RECTAS Se define la recta como el lugar geométrico de los puntos del plano cuyo vector de posición puede expresarse como combinación lineal del vector de posición de un punto de la recta y un vector paralelo a la recta, por lo tanto, la mínima determinación lineal de una recta es un punto y un vector.

r r r Ecuación Vectorial: p = a + λv expresando los vectores en forma cartesiana (x, y, z ) = (a 1 , a 2 , a 3 ) + λ(u 1 , u 2 , u 3 ) Expresando la ecuación vectorial por componentes, aparecen las ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio:  x = a 1 + λ·u 1  r ≡  y = a 2 + λ·u 2  z = a + λ·u 3 3  Si de cada una de las ecuaciones despejamos el parámetro λ e igualamos, se obtiene la ecuación continua de la recta en el espacio: x − a1 y − a 2 z − a 3 = = u1 u2 u3 Las ecuaciones paramétricas de la recta representan al sistema:  λ·u 1 = x − a 1  x − a 1 = λ·u 1    y − a 2 = λ·u 2 ó λ·u 2 = y − a 2  λ·u = z − a  z − a = λ·u 3 3 3  3  sistema definido por las matrices:  u1 x − a1   u1      A =  u 2  : A∗ =  u 2 y − a 2   u u   3 z −a3   3 sistema de tres ecuaciones con una incógnita (λ), el cual para ser compatible deberá tener igual rango en la matriz de coeficientes y en la ampliada, es decir:  u1 x − a1   u1      rg u 2  = rg u 2 y − a 2  = 1  u u   3 z −a3   3 Para que el rango de la ampliada sea 1, todos los menores orlados de orden dos, a partir de un menor de orden uno, deberán ser nulos. Si se parte del menor 1.1 distinto de cero (u 1 ≠ 0) , deberán ser nulos los menores: u1 u2

u x − a1 = 0: 1 u3 y−a2

x − a1 =0 z −a3

operando los menores aparecen las ecuaciones reducidas de la recta en el espacio.  mx + ny + p = 0 r≡ m ' x + n ' z + p ' = 0

Formas de determinar la ecuación de una recta en el espacio. • • •

Conocidos dos puntos Conocido un punto y una recta paralela Conocidos dos planos que la contienen

Conocidos dos puntos La determinación lineal de la recta que pasa por los puntos A(a1,a2,a3) y B(b1,b2,b3) es el vector AB y uno cualquiera de los puntos, se expresa generalmente en forma continua: r d r = AB = (b1 − a 1 , b 2 − a 2 , b 3 − a 3 ) z −a3 x − a1 y−a2 r: ⇒ rAB ≡ = = b1 − a 1 b 2 − a 2 b 3 − a 3  A = (a 1 , a 2 , a 3 ) La ecuación de la recta definida por dos puntos permite establecer la condición de linealidad de tres puntos. Sí tres puntos están alineados, uno de ellos debe de satisfacer la ecuación de la recta que pasa por los otros dos, por ejemplo, el punto C(c1,c2,c3) debe de cumplir la ecuación de la recta que pasa por A y B, por lo que sustituidas las coordenadas de C en la rAB, se debe cumplir: c1 − a 1 c 2 − a 2 c 3 − a 3 = = b1 − a 1 b 2 − a 2 b 3 − a 3 condición de linealidad de tres puntos.

Conocido un punto y una recta paralela Ecuación de la recta que pasa por A y es paralela a r

La recta buscada, s, se obtiene con el vector de dirección de la recta paralela y con el punto A. r r d = d r = (v 1 , v 2 , v 3 ) x − a1 x − a 2 x − a 3 s: s ⇒s≡ = = u1 u2 u3  A = (a 1 , a 2 , a 3 )

Conocidos dos planos que la contienen.

La recta se obtiene resolviendo el sistema que forman las dos ecuaciones de loas planos  π : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 r≡ σ : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Haz de rectas Se define haz de rectas como un conjunto de rectas con una propiedad común, existen dos tipos de haces: • Haz de rectas paralelo, conjunto de rectas paralelas a una conocida

tienen en común el vector de dirección.

La ecuación del haz tiene la forma: x −α x −β x − γ = = : ∀α, β, γ ∈ ℜ u1 u2 u3 •

Haz de rectas de vértice P, conjunto de rectas que pasan por un mismo punto

x − a1 x − a 2 x − a 3 = = : ∀α, β, γ ∈ ℜ α β γ Para determinar una recta en concreto del cualquier haz, se necesita conocer un punto de la recta buscada ó alguna propiedad métrica de la recta.