TRABAJO PRÁCTICO Nº 4: INTRODUCCION A LA MODELIZACIÓN MATEMATICA ASIGNATURA: MATEMATICA II (ATH)- U.N.R.N. – AÑO: 2014

Modelos Lineales 1) Un técnico de equipos de música cobra una tarifa fija de $45 por revisar el equipo y realizar un diagnóstico del problema que presenta. Luego, por cada hora de trabajo que le demanda su arreglo tiene estipulado una tarifa de $90. a) Escribir una fórmula que describa la situación y describir cuáles son las variables relacionadas. b) Explicar el significado, en esta situación real, de los parámetros de la función. c) Graficar la función. d) Encontrar el número de horas que trabajaría el técnico por $225 e) Describir cómo variarían la función y su gráfico si el técnico no cobrara la tarifa fija de $45 y sólo el tiempo que le insume el arreglo del equipo. f) Describir cómo cambiarían la función y su gráfico si el técnico cobrara la tarifa fija de $45 y una tarifa de $70 por cada hora que le insume el arreglo del equipo de música. 2) Una noticia del diario Clarín del año 2004 decía así:

a) Encontrar la diferencia entre los sueldos promedio de los hombres y de las mujeres. b) ¿Es cierto lo que menciona el título de la nota? Justifique su respuesta. c) Encontrar, según los datos dados en la noticia, una expresión tal que, dado el sueldo de una mujer, permita hallar el de un hombre. 3) Una noticia del diario La Nación del año 2004 decía:

a) Calcular el monto en millones de dólares que Argentina vendió a China en el año 2003. b) Si x representa la cifra que la Argentina vende actualmente a China, encontrar una expresión que represente la cifra que exportaría en el 2004. Indicar cuáles son las variables dependiente e independiente. c) Escribir una expresión que permita calcular el acumulado de ventas en ambos años. 4) Para una empresa ubicada en el sur del país, el costo de producir diariamente 30 televisores es de $25.000, y si su producción es de 40 unidades del mismo televisor es de $30.000. Sabiendo que el costo de producción C de la empresa está relacionado linealmente con la cantidad x de televisores diarios producidos y que la capacidad máxima de producción diaria es de 50 aparatos. a) ¿Cuál es la función C(x) que permite describir los costos de producción? b) Estimar el costo de producir 35 unidades del mismo producto en un día. c) Si la empresa vende los televisores a $1.500 cada uno, ¿cuál es la función de ingreso I(x) si se supone también un comportamiento lineal de la misma? d) Estimar el ingreso por vender 35 unidades del mismo producto en un día. e) Graficar en un mismo sistema de coordenadas las funciones, considerando que se pueden producir y vender hasta un total de 50 televisores diarios. Dar dominio e imagen de ambas. 1

f) ¿Qué beneficio tendría la empresa si sólo produce y vende 10 televisores diarios? ¿Y si realiza y vende 6 televisores? g) ¿Le conviene a la empresa, siempre que pueda venderlos, producir a su máxima capacidad? Justificar la respuesta. 5) Pedro, que vive en la zona rural de Belén (Catamarca) sale de su bicicleta a las 7:30 hs para ir a la escuela, que está a 2 km de su casa, y viaja a una velocidad constante de 100 metros por minutos. a) Escribir la fórmula que relaciona la distancia a recorrer desde la casa de Pedro hasta la escuela, en función del tiempo transcurrido. b) Explicar el significado de la pendiente y de la ordenada al origen en el contexto del problema. c) ¿Llegará Pedro a la escuela antes de las 8:00 hs, que es la hora del comienzo de clases? d) Averiguar la velocidad promedio de una persona al caminar, y repetir los incisos anteriores con ese dato. e) Graficar ambas funciones en un mismo sistema de ejes cartesianos. Comparar ambos gráficos y explicar el comportamiento de cada uno. 6) Un almacén vende aceite suelto en bidones de 5 litros. Cobra 10$ por el envase y 16$ por litro de aceite. a) ¿Cuánto deberá pagar una señora que compró 3,5 litros y no tenía envase propio? b) ¿Hasta cuánto aceite puede comprar otra que sólo dispone de 42$ y tampoco tiene envase? c) Encontrar la expresión algebraica que permite hallar lo que debe pagar una persona que desea comprar una cantidad x de aceite. 7) Se coloca en el fuego una olla con agua a 10 ºC. La temperatura del agua va aumentando 15 ºC cada minuto, hasta llegar a hervir y se mantiene hirviendo hasta que la retiran del fuego, 11 minutos después de haberla colocado. a) ¿Qué temperatura tiene el agua 1 minuto después de estar en el fuego? ¿Y a los 3 minutos? b) ¿Cuántos minutos tarda en llegar a hervir? c) ¿Cuánto tiempo sigue hirviendo? d) ¿En qué momento alcanzó los 40 ºC? e) ¿Llegó en algún momento a los 120 ºC? f) Encuentre la expresión algebraica que modeliza esta situación. 8) Las temperaturas pueden medirse en grados centígrados (ºC), grados Fahrenheit (ºF) y grados Kelvin (ºK). a) Si 0ºC equivale a 32ºF y 100ºC equivalen a 212ºF, encuentre una expresión algebraica que relacione ambos sistemas de medición. Grafique. b) Si 0ºC equivale a 273,15ºK y 100ºC equivalen a 373,15ºK, encuentre una expresión algebraica que relacione ambos sistemas de medición. Grafique. c) Encuentre una expresión algebraica que relacione los sistemas Fahrenheit y Kelvin. Grafique. d) Investigue y redacte un pequeño texto acerca de los diferentes usos de estos tres sistemas de medición. Modelos cuadráticos 9) Supongamos que tenemos un cuadrado de lado 1. Vamos a duplicar cada lado una y otra vez, y en cada caso calcular el perímetro obtenido y el área del cuadrado. a) Repite el proceso 8 veces y vuelca los datos en una tabla. b) Realiza dos gráficos, uno para el perímetro y otro para el área. c) Encuentra un modelo matemático para cada caso. Saca conclusiones. 10) Dentro del proceso iniciado de sembrado de truchas, en 2001 se introdujeron 100 individuos de esta especie en un lago ubicado en la zona cordillerana de Argentina, en el cual no había registros de su existencia. Al principio la población comenzó a crecer rápidamente, pero luego distintos factores, entre ellos la falta de alimentos, determinó un decrecimiento. El número de estos salmónidos para cada año t si consideramos t=0 al año 2001, se puede modelizar por: S(t)= –t2 + 15t + 100 a) Dar el dominio y la imagen de la función S para este problema. b) Calcular la imagen de t=2 y explicar su significado en este contexto. c) ¿En qué año la población de truchas fue máxima? En dicho año, ¿cuántos ejemplares había? d) ¿En qué año comenzó a decrecer la población de truchas? e) ¿En qué año se puede estimar que se extinguirá la población de truchas en el lago? f) Graficar la función. 11) El número A promedio de accidentes de tránsito registrados en un día para el país, en función de la edad x del conductor puede representarse por la función A(x) = 0,45x2 – 41x + 1059 a) ¿Cuál es el dominio de A en este problema, y cuál es la imagen? b) ¿Cuántos accidentes pueden calcularse que serán producto de jóvenes 18 años de edad conduciendo? c) Cuántos accidentes serán producto de conductores que tienen 70 2

años de edad? d) ¿A qué edad un conductor, según este modelo, tiene menor probabilidad de tener un accidente? e) ¿Cuántos accidentes pueden esperarse derivados de conductores de dicha edad? f) Graficar esta función. 12) Un pub abre y cierra cuando todos los clientes se han ido. A partir de registros mensuales se obtuvo una función que permite modelizar el número de personas que hay en el pub x horas después de su apertura, la misma es: P(x)= 60x–10x2 a) Determinar el dominio y la imagen de P para este problema. b) Hallar el número máximo de personas que van a pub una determinada noche e indicar en qué horario se produce la máxima asistencia de clientes. c) Si queremos ir al pub cuando haya al menos 50 personas, ¿a qué hora tendríamos que ir? d) Si queremos estar sentados y el pub sólo tiene capacidad para 80 personas sentadas, ¿a partir de qué hora ya estamos seguros que no conseguiremos sillas? e) Graficar la función. 13) Un chacarero tiene una hectárea de terreno en Río Negro y quiere iniciar una plantación de manzanos. El INTA de la región le informa que si se plantan 50 árboles por hectárea, puede esperarse que cada árbol rinda aproximadamente 600 manzanas. Podría obtener en total: 50 x 600 = 30000 manzanas. Si plantara algunos árboles más en su hectárea, obtendría más manzanas en total. Pero si plantara muchos árboles más, las ramas de cada uno recibirían menos sol, y disminuiría mucho el rendimiento por árbol. El INTA determinó experimentalmente que si x es el número de árboles por encima de 50 en una hectárea, el total de la producción p está dado por la fórmula: p = − x + 30 x + 30000 . El chacarero quiere saber, naturalmente, hasta cuántos árboles puede plantar por encima de 50 para que su producción total no empiece a disminuir, y cuál sería la producción máxima que podría obtener. Busque diferentes maneras de contestar al chacarero. 2

14) Un puente tiene forma parabólica según muestra la figura. a) Determinar la expresión algebraica asociada a esta parábola tomando como origen de coordenadas al punto a. b) Idem anterior tomando como origen el punto medio del segmento horizontal. c) ¿Cómo se llama esta función?

15) Buscar ejemplos (por lo menos tres) de usos de las parábolas en la ciencia y en la vida cotidiana. Problemas optativos 1) Para las compañías de aviación, una de las necesidades importantes es estimar cuánto combustible necesitarían los aviones para los vuelos. Por mediciones realizadas se conoce que un Boeing 727, que se abastece antes del despegue, contiene cerca de 28.000 litros de combustible y usa cerca de 5.000 litros por cada hora de vuelo. Si bien otros factores frecuentemente tienen efecto sobre el gasto de combustible, se puede considerar que la cantidad del mismo es, principalmente, función del tiempo de vuelo. a) Plantear la fórmula del gasto de combustible en función del tiempo de vuelo. b) ¿Cuánto combustible le queda al avión después de 4 horas y media de vuelo? c) ¿Cuánto tiempo de vuelo ha realizado el avión en el momento en que consumió la mitad del combustible? d) ¿A qué tasa decrece el combustible del avión? Es decir, ¿cuál es el decrecimiento del combustible por cada hora adicional del vuelo? e) Si por seguridad un avión debe tener al menos 5.000 litros de combustible en su tanque, ¿qué tiempo de vuelo asegurado tenemos? Plantear una fórmula del gasto de combustible en función del tiempo de vuelo, pero teniendo en cuenta este margen de seguridad. ¿Cambió con respecto a lo respondido en a)? Sí la respuesta es sí, explicar la razón de este cambio. 3

f) Si el avión viaja a 800 kilómetros por hora, ¿cuál es el viaje más largo que puede hacer, siempre considerando el margen de seguridad de 5.000 litros? g) Graficar la función planteada en a) y la planteada en e), indicando dominio e imagen de cada una. 2) Una Pyme que fabrica juegos artesanales para niños, en madera, ha estimado sus ingresos mensuales, en pesos que se pueden representar por la función: I(x)= – 4,2x2 + 540x mientras que sus costos (también mensuales y en pesos) pueden calcularse mediante la función: C(x)= 6,6x2 + 180x + 1050. En ambas funciones, x representa la cantidad de juguetes producidos y/o vendidos. a) Realizar el grafico de las funciones I(x) y C(x) en un mismo sistema de coordenadas cartesianas. b) ¿Qué indica, en el contexto del problema, que c sea cero en I(x) y que c sea igual a 1050 en la función C(x)? c) ¿Cuál es el número mínimo de unidades que debe fabricar la Pyme mensualmente para que sus ingresos superen los gastos? d) Define la función beneficio. e) ¿Qué cantidad de unidades deben ser vendidas para que el beneficio obtenido por la pequeña empresa sea máximo y a cuánto asciende dicho beneficio? 3) En la factura de consumo eléctrico de una ciudad, aparecen detallado el consumo como se muestra: Cuota fija 1 a 60 kWh / mes Excedente Hasta 50 kWh/mes $1,5

$2,5

$11,5

De 51 a 90 kWh/mes

Más de 90 kWh/mes

$33,5

$72,0

a) Calcular el precio para cada uno de los siguientes consumos mensuales: 50 kWh ; 80 kWh; 200 kWh. b) Sabiendo que el consumo máximo permitido por mes es de 300 kWh, graficar la función de consumo de electricidad para esta ciudad. Identificar las variables que intervienen y especificar Dominio e Imagen. c) Proponer una fórmula para la función costo en función del consumo. d) ¿El precio de la electricidad en esta ciudad es proporcional al consumo? 4) Un delfín toma impulso y salta por encima de la superficie siguiendo una función D(x)=-x2+6x+12 donde D(x) es la distancia al fondo del estanque (medida en metros) y x el tiempo empleado (medido en segundos). a) Dar el dominio y la imagen de D en este problema. b) Calcular en qué momento el delfín sale a la superficie y en qué momento vuelve a sumergirse sabiendo que la profundidad del estanque es de 20 m. c) ¿A qué profundidad inicia el ascenso? d) Graficar la función D. 5) Un hotel debe cubrir las necesidades de personal de limpieza y mantenimiento según la siguiente tabla: Período

Horario

A B C D E F

00 – 04 04 – 08 08 – 12 12 – 16 16 – 20 20 – 24

Personal mínimo necesario 19 25 37 41 30 22

Los empleados trabajan turnos de 8 horas consecutivas. Formular un modelo matemático (sin resolverlo) para calcular cuántos empleados deberán trabajar en cada período de modo que el total de personal sea mínimo. Indicar claramente qué representa cada variable y cuál es la función que se busca minimizar.

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