INSTITUTO TÉCNICO SALESIANO LORENZO MASSA
TALLER DE MEDICIONES
Tema 1: CONCEPTOS PRELIMINARES
Contenido: Concepto de señal eléctrica. Valores característicos de las señales eléctricas: Frecuencia (período), Fase, Valor de pico, Valor medio, Valor eficaz. Valores característicos en señales típicas. Cálculo de valores característicos. CONCEPTO DE UNA SEÑAL ELÉCTRICA: Una señal es una alteración que se introduce o que aparece en el valor de una magnitud cualquiera y que sirve para transmitir información. Una señal eléctrica es una alteración en una tensión, corriente, potencia u otra magnitud eléctrica empleada para transmitir información. Las señales eléctricas pueden ser analógicas o digitales. Las señales analógicas pueden tomar cualquier valor dentro de un rango determinado y pueden ser señales continuas o discontinuas.
Las señales digitales sólo pueden tomar dos valores en el tiempo, normalmente designados “uno digital (1)” o “cero digital (0)”. Estos valores son valores de tensiones definidos.
Las señales pueden ser también, señales continuas o señales alternas. Las señales continuas son las que mantienen su valor constante y sin cambio de polaridad, por ejemplo la tensión en una batería, la que no varía su tensión con el tiempo. u (V) Las señales alternas, son aquellas que durante un tiempo especificado asumen un valor positivo, mientras que durante otro tiempo determinado, asume un valor negativo. Es decir, la señal alterna se invierte a intervalos regulares y tienen alternadamente valores positivos y negativos. Un ejemplo de esta, es la señal de tensión de la red eléctrica domiciliaria.
+ 311
10m
20m
t (s)
- 311
Señal alterna senoidal VALORES CARACTERÍSTICOS DE LAS SEÑALES ELÉCTRICAS: Una señal alterna se caracteriza por las siguientes magnitudes: PERÍODO: Se define Período “T” de una señal, al tiempo requerido por la señal para completar un ciclo positivo y un ciclo negativo en forma completa. La unidad del período es el segundo (s). EL concepto de período se muestra a continuación: + V
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Tema 1: CONCEPTOS PRELIMINARES
El período de una señal es el tiempo requerido por la misma para realizar un ciclo completo. Matemáticamente, una señal periódica es la que satisface la siguiente identidad f(t)=f(t ± nT) para cualquier tiempo “t” y para cualquier número entero “n”. f(t)
f(t1 + T) = + V1 f(t 2 + T) = + V2
f(t1 ) = + V1 f(t 2 ) = + V2 T t2
t1
t2+T t1+T
2T
t (s)
Período “T”
Definición Matemática de señal periódica FRECUENCIA: Es el número de ciclo completos de una señal en un segundo. Mientras más sea la cantidad de ciclos completos que se presentan en un segundo, mayor es la frecuencia. La unidad de la frecuencia es el Hertz (Hz). Observe las siguientes gráficas para comprender claramente este concepto:
1 La expresión que relaciona la frecuencia con el período de una señal es: T = . f Por ejemplo, para una frecuencia de 50 Hz, el período de la señal es 20ms. En electrónica y en electricidad se acostumbra mucho a trabajar con señal senoidales. Si consideramos una señal senoidal (que represente una tensión), de valor máximo Vm , matemáticamente puede escribirse como: v(t) = Vm ⋅ sen(ωt) en donde Vm es la amplitud de la señal senoidal, ω es la frecuencia angular en radianes/s y ωt es el argumento de la señal senoidal. Esta señal senoidal, se muestra a continuación como función de su argumento:
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La señal senoidal como función de tiempo se muestra en la figura siguiente:
De acuerdo a ambas figuras, se puede deducir que: ωT = 2π T =
2π ω
FASE: La fase de una señal, es una medición angular que especifica la posición de dicha señal con respecto a una de referencia. Consideremos una expresión más general para la señal senoidal: v(t) = Vm ⋅ sen(ωt + ϕ) , donde (ωt+φ) es el argumento y φ es la fase. Tanto el argumento como la fase pueden estar en radianes o en grados. Supongamos tener dos señales senoidales descriptas como a continuación: v1 (t) = Vm1 ⋅ sen(ωt) y v2 (t) = Vm2 ⋅ sen(ωt + ϕ) las cuales son representadas en la siguiente figura: v1 (t) = Vm1 ⋅ sen(ωt)
v2 (t) = Vm2 ⋅ sen(ωt + ϕ) Se observa de la figura, que el punto de partida de v2(t) ocurre primero en el tiempo (o que v2(t) llega antes que v1(t) a su valor máximo). Por lo tanto, se dice que v2(t) se adelanta a v1(t) en un ángulo φ o que v1(t) se atrasa de v2(t) en un ángulo φ. Si el ángulo φ≠0, se dice que v1(t) y v2(t) están desfasadas. Si φ=0, se dice que v1(t) y v2(t) están en fase alcanzando sus valores mínimos y máximos al mismo tiempo. Obviamente, para comparar la fase de dos o más señales, las mismas deben tener la misma frecuencia. Otra posibilidad es la que se ve en la siguiente figura. v1 (t) = Vm1 ⋅ sen(ωt)
v3 (t) = Vm3 ⋅ sen(ωt − ϕ) En esta figura se observa que v1(t) llega antes que v3(t) a su valor máximo, es decir que v1(t) se adelanta a v3(t) en un ángulo φ. Observe la diferencia en la manera de expresar la señal v3(t). VALOR DE PICO: Es el máximo valor que tiene la señal con respecto a cero. Consideremos la señal senoidal de la siguiente figura: v(t) +Vm Valor de pico
t -Vm
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Tema 1: CONCEPTOS PRELIMINARES
Como se observa, el valor de pico en este caso es igual a Vm. Como en una señal senoidal, el valor de pico positivo es igual al valor de pico negativo, la misma solo de caracteriza por un solo valor de pico. En la figura siguiente se ejemplifica una señal triangular de valores de pico positivo y negativo diferentes.
Es también común expresar el valor pico a pico de una señal. Para señales sinusoidales, el valor pico a pico es igual al doble del valor de pico, mientras que para cualquier señal, el valor pico a pico lo podemos calcular como la resta del valor de pico positivo con el valor de pico negativo (con signo). Vpp = Vm − Vp
VALOR MEDIO O VALOR PROMEDIO: Matemáticamente el valor medio o promedio (denotada por Vprom) de una señal periódica v(t), de período “T” ó frecuencia “f”, se calcula mediante la siguiente expresión matemática. T T 1 Vprom = ⋅ v(t)dt = f ⋅ v(t)dt 0 T 0
∫
∫
Esta expresión matemática requiere de conocimiento de cálculo diferencial e integral para resolverla. Haciendo uso de la interpretación geométrica de la operación integral, el valor medio de una señal puede calcularse como:
1 Vprom = ⋅ Área bajo la curva de v(t) = f ⋅ Área bajo la curva de v(t) T Para determinar el valor promedio de una señal, se divide el área bajo la forma de onda por la longitud de su base. Las áreas por arriba del eje de tiempo se consideran positivas, mientras que las áreas por debajo del mismo se consideran negativas. Para comprender como se realiza el cálculo del valor promedio de una señal analicemos el siguiente ejemplo. EJEMPLO: Consideremos la siguiente señal triangular.
Para calcular el valor medio de la señal, debemos calcular el área bajo la curva de v(t) y luego dividir esta área en el período de la señal. El área total bajo la curva de v(t) en el período “T” es igual a la suma de las áreas A1 y A2 AT=A1+A2. Los cálculos se observan a continuación: T Vm ⋅ 2 = Vm ⋅ T Cálculo del área A1: El cálculo de esta área implica el cálculo del área de un triángulo, es decir A1 = 2 4 T − Vp ⋅ T − Vp ⋅ T 2 Cálculo del área A2: Su cálculo es similar al anterior, es decir A 2 = =− 2 4 V ⋅ T Vp ⋅ T T T Cálculo del área Total AT: A T = A1 + A 2 = m + − = ⋅ Vm − Vp A T = ⋅ Vm − Vp 4 4 4 4
(
Cálculo del Valor Medio: Vprom =
)
(
)
Vm − Vp 1 1 1 T ⋅ Área bajo la curva de v(t) = ⋅ A T = ⋅ ⋅ Vm − Vp = T T T 4 4
Vprom =
(
)
Vm − Vp
4 El valor medio o promedio de una señal sinusoidal (señales senoidales o cosenoidales) es nulo, ya que en un período, el área positiva tiene la misma magnitud que el área negativa, con lo cual el área total, obtenida como la suma se estas dos áreas es nula. Ing. Santiago BUESO
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VALOR EFICAZ O VALOR CUADRÁTICO MEDIO (RMS): Matemáticamente, el valor eficaz de una señal o valor RMS(RMS son las primeras letras de la palabra inglesa Root Mean Square, cuya traducción al español es la raíz cuadrada de los promedios de los cuadrados) se calcula mediante la siguiente expresión. VRMS =
1 ⋅ T
T
T
∫ 0 v (t)dt = f ⋅ ∫ 0 v (t)dt 2
2
Es decir que para calcular el valor eficaz, se eleva primera al cuadrado la magnitud de la señal en cada instante (esta operación hace positivo al valor, aunque la magnitud original de la señal sea negativa). A continuación, se calcula el valor promedio de las magnitudes elevadas al cuadrado. Por último, se calcula la raíz cuadrada de este valor promedio para obtener el resultado. Para destacar, es que el valor eficaz de cualquier señal nunca puede ser cero. Cuando uno se refiere a señales sinusoidales, es usual describirla en términos de su valor eficaz. Por ejemplo, una tensión de 220V y 50 Hz utilizada en todo el sistema de baja tensión en Argentina, en realidad es una señal sinusoidal de 311V de valor de pico. Definición conceptual del valor eficaz: Supongamos una señal eléctrica periódica que represente una corriente (o una tensión), el valor eficaz de esta corriente periódica es equivalente a un valor constante o de corriente continua, que entrega la misma potencia promedio a una resistencia de valor R. Si llamamos a esta corriente constante Ieff entonces la potencia promedio entregada a la resistencia como resultado de esta corriente es:
P = I2eff ⋅ R De forma similar, la potencia promedio entregada a una resistencia por una corriente periódica i(t) es: t0 + T t0 + T 2 1 1 P= ⋅ p(t) dt = ⋅ i (t) ⋅ R dt T t0 T t0 Igualando ambas expresiones se encuentra que: t0 + T 2 1 I2 eff ⋅ R = ⋅ i (t) ⋅ R dt T t0
∫
∫
∫
t0 + T t0 + T 2 1 1 Ieff = ⋅ i2 (t) dt ⋅ i (t) dt T t0 T t0 Como la corriente continua es constante, el valor eficaz de la corriente continua es simplemente el valor constante. Para comprender como se realiza el cálculo del valor eficaz de una señal supongamos el siguiente ejemplo. EJEMPLO: Considere la siguiente señal cuadrada. i(t) +I
I2 eff =
∫
∫
T/2
t
T
−I
Se puede verificar que el valor medio de esta señal de corriente es nulo. Para calcular el valor eficaz, se debe elevar al cuadrado la señal i(t), la que se observa en la figura siguiente: I 2
A continuación, se debe calcular el valor promedio de la señal de la figura anterior, en un período de la señal i(t). El cálculo es sencillo ya que se trata del cálculo de la superficie de un rectángulo al cual se lo debe dividir en el período T. 2 2 1 1 1 Iprom = ⋅ Área bajo la curva de i2 (t) = ⋅ A T = ⋅ T ⋅ I = I T T T Por último, para calcular el valor eficaz, se debe calcular la raíz cuadrada del valor promedio, es decir: 2 Ieff = Iprom = I = I
Ieff = I
Se observa que para este tipo de señal periódica cuadrada, de valor de pico positivo igual en magnitud al valor de pico negativo, y con igual duración los ciclos positivos y negativos, el valor medio es nulo mientras que el valor eficaz, es el valor de pico I .
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Tema 1: CONCEPTOS PRELIMINARES
VALORES CARACTERÍSTICOS EN SEÑALES TÍPICAS: A continuación se observa una tabla con señales típicas y sus correspondientes valores característicos.
Señal
Valor Medio
0
Valor eficaz
A 2
Señal sinusoidal A
T/2
T
t
A π
A 2
2⋅ A π
A
Señal rectificada de media onda A
T/2
T
t
2
Señal rectificada de onda completa
0
A 3
Señal triangular
A 2
A
A1
A12 +
2
Señal cuadrada
A02 2
Señal senoidal superpuesta a un nivel de continua
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