MATRICES: un apunte teórico-práctico






Definición Una matriz de tamaño n x m es un arreglo de números reales colocados en n filas (o renglones) y m columnas, de la siguiente forma:

a11 a  21 A = aij = a31  ..... a n1 

[ ]

Los números

a12 a 22 a32 an 2

... a1m  ... a 2 m  ... a3m    ... a nm 

aij se llaman elementos o entradas de la matriz.

Ejemplos:

5,2 0 − 1  A = 12 11 6,1  0 7,4 18 La matriz La matriz

 − 14 B =  − 8  190 

 C = 7 

1 2

 6 

5   7 − 1 D=  19 3   4 

3 1 E= 0  0

− 5 34  15   1

A es de tamaño 3 x 3 (o de orden 3) porque tiene 3 filas y 3 columnas. B es de tamaño 3 x 1 porque tiene 3 filas y 1 columna.

¿Cuáles son los tamaños de las matrices C , D y E ? ______________________________________ Para indicar un elemento de una matriz damos su ubicación mediante su fila y su columna. Así, en la matriz A el elemento a13 = −1 , el elemento a32 = 7,4 y el elemento a22 = 11 . Usos de las matrices Las matrices aparecen en muchos ejemplos en diferentes ciencias y en la vida cotidiana. Por ejemplo, la siguiente tabla que muestra las posiciones en la eliminatoria sudamericana de fútbol en el año 2007 es una matriz de 10 filas y 13 columnas.

Los precios de un hotel pueden mostrarse mediante la siguiente tabla, que es una matriz de tamaño 3x3: Single

Doble

Con Desayuno

$150

$285

Triple $320

Media Pensión

$175

$310

$380

Pensión Completa

$190

$350

$440

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Otro ejemplo de uso de matrices son los grafos. Los grafos son gráficos que permiten mostrar claramente las relaciones entre un conjunto de objetos. Por ejemplo: caminos entre ciudades, rutas aéreas, relación clientes-proveedores, redes en general. Un grafo se forma por un conjunto de puntos llamados vértices o nodos, y un conjunto de aristas que van de un nodo a otro nodo, e indican qué pares de nodos están relacionados entre sí. Por ejemplo, para el grafo de la derecha, el conjunto de nodos es {A, B, C , D, E} . Si determinamos que un 1 indica que hay un camino directo de un nodo a otro, y un 0 indica que no hay camino, la tabla y la matriz asociadas a este grafo son las siguientes: A 0 0 0 0 0

A B C D E

B 1 0 0 0 0

C 0 1 0 0 0

D 1 1 0 0 1

E 0 1 1 1 0




0 0  0  0 0

0 1  0 0 0 1  0 0 0 1 0 0 1 0 

1 0 1 0 1 1

Un uso muy importante de las matrices es la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, tema que veremos más adelante. Tipos de matrices Las matrices que tienen igual cantidad de filas que de columnas se denominan cuadradas. Una matriz cuadrada de tamaño nxn se dice que es de orden n. Los elementos aij de una matriz cuadrada para los cuales i = j forman la diagonal principal de la matriz. ¿Cuáles de las matrices anteriores son cuadradas? _______________________________________ De estas matrices cuadradas, ¿qué elementos forman la diagonal principal? _____________________ _____________________________________________________________________________ Las matrices que tienen una sola fila se denominan vector fila o vector renglón. Las matrices que tienen una sola columna se denominan vector columna. ¿Cuáles de las matrices anteriores son vectores fila y cuáles vectores columna? ___________________ Una matriz cuyas entradas son todos ceros se llama matriz cero o matriz nula. Por ejemplo, la matriz nula de orden 2 es

0 0  0 0  .  

¿Cuál son las matrices nulas de tamaño 3x3, 4x2 y 1x5? _____________________________________ Una matriz cuadrada cuya diagonal principal se forma sólo por unos y que el resto de los elementos son ceros, se llama matriz identidad. Escribe las matrices identidad de orden 2, 3, 4 y 5.

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Una matriz se llama triangular superior si todas las entradas por debajo de la diagonal principal son ceros. Una matriz se llama triangular inferior si todas las entradas por encima de la diagonal principal son ceros. Por ejemplo:

1 0 − 20  A = 0 19 − 66 0 0 55 

1 0 0   ; B= 8 9 0   − 2 4 1


A es triangular superior y B es triangular inferior.

La matriz traspuesta de una matriz A de tamaño nxm se denota por A cuya fila i es la columna i de A , y cuya columna j es la fila j de A .

5 5 20 − 2   T Por ejemplo: si A =  entonces A = 20   8 − 4 − 3 − 2

T

y es la matriz de tamaño mxn

8 − 4 − 3 

¿Cuáles son las traspuestas de las siguientes matrices?

1 − 8 5 1 − 7 0 P= 0 2 − 9  1 8 − 5

1 3  T
P =  2  2

6 Q= 7

2

2 T
Q =  3

Igualdad de matrices Dos matrices A y B del mismo tamaño son iguales si sus elementos correspondientes son iguales, es decir, aij

= bij .

3 = u x = 5 3 x  u 5  Ejemplo: si A =  y B= y A = B entonces debe cumplirse que:  .   1 2 + x  1 w  1 = 1 2 + x = w Por lo tanto se obtiene que: A = B

Ejercicio: si M

0 = y

3 5 = . 1 7 

1  z 8 5 − h yN =   hallar los valores de x, y, h, m, z para que M = N . x + y h 3 2m h  x

Operaciones entre matrices a) Suma y resta de matrices Si

[ ]

[ ]

A = aij y B = bij son dos matrices del mismo tamaño, entonces se define la suma de ambas matrices

como la matriz

[ ]

A + B = cij tal que cij = aij + bij , ∀i, j y la diferencia de ambas matrices como la matriz

[ ]

A − B = d ij tal que d ij = aij − bij , ∀i, j Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2010

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b) Producto de una matriz por un escalar

[ ] kA = [ka ]

Si

A = aij y k ∈ R , entonces se define el producto de la matriz A por el número real k como la matriz ij

Ejercicio: dadas las siguientes matrices hallar

A + B , B + A , A − B , B − A , 5A ,

1 B , 5 A − 4B . 2

0 2   y B = 1 4  A= 1 2 − 1 − 3    2 

c) Producto entre matrices Si

[ ]

[ ]

A = aij es de tamaño nxp y B = bij es de tamaño pxm, entonces se define la multiplicación de ambas

matrices como la matriz

p

A ⋅ B = cij de tamaño nxm tal que cij = ∑ aik ⋅ bkj , con i = 1,..., n y j = 1,..., m

[ ]

k =1

2 0 1 − 4 1 0 2 1   Ejemplo: sean A =   y B = 1 1 3 1 1 − 2    0 − 1

1 0 . Como A es de 2x4 y B es de 4x3, el producto 2  1

de ambas será una matriz de 2x3.

2 0  1 0 2 1  1 − 4 A⋅ B =  ⋅  3 1 1 − 2 1 1  0 − 1 ¿Es posible realizar el producto

1  0 2 + 0 + 2 + 0 0 + 0 + 2 − 1 1 + 0 + 4 + 1 4 1 6  = = 2  6 + 1 + 1 + 0 0 − 4 + 1 + 2 3 + 0 + 2 − 2  8 − 1 3  1

B ⋅ A ? ¿Por qué? _____________________________________

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0 1   2 0 − 5   Ejercicio: hallar, si es posible, F ⋅ G y G ⋅ F siendo: F =  y G= 9 2    1 5 0  − 1 2

Propiedades de las operaciones entre matrices  Suma • •

Conmutativa: A + B = B + A Asociativa: A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

•

Existencia de neutro:

A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula

 Multiplicación por un escalar • • • •

k ⋅ ( A + B) = kA + kB (k1 + k 2 ) ⋅ A = k1 A + k 2 A k1 (k 2 A) = (k1k 2 ) A k ⋅ 0 = 0 donde 0 es la matriz nula

 Propiedades de la matriz transpuesta •

( A + B)T = AT + B T

•

(k ⋅ A)T = k ⋅ AT

•

( A ⋅ B)T = B T ⋅ AT

 Producto entre matrices • •

No es conmutativa, es decir, AB ≠ Asociativa: A ⋅ ( B ⋅ C ) = ( A ⋅ B ) ⋅ C

•

Distributiva respecto a la suma:

•

BA

A ⋅ ( B + C ) = AB + AC y ( B + C ) ⋅ A = BA + CA Existencia de neutro: A ⋅ I = I ⋅ A = A donde I es la matriz identidad

Observa que: en los números reales el 0 (cero) es el neutro para la suma y el 1 (uno) es el neutro para la multiplicación. En las matrices, la matriz cero 0 es el neutro para la suma y la matriz identidad I es el neutro para la multiplicación entre matrices. Ejercicio: Dadas las matrices siguientes verifique todas las propiedades enunciadas arriba.

1 − 2  0 1 A= B=   0 − 3 4 1

1 1  C=  5 3

k1 = 2

k2 = 3

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Matriz Inversa Sea

Anxn

una matriz de orden n. Se dice que una matriz

Bnxn

del mismo orden es la inversa de

A si se

satisfacen las siguientes dos igualdades:

A⋅ B = I

y

B⋅ A = I

Cómo hallar la matriz inversa usando la definición

1 2  a b  A= y sea B =    . Vamos a hallar B tal que sea la inversa de A . 3 4 c d  1 2  a b  1 0 Por definición de matriz inversa, debe cumplirse que A ⋅ B = I . Es decir:  ⋅  =  3 4 c d  0 1

Ejemplo: Sea




1 2  a b  a + 2c b + 2d  1 0 3 4 ⋅ c d  = 3a + 4c 3b + 4d  = 0 1        

 a + 2c = 1 3a + 4c = 0  Para que estas dos últimas matrices sean iguales debe cumplirse que:  b + 2d = 0 3b + 4d = 1  a = 1 − 2c 3 4  Tomamos las dos primeras ecuaciones, de ambas despejamos a : 
1 − 2c = − c
c = 4 2 3 a = − 3 c Reemplazando

c en alguna de las dos ecuaciones obtenemos el valor de a : a = −2

Ejercicio: tomando la tercera y cuarta ecuaciones, obtener los valores de

− 2 Por lo tanto, la matriz B tal que A ⋅ B = I es B =  3  2 Importante!


Ejercicio: Sea

b y d:

 .  

No toda matriz cuadrada tiene inversa.

1 2  A=  . Intentar hallar la matriz inversa por el método anterior. ¿Qué sucede?  2 4

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Importante: • Si una matriz tiene inversa se dice que es invertible o no singular. Si no tiene inversa, se dice que es singular. •

A la matriz inversa de una matriz

A se la denota por A−1 .

Método de Gauss para hallar la inversa Ahora veremos otra forma de hallar la inversa de una matriz. Para esto escribimos la matriz dada seguida de una línea vertical, y luego la matriz identidad

A,

I del mismo orden de A , es decir: [A I ]. La

idea es, mediante operaciones elementales (suma o resta entre filas, producto de una fila por un escalar, intercambio de filas) realizadas a las filas de

[

Veremos el procedimiento con un ejemplo. Vamos a hallar la inversa de la matriz dada antes

1 21 0 3 40 1




1

2

1 0

0 − 2 −3 1

Multiplico la primer fila por (– 3) y la sumo a la segunda fila.

Por lo tanto la matriz inversa de




Multiplico la segunda fila por –(1/2).

]

A y de I , llegar a obtener lo siguiente: I A −1 .

1 2 1

0

0 1 3 / 2 1/ 2




1 2  A=  3 4

1 0 − 2 −1 0 1 3 / 2 1/ 2

Multiplico la segunda fila por (– 2) y la sumo a la primer fila.

1 2  − 2 − 1  −1 A= es A =    3 4 3 / 2 1 / 2

Ejercicios:

2 0 1  4 − 1   1) hallar las inversas de M =  y de N = 3 0 0     − 3 1 5 1 1

2) Probar con este método que la matriz

1 2  A=  dada anteriormente no tiene inversa. 2 4

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