SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1,−2) y que pasa por el punto (2,3). Solución Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer el centro y el radio. El centro es dato del problema C(1,−2), el radio se calcula como la distancia del centro a un punto cualquiera de la circunferencia R = d[(1,−2 ) − (2,3)] =

(1 − (−2) )2 + (2 − 3)2

= 10

Conocido el centro y el radio se aplica la ecuación de definición de la circunferencia.

(x − 1)2 + (y − (−2) )2 = (

)2

10 desarrollando y ordenando se obtiene la ecuación general ó implícita de la circunferencia

(x − 1)2 + (y + 2)2 = 10

x2 + y2 − 2x + 4y − 5 = 0 2. Halla la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices A(0,0), B(2,0) y C(0,2). Idem para la que pasa por A'(0,0), B'(3,0) y C'(0,3). Hallar en los dos casos el centro y el radio. Solución El problema se puede plantear de dos formas i. A(0,0), B(2,0), C(0,2) Método analítico: Se busca una ecuación de la forma x² + y² + mx + ny + p = 0, que se cumpla para los puntos A, B y C. A(0,0 ) : 0 2 + 0 2 + m·0 + n·0 + p = 0  2 2 B(2,0 ) : 2 + 0 + m·2 + n·0 + p = 0 C(0,2 ) : 0 2 + 2 2 + m·0 + n·2 + p = 0  operando y ordenando se obtiene el sistema:  p=0  p=0   4 + 2m = 0 : resolviendo : m = −2  4 + 2n = 0  n = −2   quedando la ecuación x2 + y2 − 2x − 2y = 0 de los parámetros m, n y p se obtienen el centro y el radio m −2 a=− =− =1 2 2 n −2 b=− =− =1 2 2 R = a 2 + b 2 − p = 12 + 12 − 0 = 2 ii. A'(0,0), B'(3,0), C'(0,3) Método geométrico:

El centro se halla por intersección de dos de las tres mediatrices que forman los tres puntos. Mediatriz A' B' : (x − 0)2 + (y − 0)2 = (x − 3)2 + (y − 0)2 : x − 3 = 0 C: ⇒ C(3,3) Mediatriz A' C' : (x − 0)2 + (y − 0)2 = (x − 0)2 + (y − 3)2 : y − 3 = 0 El radio se halla como la distancia del centro a alguno de los puntos conocidos R = d(C − A ) =

(3 − 0)2 + (3 − 0)2

= 18

Conocido el centro y el radio se calcula la ecuación de circunferencia mediante la definición

(x − 3)2 + (y − 3)2 = (

18

)2

desarrollando y ordenando se llega a la ecuación implícita x2 + y2 – 6x − 6y = 0 3. Halla las ecuaciones de la circunferencias concéntricas a la circunferencia de ecuación x² + y² − 6x − 8y + 16 = 0 por los puntos a) (4,5) b) (3,0). Solución  −6 −8  m n Al ser concéntricas tendrán el mismo centro C − ,−  = C − ,−  = (3,4) 2   2 2  2

Se diferencian en el radio, que se calcula como la distancia del centro al punto conocido a) R = d((3,4 ) − (4,5)) =

(3 − 4)2 + ((4 − 5)2

(x − 3)2 + (x − 4)2 = (

desarrollando y ordenando

b) R = d((3,4 ) − (3,0)) =

= 2 . La ecuación se obtiene a partir de la definición. 2

)2

x2 + y2 – 6x − 8y + 21 = 0

(3 − 3)2 + ((4 − 0)2 = 4 . La ecuación se obtiene a partir de la definición. (x − 3)2 + (x − 4)2 = 4 2

desarrollando y ordenando

x2 + y2 – 6x − 8y + 9 = 0

4. Halla la posición relativa de la circunferencia x² + y² − 2x = 0 así como los puntos de intersección si los hubiera con las rectas: a) x + y − 2 = 0 b) y = 1 c) 2x − y + 7 = 0 Solución La posición relativa de una recta y una circunferencia se estudia resolviendo el sistema que forman sus ecuaciones. Si el sistema tiene dos soluciones, la recta es secante con la circunferencia y las soluciones son los puntos de corte, si solo tiene una solución son tangentes y la solución es el punto de tangencia, y si no tiene solución la recta es exterior a la circunferencia. El sistema se resuelve por sustitución, despejando de en la ecuación de la recta y sustituyendo en la de la circunferencia. a.

{

x 2 + y 2 − 2 x = 0 : {y = 2 − x} : x 2 + (2 − x )2 − 2 x = 0   x + y − 2 = 0

x 2 + 2 2 − 2 ⋅ 2 ⋅ x + x 2 − 2x = 0 : 2x 2 − 6x + 4 = 0  x = 1 : y = 2 − 1 = 1 ⇒ (1, 1) x 2 − 3x + 2 = 0 :  x = 2 : y = 2 − 2 = 0 ⇒ (2, 0)

La recta es secante con la circunferencia en los puntos (1, 1) y (2, 0).

b.

{

x 2 + y 2 − 2x = 0 : x 2 + 12 − 2x = 0   y =1 x 2 − 2x + 1 = 0 : { x = 1 : y = 1 ⇒ (1, 1)

La recta es tangente a la circunferencia en el punto (1,1). c.

{

x 2 + y 2 − 2x = 0 : {y = 2x + 7} : x 2 + (2x + 7 )2 − 2x = 0   2x − y + 7 = 0 x 2 + (2x )2 + 2 ⋅ 2 x ⋅ 7 + 7 2 − 2 x = 0 : 5x 2 + 26x + 49 = 0

x=

− 26 ± 26 2 − 4 ⋅ 5 ⋅ 49 − 26 ± − 324 = ∉ R No tiene solución. 2⋅5 10

La recta es exterior a la circunferencia. 5. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (1,2) y es tangente a la recta r: 5x − y + 5 = 0. Solución La ecuación de la circunferencia se obtiene a partir del centro y del radio. El centro es un dato, y el radio se obtiene con la distancia del centro a la tangente, tal como muestra la figura. 5⋅2 − 2 + 5 13 26 R = d(C(1,2) − rt ≡ 5x − y + 5) = = = 2 2 2 26 5 + (− 1)

Conocido el centro y el radio se obtiene la ecuación de la circunferencia. 2 C = (1,2 )   2 2  26  26  : (x − 1) + (y − 2 ) =   R=  2  2  x 2 + y 2 − 2x − 4 y + 5 =

3 26 : x 2 + y 2 − 2x − 4 y − = 0 2 4

6. Calcula las potencias de los puntos A(2, 2), B(0, 2) y C(−1, 1) respecto de la circunferencia x² + y² − 6x − 4y + 4 = 0 indicando en cada caso la posición del punto respecto de la circunferencia. Solución La potencia de un punto respecto de una circunferencia estudia la posición relativa del punto respecto de la circunferencia. Si la potencia es positiva, el punto es exterior a la circunferencia, si es cero, el punto pertenece a la circunferencia, si es menor que cero es interior.

La potencia se calcula sustituyendo las coordenadas del punto en la circunferencia. a.

x 2 + y 2 − 6 x − 4 y + 4 = 0 2 2  : P(2,2) = 2 + 2 − 6 ⋅ 2 − 4 ⋅ 2 + 4 = −8  A = (2,2) 

El punto es interior a la circunferencia. b.

x 2 + y 2 − 6x − 4 y + 4 = 0 2 2  : P(0,2) = 0 + 2 − 6 ⋅ 0 − 4 ⋅ 2 + 4 = 0  B = (0,2)

El punto está sobre la circunferencia. c.

x 2 + y 2 − 6x − 4 y + 4 = 0 2 2  : P(0,2) = (− 1) + 1 − 6 ⋅ (− 1) − 4 ⋅ 2 + 4 = 4  C = (− 1,1) 

El punto es exterior a la circunferencia.

7. Hallar el eje radical de las siguientes circunferencias: C1: x² + y² + 4x − 2y + 3 =0 C2: x² + y² + 2x − 1 = 0 Solución El eje radical de dos circunferencias se define como los puntos del plano que tienen igual potencia respecto de ambas circunferencias, es una recta que corta al segmento que une los centros de las circunferencias perpendicularmente y salvo en el caso de que las dos circunferencias tenga igual radio, no lo corta en el centro.

Se calcula igualando las ecuaciones de la circunferencias y simplificando y ordenando. P(C1) = P(C2) x² + y² + 4x − 2y + 3 = x² + y² + 2x − 1 2x − 2y +4 = 0 : x − y + 2 = 0 8. Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(−5,3) y B(3,1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia? Solución El punto medio del segmento que forma el diámetro es el centro de la circunferencia, y la mitad de su módulo el radio  a + b a + b2   − 5 + 3 3 + 1  , Centro: C =  1 1 , 2  = (− 1, 2) = 2   2 2   2

Radio: R =

1 1 AB = 2 2

(3 − (− 5))2 + (1 − 3)2

Ecuación: C ≡ (x − (− 1))2 + (y − 2 )2 =

=

1 2 17 68 = = 17 2 2

( 17 )2

x 2 + y 2 + 2x − 4 y − 12 = 0

9. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1) y B(−2,3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0. Solución El centro se calcula como intersección de la recta que lo contiene (x + y + 4 = 0) y la mediatriz del segmento AB . “La mediatriz de cualquier cuerda de la circunferencia contiene al centro”

Conocido el centro, el radio se calcula como distancia del centro a cualquiera de los puntos (d(Centro−A)). Centro: Mediatriz AB , Sea P(x, y) un punto genérico de la mediatriz. d(A − P ) = d(B − P )

(x − 2)2 + (y − 1)2 = (x − (− 2))2 + (y − 3)2 (x − 2)2 + (y − 1)2 = (x + 2)2 + (y − 3)2 x 2 − 4x + 4 + y 2 − 2 y + 1 = x 2 + 4x + 4 + y 2 − 6 y + 9 8x − 4 y + 8 = 0 : 2 x − y + 2 = 0

2x − y + 2 = 0 x = −2 Centro :  : : C = (− 2, − 2)  x + y + 4 = 0  y = −2 Radio: R = d(C − A ) =

(2 − (− 2))2 + (1 − (− 2))2

=5

Circunferencia: (x − (− 2))2 + (y − (− 2 ))2 = 52 C ≡ x 2 + y 2 + 4 x + 4 y − 17 = 0

10. Determinar la ecuación de la circunferencia de radio 8 , que pasa por el origen de coordenadas y cuyo centro está situado en la bisectriz del segundo cuadrante. Solución Para calcular la ecuación de la circunferencia necesitamos conocer el centro y el radio. El radio lo dan como dato, y el centro lo podemos calcular conocido un punto A(0, 0) el radio, y una recta que contiene al centro (y = −x).

Si el centro tiene por coordenadas (a, b), la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia es el radio. d(C − A ) = R

(0 − a )2 + (0 − b )2 a 2 + b2 =

( 8)

2

= 8

: a 2 + b2 = 8

Si el centro pertenece a la bisectriz del segundo cuadrante, sus coordenadas deben cumplir su ecuación. (a, b ) ∈ y = − x ⇒ b = −a Las dos ecuaciones permiten plantear un sistema, cuya solución serán las coordenadas del centro. a 2 + b 2 = 8 SUSTITUCIÓN 8      → a 2 + (− a )2 = 8 : 2a 2 = 8 : a = ± = ±2  2  b = −a Si a = 2 ⇒ b = −2: C = (2, −2) la ecuación de la circunferencia es:

(x − 2)2 + (y − (− 2))2 = (

8

)2 :

x 2 + y 2 − 4x + 4 y = 0

Si a = −2 ⇒ b = 2: C = (−2, 2) la ecuación de la circunferencia es:

(x − (− 2))2 + (y − 2)2 = (

8

)2 :

x 2 + y 2 + 4x − 4 y = 0

Las posibles soluciones se representan en la figura. 11. Ecuación de la circunferencia de radio 4u, pasa por el punto A(−1, −2) y tiene su centro sobre la recta x + 2y − 7 = 0. Solución Si el centro de la circunferencia tiene por coordenadas (a, b), la distancia del centro a cualquier punto es el radio.

(− 1 − a )2 + (− 2 − b )2 = 4 (− (1 + a ))2 + (− (2 + b ))2 = 16 : (1 + a )2 + (2 + b )2 = 16

d(C − A ) = R :

(− 1 − a )2 + (− 2 − b )2 = 42

:

Si el centro pertenece a la recta x + 2y − 7 = 0, sus coordenadas deben cumplir su ecuación. a + 2b − 7 = 0 Las dos ecuaciones permiten plantear un sistema, cuya solución serán las coordenadas del centro. (a + 1)2 + (b + 2)2 = 16 : a = 7 − 2b : ((7 − 2b ) + 1)2 + (b + 2)2 = 16   a + 2b − 7 = 0

(8 − 2b )2 + (b + 2)2 = 16 64 − 32b + 4b 2 + b 2 + 4b + 4 = 16 : 5b 2 − 28b + 52 = 0

Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtiene una solución única (doble). 14 14 −18 ⇒ a = 2 − 2⋅ = b= 5 5 5

Conocido el centro y el radio se puede escribir la ecuación de la circunferencia. 2

2

 14   − 18    2  x −  5   +  y − 5  = 4      2

2

18   14    x +  +  y −  = 16 5  5  Nota: Este tipo de ejercicio puede tener dos, una ó ninguna solución. Tendrá dos soluciones cuando la distancia del punto que dan como dato a la recta que contiene al centro sea menor que el radio ó cuando el punto que dan pertenezca también a la recta que contiene al centro (como sucede en el problema 10. La solución será única cuando la distancia del punto a la recta que contiene el centro sea igual al radio (como sucede en este problema), No tendrá solución cuando la distancia del punto a la recta que contiene el centro sea mayor que el radio.

12. El punto (2, 2) es el punto medio de una cuerda de la circunferencia x2 + y2 = 16. Hallar la ecuación de la recta a la que pertenece dicha cuerda y la longitud de la cuerda. Solución Analizando la ecuación de la circunferencia se obtiene que el centro es el origen de coordenadas C(0, 0) y el radio vale 4.

(x − 0)2 + (y − 0)2 = 4 2

Si el punto A es el punto medio de la cuerda, A también pertenece a la mediatriz de la cuerda, y la mediatriz de cualquier cuerda de la circunferencia pasa por el centro, por lo tanto la cuerda será perpendicular a la recta que para por A y por el centro, y el vector de dirección de la cuerda será perpendicular al segmento OA . OA = (2 − 0,2 − 0) = (2,2 ) ⇒ d (cuerda ) = (− 2,2 ) Conocido el vector de dirección de la cuerda y un punto se obtiene la ecuación de la cuerda. A = (2,2 )  x − 2 y − 2 = :x+y−4=0 : d = (− 2,2 ) − 2 2 Para calcular la longitud de la cuerda se se calculan los puntos de intersección de la recta con la circunferencia (B, B’). x 2 + y 2 = 16 x = 0 ⇒ y = 4 : B' = (0,4) : y = 4 − x : x 2 + (4 − x )2 = 16 : 2x 2 − 8x = 0 :    x + y − 4 = 0  x = 4 ⇒ y = 0 : B = (4,0 ) Conocido los puntos B y B’ se calcula la longitud de la cuerda como la distancia entre ellos. d(B − B') =

(4 − 0)2 + (0 − 4)2

= 32 = 4 2

13. Sea la recta de ecuación 2x − y − 3 = 0 y el punto A(3, −2). Calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen, por A y por A'(simétrico de A respecto de la recta dada). Solución. Se pide la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos. Dos de los puntos los da el enunciado (A(3, −2) y O(0, 0)), el tercer punto se calcula teniendo en cuenta que es el simétrico de A respecto de la recta r ≡ 2x − y − 3 = 0.

Simétrico de A respecto de r. El simétrico de un punto respecto de una recta se transforma en simétrico respecto de un punto M, siendo M el punto de corte de la recta r con su perpendicular que pasa por A.

La perpendicular a r que pasa por A, que denomino s, se puede calcular mediante un punto (A) y un vector de dirección. El vector de dirección debe ser perpendicular al vector de dirección de la recta r. r d r = (− B, A ) = (1, 2 ) : d r ⊥ ds : ds = (2, − 1)  A = (3, − 2) x −3 y+2 s: :s ≡ = 2 −1 ds = (2, − 1) En forma general queda: s ≡ x + 2 y + 1 = 0

Conocidas r y s se calcula M el punto de intersección de ambas. 2 x − y − 3 = 0 : Resolviendo el sistema se obtienen las coordenadas de M M=  x + 2y + 1 = 0 M = (1, −1) El punto M es el punto medio del segmento AA' , por lo que se pueden calcular las coordenadas de A’ a partir de las coordenadas del punto medio de un segmento. a + a '1  m = 1 a ' = 2m1 − a1 = 2 ⋅ 1 − 3 = −1  a1 + a '1 a 2 + a '2   1 2 M , ⇒ 1 : a a ' + 2 2  2  m = 2 a '2 = 2m 2 − a 2 = 2 ⋅ (− 1) − (− 2 ) = 0 2 2  A’ = (−1, 0) Conocidas las coordenadas de tres puntos de la circunferencia, se calcula la ecuación mediante un sistema de ecuaciones. La ecuación de una circunferencia tiene la forma x2 + y2 + mx + ny + p = 0, y debe cumplirse en cada punto de la circunferencia. A(3, −2) : 32 + (−2)2 + m·3 + n·(−2) + p = 0. Ordenando: 3m − 2n + p = −13 A’(−1, 0): (−1)2 + 02 + m·(−1) + n·0 + p = 0. Ordenando: −m + p = −1 O(0, 0): 02 + 02 +m·0 +n0 + p = 0. Ordenando: p = 0 Las tres ecuaciones permiten plantear un sistema de fácil solución. 3m − 2n + p =´−13 m = 1    − m + p = −1 Resolviendo:  n = 8  p = 0 p=0   La ecuación de la circunferencia es: x 2 + y 2 + x + 8 y = 0 14. Ecuación de la circunferencia que pasa por (5, 4) y es tangente al eje de abscisa en el punto (3, 0). Solución. Se conocen dos puntos de la circunferencia, A(5, 4) y B(3, 0), y la tangente (y = 0) en B. El centro se halla por intersección de la mediatriz de los puntos con la perpendicular a la tangente en el punto e tangencia, tal y como muestra la figura.

Mediatriz AB : Si P(x, y) es un punto de la meditáis: d(A − P ) = d(B − P )

(x − 5)2 + (y − 4)2 = (x − 3)2 + (y − 0)2 (x − 5)2 + (y − 4)2 = (x − 3)2 + (y − 0)2 Desarrollando y ordenando: x + 2 y − 8 = 0 Perpendicular a la tangente en el punto B. Si la tangente es y =0, su perpendicular en el punto (3, 0) es x = 3.

x + 2 y − 8 = 0  5 Centro:  : C =  3,  x =3  2  Conocido el centro el radio se calcula como distancia del centro a B. R=

(3 − 3)2 +  5 − 0  2



2

5 2

=

Con el centro y el radio se obtiene la ecuación de la circunferencia.

(x − 3)2 +  y − 5  

2

2

5 =  2 2

2

2

x + y − 6x − 5y + 9 = 0

15. Ecuación de una circunferencia sabiendo que uno de sus diámetros tiene por extremos los puntos A(0, −3) y B(2, 0). Ecuación de la recta tangente a la circunferencia en A. Ecuación de otra x y circunferencia concéntrica que sea tangente a la recta − = 1 3 4

19. En una circunferencia se trazan dos cuerdas AB y CD perpendiculares entre sí, que se

cortan en un grupo O; se sabe que OB =8 cm, OA =4 cm y OC =2 cm. Obtener la ecuación de la circunferencia en los ejes que, a su juicio, resulte más fácil de obtener. Solución. Se pide calcular la ecuación de una circunferencia conocidas dos cuerdas perpendiculares entre sí y las longitudes de tres segmentos a partir del punto común de las cuerdas OA , OB y OC . Si se toma como origen de coordenadas el punto de corte de las dos cuerdas, se puede conocer tres puntos de la circunferencia A(−4,0), B(8,0) y C(0,−2).

Conocidos tres puntos de una circunferencia, se pueden calcular los elementos de la misma (Centro y radio), de dos formas distintas. Método I: El centro de la circunferencia es el circuncentro del triangulo ABC(punto de corte de las mediatrices del triángulo). Mediatriz AB: d(A−P)=d(B−P), siendo P(x, y) un punto genérico de la mediatriz.

(x − (−4) )2 + (y − 0)2

=

(x − 8)2 + (y − 0)2

; (x + 4)2 + y 2 = (x − 8)2 + y 2

operando y simplificando: x−2=0 Mediatriz AC: d(A−P)=d(C−P), siendo P(x, y) un punto genérico de la mediatriz.

(x − (−4) )2 + (y − 0)2

=

(x − 0)2 + (y − (−2))2

; (x + 4 )2 + y 2 = x 2 + (y + 2 )2

operando y simplificando: 2x − y + 3 = 0 el centro de la circunferencia es el punto de corte de las dos mediatrices  x−2 = 0 C:  : Re solviendo C(2,7) 2 x − y + 3 = 0 El radio se calcula como la distancia de cualquiera de los puntos al centro de la circunferencia. R = d(Centro − A ) =

(2 − (−4) )2 + (7 − 0)2

La ecuación de la circunferencia es:

(x − 2)2 + (y − 7 )2 = (

85

= 85

)2

pasando a forma general se obtiene: x 2 + y 2 − 4x − 14 y − 32 = 0

Método II: Conocidos tres puntos de una circunferencia se puede encontrar la ecuación planteando un sistema de ecuaciones. Se busca una ecuación de la forma x2 + y2 + mx + ny + p = 0, conociendo tres puntos que la deben cumplir A, B y C. Las incógnitas del sistema serán m, n y p. A(−4,0) : (−4) 2 + 0 2 + m·(−4) + n·0 + p = 0 − 4m + p = −16   2 2 B(8,0) : 8 + 0 + m·8 + n·0 + p = 0 opernndo : 8m + p = −64  resolviendo el sistema: C(0,−2) : 0 2 + (−2) 2 + m·0 + n·( −2) + p = 0  − 2n + p = −4   m = −4; n = −14; p = −32 sustituyendo en la ecuación: x 2 + y 2 − 4x − 14 y − 32 = 0

20. Ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, 3), B(1, −1) y C(−3, 1).

Solución 9x² + 9y² + 5x −26y − 49 = 0 21. Ecuación de la circunferencia de centro (2,3) y tangente a la recta 2x−3y+1=0. 16 Solución (x − 2 )2 + (y − 3)2 = 13 22. Ecuación de la circunferencia que pasa por A(−2, 9) y B(1, 2) y cuyo centro está situado en la recta x + 2y = 0. Solución ( x − 4 )² + ( y + 2 )² = 5 23. Ecuación de la circunferencia de centro (4, 1) y radio 2. Centro y radio de x² + y² − 4x + 10y − 13 = 0.¿Son secantes, tangentes o exteriores?. Solución (x − 4)²+(y − 1)² = 2²; (x − 2)²+(y + 5)² = 4², C(2, −5), R = 4; Exterior. 24. Calcula la potencia de los puntos A(0, 1), B(1, −5), C(3, −4) respecto de la circunferencia x² + y² + 2x + 16y + 49 = 0. ¿Qué posición ocupan estos puntos respecto de la circunferencia?. Solución (x + 1)² + (y + 8)² = 16; A es exterior; B es interior; C está sobre la circunferencia. 25. Ecuación de la circunferencia tangente a la recta y + 3 = 0 en el punto (0,−3) y que pasa por el punto A(5, 2). Solución x² + y² − 2y − 21 = 0 26. Ecuación de una circunferencia sabiendo que uno de sus diámetros tiene por extremos los puntos A(0, −3) y B(2, 0). Ecuación de la recta tangente a la circunferencia en A. Ecuación de otra x y circunferencia concéntrica que sea tangente a la recta − = 1 3 4 2

2

3 13 3 49   Soluciones (x − 1) +  y −  = ; 2x+3y+9=0; (x − 1)2 +  y −  = 2 4 2 100     2

27. Ecuación de las tangentes a la circunferencia x² + y² − 4x −4 y − 8 = 0 trazadas desde el punto A(−1, −2). Tangentes paralelas y perpendiculares a la recta x + y + 1=0. Soluciones − 6 ± 2 46 ⋅ (x + 1) 7

a)

y +1 =

b)

x+ y+ −4±4 2 = 0

c)

( ) x − y + (− 4 ± 4 2 ) = 0

29. Se considera una varilla AB de longitud 1.El extremo A de esta varilla recorre completamente la circunferencia de ecuación: x2 + y2 -4x -2y +1 = 0 La varilla se mantiene en todo momento a la tangente a dicha circunferencia. a) Determinar el lugar geométrico descrito por el extremo B de la varilla. b) Obtener la ecuación cartesiana de dicho lugar geométrico. Solución. x² + y² + mx + ny + p = 0 Identificando ambas ecuaciones se obtiene se obtiene los elementos de la circunferencia. Centro y radio −4 a=− =2 2 m = −2a −2 n = −2b b=− =1 2 2 2 2 p = a +b −R R = 2 2 + 12 − 1 = 2 a. El ejercicio es muy fácil, basta simplemente en dibujar lo que nos piden:

se trata de una circunferencia concéntrica a la dada de la que se desconoce el radio. b. en A

Para calcular el radio basta con darse cuenta que los puntos CAB forman un triángulo rectángulo

R 2 = 2 2 + 12 = 5 R= 5

La ecuación de la circunferencia será:

(x − 2)2 + (y − 1)2 = (

5 ordenando e igualando a cero, se obtiene su ecuación cartesiana x2 + y2 − 4x − 2y = 0

)2

30. Determina la circunferencia que pase por los puntos O(0,0), A(3,0) y B(0,2). Halla también la ecuación de la recta tangente y normal en dicha circunferencia en el punto A(3,0) Solución. Se busca una ecuación del tipo x2 + y2 + mx + ny + p = 0, que se cumpla para los puntos O, A y B. Se plantea un sistema de tres ecuaciones. O = (0,0) : 0 2 + 0 2 + m·0 + n·0 + p = 0  2 2  A = (3,0 ) : 3 + 0 + m·3 + n·0 + p = 0 B = (0,2 ) : 0 2 + 2 2 + m·0 + n·2 + p = 0  resolviendo m = −3 ; n = −2 ; p = 0 la ecuación de la circunferencia es: x2 + y2 − 3x − 2y = 0 31. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en la recta y = 2x + 3 y pasa por los puntos A(2,0) y B(4,2) Solución.

El centro se calcula como intersección de la mediatriz del segmento AB con la recta r Mediatriz AB: Si P(x, y) es un punto de la mediatriz, debe de cumplir: d(P−A)=d(P−B)

(x − 2)2 + (y − 0)2 = (x − 4)2 + (y − 2)2 (x − 2)2 + (y − 0)2 = (x − 4)2 + (y − 2)2 desarrollando los cuadrados y ordenando se llega a la ecuación de la mediatriz AB, que toma la forma x+y−4=0 x + y − 4 = 0  x = 13 C: ⇒ 11  y = 2x + 3  y = 3

El radio se calcula como la distancia del centro a cualquiera de los puntos. 2

2

1 146   11  R = d(C − A ) =  2 −  +  0 −  = 3 3 3   Conocido el radio, se aplica la definición de circunferencia   1 11  2 2 2 Centro C ,    3 3  :  x − 1  +  y − 11  =  146    3  3 3   Radio R = 146    3 9x2 + 9y2 − 6x − 66y − 24 = 0 32. Calcula el centro y el radio de la circunferencia circunscrita al triangulo A (3, 1), B (0, 4) y C (−1, −1). ¿Cual es el centro y el radio de la circunferencia inscrita en el mismo triangulo? Solución. a. Se busca una ecuación del tipo x2 + y2 + mx + ny + p = 0, que se cumpla para los puntos O, A y B. Se plantea un sistema de tres ecuaciones.  O = (3,1) : 3 2 + 12 + m·3 + n·1 + p = 0  A = (0,4 ) : 0 2 + 4 2 + m·0 + n·4 + p = 0  B = (− 1,−1) : (− 1)2 + (− 1)2 + m·(− 1) + n·(− 1) + p = 0  ordenando  n + p = −1  3m + n + p = −10  − m − n + p = −2 

resolviendo m = −3 ; n = 2 ; p = −3 la ecuación de la circunferencia es:

x2 + y2 − 3x + 2y −3 = 0

b. El centro se obtiene mediante la intersección de dos de las bisectrices de los ángulos del triángulo, el radio se calcula como la distancia del centro a una cualquiera de las rectas que contienen los lados.

Bisectriz de C:

x − 2y − 1

=±

2x − y + 1

1 + (− 2) 2 2 + (− 1)2 De las dos posibles bisectrices se toma la de pendiente positiva como se observa de la figura, y está, se obtiene con el signo negativo x−y=0 y −1 2x − y + 1 =± Bisectriz de B: 0 2 + 12 2 2 + (− 1)2 2

2

En este caso se toma el signo negativo porque lleva a una recta de pendiente también negativa 2x + 5 − 1 y + 1 − 5 = 0

(

 Centro:  2 x +

(

) (

)

 5 −1 5 −1  x−y=0  , ⇒ C =   5 −1 y + 1− 5 = 0  5 +1 5 +1

) (

)

5 −1

Radio: R =

5 +1

−1

0 2 + 12

=

2 5 +1