TEMA: “APLICACIONES DE LA FUNCION LOGARITMICA”

APELLIDO Y NOMBRE: • Fara Britos, María José. • Lizárraga, María Florencia.

AÑO: 2010

FUNCION LOGARITMICA. INTRODUCCION. Una función se llama logarítmica cuando es de la forma y = log a x donde la base a es un número real y positivo pero distinto de 1, puesto que el resultado sería 0.

Al igual que la función exponencial, la función logarítmica se utiliza en los cálculos y desarrollos de las matemáticas, las ciencias naturales y las ciencias sociales. Entre otros fines, se usa ampliamente para comprimir la escala de medida de magnitudes cuyo crecimiento, demasiado rápido, dificulta su representación visual o la sistematización del fenómeno que representa. Se utiliza en diversos campos como la geología, la biología, la física, la química entre otras que mas adelante pasaremos a desarrollar. El desarrollo de las ondas sonoras, su uso en la escala de Richter entre otras, son algunas de las aplicaciones en la que se usa esta escala, la aplicación que pasaremos a desarrollar será su uso en la escala de Richter, algo muy común en estos tiempos.

APLICACIONES DE LA FUNCION LOGARITMICA. • La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros del epicentro del terremoto). • Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite determinar la brillantez y la magnitud. • En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el cálculo del volumen "L" en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidad de área por segundo), I0 es la intensidad de sonido más baja que el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo). Una conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles. • Datación de vestigios arqueológicos Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo, siguiendo una ley exponencial del tipo R = R0 e-kt, siendo R0 la cantidad de sustancia inicial, k una constante característica del elemento químico de que se trata, y R la cantidad en un instante t. Para datar restos arqueológicos se usa con frecuencia el método del isótopo C-14 (carbono 14), que resuelve la anterior ecuación mediante la aplicación de logaritmos, de manera que, conocida la constante k del carbono 14 y el periodo de semidesintegración (tiempo que tarda en reducir su cantidad inicial a la

mitad) de este elemento, es posible determinar el tiempo t. • En la intensidad sonora las unidades utilizadas comúnmente para medir los niveles de intensidad de un sonido, llamadas belio y decibelio, son en realidad relativa y de naturaleza logarítmica. Así, un decibelio se define en acústica como la décima parte del logaritmo decimal del cociente entre la intensidad de un sonido y una intensidad umbral tomada como referencia.

LA FUNCION LOGARITMICA EN LA ESCALA DE RICHTER. Las escalas de medida de la intensidad de los terremotos más comúnmente utilizadas son de tipo logarítmico. Así, la escala de Richter utiliza una escala logarítmica de base 10, con lo que cada aumento de grado en esta escala no se corresponde con un aumento lineal de la magnitud de un sismo, sino exponencial: un terremoto de grado seis es diez veces menos intenso que uno de grado siete, y cien veces menos que uno de grado ocho.

Escala de Richter Los sismólogos han ideado diversas escalas de medición para describir los terremotos de forma cuantitativa. Una de ellas es la escala de Richter, que debe su nombre al sismólogo estadounidense Charles Francis Richter y mide la energía liberada en el foco o hipocentro de un seísmo. La magnitud sísmica es una medida de la cantidad de energía liberada en el movimiento sísmico, indicada por la amplitud (intensidad) de las vibraciones cuando llegan al

sismógrafo o instrumento de registro. Es una escala logarítmica que va del 1 al 9; cada escalón o paso ascendente en la escala de Richter representa una intensidad o amplitud que es 10 veces mayor que la del inmediato inferior de modo que un seísmo de magnitud 7 es 10 veces más potente que un seísmo de magnitud 6, 100 veces más potente que un seísmo de magnitud 5, 1.000 veces más potente que un seísmo de magnitud 4, y así sucesivamente. Unos 800 seísmos de magnitudes 5 y 6 se producen cada año en todo el mundo, frente a unos 50.000 seísmos de magnitudes 3 a 4, y apenas 1 terremoto de magnitud 8 a 9. Usando esta escala, los sismólogos clasifican los temblores de insignificante (menos de 4), ligero (4 a 4,9), dañino (5 a 5,9), destructivo (6 a 6,9), muy destructivo (7 a 7,9) y desastroso (8 a 8,9). Teóricamente, la escala de Richter es una escala abierta, sin embargo hasta 1979 un terremoto de magnitud 8,5 se consideraba el más fuerte posible. No obstante, desde entonces las mejoras en las técnicas de medición sísmica han permitido a los sismólogos perfeccionar la escala, y actualmente consideran que 9,5 es el límite práctico.

Magnitud de un terremoto La escala de Richter es una forma de convertir las lecturas sismográficas en números que proporcionan una referencia sencilla para medir la magnitud M de un terremoto. Todos los terremotos se comparan con un Terremoto de nivel cero cuya lectura sismográfica mide 0.001 de milímetro a una distancia de 100 kilómetros del epicentro. Richter estudió muchos terremotos ocurridos entre 1900 y 1950. El mayor, ocurrido en San Francisco en el año de 1906, tuvo una magnitud de 8.9 en la escala de Richter, y, el menor una magnitud de 0. Esto corresponde a una razón de intensidades de 800.000.000, así que, la escala de Richter proporciona números mucho más manejables para su trabajo. Cada unidad de incremento en la magnitud de un terremoto en la escala de Richter, indica una intensidad 10 veces mayor. Así, por ejemplo, un terremoto de magnitud 6 es 10 veces mayor que un terremoto de magnitud 5. Uno de magnitud 8, es 10 x 10 x 10 = 1000 veces mayor (en intensidad) que uno de magnitud 5. En general, puede probarse que la intensidad relativa de dos terremotos se puede determinar elevando 10 a una potencia igual a la diferencia de sus lecturas en la escala de Richter. Terremotos devastadores Los registros históricos de terremotos anteriores a mediados del siglo XVIII son casi inexistentes o poco fidedignos. Entre los sismos antiguos para los que existen registros fiables está el que se produjo en Grecia en el 425 a.C., que convirtió a Eubea en una isla; el que destruyó la ciudad de Éfeso en Asia Menor en el 17 d.C.; el que arrasó Pompeya en el 63 d.C., y los que destruyeron parte de Roma en el 476 y Constantinopla (ahora Estambul) en el 557 y en el 936. En la edad media se produjeron fuertes terremotos en Inglaterra en 1318, en Nápoles en 1456 y en Lisboa en 1531.

El sismo de 1556 que mató a 800.000 personas en Shaanxi (Shensi), provincia de China, fue uno de los mayores desastres naturales de la historia. En 1693 un terremoto en Sicilia se llevó unas 60.000 vidas; al principio del siglo XVIII, la ciudad japonesa de Edo (en el emplazamiento del Tokio moderno) fue destruida y murieron unas 200.000 personas. En 1755 Lisboa fue devastada por un terremoto y alrededor de 60.000 personas murieron —este desastre aparece en Cándido, novela del escritor francés Voltaire—. La sacudida fue tan fuerte que se sintió hasta en las regiones interiores de Inglaterra. Quito, la capital de Ecuador, sufrió un terremoto en 1797 en el que murieron más de 40.000 personas. Uno de los terremotos más famosos fue el del área de San Francisco de 1906 que causó extensos daños y se cobró aproximadamente 700 vidas. En Latinoamérica, el mes de agosto de ese mismo año en Valparaíso, Chile, un sismo acabó con la vida de unas 20.000 personas; en enero de 1939 en la ciudad de Chillán, también en Chile, murieron 28.000 personas. En 1970, en el norte de Perú murieron unas 66.000 personas. El sismo de Managua, Nicaragua, el 23 de diciembre de 1972 destruyó por completo la ciudad y murieron más de 5.000 personas. El 19 de septiembre de 1985, un terremoto en la ciudad de México provocó la muerte de miles de personas. En 1988 un fuerte terremoto sacudió el norte de Armenia ocasionando la muerte de unas 25.000 personas. El sismo de magnitud 7,2 en la escala de Richter ocurrido el 17 de enero de 1995 en el área de Hanshin-Awaji en Japón, tuvo un efecto destructivo sobre la ciudad de Kōbe donde unos 100.000 edificios fueron destruidos y perecieron más de 6.000 personas. El noreste de Turquía fue sacudido en 1999 por un terremoto, de magnitud 7,4 en la escala de Richter, que provocó la muerte de decenas de miles de personas. El 26 de enero de 2001 un terremoto (de 7,9 grados en la escala de Richter) asoló el estado de Gujarāt en la India. A

finales de 2003, el sureste de Irán sufrió un fuerte terremoto, de magnitud 6,6 en la escala de Richter, que provocó la muerte de al menos 40.000 personas y destruyó gran parte de la histórica ciudad de Bam.

Terremoto en San Francisco en 1906

Terremoto en México en 1985.

Terremoto en Haiti el 12 de enero de 2010

Terremoto en Alaska en 1964.

Terremoto en Kobe (Japón) en 1995.

Terremoto en Chile el 27 de febrero de 2010.

CONCLUSION El trabajo realizado nos sirvió para poder descubrir las distintas aplicaciones que la función logarítmica tiene dentro de los distintos campos de la ciencia (geología, física, química, entre otros) La aplicación que tomamos como principal para poder desarrollar fue la que se aplica en la escala de Richter algo muy usado en estos últimos tiempos. La información encontrada nos resulto muy útil. Además de leer la información, la resumimos y pudimos entender la misma. Fue un trabajo interesante que discutimos, hablamos y llegamos a esta conclusión aquí formulada. La función logarítmica tiene multiples usos, es muy usada, pero nosotras decidimos elegir la aplicación en la escala de Richter debido al más reciente uso que se tiene de la misma en estos últimos tiempos (terremoto en Haití, en Chile y los diversos sismos que se están desarrollando a lo largo del planeta). Es algo muy reciente y de actualidad que nos pareció muy interesante desarrollar.