Integrales Impropias

En la definición de la integral definida hemos supuesto que los límites de integración a y b eran finitos. Generalizaremos este concepto de integral definida para el caso de límites de integración infinitos, introduciendo las siguientes definiciones: I)

Si f es continua en el intervalo [a, ), entonces:

II)

Si f es continua en el intervalo (

III)

Si f es continua en el intervalo (

, entonces:

, entonces:

donde c es cualquier número real. Luego, a las integrales del segundo miembro se le aplican las definiciones I) y II). Si el límite es un número real, se dice que la integral impropia converge. Si el límite es infinito, la integral impropia diverge. Si el límite no existe, la integral impropia es oscilante.

Ejercicios resueltos 1- Verifique el resultado: 1-1)

Aplicando la sustitución: t=4-x , dt=

12

=

2

1 1+ =

dx

dt=dx

) 1+ = 1

+

0=

Observación: debido al procesador de textos utilizado, la notación de límite cuando a tiende a infinito figura como subíndice. Lo correcto es la siguiente notación:

1-2)

=

Aplicando la sustitución: t=2x , dt=2dx

=0

1-3)

(

+

=

Aplicando la sustitución: t=

, dt=

2.dt=

,

=

1-4)

Aplicando la sustitución: t = lnx , dt= =

2- Determine si la integral es convergente, divergente u oscilante

2-1) la integral es convergente.

=

2-2) integral divergente

2-3)

la

integral es divergente

2-4) integral es oscilante

, la

3- Calcule el valor del área de la región rayada 3-1)

A=

=1

3-2) A = 2 =π

Ejercicios adicionales Marque con un círculo la opción que considere correcta, y si fuera necesario, realice los cálculos correspondientes: 1- Sea f una función continua en [a, entonces:

), tal que F’(x) = f(x)

x

[a,

)

a) b)

=

c)

=

d)

=

[

]

2- Si el resultado de una integral impropia es un número real, entonces dicha integral es: a) divergente b) oscilante c) convergente d) variable

3- La

se calcula como:

a)

=

b)

=

c)

=

d)

=2

+ +

4- El resultado de a) b) c) d) –

5a) b) c) d)

La es: convergente divergente oscilante variable

es