) = (0,1,−1) : rBC ≡ : y = 5 + λ BC = (0,1,−1) z = 8 − λ
x = 4 − 5λ C = (4,6,7 ) CA = (− 1,8,7 ) − (4,6,7 ) = (− 5,2,0 ) : rBC ≡ : y = 6 + 2λ CA = (− 5,2,0 ) z = 7
2. Demostrar que los puntos A(−1, 8, 7), B(4, 1, 5) y C(−7, 6, 5) no están alineados. Solución Una forma distinta de comprobar la linealidad de tres puntos es calcular la ecuación de la recta que pasa por dos de esos puntos, y comprobar si el otro punto la cumple. Si la cumple los puntos están alineados en caso contrario no lo están. r x = −1 + 5λ d r = AB = (4 − ( −1),1 − 8,5 − 7 ) = (5,−7,−2 ) rAB : : y = 8 − 7λ A = (− 1,8,7 ) z = 7 − 2λ despejando el parámetro en cada ecuación e igualando se obtiene la ecuación continua de la recta AB x +1 y − 8 z − 7 = = 5 −7 −2 se sustituye el punto C en la ecuación continua de la recta AB −7 + 1 6 − 8 5 − 7 −6 2 = = : ≠ ≠1 5 −7 −2 5 7 Los puntos no están alineados.
r
3. Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta r cuya determinación lineal es (A, v ), siendo: r a) A(−5,4,0) y v = (2,−5,6). r b) A(−5,4,0) y v =(2,−5,6) r c) A(0,0,0) y v = (−1,4,0) r d) A(0,0,1) y v = (0,1,0) r e) A(−1,2,3) y v = (0,1,0) Solución x = − 5 + 2λ
r a) A(−5,4,0) y v = (2,−5,6): r ≡ y = 4 − 5λ
z = 6λ
x = −λ
r b) A(0,0,0) y v = (−1,4,0): r ≡ y = 4λ
c)
z=0 x = 0 r A(0,0,1) y v = (0,1,0): r ≡ y = λ z =1
x = −1
r d) A(−1,2,3) y v = (0,1,0): r ≡ y = 2 + λ z=3
4. Sean las rectas
x = −3t + 8 r ≡ y = 4 + t ; r’ ≡ z = 7 t + 1
x = −7 − 9 t y = 4 t + 9 ; r’’ ≡ z=6 Determinar las ecuaciones continuas respecto de cada una de ellas.
x = −8 t − 2 y=2 z = −1
Solución Se despeja el parámetro en cada una de la ecuaciones y se iguala x −8 x = −3t + 8 : t = − 3 x −8 z −1 r ≡ y = 4+t :t = y−4 ⇒ = y−4 = 3 7 − z −1 z 7 t 1 : t = + = 7 x+7 x = −7 − 9 t : t = − 9 y−9 x +7 y−9 r' ' ≡ y = 4t + 9 : t = = ;z−6 = 0 ⇒ 4 −9 4 z=6
x = −8t − 2 r ' ' ' = y = 2 ⇒ y − 2 = 0; z + 1 = 0 z = −1 x −1 y + 2 z 2 x + 1 3y − 2 x−2 z+2 = = ; r' ≡ = = z + 5 ; r' ' ≡ = : y +1 = 0 −3 2 3 3 −1 4 −5 Determinar las ecuaciones paramétricas respecto de cada una de ellas.
5. Sean las rectas r ≡
Solución Cada término de la ecuación se iguala al parámetro y se despeja la variable x −1 −3 = λ x = 1 − 3λ y + 2 x −1 y + 2 z r≡ = = ⇒ = λ r ≡ y = − 2 + 2λ −3 2 3 2 z = 3λ z =λ 3
2x + 1 3 =λ 3y − 2 2 x + 1 3y − 2 r' ≡ = = z+5⇒ =λ 3 −1 −1 z+5 = λ
1 3 x = − 2 + 2 λ 2 λ r' ≡ y = − 3 3 z = −5 + λ
6. Calcular la ecuación continua y una determinación lineal de cada una de las siguientes rectas x + z = 2 x = 3y + 8 y = 3x + 2 x = 6z + 1 r ≡ , r’ ≡ , r’’ ≡ , r’’’≡ z = − 6 y + 2 z = − 6 x + 5 y = 7 x − z = 4 Solución r, de cada ecuación se despeja la variable común “y”, igualando las ecuaciones resultantes x −8 y = 3 x = 3y + 8 x −8 z−2 x −8 y −0 z − 2 : : : =y= = = z 2 − 3 3 1 −6 −6 z = −6 y + 2 y = −6
P = (8,0,2 ) determinación lineal de r: r d r = (3,1,−6 )
y−2 x = 3 : z −5 x = −6 P' = (0,2,5) determinación lineal de r’: r d r ' = (1,3,−6 ) y = 3x + 2 r’ ≡ z = −6 x + 5
:
x=
y−2 z−5 = −6 3
:
x −0 y−2 z −5 = = −6 1 3
x = 6z + 1 , dela primera ecuación se despeja z y=7
r’’ ≡ x −1 z = 6 y − 7 = 0
:
x −1 z − 0 = 6 1 y − 7 = 0
:
x −1 z − 0 = ;y−7 = 0 6 1
P' ' = (1,7,0 ) determinación lineal de r’: r d r '' = (6,0,1) x + z = 2 r’’’≡ , se resuelve el sistema: x − z = 4 P' ' ' = (3,0,−1) determinación lineal de r’’’: r d r ''' = (0,1,0 )
x=3 z = −1
:
x − 3 = 0; z + 1 = 0
7. Sea A(4, −1, 3), B(2, 5, 8) y C(5, −1, 6). Hallar las ecuaciones de las rectas medianas del triángulo ABC.
Solución Mediana, recta que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto. Punto medio de un segmento, semisuma de los extremos del segmento.
9 4 + 5 − 1 + (−1) 3 + 6 9 , , M: Punto medio de AC: = ,−1, 2 2 2 2 2 2 + 5 5 + (−1) 8 + 6 7 N: Punto medio de BC: , , = ,2,7 2 2 2 2 11 4 + 2 −1+ 5 3 + 8 P: Punto medio de AB: , , = 3,2, 2 2 2 2
Mediana de A: rAN
Punto : A( 4,−1,3) 7 1 1 ≡ Vector : AN = − 4,2 − (−1),7 − 3 = − ,3,4 = (− 1,6,8) 2 2 2 x − 4 y +1 z − 3 = = rAN ≡ −1 6 8
Punto : B(2,5,8) 9 9 7 1 5 Mediana de B: rBM ≡ Vector : BM = − 2,−1 − 5, − 8 = ,−6,− = (6,−12,−7 ) 2 2 2 2 2 x − 2 y −5 z −8 rBM ≡ = = 6 − 12 −7
Mediana de C: rCP
Punto : C(5,−1,6) 1 1 11 ≡ Vector : CP = 3 − 5,2 − ( −1), − 6 = − 2,3,− = (− 4,6,−1) 2 2 2 x − 5 y +1 z − 6 rCP ≡ = = −4 6 −1
8. Ecuación de la recta que pasa por (1,−1,0) y es paralela a la recta:
x −1 y z = = . 2 −1 3
Solución Se pide calcular la ecuación de una recta s conocida una paralela r y un punto de s. La determinación lineal de s vendrá dada por A = (1,−1,0 ) r s : r d s = d r = (2,−1,3) s≡
x −1 y +1 z = = 2 3 −1
9. Ecuación de la recta que pasa por (3, 0, 2) y (−4, 1, 3). Solución
r r AB = b − a = (− 4 − 3, 1 − 0, 3 − 2 ) = (− 7, 1, 1) Determinación lineal: A = (3, 0, 2 ) x −3 y−0 z−2 = = rAB ≡ −7 1 1
r r r r 10. Ecuación de la recta que pasa por (1, 0, −2) y es paralela al vector v =3 u 1+ u 2−2 u 3. Solución r d = vr = (3, 1, − 2 ) Determinación lineal: A = (1, 0, − 2 ) x − 1 y − 0 z − (−2) = = r: 3 1 −2 x −1 z+2 =y= r: 3 −2
11. Ecuaciones de las rectas que son paralelas a los ejes y pasan por (2, 3, −4). Solución • Paralela a OX: r r d = i = (1, 0, 0 ) Determinación lineal: A = (2, 3, − 4 ) x = 2 + λ y=3 Paramétricas: y = 3 Ecuaciones reducidas: z = −4 z = −4 •
Paralela a OY:
r r d = j = (0, 1, 0) Determinación lineal: A = (2, 3, − 4) x=2 Paramétricas: y = 3 + λ z = −4
x=2 Ecuaciones reducidas: z = −4
•
Paralela a OZ:
r r d = k = (0, 0, 1) Determinación lineal: A = (2, 3, − 4 ) x=2 Paramétricas: y = 3 z = −4 + λ
x = 2 Ecuaciones reducidas: y = 3
12. Dados A(2, 6, −3), B(3 , 3, −2), hallar los puntos de la recta AB que tengan al menos una coordenada nula. Solución Se calcula la recta AB y se buscan los punto de intersección con los planos coordenados. Recta AB.
r r AB = b − a = (3 − 2, 3 − 6, − 2 − (− 3)) = (1, − 3, 1) Determinación lineal: A = (2, 6, − 3) x −2 y−6 z+3 = = rAB ≡ −3 1 1 1ª componente nula (x = 0). x − 2 y − 6 z + 3 0 − 2 y − 6 z + 3 − 2 = = = = : = 1 1 : −3 1 −3 1 − 2 = x=0
y−6 : y = 12 −3 ⇒ P1 = (0, 12, − 5) z+3 : z = −5 1
2ª componente nula (y = 0). x−2 x − 2 y − 6 z + 3 x − 2 0 − 6 z + 3 = 2:x = 4 = = : 1 ⇒ P2 = (4, 0, − 1) = = 1 −3 1 : 1 1 2 = z + 3 : z = −1 −3 y=0 1
3ª componente nula (z = 0). x−2 = 3: x = 5 x − 2 y − 6 z + 3 x − 2 y − 6 0+ 3 = = 1 : : ⇒ P3 = (5, − 3, 0) = = 1 1 −3 1 1 y − 6 = 3 : y = −3 −3 z=0 −3
13. Ecuación de la radicación de rectas de vértice Q(−1, 3, 1). Recta de dicha radicación paralela a y−2 z+3 r≡x−3 = = . 3 −1 Solución Radicación de vértice Q: x − (−1) y − 3 z − 1 = = ∀α, β, γ ∈ R α β γ La recta de esta radicación paralela a r tendrá igual vector de dirección x +1 y − 3 z −1 = = −1 1 3
14. Ecuación de la radicación de rectas de vértice V(−7, 3, −4). Recta de esa radicación perpendicular al plano 3x − 8y + z = 0. Solución Radicación de vértice V: x − (−7 ) y − 3 z − (−4 ) = = ∀α, β, γ ∈ R α β γ La recta de dicha radicación perpendicular al plano π, tendrá como vector de dirección un vector r paralelo al vector característico de π n = (3, − 8, 1) x +7 y−3 z+4 = = −8 3 1
15. Ecuación de la recta perpendicular a las recta r ≡
x −5 y−3 z−2 x − 2 y +1 z y = = ys≡ = = 8 7 3 5 2 4
que pasa por (1, 2, 0). Solución El vector de dirección de la recta buscada (t) se obtiene como producto vectorial de los vectores de dirección de las dos rectas. r r r 2 4 8 4 8 2 = (− 2, − 12, 10) = 2 ⋅ (− 1, − 6, 5) d t = d r × d s = (8, 2, 4)× (7, 3, 5) = ,− , 3 5 7 5 7 3 A = (1, 2, 0) x −1 y − 2 z − 0 t : r :t ≡ = = ( ) d 1 , 6 , 5 = − − 5 −6 −1 t
