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Funciones Cuadráticas • 1

Segunda Edkwn

• Funciones Cuadráticas: Comencemos estudiando la forma pdinómica dd as fundones cuadráticas. Forma Polinómica de la Función Cuadrática: Y = a . X2 + b . x + c



"a" "b" y V

son números reates, a * O

Puntos característicos de las funciones cuadráticas: Estos puntos son los más importantes de estas funciones y nos van a ser muy útiles para su estudio. 0 0 0

Raíces: Una función cuadrática puede tener 2, 1 o ninguna raíz real. Coordenadas del vértice: Toda función cuadrática tiene siempre un único vértice, con coordenadas "x" e "y" reales. Intersección con el ele Y: Toda función cuadrática corta al eje "y" en un único punto, al que podemos llamar ordenada al origen.

2

Vamos a estudiar todos estos puntos característicos con el siguiente ejemplo: /(X) = x + 2 x - 3

Raíces reales de una función cuadrática: La raíces de una función, son los valores en los cuáles una función corta al eje de las "x". Cuando una función cuadrática tiene raíces reales, éstas se calculan con la siguiente fórmula:

2-a

Esta fórmula se aplica con los coeficientes de la función cuadrática en forma polinómica, que como vimos antes es de la forma: f, = a-x 2 +b-x+c 00 Ejemplo: Calculemos las raíces de la función de nuestro ejemplo: f(x) = x2 + 2 x - 3

-2+/4+12 L'¿

2-a

2 - 1

2

-2±^ -2±4 ^ 2

2

-2+42 2 ~2~ -2-4-6

X2

O sea que en nuestro ejemplo las raíces son Xi = 1

y

X2 = -3

2

~ 2

Cálculo de las Coordenadas del vértice: Vamos a ver unas fórmulas para calcular las coordenadas del vértice:

X

V

=

-b 2-a

v Yv

4 a - c - b2

•

4-a

Con estas fórmulas remplazando los coeficientes "a", "b" y "c" de la ecuación en forma polinómica, vamos a calcular las coordenadas del vértice. Veámoslo en nuestro ejemplo: Calculemos las coordenadas del vértice de la función de nuestro ejemplo: f(x) = x2 + 2 x - 3 y

" v

_

^_

v Y

2 - a ~ 2-1

v

4-a-c-b2 4-a

4-l-(-3)-2 2 4-1

-12-4

-16

O sea que el vértice es el punto: V = (-1; -4)

Intersección con el eie "v": La intersección con el eje "y", u "ordenada al origen" es simplemente el valor del término independiente de la ecuación polinómica, es decir el valor de "c". En nuestro ejemplo f(x) = x2 + 2 x - 3

Í~T : k | D Eje Y = c [

la intersección con el eje "y" es y = -3

Gráfica a partir de los puntos característicos de la función cuadrática: Con estos puntos característicos podemos graficar aproximadamente la función:

Intersección Eie "v": Vértice:

' Y = -3

'

Página:

intentos de la función Cuadrática' Comenzaremos estudiando las cuadráticas a partir de la función f(x) = X2 La gráfica de f(x) = X 2 , la veremos a continuación: A partir de este gráfico, veremos como son (aproximadamente los gráficos de funciones cuadráticas similares, pero desplazadas vertical y horizontalmente. Desplazamientos Horizontales: Cuando a la variable wx" se le suma o resta un valor, antes de ser elevado al cuadrado, este valor es el desplazamiento horizontal. Si a la variable Hx" se le suma un valor, el desplazamiento es hacia ka izquierda, en cambio si se le resta un valor, el desplazamiento es hacia la derecha, lógicamente, sobre el eje de las x. Ejemplos: 3 • A-, /X 2 se desplaza 1 • •' hacia la Izquierda

X2 se desplaza 2 hacia la Derecha

Desplazamientos Verticales: Cuando a la variable "x" se le suma o resta un valor, después de ser elevada al cuadrado, este valor es el desplazamiento Vertical. Si a la variable "x" se le suma un valor, el desplazamiento es hacia arriba, en cambio si se le resta un valor, el desplazamiento es hacia abajo. \ X2 se desplaza 3 hacia Abajo

Ejemplos: se desplaza 1 hacia arriba

2

Funciones cuadráticas de Concavidad Negativa: Cuando el término cuadrático (es decir'• el ^-« término de la x2) es negativo, la parábola que estamos estudiando cambia de concavidadJ, lO vemos graficado en el siguiente ejemplo:

t x + 2=2

=> 2(x + 2) 2 -8 =0 => 2(x + 2)2 =8 => (x + 2)2 = 8 / 2 => x = 2-2

=>

=> Intersección con el ele "y": La manera de calcular esto es reemplazando "X=0" y calculando el valor de "y"

beguraa tención

6 Dos Propiedades Importantes: Hay dos propiedades sumamente importantes a saber con respecto a las raíces de una parábola, son dos fórmulas que relacionan la suma de las raíces y el producto de las raíces con a, b y c. Qaro que si nos dan en un ejercicio, por ejemplo las raíces y con eso solo y estas ecuaciones queremos averiguar la ecuación polinómica no vamos a poder., por que? Simple, porque tendríamos dos ecuaciones y tres incógnitas que serían "a", "b" y "c" Por eso necesitamos un dato más, aparte de las raíces, por ejemplo, la ordenada al origen. Veamos a continuación un ejemplo: De una parábola, reconstruirla ecuación Polinómica de la Parábola.

Dadas: La Ordenada al Origen ^ y = - 15 / 2 Y las Raíces —^ x± = - 3 y x2 = 5

Planteamos las dos fórmulas que acabamos de ver:

c

Y

x1 + X-, = — 1 ¿ a

——

2 "a

Y remplazamos Xi y X2 por -3 y 5 que son los valores de las raíces, que son datos, y "c" por -15/2 que también es dato (acordate que "c" es el valor de la ordenada al origen)

--3 -c5 -

Y

X2

—

~

-15/2

_,,

1C

-15/2

2=

-3 + 5 = -a

_^ ,_

a =— 2 ¡ b= -

1/2

Remplazamos "a" por 1/2 porque lo acabamos de calcular. Y ya podemos escribir la ecuación polinómica porque ya sabemos "a", "b" y "c" S*^

Í.x2-lx 2

15 2

6 Ecuación Factorizada de la Parábola:

= a.(X-x 1 ) • (x-x 2 )

y X2 son las raíces de la parábola, y "a" es el mismo "a" de siempre.

Ejemplo: grafiquemos la siguiente parábola dada en forma factorizada: 1 2

2

Fíjate como las raíces son los valores que están dentro del paréntesis restando a la X

Atención con esto: No todas las parábolas pueden escribirse en forma factorizada. Esto pasa porque hay parábolas que no tienen raíces reales. Por eso la forma factorizada no es tan común.

O

Pásale de formas de una parábola: Ahora vamos a ver como pasar de una forma a otra:

>

Pásale de Forma Polinómíca a Canónica: Hay que hallar las coordenadas del vértice y escribir directamente la forma canónica con estos valores y sin olvidarse del valor de "a" que está también en la forma polinómica. Pásale de Forma Canónica a Polinómica: Hay que desarrollar el cuadrado del binomio y operar. Pásale de Forma Polinómica a Factorizada: Hallar las raíces y escribir directamente la forma factorizada. Pásale de Forma Factorizada a Polinómica: Hay que hacer la distributiva del producto entre los paréntesis. Pásale de Forma Factorizada a Canónica: Para pasar de forma factorizada a canónica, hay que pasar primero de factorizada a polinómica y luego de la polinómica a la factorizada. Pasaje de Forma Canónica a Factorizada: Hay que hallar las raíces de la parábola primero y después escribir la forma factorizada (sin olvidarse de "a" que también está en la forma canónica)

> > > > >

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