Unidad 1 Funciones reales de varias variables reales Una función real de varias variables es una aplicación tal que a cada n-upla perteneciente a un conjunto de Rn le hace corresponder un y solo un valor real.

1.1. Funciones reales de dos variables reales Definición Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a un par de números reales ( un y sólo un número real z. Una función de dos variables se denota usualmente con la notación ( ) se llaman variables independientes, y se llama variable dependiente. Las variables (

) ).

Dominio ) para los cuales la regla de correspondencia da un número real se El conjunto de pares ordenados ( llama dominio de la función y se expresa como: *( ( *(

) (

) (

)

(

)+

) )

√

+

*(

) (

)

+

La zona coloreada representa los puntos pertenecientes al dominio de la función Imagen El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados ( *

(

) se llama imagen y se expresa como:

)+

Representación gráfica La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas ( está en el dominio de f y ( ), por lo tanto: *(

)

(

) en donde (

)+

Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.

)

Trazas Una de las maneras para graficar una función del tipo ( ) es obteniendo las intersecciones de los planos paralelos a los planos coordenados y además buscando las trazas de la misma, que son curvas de intersección de la superficie con los planos coordenados. Generalmente se buscan los planos , , .

Como se puede notar las trazas entres los planos son rectas, entonces, habrá que unir cada intersección calculado con rectas Curvas de Nivel Si tenemos una función de dos variables dada por ( ), entonces la gráfica de la ecuación ( ) ). Todos estos puntos tienen el es el conjunto de puntos con coordenadas ( mismo valor para la coordenada z, es decir, . Por lo tanto todos esos puntos están a la misma altura sobre el plano , o sea que están "al mismo nivel" sobre el plano . Hallamos su representación gráfica en base a cuervas de nivel haciendo distintas circunferencias de radio √ para las diferentes posiciones z = c

, con lo que vemos

Para valores c < 0 la curva de nivel es vacía. En la siguiente figura se muestra como se ve este paraboloide en el espacio.

1.2. Funciones reales de tres variables reales

Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a una terna de números reales ( ) un y sólo un número real w. Una función de tres variables se denota usualmente con la notación ) se llaman variables independientes, y se llama variable dependiente. ( ). Las variables ( Dominio ) para los cuales la regla de correspondencia da un número real se El conjunto de ternas ordenadas ( llama dominio de la función y se expresa como: *(

) (

)

*(

) (

)

( +

Imagen El conjunto de valores w que corresponden a las ternas ordenadas ( como: *

)+

(

)+

) se llama imagen, y se expresa

Superficie de Nivel Sea ( ) una función definida sobre un conjunto de 3, se llama superficie de nivel a la intersección ) ( ) con obteniendo ( . Cabe aclarar que la función ( ) representa, en general, una superficie en la cual no puede ser graficada. Este ejemplo lo analizaremos de la siguiente manera.  Sí k > 0, por ejemplo: hoja.

obtendremos un hiperboloide de una

 Sí -8 > k > 0 Seguirá siendo un hiperboloide de una hoja.  Sí k = -8 vamos a obtener la superficie de un cono  Sí k < -8, por ejemplo: dos hojas.

obtendremos un hiperboloide de

1.3. Límite y Continuidad (

) (

(

)

)

( ) está definida en todos los puntos del dominio, entonces la expresión significa que es posible Sí )esté lo hacer que el valor de ( ) esté arbitrariamente cerca de L, al hacer que el punto ( suficientemente cerca pero diferente del punto ( ). Se deben cumplir dos condiciones:  Los puntos (

) que se aproximan a (

) estén siempre en el dominio de la función. ta que para todo ( ) δ.

 Si para cada ɛ > 0, existe un número correspondiente δ ) | ) ( función | ( siempre que √(

) en el dominio de la

Definición Formal de Límite

(

) (

)

(

)

(ɛ

) δ(ɛ)

⁄(

)

|(

)

(

)|

| (

δ

)

|

|(𝑥 𝑦) (𝑎 𝑏)| δ |(𝑥 𝑎) (𝑦 𝑏)| δ Distancia √(𝑥 𝑎) (𝑦 𝑏) δ (𝑥 𝑎) (𝑦 𝑏) δ Circunferencia

( ) tiene límite doble en ( ) dicho valor es único. Si el límite Si una función real de dos variables doble existe van a coincidir todos los límites cualquiera sea el camino que se elija. Si hablamos de ) tiene límites diferentes, entonces el límite no trayectorias diferentes de aproximación por las cuales ( existe.

(

(

) (

) (

)

)

(

) (

)

( (

(

) )

(

) (

)

(

)( )

) (

) (

)

(

)

( (

) (

)

)

Límites Reiterados Algunas veces nos resulta difícil calcular un límite doble, por tanto resultaría más fácil intentar transformar este límite doble en dos límites simples, y los definimos como:

[

(

)]

[

(

)]

Si existe el límite doble L, entonces existen los límites reiterados y son iguales a L, es decir, . Aunque existan los límites reiterados y sean iguales entre sí no se puede asegurar que el límite doble exista. Esto se debe a que los límites reiterados se obtienen para trayectorias paralelas a los ejes y no siguen trayectorias arbitrarias. Pero si podemos asegurar que el límite no existe. Esta explicación se deriva de los siguientes teoremas:  Teorema 1: Sí el límite doble existes y además existe el límite reiterado 1, entonces

.

 Teorema 2: Sí el límite reiterado 1 es distinto al límite reiterado 2 entonces no existe el límite doble, además si no se puede asegurar que el límite exista.

(

) (

[

]

[

]

)

{

Como se puede ver los límites reiterados son distintos por lo tanto no existe el límite doble.

(

) (

[

]

[

]

)

{

En este ejemplo los límites reiterados son iguales pero no podemos asegurar que el límite doble exista.

Límites Direccionales ) en la cercanía de ( ) se hace ( ) ( ) siguiendo trayectorias rectas con pendiente Tomando ( m. Si existe el límite doble entonces el límite direccional debe ser igual a este y por lo tanto independiente de m.

 Se puede tomar la variable 𝑦 como: 𝑦

𝑚𝑥 𝑦

𝑚𝑥 … 𝑚𝑥 𝑛

 Aunque el límite direccional sea independiente de m no asegura que el límite exista. Sí el limite direccional varia con 𝑚 𝐿 no existe.

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

Vale decir que los limites reiterados y direccionales no sirven para demostrar la existencia del límite pero sí pueden probar que el límite doble no existe cuando el límite direccional es diferente al límite reiterado.

Coordenadas Polares El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia. De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas ( ) donde es la distancia del punto al origen y es el ángulo positivo en sentido anti horario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la coordenada radial mientras que el ángulo es la coordenada angular. En el caso del origen de coordenadas, el valor de es cero, pero el valor de es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º). El uso de coordenadas polares puede ayudar en muchos casos a calcular el lımite doble y solo se aplica cuando ( ) ( ).

𝑥 𝑦

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛

os (

) (

os

os

(

)

𝑟 os 𝜃 𝑟 se 𝜃

)

Infinitésimos e

(

) (

t e de a (

)

(

)

) de

e to os que (

es (

)

) es u

f

(

)

t s

o de (

por e de s )

(

)

or o ta to

( (

)

(

)

)

.

Toda función es igual a su límite más un infinitésimo Continuidad La función

(

) es continua en el punto (

) si se cumplen las siguientes condiciones:

 Que exista ( ) ) tienden al punto ( ).  Que exista el límite de la función cuando ( ), es decir:  El valor del límite sea igual al valor de la función en el punto ( (

) (

)

(

)

(

)

Si no se cumple alguna condición la función es discontinua.

1.4. Derivadas Parciales

( Las derivadas parciales de una función con respecto a siempre que el límite exista.

) están definidas como el límite de un cociente incremental

Derivada Parcial Respecto de x

(

)

(

)

Derivada Parcial Respecto de y

(

)

(

)

Interpretación Geométrica Geométricamente la derivada parcial respecto de x representa la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie con el plano . Por otro lado, la derivada respecto de y representa la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie con el plano . ó Derivada respecto de x (

)

(

)

(

)

Derivada respecto de y (

)

(

)

(

ó (

ó )

(

) ó (

(

(

)

)

)

)

Derivadas de Orden Superior Si una función tiene derivadas parciales y estas a su vez admiten derivadas, se obtienen derivadas parciales segundas, terceras, etc. Cabe señalar que en el proceso de derivación de orden superior, pueden hallarse derivadas múltiples con respecto a una misma variable, como también derivadas parciales respecto de distintas variables independientes: "Derivadas Parciales Mixtas".

(

)

Derivadas Superior de 1er Orden

En general, si hay variables independientes habrá parciales terceras, etc.

Derivadas Superior de 2de Orden

Derivadas Superior de 3er Orden

derivadas parciales segundas posibles,

derivadas

Teorema de Schwartz - Clairaut ( ) una función con derivadas parciales segundas continúas en un punto, se cumple que: Sea

|

|

Esta igualdad puede extenderse a cualquier orden de derivación siempre que esté derivando la misma cantidad de veces respecto de la misma variable y que estas derivadas sean continuas en un entorno del punto.

Plano Tangente ( ) hallar el plano tangente implica encontrar su ecuación para algún punto dado Dada una función 〈 〉, la ecuación general de la gráfica de f. Sea ese punto ( ) y el vector normal al plano de un plano que pasa por el punto es: ( Entonces sí

(

)

(

)

: (

En donde

)

)

(

)

(

)

(

)

es la pendiente de la recta tangente, por lo tanto:

|

Entonces sí

: (

En donde

)

(

)

es la pendiente de la recta tangente, por lo tanto:

|

Con esto sacamos la ecuación general del plano tangente:

(

)

(

)

Ecuación de la Recta Normal ( (

) )

( (

) )

(

)

(

| |

( (

)

(

)

}

)

(

)

)

Linealización de dos variables La linealización de una función ( La aproximación (

)

(

(

) (

(

) en un punto (

) donde f es derivable, se define como:

)

)

(

)(

(

)(

) es la aproximación lineal estándar de

)

(

)

(

)

(

(

) )

(

(

)(

(

)(

)(

)

(

Teorema de Aproximación Lineal ( ) es diferenciable en un punto ( Si una función como: (

)

(

en el punto (

) )

)

(

)(

(

)(

)(

)

) por lo tanto: )

)

) entonces su incremento puede expresarse

)

Demostración: ( (

) )

Teorema del Valor Medio

(

)

(

(

)

(

( )

( )

(

) )

( ) (

)

En donde

En donde

)

(

)

( )

( )

( (

)

( )

) (

(

)

)

Despejo y reemplazo. Propiedad de Límite

( (

) )

( (

)

)

Toda función es igual a su límite más un infinitésimo. Hacemos tender a0 ( ) ( )

Reemplazamos Diferenciabilidad ( ) es diferenciable si tiene derivadas parciales, y estás, son continuas en un punto Una función ( ). Además, una función es diferenciable si tiene plano tangente único en ese punto.

Condición Necesaria 1. 2. 3.

Es diferenciable en un punto interior a su dominio si tiene derivadas parciales en ese punto. Si es continua en el punto. Si tiene derivadas en cualquier dirección y sentido. Tiene plano tangente único.

Condición Suficiente 1.

Si tiene derivadas parciales continuas en un entorno del punto.

Interpretación Geométrica Geométricamente el incremento de la función representa diferencia de altura entre los puntos P y Q, mientras que el diferencial de la función representa la diferencia de altura sobre el plano tangente de los puntos P y Q.

(

)

(

)

(

) ( (

(

Entonces

) )

)

1.5. Derivada de la Función Compuesta Regla de la Cadena (Caso 1 - Una Variable Independiente) ( ) una función diferenciable en el punto y ( ) Sea ( ) son funciones diferenciables en ( ( ) ( )) es una función diferenciable en t y puede un valor , entonces la composición expresarse como:

Diagrama de Árbol

Variable Dependiente

Variables Intermedias

𝜕𝑧 𝜕𝑥

𝑧

𝑦

𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑡

Variable Independiente

𝜕𝑧 𝜕𝑦

𝑡

𝜕𝑧 𝜕𝑡

𝜕𝑦 𝜕𝑡

Demostración Como es diferenciable cumple con el Teorema de Aproximación Lineal. (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Regla de la Cadena (Caso 2 - Dos Variables Independientes) ( ) una función diferenciable en el punto y ( ) Sea ( ) son funciones diferenciables en un valor , entonces tiene derivadas parciales respecto de y de y se expresan como:

Diagrama de Árbol

Variable Dependiente

𝑧

𝜕𝑧 𝜕𝑥

Variables Intermedias

𝜕𝑥 𝜕𝑟

𝑦

𝜕𝑥 𝜕𝑠

𝜕𝑦 𝜕𝑟

𝑠

𝑟

Variables Independientes

𝑥

𝜕𝑧 𝜕𝑦

𝑟

𝜕𝑦 𝜕𝑠

𝑠

( ) (

(

(

){

(

)

(

)

(

)

(

)

)

)

Generalización de la Regla de la Cadena En casos más generales podemos tener más de una variable de las que dependa cada variable independiente de u. Entonces podemos derivar a u respecto de cada una de esas variables, así podemos generalizar el concepto: ( ) … ( … )

∑

Diferenciación Implícita para dos variables ) Sea la ecuación ( que define implícitamente a ( ) tal que ( ( )y ( ), además ( ) es distinta de cero, entonces: y existe ( ( Demostración (

)

( (

) )

) )

( ))

. Si existe (

)

Interpretación Geométrica Geométricamente la derivada de una función implícita representa la pendiente de la recta tangente a la curva ) de nivel de la ecuación ( en un punto. Diferenciación Implícita para tres variables ) Sea ( una ecuación que define a z como función implícita de x y de y ( ( ) y existe ( ) ( ) ( )) . Si existe la función en ( es distinta de cero entonces: ( (

) )

( (

) )

( (

)) tal que ) y si (

)

Demostración (

)

( ( (

) )

)

( (

) )

Interpretación Geométrica Geométricamente la derivada de z respecto de x cuando z está definida implícitamente como función de x y de y, representa la pendiente de una recta tangente a la curva de intersección de la superficie de nivel ( ) con el plano ; Y la derivada de z respecto de y representa la pendiente de una recta ) tangente a la curva de intersección de la superficie de nivel ( con el plano . Derivada Direccional Dada la función ( ) en el punto ( ), perteneciente al dominio de la función, y una dirección 〈 〉 fijado en el plano xy, llamamos derivada direccional de la función z en fijada por un versor unitario ⃗ el punto P de dirección ⃗ al siguiente límite: (

)

(

)

⃗( )

Donde h es la distancia entre ( )y operaciones algebraicas obtenemos que cumple siempre que el límite exista.

(

) y ⃗⃗⃗⃗⃗

〈

〉 〈 〉, aplicando ⃗ . Cabe recordar que esta definición se

Derivada direccional respecto de x ⃗

〈 ̂

〉

(

)

(

)

(

)

(

)

⃗( )

Derivada direccional respecto de x ⃗

̂

〈

〉

⃗( )

Interpretación Geométrica Geométricamente la derivada direccional representa la pendiente de una recta tangente a la curva de intersección de la superficie ( ) con el plano que contiene al versor ⃗ paralelo a z en el punto ( ).

Teorema de la derivada direccional Sea ( ) una función diferenciable en el punto ( ) y ⃗ un versor de componentes 〈 entonces la derivada de la función en un punto P con dirección ⃗ es:

〉,

⃗( )

Demostración Si f es diferenciable, entonces, cumple con el teorema de aproximación lineal: (

)

(

( (

)

⃗( )

(

) |(

⃗( )

√

〈

√

〈

⃗

√

√

(

)

(

) ⃗

〉

√

( √

os

⃗( )

√

〉

√

√ ⃗( )

〈

|(

) 〉

)

)

√

( ⃗⃗⃗⃗⃗

(

) s √

(

)

)

⃗

‖ ‖

〈

√

√

〉

) )

Vector Gradiente Sea ( ) una función diferenciable en un punto P, se define como el vector gradiente a aquel cuyas componentes son las derivadas de primer orden de la función en un punto, y se expresa como: ( (

)

〈

)

〈

La derivada direccional es un punto Si ( ) una función diferenciable en el punto ( punto del gradiente en el punto con dirección ⃗ .

〉 〉

), entonces la derivada direccional es el producto

⃗

⃗( )

Propiedades | | | ⃗ | os | ⃗ Al evaluar el producto punto de la formula ⃗( ) ángulo entre los vectores ⃗ y , podemos deducir las siguientes propiedades: 

|

os

donde

es el

La función f crece más rápidamente cuando os o cuando y ⃗ tiene la dirección del gradiente de la función, es decir, en cada punto P de su dominio, f crece más rápidamente en la dirección del vector gradiente en P. La derivada en esta dirección es: |

⃗( )

| |⃗ |

|

os

|

Este concepto lo definimos como Derivada direccional máxima. 

De manera similar podemos definir la Derivada direccional mínima cuando la función decrece más rápidamente en la dirección opuesta al gradiente . Por lo tanto la derivada direccional en esta dirección está dada por: |

⃗( )



|

os

|

Cualquier dirección de ⃗ ortogonal a un gradiente distinto de cero cambio nula en la función porque en este caso por ende; |

⃗



| |⃗ |

| |⃗ |

|

os

es una dirección de

|

Cuando la derivada direccional es cero, quiere decir que la función se comporta como una constante.

Las propiedades listadas anteriormente son válidas tanto como en funciones de dos variables y s funciones de tres variables. (

|

|

|

⃗( )

|

√(

)

)

⃗

√

〈

〉

Relación con las curvas de nivel ( ), el gradiente de la función es normal a la En todos los puntos ( ) de la función derivable curva de nivel que pasa por ( ), es decir el gradiente es perpendicular a la superficie en ese punto y a su plano tangente. Plano Tangente y Recta Normal para funciones implícitas ) Dada la superficie ( y un punto ( ), si se quiere encontrar el plano tangente de la superficie en ese punto se puede trabajar con el vector gradiente y definimos el plano tangente como: 〈

〉 〈 (

)

(

〉 )

(

)

⃗

⃗

〈

〉

De igual modo definiremos la recta normal:

1.6. Extremos Relativos y Condicionados Fórmula de Taylor ( ) sea diferenciable en un rectángulo , Si la función ( ) está definida como:

(

)

(

)

(

)

(

-

,

- , la Serie de Taylor en

)

(

)

(

)

Cabe aclarar que al trabajar hasta la derivada de segundo orden ya podemos considerar el cálculo como una buena aproximación a la función. Extremos Relativos o Locales ( ) buscamos los puntos donde la superficie tiene un plano tangente horizontal, en Para una función tales puntos buscamos los máximos y mínimos relativos, y se definen como: ( ) alcanza un mínimo relativo en un punto ( ) si para algún entorno del  Una función ). ( ) ( ). punto se cumple que la función en el punto es menor a ( ( ) alcanza un máximo relativo en un punto (  Una función ). ( ) punto se cumple que la función en el punto es mayor a (

) si para algún entorno del ( )

Si estas desigualdades se cumplen para todo el dominio de la función entonces se denomina extremo absoluto. Puntos Críticos Los puntos críticos son los posibles máximos o mínimos que puede alcanzar una función y los clasificaremos en 3 grupos:  Puntos Estacionarios: Son aquellos en donde el plano tangente es horizontal, es decir que sus derivadas de primer orden son nulas. .

 Puntos Singulares: Son aquellos en donde al menos una derivada parcial no existe.

.

 Puntos Frontera: Son aquellos en donde no trabajamos con el dominio total de la función sino que lo limitamos en un conjunto.

Condición Necesaria para Extremos Relativos de Puntos Estacionarios Si una función ( ) alcanza un máximo o un mínimo relativo en un punto P, entonces las derivadas parciales de primer orden respecto de x e y en el punto, valen cero. Condición Suficiente para Extremos Relativos de Puntos Estacionarios 1er Criterio: Analizar el signo de la variación de la función . 2do Criterio: Analizar el signo del diferencial segundo de la función. Partimos de una función diferenciable en el punto P, que puede desarrollarse mediante la Serie de Taylor.

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

3er Criterio: Método Hessiano: Analiza el signo de las derivadas parciales de segundo orden de la función. ó (

)

(

)

(

)

[(

)

(

,

)]

-

{

. Determinante Hessiano Otro método más simple para determinar el signo de H es por medio de determinantes, en donde la condición suficiente es que el determinante sea mayor a cero:

[

]

Conclusión Dada una función ( ) diferenciable hasta orden n en un punto P, si en P existe un punto estacionario entonces se cumple que entonces si la función alcanza un mínimo relativo en el punto, en cambio, si la función en el punto alcanza un Máximo relativo. Si en el punto P de la función entonces existe un punto de silla y finalmente si no se puede asegurar que exista un extremo. Extremos Absolutos - Teorema de Weisstrass Si una función ( ) está definida sobre un conjunto cerrado y acotado, entonces en algún punto de ese conjunto, la función alcanza un máximo y un mínimo, y estos, son absolutos.

Extremos Condicionados Se llama extremos condicionados a los valores de la función ) encuentran sujeto a una condición dada ( .

(

) que la optimizan cuando se

Sea ( ) una función que posee un extremo en un punto P y ( ) las curvas de nivel ) correspondiente vamos a suponer una curva de ecuación ( cuyas ecuaciones paramétricas están ( ) dadas a través de ( ), si consideramos los valores de la superficie cuando el dominio es la curva entonces se obtendrá ( ( ) ( )). Si la función alcanza un extremo en P que sobre la curva corresponde el valor entonces esta derivada daría igual a cero. 〈

|

〉

Se expresa a g a través de sus ecuaciones paramétricas de tal manera que ( ( ) ( )) respecto de y también aplicamos la regla de la cadena: 〈

|

〉

〈

〉

, si derivamos

〈

〉

Por esto mismo:

Método de Multiplicadores de Lagrange Sean f y g funciones diferenciables en el punto P, f alcanza un extremo cuando se encuentra sujeto a la condición g entonces existe un valor que cumple lo siguiente:

Función: Condición:

{

Resolviendo el Sistema de Ecuaciones

Cristian Nicolás Vega, 1ºR20, Ingeniería en Electrónica, Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Mendoza