MATRICES 1. Determinar la matriz transpuesta de cada una de las siguientes matrices:  −1 2     0 −1 6   −1 1 5 6 8       3 − 1 = − − = A= B 2 4 2 C    4 − 3 0 1 6  0 7  5 − 3 − 5 4 1 7   1 − 1    7 4   2. Efectúa la siguiente operación con matrices y calcula A  1 − 5 − 6   6 3 − 1   1 0 0   − 6 0 3           2 ⋅ A − 3⋅ 2 3 1  =  2 3 1  − 5 ⋅  0 1 1  − 2 ⋅  1 0 2  4 5  − 1 − 2 0  3   4 3 2    0 0 1    

a) b) c) d)

 0 0 − 1  −1 3 2  −1 2 5       3. Sean A =  4 1 8  , B =  2 1 4  y C =  3 0 2  determinar: 0 1 6   −1 0 3  6 −1 2       At+6B+3C (A−C)t+7B−6Bt 7A−2C+3(6At−2B) A−At−3(B+C)

−1 4. Dadas las siguientes matrices A =  1

 − 3 1 5   , B =  4 1 0 y C =  2 5  0 0 1   2 3

 −1 0 1    3 0 2  −1 1 5  

Calcular: a) A·B·C b) A·(B+C) c) B·C·At d) (7B-6C)·At

5. Sea

A = (3

1

2) y

 5    B =  − 2  , calcular si es posible los productos A·B y B·A  4   

6. Calcular A·B y B·A siendo A y B las matrices:  3     1  A = (1 3 2 −1) ; B =   −2    2    7. Sean A una matriz de dimensión 5×4, B una matriz de dimensión m×n y C de dimensión 3×7. Si se sabe que se puede obtener la matriz producto ABC, ¿ Cual es la dimensión de la matriz B? ¿Y la de la matriz ABC? b) Si A es una matriz, ¿existe siempre el producto At A?. Razona la respuesta. a)

(

1 2  . Calcular A t ⋅ A −1 8. Se considera la matriz  3 4  

) ⋅A . 2

9. 1 0  . Calcular A2, A3, A4 y An, siendo A =   2 4 b) Calcular las potencias enésimas de las siguientes matrices: 1 1 1  1 1 1 1 0 1       1 1  a 1  : B =   : C = 1 1 1 : D =  0 1 1 : E =  0 1 0  A =  1 1  0 a 1 1 1  0 0 1 1 0 1       a)

0 1 0   10. Sea la matriz A =  0 0 1  , calcular A2, A3 y An. 0 0 0   1 0 0   11. Sea la matriz A =  a 1 0  . Calcular A100. a 0 1   4 

5

− 1 

12. Dada la matriz A =  − 3 − 4 1  , calcular A², A3 y A428 − 3 − 4 

0 

1 0 0    13. Siendo A =  0 − 4 10  , verificar que se cumple A 2 − 3A + 2I = 0 . Calcular A8. 0 − 3 7    8 6  . 14. Calcular una matriz de orden dos simétrica y otra antisimétrica tal que su suma sea  4 0 Demostrar que cualquier matriz cuadrada se puede expresar como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica. 15. Resolver las siguiente ecuaciones matriciales:  0 2  = a ⋅ (1 − 1) a) (1 − 1)⋅   − 2 4 b)

(x 1

 0 − 1  = (7 0 ) x 2 )⋅  7 3 

16. Calcular las matrices A y B:   1 − 1  3·A − 5B =  8 1    a)   − A + 3·B =  2 4   3 0   

b)

  3 16  t  3·A − 2·B =    9 − 14   3  A + 3·B t =  1     − 13 − 1

 2 3  por tres métodos diferentes. 17. Calcular la inversa de A =   1 5 18. Calcular la inversa de las siguientes matrices: 1   1 2 − 3  6 0 6  2 4 3 1 0 0          0 A =  0 1 2  : B =  0 − 1 2  : C =  1 2 5  : D =  2 1 − 1 : E =  0 0 0 1  1 2 1  3 1 3 1 2 3           0 

0 0 0  2 0 0 0 3 0  0 0 4 

19. Dada la matriz 2x2 con elementos a11=1, a12=−1 a21=2, a22=2 calcule su matriz inversa y compruebe el resultado. a 1 0   20. Sea A =  0 1 1  Hallar el valor o valores de a para los que la matriz A no tiene inversa. 1 a 0   Hallar A−1 para a = 2.  2 3  . Teniendo en cuenta el resultado anterior calcular A−1 y 21. Calcular A2−3A−I siendo A =   1 1 A4. 1 0 1   22. Sea A =  0 1 0  . Hallar A−1 y An. 0 0 1   2 4 6 8   23. Hallar utilizando el método de Gauss, el rango de la matriz  1 1 2 3  .  2 3 5 4  

a)

24. Sean X, B y C matrices de orden 3x3, con el determinante de B distinto de 0. Para despejar X en la ecuación B·X=C se procede del modo siguiente:

B·X=C ⇒ (B·X)·B−1=CB−1 ⇒ B·(X·B−1)=C·B−1 ⇒ B·(B−1·X)=CB−1 ⇒ (B·B−1)·X =C·B−1 ⇒ I·X=C·B−1 X=C·B-1 (Donde I es la matriz unidad de orden 3x3). Si el racionamiento anterior es incorrecto, señalar los fallos y reconstruirlo correctamente paso a paso, indicando en cada paso cuál es la propiedad aplicada. 1 0 0  2 0 1     b) Resolver la ecuación B·X=C, siendo B =  2 1 0  y C =  1 3 0  . 1 0 1  0 0 1      7 2  1 0  .  para obtener la B =  25. Por que matriz hay que premultiplicar a la matriz A =  11 5   2 1 ¿Seria la misma si invertimos el orden?.

1 1   26. Calcular M para que se cumpla A · M = 2 · I, siendo A =  1 2  1 1 1 0  : B =   : 27. Siendo A =  2 4    4 5 a) Hallar X sí A·X = B. b) Hallar X sí X·B = A. 28. Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:  2 3  2 3  1 1  ⋅ X ⋅   =   a)  1 2  1 2   2 3  1 1 0 1 2  1 1 0      3 1 1    ⋅ X −  − 1 2 1  ⋅ X = 2 ⋅  − 1 2 1  b)  2 1  ⋅   1 −1 1   0 1   2 − 1 1  1 −1 1       29. De una matriz se sabe que es triangular inferior y simétrica, ¿de que tipo de matriz se trata?.  4 2  . 30. Obtener una matriz simétrica y otra antisimétrica tal que su suma sea  1 3 1 1   , obtener la matriz B tal que A·B = B·A. 31. Sea A =  1 2   2 − 1  verifique A² = A 32. Determinar los valores de a y b de forma que la matriz  a b  x   33. Hallar la matriz X =  y  tal que z  

 2  1 3 2     0 1 1⋅ X =  1   − 3  3 3 3    

34. Se dice que dos matrices conmutan si AB = BA. Encontrar todas las matrices que conmutan con 0 1  B =  0 2  t 1 2t    35. Dada la matriz A =  t 1 2  , hallar los valores de t para los que existe A−1. Calcular, si es 0 1 1    posible A−1 para t = −1. 0  a  que verifican A² = A 36. Hallar las matrices A =  − 1 c a  x 37. Hallar las matrices A =  0 3 1   B =   2 − 2

y  cuyo determinante vale 25 y tales que B·A−A·B = 0 siendo z 

1 1 0   38. Sea M la matriz  0 1 1  e I la matriz unidad de orden 3×3. Calcula la matriz J tal que 0 0 1   M=J+I. Calcula también las matrices J2, J3, y J1.994.  1 − 1 1 2   , B=  39. Sean las matrices A=  0 1   2 3 a) Calcula la matriz inversa de AB. b) Halla el producto de la inversa de B por la inversa de A. ¿Qué relación existe entre la matriz del apartado anterior y esa matriz. Justifica la respuesta.

a)

 −1 0     1 2 3 1 − 1   , B=  2 2  , C=   . Se pide: 40. Dadas las matrices A=  2 1 1   1 0   − 1 − 1   Obtener: C + A·B.

b) Calcular: C−1 + (AB)−1; (C + AB)−1. 41. (Puntuación máxima: 3 Puntos) Sean las matrices

1 1  , A y B, definidas como: A=  1 1

 0 − 1  . Hallar la matriz X tal que verifique X·B = A + B B=   −1 0  42. (Puntuación máxima: 2 Puntos) 2  −1 0 5      y   Hallar x, ,y, z para que se verifique  − 1·x +  1 2 ·  =  2  3  1 1  z  8       1 0   2 3   y B =  43. (Puntuación máxima: 2 Puntos) 1. Sean las matrices A =  1 − 5   3 1 a) Calcular las matrices C y D, sabiendo que AC = BD = I, siendo I la matriz identidad de orden dos.  x  1 b) Discutid y resolved el sistema dado por: C −1 − D −1 ·  =   siendo C−1 y D−1 las matrices inversas de  y   2 las matrices C y D indicadas en el aparato anterior.

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