EJEMPLO PRÁCTICO Nº 15
Construcciones metálicas y de madera
EJEMPLO PRÁCTICO Nº 15: Cálculo de columnas compuestas metálicas Se pretende el dimensionamiento de una columna metálica formada por 2 PNU según la figura. La columna deberá soportar una carga de 50 toneladas y tiene una altura de 6,50 m. Los datos necesarios para la resolución son: • Se usará Acero tipo F.24. • Las condiciones de Recaudo Constructivo son de tipo II. • El Destino de la obra es tipo B. • Las cargas son de tipo P. z y 1
1
P x
x
h 1
1 y e a
y x
Se propone el cálculo de arriostramientos de la sección compuesta con presillas horizontales y diagonales, ambas unidas a los perfiles componentes de la sección con soldaduras.
1. Condiciones de vínculo y Longitudes de pandeo Como podemos observar en la figura, podemos considerar a la columna articulada, y los arriostramientos efectuados en "Cruz de San Andrés" en los campos aledaños indican que el nudo superior es fijo en el espacio (condición indispensable para la estabilidad de la columna en este caso). En cuyo caso podemos admitir que se trata de una columna con condiciones de vínculos de articulada - articulada que resolveremos según el siguiente esquema de cálculo: Skx = 6.50 m Sky = Skx
2. Tensiones admisibles De los datos del problema podemos extraer los siguientes valores: Tensión de fluencia del acero Coeficiente de seguridad
σ adm =
σ Fl γ
σ Fl = 2400
kgf
(C.301 T.1)
2
cm
γ = 1.60 σ adm = 1500
(C.301 T.6)
kgf
(C.301 - § 4.1.2.)
2
cm
1
EJEMPLO PRÁCTICO Nº 15
Construcciones metálicas y de madera
3. Predimensionado Predimensionaremos con la Metodología de Dömke, según el eje material x.x
ω0 = 1
F0.nec =
ω0 × P
2
F0.nec = 33.33 cm
σ adm
F0.1 =
Para un solo perfil será:
F0.nec
2
F0.1 = 16.67 cm
2
Con este último valor recurrimos a las tablas de perfiles y seleccionamos: 2
F1 = 17.00 cm
Adoptamos 2 PNU 120
2
F0 = 2 × F1
F0 = 34 cm
i0.x = 4.62 cm
λ 0.x =
Skx
λ 0.x = 140.69
i0.x
Recurrimos entonces a la Tabla de Dömke para aceros F.24 de donde obtenemos:
λ r = 97
ω r = 2.11 Fnec.1 =
2
Fnec = ω r × F0.nec
Fnec
Fnec = 70.33 cm
2
Fnec.1 = 35.17 cm
2
2
F1 = 37.4 cm
Adoptando 2 PNU 220
F = 2 × F1
2
F = 74.8 cm
ix = 8.48 cm
4. Verificación al pandeo según el eje material x-x λx =
Skx
σ k.x =
de tabla λ.ω
λ x = 76.65
ix
ωx × P F
σ k.x = 1.16
(Ver C.302 § 2.2.5.2.1)
ω x = 1.73
t 2
cm
¿Cuanto estamos sobredimensionando la sección con esta tensión? %sobredim =
σ adm − σ k.x σ adm
× 100
%sobredim = 22.91
Estamos perdiendo casi el 23% de la resistencia admisible que nos ofrece el material, que a su vez es un 60% menos de la resistencia última del material, por lo que deberíamos ajustar un poco los cálculos, en la medida de lo posible.
2
EJEMPLO PRÁCTICO Nº 15
1
Construcciones metálicas y de madera
1
Adoptando 2 PNU 200:
x
x
1
1 y e a
λx = σ kx =
Skx
F1 = 32.4 cm
2
F = 2 × F1
Ix = 1910cm
4
I1 = 148cm
i x = 7.7 cm
i 1 = 2.14 cm
yG = 20.1 mm
b = 75mm
ωx × P
σ kx = 1.44
F
4
de tabla λ.ω
λ x = 84.42
ix
2
F = 64.8 cm
t ala = 11.5 mm
ω x = 1.87
valor que es más cercano a la tensión admisible y que sólo nos produce un desperdicio un poco menor al 4% de la resistencia que ofrece el material.
t 2
cm
ARRIOSTRAMIENTO CON PRESILLAS HORIZONTALES SOLDADAS 5. Verificación según el eje inmaterial y-y a) Magnitud auxiliar λ1
S1
λ1 es la esbeltez local y representa una magnitud auxiliar que el Reglamento utiliza para la calcular la esbeltez de cálculo según el eje inmaterial λyi (o como figura en el C.302, λzi) Si se analiza el pandeo según el eje inmaterial notamos que la columna se comportará como una pieza enteriza en la medida de la eficacia de los arriostramientos. Es así que λ1 actuará como un parámetro de mayoración del λy teórico.
λ1 =
S1
(Ver C.302 Fig. 4.a)
i1
y 1
1
x
x
La normativa CIRSOC 302 (80's) dá en su Figura 4 una serie de diseños de arriostramientos y la manera de calcular la esbeltez local para cada uno de dichas tipologías. Asimismo, establece la siguiente limitación: S1
1
i1
1
≤ 50
(Ver C.302 § 2.2.5.2.3)
y
o lo que es lo mismo:
S 1 ≤ 50 × i 1
i1 es, lógicamente el radio de inercia según el eje 1-1 de la sección. Esto equivale a decir que es el radio de giro iy que figura en las tablas de perfiles. Por lo tanto, para el PNU 200: i1 = 2.14 cm
S 1 ≤ 50 × i1
50 × i1 = 107.0 cm
3
EJEMPLO PRÁCTICO Nº 15
Construcciones metálicas y de madera
Además, cabe mencionar que en el mismo artículo, la normativa impone la siguiente verificación para el eje inmaterial: S1 i1
≤
λx 2
× 4 −
3 × ω yi × P
(Ver C.302 § 2.2.5.2.3)
F × σ adm
b) Número de campos El número de campos debe ser ajustado para que resulte un número entero, además debe cumplir con la condición anterior y la siguiente n≥3
(C.302 § 2.2.5.5.4)
S 1 = 107cm
nº campos =
h
nº campos = 6.07
S1
Aquí corresponde analizar la adecuación de S 1 para lograr una mejor adaptación a la práctica constructiva, además de lograr un número entero de cuadros. En este caso, adoptaremos el número de campos en nºc = 10, de manera de lograr S 1 = 65 cm. que es un valor fácilmente medible al momento del montaje de la estructura. nº campos = 10
Adoptando
λ1 =
S1 =
S1
h
S 1 = 65 cm
nº campos
λ 1 = 30.37
i1
c) Determinación de la separación "a" entre los perfiles La separación "a" se define en función de la hipótesis de tener una seguridad al pandeo según el eje y-y igual a la obtenida para el eje x-x, como mínimo, ya que si las condiciones de estabilidad lo precisaran, podríamos incrementar la resistencia al pandeo según el eje y-y incrementando la distancia "a". En la condición límite de igualar resistencias al pandeo: m
2
λ yi = λ x
λ yi = λ y + × λ 1 2
2
(C.302 - § 2.2.5.2.2)
En el caso que nos ocupa: por lo tanto la ecuación de λyi se transforma en:
m = 2
2
λ yi = λ y + λ 1
2
λ yi = λ x
y entonces,
Y de ella se deduce la separación "e" entre ejes de gravedad de 1-1 de los perfiles: e = 2×
Sky
2
λ − λ 1 x 2
2
− i1
2
valores ya calculados anteriormente, por lo q ue resulta:
e = 159.41 mm
La distancia al baricentro de cada perfil vale
xG = 20.1 mm
a = e + 2 × xG
a = 199.61 mm
e = a − 2 × xG
e = 159.8 mm
Adoptamos, finalmente:
a = 200mm
4
EJEMPLO PRÁCTICO Nº 15
Construcciones metálicas y de madera
d) Cálculo de la esbeltez ideal λyi
2 e 2
Iy = 2 × I1 + F1 ×
Iy
iy =
λy =
i y = 8.27 cm
F Sky
2
λ y = 78.59
iy
λ yi = λ y + λ 1
2
λ yi = 84.25
ω yi = 1.87
Para λyi = 85
σ k.yi =
4
Iy = 4432.84 cm
ω yi × P
σ k.yi = 1.44
F
t 2
cm
Con lo cual hemos comprobado la pieza al pandeo según el eje y-y. Resta hacer una última comprobación marcada por la normativa C.302. S1 i1
S1 i1
≤
λx 2
× 4 −
3 × ω yi × P
F × σ adm
50 × 4 − 3 ×
= 30.37
λx
2
= 42.21
σ k.yi
= 55.71 σ adm
es menor a 50. Se adopta 50.
Verifica
6. Cálculo de las presillas de unión Qi
Calculamos el esfuerzo de corte ideal: Qi =
ω yi × P
Qi
Qi = 1.17 t
80
Qi
2
2
S1 2
Verificación: 20 × i1 = 42.8 cm
>
e = 15.98 cm
T S1 2
por lo tanto no debe mayorarse el valor de Q i.
T =
Qi × S 1 e
Qi
Qi
2
2
Qi
T = 4.75 t
y 1
T
1
y 2
En cada presilla actuará: x
T
2
x
Qi
Qi
2
x 2
= 2.38 t 1
1 y
T
2
y
5
EJEMPLO PRÁCTICO Nº 15
Construcciones metálicas y de madera
hpr
H 1 Gs
T
V
1
2
H d
b a
2
Convención simplificativa: El cordón vertical absorbe el corte y los cordones horizontales el momento. Conservadoramente podemos calcular el momento sobre la soldadura tomando la distancia desde T/2 hasta el cordón vertical. En realidad, el momento está aplicado en el baricentro de la figura formada por el cordón vertical y los dos horizontales, entonces estaremos tomando un plus de seguridad la tomarlo en la línea que representa al cordón vertical. Las presillas, constructivamente son planchuelas, por lo que recurriremos a tablas de fabricantes de planchuelas para elegirlas. Se adopta una presilla con un espesor similar al del ala del perfil. Si adoptamos una chapa de 3/8" de espesor: t pr = 9.52 mm
Verificamos ahora el rango de espesores de soldaduras entre los cuales podremos elegir el más adecuado para el caso que nos ocupa: a s.min = 3mm a s.max = 0.7 × tmin
En nuestro caso el espesor mínimo a considerar será, lógicamente, el espesor de la planchuela que actua de presilla: a s.max = 6.66 mm
Adoptamos finalmente:
a s = 5mm
Los cordones que deben efectuarse son del tipo "de filete". Por lo tanto:
α = 0.83
σ s.adm = α × σ adm
σ s.adm = 1.245
t 2
cm
τ s.adm = σ s.adm Ahora calcularemos la altura necesaria de la presilla considerando los efectos en forma separada. 6
EJEMPLO PRÁCTICO Nº 15
Construcciones metálicas y de madera
A) Altura necesaria para efectuar el cordón vertical (abs. corte) De acuerdo a lo mencionado, el cordón vertical absorberá el esfuerzo de corte, reaccionando ante la fuerza T. Por lo tanto:
τ s.vert =
T 2 a s × h pr
h pr ≥ hnec
h nec =
T 2
h nec = 3.82 cm
as × τ s.adm
B) Altura necesaria para efectuar los cordones horizontales (abs. momento flector) Se debe adoptar un valor "d" que sea menor que el ancho "b" del ala del perfil y permita alojar el cordón vertical de filete sin llegar al zona de acuerdo del perfil. Se adopta entonces: d = 6cm T
Msold =
H =
b = 7.5 cm
en concordancia con el valor del ancho del perfil:
2
a − ( b − d ) 2
×
Msold
Msold = 20.2 tcm
τ s.horiz =
h pr
h pr ≥ hnec
h nec =
H as × d Msold
h nec = 5.41 cm
as × d × τ s.adm
C) Altura necesaria por flexión de la presilla El momento máximo que se producirá en la presilla será en la sección 1-1. M1.1 =
T
2
×
a − b 2 Wnec =
M1.1 = 5.94 tcm
Wpr =
t pr × h pr
M1.1
σ adm
3
Wnec = 3.96 cm
2
6
h pr ≥ hnec
h nec = 6 ×
Wnec t pr
h nec = 5 cm
D) Longitud mínima de soldadura ls.min = 10 × a s
ls.min = 5 cm
ADOPTAMOS FINALMENTE para la presilla: tpr = 9.52 mm
(3/8" de espesor)
h pr = 76.2 mm
(3" de ancho) 7
EJEMPLO PRÁCTICO Nº 15
Construcciones metálicas y de madera
ARRIOSTRAMIENTO CON DIAGONALES SOLDADAS En los arriostramientos con diagonales se plantea el problema de la indeterminación del valor de λ1 , ya que si se observa la Fig. 4.b del C. 302, la fórmula que la normativa indica para este parámetro es la que sigue: S1
λ1 = π
2× F n × AD
×
d
3
S1 × e
2
Donde:
y 1
1
F: Área total de la sección compuesta bruta AD: Sección de la diagonal d: longitud teórica de la diagonal n: número de uniones transversales situadas en planos paralelos e: separación de los ejes propios.
x
x
1
1 y
Como vemos en la fórmula, no conocemos: • El valor de "d". • el valor de "AD". La longitud "d" de la diagonal, una vez diseñado geométricamente el arriostramiento, es fácilmente calculable. El valor de A D depende lógicamente del esfuerzo en la diagonal (D) que a su vez depende del esfuerzo de corte ideal (Q i). El esfuerzo Qi, como se vió anteriormente, está en función de ωyi, que a su vez tiene relación directa con λyi a través de las tablas de λ-ω que contiene la normativa C. 302. El valor λyi se rige a su vez por la fórmula anteriormente expuesta: 2
m
λ yi = λ y + × λ 1 2
2
Por lo cual, llegaríamos a la incongruencia de que λ1 es función de sí misma. Para la solución del problema tenemos dos caminos: Hipótesis a): λ1 = S1 / i1 . En el caso de diagonales se calcula λ1 con el "artificio" de considerar como si fueran presillas horizontales, en las cuales, según el reglamento y como hemos visto, λ1 = S1 / i1. Definido el cálculo de las diagonales, finalmente se verifica λ1 según la expresión definida por la Fig. 4 del 302 para arriostramientos en diagonal y si resultara un valor menor (como generalmente ocurre) estaremos en buenas condiciones (del lado de la seguridad con respecto al artificio efectuado) En este caso, en el que ya hemos dimensionado la pieza y los arriostramientos con presillas horizontales, y disponemos del valor del esfuerzo de corte ideal ( Qi), es válido adoptarlo, con lo que estaríamos aceptando la simplificación de que λ1 = S 1 / i1 . 8
EJEMPLO PRÁCTICO Nº 15
Construcciones metálicas y de madera
Hipótesis b): ω yi = ω x Es la condición que se ha planteado como hipótesis para el cálculo de la separación de ejes baricéntricos propios "e". Es absolutamente válido considerarlo para cortar con la indeterminación y comenzar el cálculo en el sentido y-y, además del dimensionamiento de las diagonales. Es importante remarcar que esta alternativa es válida si no existen esfuerzos exteriores horizontales, como ser la acción del viento, ya que estos producen momentos flectores que en estructuras más livianas son mucho más importantes que la carga gravitatoria, y por lo tanto las secciones se definen en base a un W y nec, emergente de las condiciones de flexión y por esto, puede estar muy lejos de la condición λyi = λx. En nuestro caso, tomaremos el primer camino, es decir adoptar el valor de Q i y aceptar como válido que λ1 = S1 / i1 . Previamente al cálculo del esfuerzo sobre la diagonal, definiremos la geometría de la pieza. e = 159.8 mm
β
a = 200 mm
γ
S 1 = 65 cm
S1
nº campos = 10 d
El valor del ángulo β se determinará: tgβ =
e
e
tgβ = 0.49
S1 2
arctg( tgβ) = 26.18 º
Valor que es menor a 30º.
El valor de β debe ser tal que sea igual o mayor a 30º por conveniencias constructivas, con lo cual debemos redeterminar el valor de S 1 para lograr un valor mayor del ángulo β.
β = 30º
Si adoptamos
tg( β ) = 0.577
Si mantenemos constante el valor de "e", S 1 debe valer: 2× e
S1 =
S 1 = 55.36 cm
tg( β )
tgβ =
e
tgβ = 0.64
S1
Adoptando
S 1 = 50cm
arctg( tgβ) = 32.59 º
2
nº campos =
h S1
nº campos = 13
La longitud de la diagonal valdrá entonces: S1
d =
2
cos( β )
d = 29.67 cm
9
EJEMPLO PRÁCTICO Nº 15
Construcciones metálicas y de madera
Habiendo definido la geometría de la pieza se adoptará el valor del esfuerzo de corte ideal del caso de arriostramientos con presillas horizontales y se determinará el valor real de λ1 . Qi = 1.17 t
D =
Qi
D = 1.09 t
n × sen( β )
n=2
Pasemos ahora a obtener el área de la diagonal, que será predimensionada con la metodología de Dömke: SkD = d tD
ω0 = 1
bD
D
AD.0 =
σ adm
2
AD.0 = 0.72 cm
Si adopto una relación ancho de la diagonal / espesor igual a 3: R =
bD
R=3
tD
AD.0
t D.0 =
R
tD.0 = 4.91 mm
Se adopta: t D.0 = 6mm b D.0 = R × tD.0 i D.0 =
λ0 =
t D.0
12 SkD i D.0
AD.nec = ω r × AD.0
tD =
AD.nec R
b D.0 = 18 mm iD.0 = 0.17 cm
λ 0 = 171.3
λ r = 110
ω r = 2.43
2
AD.nec = 1.76 cm
tD = 7.65 mm
b D = R × tD
b D = 22.96 mm
Adopto una planchuela de 5/16" (7.94 mm) × 1" (25.4 mm) t D = 7.94 mm
b D = 25.4 mm
AD = t D × b D
2
AD = 2.02 cm
10
EJEMPLO PRÁCTICO Nº 15
Construcciones metálicas y de madera
Verificamos finalmente la situación de pandeo para la planchuela adoptada: tD
iD =
iD = 0.23 cm
12 SkD
λD =
λ D = 129.45
iD
ωD × D
σ k.D =
σ k.D = 1.75
AD
para λ = 130
t
ω D = 3.26
Con lo cual vemos que estamos en M.C. y debemos adoptar una planchuela más grande.
2
cm
Adoptamos entonces una planchuela de 3/8" (9.52 mm) × 1" (25.4 mm) tD = 9.52 mm
b D = 25.4 mm
AD = t D × b D
2
AD = 2.42 cm
Verificamos al pandeo: iD =
tD
λD =
i D = 0.27 cm
12
SkD iD
λ D = 107.97 σ k.D =
ωD × D
σ k.D = 1.06
AD
t
para λ = 108
ω D = 2.37
Estamos en B.C. 2
cm
Con lo que hemos dimensionado y verificado la diagonal. Si la misma estuviera unida con medios de unión puntuales a los perfiles de la columna, se debería verificar también la sección neta, dado que las diagonales están sometidas alternativamente a esfuerzos de tracción y compresión. Volvamos entonces a la incógnita que nos ocupaba, que era el valor de λyi, e indirectamente, el valor de λ1 . Recordemos que aún no hemos verificado la situación de pandeo en el sentido y-y, para este caso de arriostramientos con diagonales.
λ1 = π
2× F n × AD
×
d
3
S1 × e
2
Desglocemos los valores integrantes de la fórmula 2
F = 64.8 cm
(Área bruta de 2 PNU 200)
n=2
(número de uniones transversales en planos paralelos) 2
AD = 2.42 cm
(Área de las diagonales - 3/8 " × 1")
d = 29.67 cm
(Longitud de las diagonales)
S 1 = 50 cm
(Longitud entre campos arriostrados)
e = 15.98 cm
(extensión - separación entre los ejes propios de los perfiles PNU)
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EJEMPLO PRÁCTICO Nº 15
λ1 = π
Construcciones metálicas y de madera
2× F
d
×
n × AD
3
S1 × e
λ 1 = 23.26
2
ω 1 = 1.22
ω1 es menor que ω x, por lo tanto B.C. para la condición § 2.2.5.4.5. del C. 302 Cálculo de la inercia y esbeltez teórica: 4
I1 = 117cm
Iy = 2 × I1 +
λy =
F
2
2 e 2
×
Sky
4
Iy = 4370.8 cm
iy =
Iy F
iy = 8.21 cm
λ y = 79.14
iy 2
m
λ yi = λ y + × λ 1 2
2
λ yi = 82.49
λ x = 84.42
Por lo tanto también estamos en B.C. para la condición § 2.2.5.2.2. del C.302 Con lo que hemos verificado la columna a su situación de pandeo en ambos ejes y hemos verificado los arriostramientos con planchuelas dispuestas en diagonal. Ahora debemos diseñar la union de los arriostramientos en diagonal con soldaduras.
7. Diseño y cálculo de las soldaduras Como se trata de soldaduras de filete, tendremos un valor de α de:
σ s.adm = 1
α = 0.83
t 2
cm
Debemos calcular disposiciones geométricas según la figura:
b' xG
b = 75mm t Ala = 11.5 mm
L1
xG = 2.01 cm
L2
b´ = b − xG b´ = 54.9 mm
γ = 90º − β γ = 57.41 º d1 a1 b
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EJEMPLO PRÁCTICO Nº 15
Construcciones metálicas y de madera
Evidentemente la longitud condicionante para la soldadura será L 2: bD
2
= 12.7 mm bD
a1 =
2
sen( γ )
a 1 = 1.51 cm
d 1 = b´ − a 1
d 1 = 3.98 cm
d1
L2.max =
cos( γ )
L2.max = 7.39 cm
L2.max = 73.95 mm
Adoptando: a s = 3mm
lmín = 15 × a s
lmín = 4.5 cm
menor a L2 por lo tanto B.C. en cuanto al espacio requerido.
L2 =
D
L2 = 18.08 mm
2 × a s × τ s.adm
L1 = L2
Por lo tanto se considera que la unión para una longitud de cordón de 15 cm, es satisfactoria, con lo que quedaría concluido el cálculo. Si L2 resultara menor a la longitud mínima, no podríamos considerar ese cordón como una unión estructural, por lo que deberíamos cambiar de diseño para la unión o bien, calcular la unión con bulones. Supongamos esa situación y hagamos un cambio en el diseño, calculando la longitud total de soldadura necesaria para la absorción del esfuerzo "D" l T.sold =
D
l T.sold = 36.17 mm
a s × τ s.adm
Consideremos entonces un cordón continuo bordeando la diagonal según la figura:
Adoptemos: L2 = 2cm
L1 L1 = L2
L4 bD
L3 =
L3
L2
2
sen( β ) bD
L4 =
2
sen( γ )
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EJEMPLO PRÁCTICO Nº 15
L3 = 23.6 mm
Construcciones metálicas y de madera
L4 = 15.1 mm
ls.total = L1 + L2 + L3 + L4
l s.total = 78.65 mm
lmáx = 100 × a s
l máx = 300 mm
con lo que estamos en B.C. para este cordón de soldaduras, que si bien cambia de dirección, debe ser tomado como un entero en el cálculo y en su construcción para cumplir con las longitudes mínimas que impone la normativa C.304. Es lógico plantearse la posición que tomará la reacción del cordón de soldadura con respecto a la línea baricéntrica de la diagonal, debido a que disponemos longitudes distintas L 3 y L4, pero hagamos la siguiente suposición: si el valor de β fuera 45º, el sen(β) y el sen(γ) serían iguales, resultando iguales también L 3 y L4 . Si además L1 y L2 fueran dispuestos iguales, se tendría que el cordón continuo que hemos dispuesto es simétrico con respecto al eje baricéntrico longitudinal de la diagonal, resultando colineales "D" y la reacción de la soldadura. Por lo tanto, a pesar de que L 3 y L4 sean distintos por una cuestión de proyección de longitudes, la resultante del cordón completo será colineal con "D".
EJERCICIOS PROPUESTOS A. Calcule la variante de arriostramientos con diagonales con Bulones antideslizantes B. Calcule la variante de arriostramientos con presillas horizontales Bulones calibrados C. Reemplace cada PNU por dos PN Ángulo y calcule los arriostramientos en ambos sentidos: a. en el sentido x-x, con presillas horizontales con remaches. b. en el sentido y-y, con diagonales con bulones comunes.
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