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UNIDAD Nº 3: SISTEMAS DE FUERZAS Definición de Estática . Hipótesis de cuerpo rígido. Fuerza. Principios de la estática: paralelogramo de fuerzas, sistema nulo de fuerzas ,acción y reacción. Momento de una fuerza y de un sistema de fuerzas respecto de un punto y respecto de un eje. Expresiones vectoriales y escalares. Cuplas o pares de fuerzas. Traslación de una fuerza. Sistema generalizado de fuerzas. Comparación entre sistemas de fuerzas. Reducción de un sistema de fuerzas a un punto. Par de reducción. Invariantes. Equilibrio y equivalencia. Expresiones vectoriales y escalares. Problemas de fuerzas con incógnitas. Casos particulares de sistemas de fuerzas: sistemas de fuerzas espaciales concurrentes y paralelas, sistemas planos de fuerzas. Fuerzas distribuidas en un volumen, en una superficie y en una línea. Fuerza específica. Reducción, equilibrio y equivalencia de sistemas de fuerzas distribuidas. ESTATICA Es la parte de la física que trata las condiciones que debe cumplir un conjunto de fuerzas aplicadas sobre un cuerpo para que el mismo permanezca en reposo. La estática postula al cuerpo como rígido, pudiendo resumir este postulado como la invariabilidad de distancia entre dos puntos cualesquiera del mismo. FUERZA Es toda causa capaz de modificar el estado de movimiento de un cuerpo. La fuerza es una magnitud vectorial y en consecuencia para su definición será necesario conocer: módulo, dirección y sentido. Aplicada la misma sobre un cuerpo rígido será necesario conocer un punto de la recta de acción de la misma, considerándose a la misma como un vector axilmente libre. Si la fuerza aplicada al cuerpo crece en forma lenta desde su valor inicial hasta su valor final sin provocar aceleración del mismo se dice entonces que la fuerza ha sido aplicada en forma estática y podemos independizarnos entonces de la variable tiempo. Si la fuerza es aplicada en forma instantánea ,la variable tiempo deberá ser tenida en cuenta y entonces diremos que la fuerza ha sido aplicada en forma dinámica, existiendo aceleración del cuerpo. Durante el desarrollo de nuestra materia estudiaremos el caso en que la fuerza es aplicada al cuerpo en forma estática. Haremos aquí un breve repaso de unidades para la magnitud fuerza. Nosotros nos manejaremos dentro del sistema internacional de unidades que toma por unidad de fuerza al Newton(N) definido como la fuerza necesaria a aplicarle a un 1 Kg. masa para imprimirle una aceleración de 1 m/s2. A continuación se plantean la equivalencia con el sistema técnico cuya unidad de fuerza es el kilogramo fuerza(kgf) definido como la fuerza necesaria a aplicar a 1 Kg. masa para imprimirle la aceleración de la gravedad. Estas equivalencias son: 1N=0.1kgf

1KN =100kgf

1KN=0.1Ton.

PRINCIPIOS DE LA ESTATICA. 1-Si sobre un cuerpo y en un punto del mismo actúan dos fuerzas, el efecto que provocan sobre el mismo es igual al que provoca la resultante, entendida como la diagonal del paralelogramo que se conforma. Este principio se conoce como el principio del paralelogramo de fuerzas. Gráficamente:

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2-Si sobre un cuerpo rígido se agrega o se quita un sistema nulo de fuerzas, el cuerpo no modifica su estado de movimiento. Se entiende por sistema nulo de fuerzas a aquel constituido por dos fuerzas actuantes según una misma recta de acción, de igual módulo pero sentido contrario. Este principio se conoce como principio del sistema nulo de fuerzas.

3-Si dos cuerpos se encuentran en contacto en un punto, aparecen en el mismo fuerzas de interacción. Estas fuerzas aparecen de a pares, son de igual dirección y módulo, pero de sentido contrario y quedan evidenciadas cuando ambos cuerpos se separan. Este principio se conoce como el principio de acción y reacción.

MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO DE UN PUNTO. Se llama momento de una fuerza respecto de un punto a un vector definido mediante el siguiente el producto vectorial :

3 Esta expresión ha sido definida en terna izquierda que es la que vamos a usar en esta materia. Esta terna considera al giro que se produce en sentido horario como positivo. Sobre este particular volveremos más adelante al ejemplificar. La dirección de este vector resulta normal al plano definido por el vector fuerza y el vector posición. El módulo es igual al producto del módulo del vector fuerza por el módulo del vector posición por el seno del ángulo comprendido entre ambos vectores. A continuación se demuestra vectorialmente que el punto adoptado perteneciente a la recta de acción de la fuerza para conformar el vector posición puede ser cualquiera:

Del análisis de la expresión del módulo del momento de una fuerza respecto de un punto surge que para que el mismo resulte nulo, deberá ser nulo el módulo del vector fuerza o bien nulo el módulo del vector posición o bien el ángulo comprendido entre ambos vectores deberá conducir a que su seno valga cero. Descartando la situación de fuerza nula llegamos a la conclusión que para que el momento de una fuerza respecto de un punto sea nulo la fuerza deberá pasar por el punto. Finalmente y dado que el momento de una fuerza respecto de un punto varía en función del punto respecto del cual se toma momento, el mismo resultará un vector Aplicado en el punto respecto del cual se toma momento. MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO DE UN EJE. Se denomina momento de una fuerza respecto de un eje a un vector definido por la proyección sobre dicho eje del vector momento de una fuerza respecto de un punto cualquiera del mismo .

4 A continuación se demuestra que para obtener el momento de una fuerza respecto de un eje , el punto del eje respecto del cuál se toma momento puede ser cualquiera. Para ello realizamos el siguiente análisis:

Lo demostrado no implica que el momento de la fuerza respecto del punto C sea igual al momento de la fuerza respecto del punto C1,situación ya explicada al desarrollar el tema correspondiente, pero si su proyección sobre el eje e. Veamos ahora cuando resulta nulo el momento de una fuerza respecto de un eje, analizando la siguiente figura:

Definido un plano π perpendicular al eje e y pasante por el punto A (punto de la recta de acción de la fuerza) queda determinado el punto C sobre dicho eje. Descomponiendo la fuerza F, en una componente perpendicular a dicho plano que llamamos Fa y otra componente contenida en el plano que llamamos Fb resulta que: a)El momento de la componente Fa respecto del eje e resulta nulo, pues el momento de Fa respecto del punto C resulta ser un vector perpendicular al eje e y en consecuencia su proyección es nula(ver figura). Puede observarse además que la fuerza y el eje conforman plano. b) El momento de la componente Fb respecto del eje e es distinto de cero, pues el momento de Fb respecto de C es un vector perpendicular al plano π y por lo tanto tiene proyección sobre el eje e. En consecuencia la única posibilidad para que Fb provoque momento nulo respecto de eje e, es o que sea nula o que pase por C. En este último caso Fb estaría cortando al eje e y en consecuencia la fuerza y el eje también conformarían plano.

5 En consecuencia diremos que una fuerza provoca momento nulo respecto de un eje cuando es coplanar con el mismo. Otra forma de expresar lo mismo es si tenemos en cuenta que la geometría no Euclidiana postula que dos rectas paralelas se cortan en un punto lo suficientemente alejado (punto impropio), entonces: el momento de una fuerza respecto de un eje será nulo cuando la fuerza corte al eje ya sea en un punto propio(cuando la fuerza y el eje no tienen direcciones paralelas) o impropio (cuando la fuerza y el eje tienen direcciones paralelas). CUPLA DE FUERZAS O PAR DE FUERZAS. Cuando sobre un cuerpo actúan dos fuerzas de igual módulo y dirección, pero de sentido contrario y además sus rectas de acción no son coincidentes, entonces se dice que sobre el mimo actúa una cupla de fuerzas o par de fuerzas. Gráficamente:

MOMENTO DE LA CUPLA DE FUERZAS RESPECTO DE UN PUNTO.

La expresión recuadrada indica que el momento de la cupla de fuerzas es independiente del punto elegido para tomar momento y en consecuencia podrá quedar aplicado en cualquier punto tratándose por lo tanto de un vector libre. Por lo dicho la expresión final del momento de una cupla será:

Su dirección es perpendicular al plano definido por las fuerzas, su sentido según el sistema de referencia (terna izquierda giro horario es positivo) y su módulo esta dado por el módulo de las fuerzas multiplicado por la distancia entre ellas. En consecuencia si sobre un cuerpo actúa un vector momento, el mismo resulta representativo del momento de infinitas cuplas ubicadas en planos perpendiculares a la dirección de dicho vector siempre que se cumpla que el módulo de las fuerzas por la distancia entre ellas sea igual al módulo del vector momento. MOMENTO DE LA CUPLA DE FUERZAS RESPECTO DE UN EJE. Resulta ser un vector obtenido como la proyección en la dirección del eje e, del vector momento de la cupla. O sea:

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EJEMPLO Dada la fuerza F =(- 40;30;20) KN pasante por el punto A =(2;-3;4) m determinar el momento de dicha fuerza respecto del punto C =(1;0;2) m. Resolución Aplicando la definición de momento de una fuerza respecto de un punto resulta:

Como todos los elementos intervinientes se encuentran referidos a determinada terna de ejes, a continuación se justifica prácticamente que tomar momento de una fuerza respecto de un punto es equivalente a tomar momento respecto de idéntica terna de ejes ubicada en el punto respecto del cuál se pretende tomar momento y luego sumar los resultados vectorialmente. Premisas 1-El punto del eje adoptado será tal que al definir el vector posición, su módulo coincida con la distancia entre la fuerza y el eje. 2-Al tomar momento de la fuerza respecto de los ejes trabajaremos con sus componentes. De esta forma resulta el siguiente análisis:

7 TRASLACIÓN DE UNA FUERZA Ya hemos indicado que la fuerza es un vector axilmente libre, a continuación se analiza que ocurre cuando se pretende trasladar la misma paralelamente a su recta de acción.

Si queremos trasladar la fuerza que pasa por A al punto C efectuamos el siguiente procedimiento: En C ubicamos un sistema nulo de fuerzas como se muestra en la figura. De esta forma si bien F se traslado desde A hasta C, vemos que se genera una cupla de fuerzas cuyo momento resulta ser como ya sabemos un vector libre y que por conveniencia dejaremos aplicado en C. A continuación se grafica:

En consecuencia podemos afirmar que así como una cupla de fuerzas tiene asociado un vector momento que es de libre posicionamiento en el espacio, al trasladar una fuerza aparece una cupla de fuerzas, con su correspondiente vector momento asociado. Podemos decir en términos caseros que:

TRASLADAR EL MOMENTO DE UNA CUPLA DE UN PUNTO A OTRO ES GRATUITO, HECHO QUE NO OCURRE AL TRASLADAR UNA FUERZA. SISTEMA GENERALIZADO DE FUERZAS.

8 Se dice que si sobre un cuerpo actúa un conjunto de fuerzas y un conjunto de cuplas de fuerzas representadas por su vector momento, entonces sobre el mismo estará actuando un sistema generalizado de fuerzas. En forma habitual nos referimos al mismo con el término sistema de fuerzas. COMPARACIÓN ENTRE SISTEMAS DE FUERZAS.

La pregunta que nos hacemos en este caso es como podemos comparar los efectos que dos sistemas de fuerzas actuantes sobre un cuerpo generan en el mismo , para ello lo que debemos hacer es reducir ambos sistemas a un mismo punto y luego compararlos. REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZAS A UN PUNTO.

Dado un sistema general de fuerzas constituido por n fuerzas y m vectores momento representativos de las m cuplas de fuerzas nos propondremos obtener un sistema de fuerzas equivalente actuando en un punto cualquiera del espacio que llamaremos centro de Reducción. Dicho sistema quedará representado por un vector fuerza denominado resultante y un vector momento denominado momento de reducción .Al conjunto de estos dos elementos se lo suele denominar como par de reducción. La forma de determinar ambos elementos será la siguiente:

9 La variable de la operación es el centro de reducción. Teniendo entonces reducido el sistema de fuerzas al punto C y trabajando con los elementos de esta reducción , reducimos ahora el sistema al punto C1. Entonces:

La primera conclusión que obtenemos es que al cambiar el centro de reducción si bien varía el momento de reducción, no varía la resultante. En consecuencia diremos que la operación de reducción de un sistema de fuerzas a un punto tiene un invariante vectorial (I.V.) que es la resultante del sistema. Dada esta condición ya no es necesario indicar para la resultante cuál es el centro de reducción. Si ahora y teniendo en cuenta la reducción del sistema de fuerzas al punto C, deseamos obtener la proyección del vector momento de reducción en la dirección de la resultante, aplicando las propiedades del producto escalar resulta:

Si ahora realizamos la misma operación pero con el sistema de fuerzas reducido al punto C1 resulta

10 Esta última expresión indica que la proyección del vector momento de reducción en la dirección de la resultante es independiente del centro de reducción adoptado, convirtiéndose en el invariante escalar (I.E.) de la operación reducción de un sistema de fuerzas a un punto. Dado que el coseno del ángulo comprendido entre la resultante y el momento de reducción puede resultar positivo, negativo o nulo diremos que en función del signo del invariante escalar se puede determinar si el sentido de la proyección del momento de reducción coincide o no con el sentido de la resultante. Particularmente cuando el invariante escalar resulte nulo indicará que el momento de reducción tendrá dirección perpendicular a la dirección de la resultante. EJE CENTRAL DEL SISTEMA DE FUERZAS. Es el lugar geométrico de los puntos que tomados como centro de reducción conducen a un vector momento de reducción de igual dirección que la resultante del sistema de fuerzas. A efectos de su determinación y considerando que conocemos la resultante del sistema y el momento de reducción a un punto C cualquiera del espacio resulta:

Donde E es un punto cualquiera del eje central del sistema de fuerzas. Como además en este caso el momento de reducción y la resultante del sistema son vectores de igual dirección deberá cumplirse:

La resolución analítica de esta última expresión dará origen a un sistema de ecuaciones compatible indeterminado cuyas incógnitas serán las tres coordenadas de los infinitos puntos ubicados sobre el eje central del sistema de fuerzas. ULTIMAS CONSIDERACIONES SOBRE PUNTO

REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZAS A UN

En el caso mas general de reducción de un sistema de fuerzas a un punto, nos encontraremos con una resultante y un momento de reducción cuyas direcciones forman un ángulo cualquiera. Si recordamos que el vector momento de reducción representa el momento de infinitas cuplas de fuerzas ubicadas en un plano perpendicular a su dirección siempre que el módulo del mismo sea constante e igual al módulo de las fuerzas que integran la cupla multiplicado por la distancia entre ellas ,podemos reemplazar el momento de reducción por una de las infinitas cuplas que representa de tal forma que una de las fuerzas de la cupla quede ubicada en el centro de reducción (pudiendo ser sumada vectorialmente con la resultante del sistema que también se encuentra aplicada en el centro de reducción) y la otra fuerza de la cupla se ubique a distancia d de la anterior tal como se grafica a continuación:

11 De esta manera es posible afirmar que para el caso general, un sistema de fuerzas puede ser reducido a dos fuerzas cuyas rectas de acción nunca se cortan. En el caso particular en que la resultante y el momento de reducción sean perpendiculares entre si el sistema admite ser reducido a una única fuerza ,que lógicamente es la resultante, ubicada a distancia d del centro de reducción tal como a continuación se muestra:

La expresión analítica que permite determinar la posición de la recta de acción de la resultante del sistema será:

Donde AR es un punto de la recta de acción de la resultante del sistema de fuerzas.

La resolución analítica de esta última expresión dará origen a un sistema de ecuaciones compatible indeterminado cuyas incógnitas serán las tres coordenadas de los infinitos puntos correspondientes a la recta de acción de la resultante. PLANTEO DE LA EQUIVALENCIA Y EL EQUILIBRIO DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS. Dijimos que el objeto de la reducción de los sistemas de fuerza a un punto era poder comparar los efectos que los mismos provocaban sobre los cuerpos y es lo que haremos en el tema que a continuación desarrollamos 1-Equivalencia de los sistemas de fuerzas. Diremos que dos sistemas de fuerzas son equivalentes o bien que aplicados a un cuerpo originan el mismo efecto, cuando reducidos ambos sistemas al mismo punto poseen la misma resultante y el mismo momento de reducción. Es decir:

2- Equilibrio de los sistemas de fuerzas. Diremos que dos sistemas de fuerzas se equilibran entre si cuando al reducir ambos al mismo punto la suma de resultantes y de momentos de reducción es nula. El cuerpo sobre el que actúan permanecerá en reposo.

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IMPORTANTE: No es posible comparar sistemas de fuerzas que no estén reducidos al mismo punto. Al plantear el equilibrio de un sistema de fuerzas ,hecho para el cuál el mismo debe ser reducido previamente a un punto, deberán resultar nulos los vectores resultante y momento de reducción. Como ambos vectores tienen tres componentes cada uno de ellos, todas ellas deberán ser nulas. Por lo tanto la nulidad vectorial planteada exige el cumplimiento simultaneo de 6 ecuaciones escalares tal como a continuación se indica:

En consecuencia para poder plantear el equilibrio de un sistema de fuerzas dispondremos de un máximo de seis ecuaciones y por lo tanto en todo problema de fuerzas con incógnitas estas no podrán superar el número de seis. BREVE DESCRIPCIÓN DE LOS DISTINTOS SISTEMAS DE FUERZAS Y DE LA FORMA DE PLANTEAR EL EQUILIBRIO EN CADA CASO. 1-Sistemas espaciales de fuerzas. 1.1-Caso general (fuerzas no concurrentes a un punto).

El equilibrio se plantea con tres ecuaciones de proyección de fuerzas y tres ecuaciones de momento. 1.2-Caso de fuerzas concurrentes a un punto. 1.2.1-A un punto propio.

El equilibrio se plantea con tres ecuaciones de proyección de fuerzas y las tres ecuaciones de momento resultan idénticamente nulas.

13 1.2.2- A un punto impropio (fuerzas paralelas).

Este sistema incluye cuplas cuyo vector momento es perpendicular a la dirección de las fuerzas, o sea que las cuplas se conforman con fuerzas de igual dirección que las fuerzas dadas. El equilibrio se plantea con una ecuación de proyección de fuerzas y dos ecuaciones de momento. Las restantes ecuaciones resultan idénticamente nulas. 2-Sistemas planos de fuerzas. 2.1-Caso general (fuerzas no concurrentes a un punto).

Este sistema incluye cuplas cuyo vector momento son de dirección X y se representan como se indican. El equilibrio se plantea con dos ecuaciones de proyección y una ecuación de momento. El resto de las ecuaciones son idénticamente nulas. 2.2-Caso de fuerzas concurrentes a un punto. 2.2.1-A un punto propio.

El equilibrio se plantea con dos ecuaciones de proyección. El resto de las ecuaciones resultan idénticamente nulas. 2.2.2- A un punto impropio (fuerzas paralelas)

14 Incluye cuplas cuyas fuerzas son de igual dirección que las fuerzas dadas y cuyo vector momento es de dirección X. El equilibrio se plantea con una ecuación de proyección y una ecuación de momento. El resto de las ecuaciones son idénticamente nulas. REEMPLAZO DE ECUACIONES DE PROYECCIÓN POR ECUACIONES DE MOMENTO. Toda vez que el planteo del equilibrio de un sistema de fuerzas incluya ecuaciones de proyección, es posible reemplazar las mismas por ecuaciones de momento respecto de distintos ejes en el espacio y de distintos puntos en el plano cumpliendo condiciones adicionales. Efectuar este análisis no aporta mayor conocimiento. Solo con el objeto de ejemplificar desarrollamos el caso del equilibrio de un sistema general de fuerzas en el plano, indicando las distintas posibilidades para expresar las ecuaciones de equilibrio. 1-Dos ecuaciones de proyección y una de momento: es el caso ya analizado 2-Una ecuación de proyección y dos ecuaciones de momento respecto de dos puntos:

En este caso el eje de proyección no puede ser perpendicular a la dirección B-C ya que al tomar momento del sistema de fuerzas respecto del punto B y luego del punto C, la nulidad de ambas ecuaciones de momento no garantiza que no exista una resultante que pase simultáneamente por ambos puntos, la cuál proyecta en forma nula sobre un eje perpendicular a la dirección definida por los mismos. 3-Tres ecuaciones de momento respecto de tres puntos.

En este caso los tres puntos no pueden estar alineados dado que al tomar momento del sistema de fuerzas respecto de los mismos, la nulidad de las ecuaciones de momento no garantiza la no existencia de una resultante que pase simultáneamente por dichos tres puntos. FUERZAS DISTRIBUIDAS. Hasta ahora hemos estudiado el caso de fuerzas que actúan aplicadas en un punto del cuerpo. Las mismas reciben el nombre de fuerzas concentradas. No siempre las mismas representan con exactitud las distintas acciones que actúan sobre nuestros cuerpos en estudio que resultan ser las estructuras. En lo que sigue se analizan los casos de fuerzas distribuidas sobre un volumen, sobre una superficie y sobre una línea, ejemplificando cada caso.

15 1-Fuerzas distribuidas sobre un volumen. El peso específico de un material es un claro ejemplo de fuerza distribuida sobre un volumen. Partimos de la definición de fuerza específica volumétrica apoyándonos en la siguiente figura de análisis:

Como ya sabemos, si deseamos reducir el sistema de fuerzas a un punto cualquiera que denominamos C ,obtendremos una resultante y un momento de reducción cuyas expresiones en este caso son:

En lo que sigue analizaremos el caso en que la fuerza específica volumétrica es justamente el peso específico del material constitutivo de un cuerpo y lo haremos bajo las siguientes premisas: 1-El cuerpo se compone de un solo material y por lo tanto el peso específico del mismo no varía. 2-Cada diferencial de fuerza es justamente un diferencial de peso del cuerpo y es constante por ser el producto del peso especifico (que no varía) por el diferencial de volumen. Queda constituido de esta forma un sistema espacial de fuerzas diferenciales paralelas de dirección vertical y de sentido hacia abajo. La reducción de este sistema a un punto cualquiera conduce a que el invariante escalar sea nulo y como consecuencia el sistema se puede reducir a una única fuerza, que es justamente la fuerza peso. Su módulo y su punto de aplicación se determinan a continuación aplicando equivalencia entre el sistema de fuerzas diferenciales y el sistema constituido por la fuerza P adoptando como centro de reducción el punto O.

16 El punto donde queda aplicada la fuerza peso se denomina baricentro del cuerpo y para determinar sus coordenadas seguiremos la siguiente estrategia: Como todas las fuerzas son de dirección vertical ,el momento de dichas fuerzas respecto del eje Z pasante por O es nulo y en consecuencia se indetermina la coordenada en Z del baricentro, entonces lo que hacemos para romper dicha indeterminación, es trabajar con las fuerzas ubicadas perpendicularmente al plano XZ y ahora tomando momento respecto del eje X pasante por O y aplicando equivalencia podremos obtener la coordenada buscada. Finalmente las coordenadas se determinan como sigue:

Las integrales extendidas al volumen del cuerpo tienen solución dentro del campo del análisis matemático siempre que se conozca la función que define la fuerza específica volumétrica y la función que describe la forma del cuerpo. En el caso que la fuerza específica volumétrica y/o la forma del cuerpo no acepten descripción matemática, habrá que recurrir a las definiciones, particionando al cuerpo en pequeños elementos de volumen. 2-Fuerzas distribuidas sobre una superficie. El peso propio, las sobrecargas previstas de acuerdo a su destino (dormitorio, aula, oficina, etc ), las acciones naturales como el viento y la nieve como así también las presiones ejercidas por el suelo y los fluidos resultan ser ejemplos de fuerzas que actúan en forma distribuida siguiendo distintas leyes de variación sobre estructuras superficiales. En este caso definimos el concepto de fuerza específica superficial.

Al reducir el sistema de fuerzas a un punto cualquiera que denominamos C, en este caso las expresiones son:

17 Los distintos casos de fuerza específica superficial indicados al principio pueden ser analizados con estas expresiones y el concepto de equivalencia. En general se pretende determinar la resultante del sistema como así también su punto de aplicación cuando el sistema de fuerzas se pueda reducir a única fuerza (caso de invariante escalar igual a cero). Las integrales extendidas al área de la superficie tienen solución dentro del campo del análisis matemático siempre que se conozca la función que define la fuerza específica superficial y la función que describe la forma de la superficie. En el caso que la fuerza específica superficial y/o la forma de la superficie no acepten descripción matemática, habrá que recurrir a las definiciones, particionando dicha superficie en pequeños elementos de área. 3-Fuerzas distribuidas sobre una línea. El peso propio, las sobrecargas de uso, las descargas provenientes de estructuras superficiales, las acciones naturales como el viento y la nieve como así también las presiones ejercidas por el suelo y los fluidos resultan ser ejemplos de fuerzas que actúan en forma distribuida siguiendo distintas leyes de variación sobre estructuras lineales (estructuras formadas por barras). Partimos de la definición de fuerza específica lineal.

Al reducir el sistema de fuerzas a un punto cualquiera que denominamos C, en este caso las expresiones resultan ser:

Las integrales extendidas a la longitud de la línea tienen solución dentro del campo del análisis matemático siempre que se conozca la función que define la fuerza específica lineal y la función de la línea. En el caso que la fuerza específica lineal y/o la línea no acepten descripción matemática, habrá que recurrir a las definiciones, particionando dicha línea en pequeños elementos de longitud. Analizaremos a continuación el caso en que la línea es una recta y la fuerza especifica lineal es perpendicular a dicha línea, por ser un caso más que habitual en Ingeniería Civil. Entonces:

18 1-Fuerza específica lineal de valor constante o uniforme.

Reduciendo el sistema de fuerzas diferenciales y el sistema conformado por la resultante al punto O, aplicando equivalencia entre sistemas de fuerzas y teniendo en cuenta que en este caso dl=dz resultan las siguientes expresiones para el módulo de la resultante y su punto de aplicación.

2-Fuerza específica lineal de variación lineal y con valor nulo en un extremo.

En este caso resultan las siguientes expresiones:

3-Fuerza específica lineal de variación lineal. En este caso es posible el análisis mediante cualquiera de las dos superposiciones que a continuación detallan: