Soluciones Ejercicio 1 Una onda armónica que viaje en el sentido positivo del eje OX tiene una amplitud de 8,0 cm, una longitud de onda de 20 cm y una frecuencia de 8,0 Hz. El desplazamiento transversal en x = 0 para t = = es 0. Calcular: a) El número de onda. El número de onda viene dado por:

k=

2π 2π = = 10π m −1 λ 0, 2

b) El periodo y la frecuencia angular. El periodo es el inverso de la frecuencia:

T=

1 1 = = 0,125s f 8

Por otra parte el pulso o frecuencia angular es:

ω = 2π f = 16π rad / s c) La velocidad de fase de la onda. La velocidad de fase de una onda también es conocida como la velocidad de propagación:

λ = vp ⋅ T → vp =

λ = 1, 6m / s T

d) La ecuación de la onda. La ecuación de una onda armónica viene determinada por:

y(x,t) = Asen(ω t − kx + ϕ ) El signo menos de kx viene dado porque la onda se desplaza en el sentido positivo del eje x. Atendiendo a los datos tenemos:

y(x,t) = 0, 08sen(16π t − 10π x + ϕ ) Para calcular la fase atendemos al dato de que en t = 0 y x = 0 el desplazamiento trasversal es 0, es decir: 1

0 = 0, 08sen(16π ⋅ 0 − 10π ⋅ 0 + ϕ ) → 0 = sen(ϕ ) → ϕ = 0 Por tanto la ecuación de la onda queda:

y(x,t) = 0, 08sen(16π t − 10π x) Ejercicio 2 Una onda transversal se propaga por una cuerda según la ecuación:

y(x,t) = 0, 40 cos(100t − 0, 5x) en unidades del Sistema Internacional (SI). Calcular: a) La longitud de onda. En primer lugar observaremos que la ecuación viene dada con la función coseno en vez de la función seno como es habitual. Si la quisiéramos expresar de la forma habitual habría que tener en cuenta que la función coseno tiene un desfase con respecto a la π función seno de . Por tanto la onda también podría expresarse como: 2

π ) 2 Sin embargo expresar la onda de una u otra forma no cambia el resultado del ejercicio. Para calcular la longitud de onda nos fijaremos en la ecuación general del movimiento armónico: y(x,t) = 0, 40sen(100t − 0, 5x +

y(x,t) = Asen(ω t − kx + ϕ ) Por comparación tenemos que:

0, 5 = k Y por tanto tenemos que:

k=

2π 2π →λ= = 4π m λ k

b) La velocidad de propagación. La velocidad de propagación viene dada por:

vp = λ f Para obtener la frecuencia volvemos a comparar la onda dada con la ecuación general, teniendo que: 2

ω = 100rad / s Y por tanto:

ω = 2π f → f =

ω 100 50 = = Hz 2π 2π π

Quedando la velocidad de propagación:

v p = 4π ⋅

50 = 200m / s π

c) El estado de vibración de una partícula situada a x = 20 cm en el instante t = 0,5 s. Puesto que la ecuación de la onda está expresada en unidades del sistema internacional habrá que expresar la elongación x en metros:

x = 0, 2m Hecho esto sólo queda sustituir en la ecuación de la onda:

y(0, 2;0, 5) = 0, 40sen(100 ⋅ 0, 5 − 0, 5 ⋅ 0, 2 +

π π ) = 0, 40sen(50 − 0,1 + ) = 0, 37m 2 2

d) La velocidad transversal de la partícula anterior. Para calcular la velocidad transversal de la partícula anterior tendremos que derivar la ecuación de la onda:

π dy d(0, 40sen(100t − 0, 5x + 2 ) π π v= = = 0, 40 ⋅100 cos(100t − 0, 5x + ) = 40 cos(100t − 0, 5x + ) dt dt 2 2 Sustituyendo para x = 0,2 m y t = 0,5 obtenemos:

v(0, 2;0, 5) = 40 cos(100 ⋅ 0, 5 − 0, 5 ⋅ 0, 2 +

π π ) = 40 cos(50 − 0,1 + ) = 14, 3m / s 2 2

Ejercicio 3 La ecuación de una onda viene dada por la expresión:

y(x,t) = 0, 05 cos(10π t − π x) en el sistema internacional. a) Calcula la diferencia de fase que existirá entre dos puntos del medio de propagación separados por una distancia de 0,25 m. 3

En primer lugar reescribiremos la ecuación de la onda con la función seno, aunque el ejercicio perfectamente puede completarse usando la ecuación original.

y(x,t) = 0, 05sen(10π t − π x +

π ) 2

Para calcular la diferencia de fase entre los dos puntos dados en primer lugar atenderemos al estado de vibración de cada uno de ellos. Estado de vibración del punto 1:

y(x,t) = 0, 5sen(10π t − π x1 +

π ) 2

Estado de vibración del punto 2:

y(x,t) = 0, 5sen(10π t − π x2 +

π ) 2

Nótese que la variable t de la ecuación es la misma en los dos puesto que los vamos a comprar en los mismos instantes de tiempo. Para calcular la diferencia de fase restamos la fase de ambas partículas:

π π δ = Fase(x1 ) − Fase(x2 ) = (10π t − π x1 + ) − (10π t − π x2 + ) = π x2 − π x1 = π (x2 − x1 ) 2 2 Además como el enunciado dice que los puntos están separados una distancia de 0,25 m tenemos que: x2 − x1 = 0, 25m Y por tanto:

δ = π ⋅ 0, 25 =

π rad 4

b) ¿Con qué velocidad se propaga la onda? De nuevo volvemos a resolver el ejercicio mediante comparación con la ecuación general del movimiento armónico:

y(x,t) = Asen(ω t − kx + ϕ ) Puesto que la velocidad de propagación de una onda queda dada por:

vp = λ f Tendremos que calcular los valores de la frecuencia y de la longitud de onda. 4

Para calcular la frecuencia tenemos que:

ω = 10π → ω = 2π f → f =

ω 10π = = 5Hz 2π 2π

Y para la longitud de onda:

k=π →k=

2π 2π 2π →λ= = = 2m λ k π

Por tanto la velocidad de propagación queda como:

v p = 2 ⋅ 5 = 10m / s c) ¿Cuánto tiempo tarda la onda en recorrer la distancia que separa los puntos citados? El problema nos pide el tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia de 0,25 m. Para ello emplearemos la ecuación de la velocidad de propagación, teniendo que:

t=

x 0, 25 = = 0, 025s vp 10

Ejercicio 4 Dos ondas iguales de ecuación:

y(x,t) = 0, 5sen(40π t − 4π x +

π ) 2

se propagan por el mismo medio. Calcular: a) Su frecuencia y su longitud de onda. Para calcular la frecuencia y la longitud de onda comparamos la ecuación de la onda dada con la ecuación general de una onda armónica:

y(x,t) = Asen(ω t − kx + ϕ ) Por tanto:

ω 40π = = 20Hz 2π 2π 2π 2π 2π k = 4π m −1 → k = →λ= = = 0, 5m λ k 4π

ω = 40π rad / s → ω = 2π f → f =

b) La velocidad de propagación. 5

v p = λ f = 10m / s c) Escribe la onda que resulta de la interferencia de las ondas anteriores. Sabemos que la ecuación para la interferencia de dos ondas coherentes es:

⎧ y1 = Asen(ω t − kx1 ) ⎫ x1 + x2 ⎞ ⎛ ⎛ x − x1 ⎞ con A'=2Acos ⎜ k 2 ⎨ ⎬ = A' sen ⎜⎝ ω t − k ⎟ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎩ y2 = Asen(ω t − kx2 ) ⎭ Y por tanto tenemos que:

y(x,t) = A' sen(40π t − 4π x) con:

A' = 2 ⋅ 0, 5 cos(4π x) d) El resultado de la interferencia de estas ondas en un punto que dista x1 = 0, 25m del foco emisor de la primera y x2 = 0, 5m del centro emisor de la segunda. La interferencia de dos ondas puede ser totalmente constructiva o totalmente destructiva en función del valor de x2 − x1 = 0, 25m Puesto que la longitud de onda λ tiene valor 0,5 m tenemos que la diferencia entre x1 y x2 es un número impar de semilongitudes de onda:

x2 − x1 =

λ 2

y por tanto la onda será totalmente destructiva. Ejercicio 5 Dos ondas:

y1 (x,t) = 6 cos(100π t − 5π x) y2 (x,t) = −6 cos(100π t + 5π x) expresadas en unidades del SI originan una interferencia. a) Escribe la ecuación de la onda estacionaria resultante. Observando la ecuación de ambas ondas podemos ver que son la misma pero desplazándose en sentido contrario. Por tanto su interferencia generará una onda estacionaria con ecuación:

6

⎧ y1 = Asen (ω t − kx ) ⎫ ⎨ ⎬ = A' sen (ω t ) con A'=2Acos(kx) y = Asen( ω t + kx) ⎩ 2 ⎭ En primer lugar reescribiremos las ecuaciones de la onda mediante la función seno:

π ) 2 π y2 (x,t) = −6sen(100π t + 5π x + ) 2 y1 (x,t) = 6sen(100π t − 5π x +

La interferencia por tanto tendrá ecuación:

π ) con A'=2 ⋅ 6cos(5π x) 2

y(x,t) = A' sen(100π t + b) La amplitud de los vientres.

Un vientre son puntos de máxima amplitud, es decir cuando cos(5π x) = 1 . Por tanto la amplitud de los vientres será:

Avientre = 12m c) La distancia entre dos vientres consecutivos. La distancia entre dos vientres consecutivos viene dada por

k = 5π m −1 → λ = dvientres =

λ , es decir, será: 2

2π 2π = = 0, 4m λ 5π

λ = 0, 2m 2

d) A que distancia del primer nodo se forma el 5º vientre. Los nodos para una onda estacionaria se obtienen mediante la ecuación:

x = (2n + 1)

λ 4

Por tanto el primer nodo aparecerá para n=0, es decir para x = 0,1m Por otra parte los vientres se obtienen mediante:

x = 2n

7

λ 4

Así que el quinto vientre se obtiene para n=4, puesto que el primero se obtiene cuando x=0. De esta forma tenemos que el quinto vientre aparece para x = 0, 8m Por tanto la distancia será: xvientre − xnodo = 0, 7m Ejercicio 6 Escribe la ecuación de una onda armónica que se desplaza hacia la derecha en función de: a) ω y v . La ecuación general de una onda armónica es:

y(x,t) = Asen(ω t − kx + ϕ ) Si la queremos dejar en función de ω y v deberemos reescribir el número de onda (k) como función de v. Sabemos que k es:

k=

2π 2π = λ v pT

Por tanto podemos sustituir el valor del número de onda por el calculado, quedando la ecuación como:

y(x,t) = Asen(ω t −

2π x + ϕ) v pT

b) k y ω . Esta ecuación es la ya conocida:

y(x,t) = Asen(ω t − kx + ϕ ) c) λ y f. Para reescribirla en función de λ y f consideraremos que:

2π λ ω = 2π f k=

Por tanto tenemos que:

y(x,t) = Asen(2π f ⋅ t − 8

2π x + ϕ) λ

Ejercicio 7 Una cuerda puesta en el eje OX vibra según el eje OY con movimiento ondulatorio de ecuación:

y(x,t) = 0, 002sen(300t + 60x) en unidades del Sistema Internacional. Calcular el sentido y la velocidad con que se propaga la onda. Atendiendo al signo del segundo término de la fase del movimiento ( 300t + 60x ) entendemos que la onda se propaga en sentido negativo del eje OX. Para calcular la velocidad emplearemos la fórmula:

vp = f ⋅ λ Para obtener la frecuencia y la longitud de onda compararemos la ecuación dada con la forma general del movimiento armónico (teniendo en cuenta que se desplaza en sentido negativo del eje OX):

y(x,t) = Asen(ω t + kx) Teniendo por tanto que:

ω 300 150 = = Hz 2π 2π π 2π 2π π k = 60m −1 → λ = = = m k 60 30

ω = 300rad / s → f =

De donde sacamos la velocidad de propagación:

vp =

150 π ⋅ = −5m / s π 30

El signo - de la velocidad se explica por el movimiento en sentido negativo del eje OX ya comentado. Ejercicio 8 Una onda armónica esférica tiene de intensidad 6 ⋅10 −8 W / m 2 a 20m del foco emisor. Si no hay absorción calcular: a) La energía emitida por el foco emisor en un minuto. Sabemos que la intensidad de una onda esférica viene dada por:

9

I=

E → E = I ⋅ S ⋅ t = I ⋅ 4 ⋅ π ⋅ R2 ⋅ t S ⋅t

Sustituyendo con los datos proporcionados se tiene que la energía es:

E = 6 ⋅10 −8 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ (20)2 ⋅ 60 = 0, 018J b) La amplitud de la onda a los 40m, si a los 20m es de 4mm. La relación entre la amplitud de la onda y la distancia viene dada por:

A12 R22 A R A R 0, 004 ⋅ 20 = 2 → 1 = 2 → A2 = 1 1 = = 0, 002m 2 A2 R1 A2 R1 R2 40 Ejercicio 9 Una onda armónica cuya frecuencia es de 50Hz, ser propaga en el sentido positivo del eje OX. Sabiendo que la diferencia de fase en un instante dado para dos puntos separados 20cm es de 90º : a) Determinar el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda. Para obtener el periodo tenemos que:

T=

1 1 = = 0, 020s f 50

Para la longitud de onda consideraremos que el desfase entre dos puntos separados π 0,2m es de . Por tanto tenemos que: 2

(ω t − kx1 ) − (ω t − kx2 ) =

π π π π → kx2 − kx1 = → k(x2 − x1 ) = → k(0, 2) = → 2 2 2 2

π 5 = π m −1 0, 4 2 2π 2π 4 λ= = = = 0, 8m 5 k π 5 2 k=

Finalmente la velocidad de propagación queda como:

v p = λ f = 50 ⋅ 0, 8 = 40m / s b) En un punto dado, ¿qué diferencia de fase existe entre los desplazamientos que tienen lugar en dos instantes separados por un intervalo de 0,01s?

10

Ahora la diferencia de fase vendrá dada por la diferencia de tiempo transcurrida y no por la posición de los puntos, es decir:

Δϕ = (ω t1 − kx) − (ω t 2 − kx) = ω (t1 − t 2 ) = 2π f (t1 − t 2 ) = 2π ⋅ 50 ⋅ 0, 01 = π rad Ejercicio 10 Uno de los extremos de una cuerda tensa, de 6 m de longitud, oscila transversalmente con un movimiento armónico simple de frecuencia 60 Hz. Las ondas generadas alcanzan el otro extremo de la cuerda en 0,5 s. Calcular: a) La longitud de onda y el número de onda de las ondas de la cuerda. Para resolver el ejercicio será necesario entender el concepto de velocidad de propagación como el tiempo que tarda la onda en recorrer una determinada distancia. En este caso sabemos que la cuerda tiene 6m de longitud y que las ondas generadas tardan 0,5 segundos en recorrerla. Esto es un movimiento rectilíneo uniforme por lo que se tiene que:

x 6 = = 12m / s t 0, 5

x = vp ⋅ t → vp =

Puesto que además sabemos la frecuencia con la que se oscila podemos calcular la longitud de onda:

λ=

vp f

12 = 0, 2m 60

=

Finalmente el número de onda queda como:

k=

2π 2π = = 10π m −1 λ 0, 2

b) La diferencia de fase de oscilación existente entre dos puntos de la cuerda separados 10 cm. La diferencia de fase está definida como:

Δϕ = (ω t − kx1 ) − (ω t − kx2 ) = k(x2 − x1 ) = 10π ⋅ 0,1 = π rad Ejercicio 11 Una partícula de masa 5 g oscila con movimiento armónico simple, en torno a un punto O con una frecuencia de 12 Hz y una amplitud de 4cm. En el instante inicial la elongación de la partícula es nula: a) Si dicha oscilación se propaga según una dirección que tomamos como eje OX, con una velocidad de 6,0 ms/s, escribe la ecuación que representa la onda unidimensional generada. 11

La ecuación general de una onda que tiene un movimiento armónico es:

y(x,t) = Asen(ω t + kx + ϕ ) Sabemos que la amplitud A es de 0,04 m. Por otra parte a través del dato de la frecuencia (12Hz) podemos extraer el valor de la frecuencia angular:

ω = 2π f = 2π ⋅12 = 24π rad / s Finalmente la longitud de onda la calcularemos sabiendo que la velocidad de propagación de la onda es de 6,0 m/s, por tanto:

vp

6 = 0, 5m f 12 2π 2π k= = = 4π m −1 λ 0, 5

λ=

=

Por tanto la ecuación de la onda queda como:

y(x,t) = 0, 04sen(24π t − 4π x + ϕ ) Para obtener el valor de la fase inicial atendemos al dato de que para el instante inicial (t=0) la elongación de la partícula situada en el origen (x=0) es nula, por tanto:

0 = 0, 04sen(24π ⋅ 0 − 4π ⋅ 0 + ϕ ) = 0, 04sen(ϕ ) → 0 = sen(ϕ ) → ϕ = 0 De esta forma la ecuación del movimiento queda como:

y(x,t) = 0, 04sen(24π t − 4π x) b) Calcular la energía que transmite la onda generada por el oscilador: La energía de un oscilador viene dada por la fórmula:

Em = 2π 2 mA 2 f 2 =

1 mω 2 A 2 2

Por tanto:

Em =

1 1 mω 2 A 2 = (0, 005) ⋅ (2π ⋅12)2 ⋅ (0, 04)2 = 2 2

Ejercicio 12 Dos ondas 12

y1 = 0, 3cos(200t − 0, 050x1 ) y2 = 0, 3cos(200t − 0, 050x2 ) se propagan por el mismo medio. a) ¿Con qué velocidad se propagan? En primer lugar es necesario expresar las ondas dadas mediante la función seno que es como estamos acostumbrados a trabajar. Es decir:

π ) 2 π y2 = 0, 3sen(200t − 0, 050x2 + ) 2 y1 = 0, 3sen(200t − 0, 050x1 +

A continuación observando las ondas sabemos que, por comparación con la ecuación general:

y(x,t) = Asen(ω t − kx + ϕ ) ω = 200rad / s k = 0, 050m −1 Y por tanto:

ω 200 100 = = Hz 2π 2π π 2π 2π λ= = = 40π m k 0, 050 v p = λ f = 4000m / s f =

b) Si las ondas se anulan en un punto x1 , distante 10m del centro emisor de la primera onda, calcula el valor más pequeño de x2 . Podemos ver que las dos ondas son coherentes. Por tanto al realizar la interferencia de ambas se generará una nueva onda con amplitud:

⎛ x − x1 ⎞ A' = 2Acos ⎜ k 2 ⎟ ⎝ 2 ⎠ El enunciado nos dice que las ondas se anulan en un punto x1 distante 10m del centro emisor de la primera onda. Es decir, es totalmente destructiva, por lo que la nueva amplitud tiene que valer 0, es decir:

⎛ x − x1 ⎞ 0 = 2Acos ⎜ k 2 ⎟ ⎝ 2 ⎠

13

Como ambas ondas comparten la misma amplitud y el mismo número de ondas, y sabiendo que x1 = 10 se tiene: x ⎧ 0, 05 2 ⎪ x − 10 x − 10 ⎪ ⎛ ⎞ 2 0 = 2 ⋅ 0,3cos ⎜ 0, 05 2 )→ ⎨ ⎟ → 0 = cos(0, 05 ⎝ 2 ⎠ 2 ⎪0, 05 x2 ⎪⎩

− 10 π π + 0, 5 = → 0, 05x2 − 0, 5 = π → x2 = = 72, 83m 2 2 0, 05 − 10 3π 3π + 0, 5 = → 0, 05x2 − 0, 5 = 3π → x2 = = 198, 5m 2 2 0, 05

Puesto que piden el valor más pequeño se tendrá que x2 = 72, 83m Ejercicio 13 La ecuación de una onda transversal que se propaga en una cuerda es:

y = 0, 20sen(0, 50x − 200t) dónde x e y se miden en metros y t en segundos. Calcula la velocidad de fase y la velocidad transversal de un punto de la cuerda en x = 40 m y t = 0,15 s. Para resolver el ejercicio en primer lugar atenderemos a la ecuación de la onda que nos han dado tiene la fase cambiada de signo, es decir:

0, 50x − 200t = −(200t − 0, 50x) Por tanto la onda puede expresarse como:

y = 0, 20sen(−(200t − 0, 50x)) Y mediante la propiedad trigonométrica:

sen(−a) = −sen(a) Tenemos que la onda se expresa como:

y = −0, 20sen(200t − 0, 50x) Ahora por comparación con la ecuación general de una onda obtendremos el número de onda y el pulso o frecuencia angular:

y(x,t) = Asen(ω t − kx + ϕ ) ω = 0, 50rad / s k = 200m −1 Con el número de onda y la frecuencia angular podremos obtener la longitud de onda y la frecuencia angular, de modo que la velocidad de propagación o velocidad de fase queda como:

14

2π 2π = = 4π m k 0, 50 ω 200 100 f = = = Hz 2π 2π π 100 vp = λ f = ⋅ 4π = 400m / s π

λ=

Para obtener la velocidad transversal de la onda será necesario derivar la ecuación de la onda:

v=

dy d(−0, 20sen(200t − 0, 50x)) = = −200 ⋅ 0, 20 cos(200t − 0, 50x) dt dt

Para un punto situado en x=40 m en el instante t = 0,15 s la velocidad transversal será:

v(x,t) = −40 cos(200t − 0, 50x); v(40, 0,15) = −40 cos(30 − 20) = 33, 56m / s Ejercicio 14 Una onda de frecuencia 500 Hz tiene una velocidad de fase 300 m/s. a) ¿Cuál es la separación entre dos puntos que tengan una diferencia de fase de 60º? La diferencia de fase entre dos puntos de una onda viene dada por:

Δϕ = (ω t − kx1 + ϕ 0 ) − (ω t − kx2 + ϕ 0 ) = k(x2 − x1 ) Puesto que nos han dicho que la diferencia de fase es de 60º tendremos que (recordando π que trabajamos siempre en radianes dónde 60º = rad ): 3

π = k(x2 − x1 ) 3 Para obtener el valor k, atenderemos a los datos que nos suministra el problema:

k=

2π λ

λ = vp ⋅ T =

vp f

=

300 2π 10π −1 = 0, 6m → k = = m 500 0, 6 3

Por tanto la separación entre dos puntos con diferencia de fase 60º es:

π 10π = (x2 − x1 ) → x2 − x1 = 0,1m 3 3 15

b) ¿Cuál es la diferencia de fase entre dos elongaciones en un mismo punto que estén separados por un intervalo de tiempo de una milésima de segundo? En este caso la diferencia de fase viene dado por el intervalo de tiempo ya que el punto es el mismo, es decir:

Δϕ = (ω t1 − kx + ϕ 0 ) − (ω t 2 − kx + ϕ 0 ) = ω (t1 − t 2 ) Para calcular el valor de la frecuencia angular partiremos de que la onda tiene frecuencia 500Hz:

ω = 2π f = 2π ⋅ 500 = 1000π rad / s Por tanto la diferencia de fase queda:

Δϕ = ω (t1 − t 2 ) = 1000π (0, 001) = π Ejercicio 15 La ecuación de una onda es y(x,t) = 25sen(0, 40t − π x) expresada en un unidades del Sistema Internacional. Calcular: a) Los puntos que están en fase y en oposición de fase. Dos puntos están en fase cuando cumplen que:

d =2π n = nλ Es decir, la distancia entre ellos es un número entero de longitudes de onda. Para obtener la longitud de onda partimos del valor del número de onda, k = π m −1 . Por tanto:

λ=

2π = 2m k

De esta forma, los puntos que estarán en fase serán aquellos que disten 2n metros. Por otra parte dos puntos están en oposición de fase cuando cumplan que:

d = (2n + 1)π = (2n + 1)

λ 2

Por tanto, serán aquellos que disten entre sí (2n + 1) metros. b) ¿Qué tiempo debe transcurrir para que un punto situado a 5,0 m del foco tenga velocidad máxima? Para obtener la velocidad de un punto situado a 5,0 m del foco será necesario obtener la ecuación de la velocidad transversal de la onda: 16

v=

dy d(25sen(0, 40t − π x) = = 25 ⋅ 0, 40 cos(0, 40t − π x) = 10 cos(0, 40t − π x) dt dt

Una vez que tenemos la ecuación de la velocidad, la velocidad máxima se alcanzará cuando:

cos(0, 40t − π x) = 1 Sabiendo que el valor de x es 5 m, se tiene la ecuación:

cos(0, 40t − 5π ) = 1 → 0, 40t − 5π = ±

π π ⎧t = 43,19s → 0, 40t = 5π ± = ⎨ 2 2 ⎩t = 35, 34s

Ejercicio 16 Un altavoz emite con una potencia de 40 W. Calcula la intensidad de la onda sonora en los siguientes puntos: a) d = 5 m. La intensidad de las ondas sonoras viene dada por la fórmula:

I=

P 4π R 2

Conociendo la potencia y la distancia, se tiene que:

I=

P 40 = = 0,12W / m 2 2 2 4π R 4π (5)

b) d = 15 m. Al igual que antes se tiene que:

I=

P 40 = = 0, 014W / m 2 2 2 4π R 4π (15)

Ejercicio 17 Una onda se propaga por una cuerda según la ecuación:

y = 0, 2 cos(200t − 0,10x) expresada en el Sistema Internacional. Calcular: a) La longitud de onda y la velocidad de propagación. 17

En primer lugar expresaremos la ecuación de la onda mediante la función seno, quedando por tanto:

y = 0, 2sen(200t − 0,10x +

π ) 2

A continuación, y comparando con la ecuación de una onda se tiene que:

y(x,t) = Asen(ω t − kx + ϕ ) ω 200 100 ω = 200rad / s → f = = = Hz 2π 2π π 2π 2π k = 0,10m −1 → λ = = = 20π m k 0,1 100 v p = λ f = 20π ⋅ = 2000m / s π b) La onda estacionaria resultante de la interferencia de la onda anterior y otra igual que se propaga en sentido contrario. Una onda estacionaria resulta de la interferencia de dos ondas iguales que se propagan en sentido contrario. Tiene como ecuación:

⎧ y1 = Asen (ω t − kx ) ⎫ ⎨ ⎬ = A' sen (ω t ) con A'=2Acos(kx) y = Asen( ω t + kx) ⎩ 2 ⎭ Por tanto, atendiendo a la ecuación de la onda dada tendremos que:

A' = 2 ⋅ 0, 2 cos(0,10x) = 0, 4 cos(0,10x) y' = A'cos(200t) c) La distancia entre dos nodos consecutivos. La distancia entre dos nodos consecutivos para una onda estacionaria es:

dn =

λ 2

Sabiendo que la longitud de la onda es 20π m se tiene que:

dn =

λ 20π = = 10π m 2 2

Ejercicio 18 Una cuerda vibra según la ecuación en unidades del Sistema Internacional: 18

y(x,t) = 10 cos

πx sen ( 50π t ) 2

Calcula: a) La amplitud y la velocidad de las ondas cuya superposición da lugar a la onda anterior. Observando la ecuación de la onda dada podemos ver como se trata de una onda estacionaria, de modo que se tiene:

⎧ y1 = Asen (ω t − kx ) ⎫ ⎨ ⎬ = A' sen (ω t ) con A'=2Acos(kx) ⎩ y2 = Asen(ω t + kx) ⎭ Igualando los término de la ecuación tenemos que:

10 ⎧ A = = 5m ⎪⎪ πx 2 10 cos = 2A cos(kx) → ⎨ 2 ⎪ kx = π x → k = π m −1 ⎪⎩ 2 2 sen(50π t) = sen(ω t) → ω = 50π rad / s 2π λ= = 4m π 2 ω 50π f = = = 25Hz 2π 2π v p = λ f = 100m / s b) Distancia entre dos vientres consecutivos. La distancia entre dos vientres consecutivos para una onda estacionaria viene dada por:

dv =

λ 4 = = 2m 2 2

Ejercicio 19 Una onda viene dada por la ecuación en unidades del Sistema Internacional:

π πx y(x,t) = 2sen( t + ) 2 0, 80 Calcular: a) El carácter de la onda y su velocidad de propagación.

19

Por carácter de la onda entendemos el sentido en que se propaga la onda. En este caso atendiendo al signo + de la expresión de la fase se tiene que la onda se propaga en sentido negativo del eje x. Para obtener la velocidad de propagación será necesario obtener la longitud de onda y la frecuencia. Partiremos de la ecuación genérica de la onda para calcular dichas magnitudes:

y(x,t) = Asen(ω t − kx + ϕ ) π ω π /2 ω = rad / s → f = = = 0, 25Hz 2 2π 2π π 2π 2π k= m −1 → λ = = = 1, 6m π 0, 80 k 0, 80 v p = λ f = −0, 4m / s Nótese que la velocidad de propagación tiene signo negativo para indicar que la onda se propaga en sentido negativo del eje x. b) La diferencia de fase para dos posición de la misma partícula cuando el intervalo de tiempo transcurrido es de 2 s. En este caso la diferencia de fase viene dado por el intervalo de tiempo ya que la posición del punto es la mismo, es decir:

Δϕ = (ω t1 − kx + ϕ 0 ) − (ω t 2 − kx + ϕ 0 ) = ω (t1 − t 2 ) Por tanto, se tiene que la diferencia de fase es de:

Δϕ =

π π (t1 − t 2 ) = ⋅ 2 = π rad 2 2

c) La diferencia de fase en un instante dado de dos partículas separadas 120 cm en el sentido del avance de la onda. En este caso el instante de tiempo es el mismo y lo que varía es la distancia de las partículas al foco emisor. Por tanto se tiene que:

Δϕ = (ω t − kx1 + ϕ 0 ) − (ω t − kx2 + ϕ 0 ) = k(x2 − x1 ) =

π 3π ⋅1, 2 = rad 0, 80 2

Ejercicio 20 Una onda transversal que se propaga de derecha a izquierda tiene una longitud de onda de 20 m, una amplitud de 4 m y una velocidad de propagación de 200 m / s. Calcular a) La ecuación de la onda. La ecuación de una onda viene dada por: 20

y(x,t) = Asen(ω t − kx + ϕ ) Por tanto será necesario obtener el valor de la frecuencia angular y el número de onda.

vp

200 = 10Hz → ω = 2π ⋅10 = 20π rad / s λ 20 2π 2π π −1 k= = = m λ 20 10 f =

=

Puesto que no se da ningún dato adicional para obtener la fase inicial, consideraremos esta como 0. Por tanto tenemos que la ecuación de la onda es:

y(x,t) = 4sen(20π t +

π x) 10

El signo positivo de la fase viene dado porque la onda se propaga de derecha a izquierda, es decir, en sentido negativo del eje x. b) La velocidad transversal máxima de una punto de la onda. Para obtener la velocidad transversal de la onda será necesario derivar la ecuación de la onda con respecto del tiempo, es decir:

π dy d(4sen(20π t + 10 x) π v= = = 80π cos(20π t + x) dt dt 10 La velocidad es máxima cuando el valor del coseno es 1, por tanto:

vmax = 80π m / s c) La aceleración máxima de un punto del medio. Para obtener la aceleración de los puntos de la onda derivamos la velocidad:

π ⎞ ⎛ d ⎜ 80π cos(20π t + x ⎟ ⎝ dv π ⎞ 10 ⎠ ⎛ a= = = −1600π 2 sen ⎜ 20π t + x ⎟ ⎝ dt t 10 ⎠ Y la aceleración máxima se obtiene cuando el seno es igual a ±1 , por tanto:

amax = ±1600π 2 Ejercicio 21

21

En una cuerda colocada a lo largo del eje OX se propaga una onda determinada por la función:

y(x,t) = 0, 02sen(4x − 8t) expresada en unidades del Sistema Internacional. ¿Cuánto tiempo tarda la perturbación en recorrer una distancia de 8 m? Para resolver este problema en primer lugar será necesario obtener la velocidad de propagación de la onda, es decir, la velocidad con la que la onda recorre una distancia determinada. Esta velocidad viene dada por la fórmula:

vp = λ f Los valores de la longitud de onda y la frecuencia los obtendremos por comparación con la ecuación genérica de una onda:

y(x,t) = Asen(ω t − kx + ϕ ) ω 4 ω = 8rad / s → f = = Hz 2π π 2π π k = 4m −1 → λ = = m 4 2 4 π v p = ⋅ = 2m / s π 2 Ahora si queremos saber el tiempo que tarda en recorrer una distancia de 8 m tendremos que:

e = vp ⋅ t → t =

22

e 8 = = 4s vp 2