Publicado en Información Tecnológica, Vol. 12, Nº 2, pp. 99-104 (2001)

Miguel A. Lozano Jesús A. Remiro

Departamento de Ingeniería Mecánica - Universidad de Zaragoza C/ María de Luna, 3. 50015 Zaragoza (España)

DIAGNOSTICO CON RECONCILIACION DE DATOS EN SISTEMAS ENERGETICOS

RESUMEN Las medidas de proceso de los sistemas energéticos se utilizan para tareas de control, evaluación de rendimientos, optimización de la operación, etc. Frecuentemente se dispone de mas medidas que las necesarias. La reconciliación consiste en ajustar las medidas redundantes de modo que obedezcan las leyes de conservación y cualquier otra restricción que incorpore el modelo matemático del sistema. En este trabajo se propone el método de eliminación de Gauss-Jordan para analizar, descomponer y resolver los problemas de reconciliación lineal. Como resultado: (i) se detectan y eliminan los errores sistemáticos de medida; (ii) se obtiene un conjunto consistente de medidas ajustadas; (iii) se estiman las variables no medidas por el método de máxima verosimilitud; y (iv) se obtienen intervalos de confianza para los resultados. Se muestra como los problemas de reconciliación no lineal pueden resolverse iterativamente linealizando las ecuaciones del modelo matemático. La metodología propuesta ofrece ventajas analíticas y computacionales evidentes sobre los procedimientos convencionales empleados para el diagnostico de sistemas energéticos. Se presenta un ejemplo que ilustra la aplicación de la metodología de calculo propuesta. Palabras clave: reconciliación de datos, clasificación de variables, sistemas energéticos, rendimiento

PERFORMANCE EVALUATION OF ENERGY SYSTEMS WITH DATA RECONCILIATION

ABSTRACT Process data are used in energy systems for the purpose of control, performance evaluation, optimization, etc. Usually more data is measured than necessary. Reconciliation is based in statistical adjustment of redundant process data to obey the conservation laws and any other constraint imposed by the mathematical model of the system. In this work, the application of Gauss-Jordan elimination to analyze, decompose and solve the linear reconciliation problem is presented. As a result: (i) detection and elimination of gross measurement errors are possible; (ii) new consistent set of data is obtained; (iii) unmeasured variables of the model are estimated on the maximum likelihood principle; and (iv) confident intervals for results are obtained. It is shown that non-linear reconciliation problems can be also solved by linearizing the equations of the mathematical model. The proposed approach has several analytical and computational advantages with respect to the conventional approaches used for performance evaluation of energy systems. The calculation procedure is demonstrated by an illustrative example. Keywords: data reconciliation, variable classification, energy systems, performance

−1 v – 2 λT (A x – A v – a) L(v, λ) ≡ vT Qm m

INTRODUCCION Por razones de coste, conveniencia ó factibilidad técnica no se miden todas las variables de un proceso. Sin embargo, todavía es posible estimar su valor a partir del de otras variables medidas. Esto dependerá de cual sea la estructura física de la planta analizada y del tipo, número y localización de los instrumentos de medida. Por otro lado si existe redundancia de medidas puede estudiarse la presencia de errores en ellas. Las técnicas de reconciliación de datos que vienen desarrollándose en el mundo académico desde hace años con el objetivo de resolver estos problemas (Crowe, 1996) se están aplicando con éxito creciente en el mundo industrial (Romagnoli y Sanchez, 2000). Sea f(z) = 0 el conjunto de M ecuaciones independientes a satisfacer por el conjunto de variables z[Nx1] que describen la operación del proceso analizado. Sea x[Ix1] el subconjunto de variables medidas e y[Jx1] su complementario que incluye las variables no medidas. A partir de las ecuaciones podrán determinarse algunas de estas últimas que se calificarán como observables ó calculables. Por otro lado, si alguna de las variables medidas dejara de estarlo podría ocurrir que fuese calculable a partir del resto de las variables medidas. Dichas medidas se calificaran como redundantes. Su presencia mejora la calidad de los resultados. Según sea el subconjunto de variables medidas pueden presentarse distintos casos. Uno frecuentemente preconizado es el de medir un conjunto de I=N–M variables tales que el resto de las variables sean calculables a partir de las ecuaciones. Este caso, que se puede denominar como convencional, es analizado frecuentemente en la literatura y se caracteriza también porque todas las variables medidas serán no redundantes. En este artículo estudiaremos el caso general y resolveremos un ejemplo sencillo.

(2)

donde λ[M×1] es el vector de multiplicadores de Lagrange y derivando respecto de las variables v y λ se obtienen las dos condiciones necesarias y suficientes de optimidad −1 v + 2 AT λ = 0 ∂ L / ∂ v = 2 Qm

(3)

∂ L / ∂ λ = A xm – A v – a = 0

(4)

De la primera

v = - Qm AT λ

(5)

Sustituyendo en la segunda y despejando λ = - (A Qm AT)-1 r

(6)

siendo r[M×1] los residuos de las ecuaciones

r ≡ A xm – a

(7)

Para el cálculo de los ajustes v se procederá a resolver las ecuaciones (7), (6) y (5), tras lo cual podrán calcularse los valores reconciliados x. La incertidumbre de las medidas producirá resultados también inciertos. Puede demostrarse que las matrices de covarianza de las variables calculadas son

Qr = A Qm AT

(8)

Qv = Qm AT Q r−1 A Qm

(9)

Qx = P Qm PT

(10)

con

P = I – Qm AT Q r−1 A

(11)

RECONCILIACION LINEAL

CLASIFICACION DE VARIABLES

El problema matemático de reconciliación lineal cuando se dispone de medidas para todas las variables puede expresarse como

Sea z[N×1] el vector de variables que deben satisfacer el sistema de M ecuaciones lineales siguiente

Minimizar

−1 (x – x) F = (xm – x)T Qm m

Sujeto a

A (xm – v) – a = 0

Cz-c=0

donde xm[N×1] son las medidas, x[N×1] son los valores reconciliados, v ≡ xm – x son los ajustes de las medidas, A[M×N] es la matriz de incidencia de las ecuaciones, a[M×1] es el término independiente de las ecuaciones y Qm[N×N] es la matriz de covarianza de las medidas. Formulando la función lagrangiana

(12)

(1) Si el rango de la matriz C es igual a M entonces todas las ecuaciones son independientes. Si además M=N el problema tendrá solución sin necesidad de disponer de ninguna medida

z = C-1 c

(13)

En general solo se dispondrán medidas para algunas variables. También puede ocurrir que no puedan determinarse los valores de algunas de las variables no medidas a partir de las ecuaciones.

Si x[I×1] es el vector de variables medidas e y[J×1] el vector de variables no medidas se puede realizar la partición del vector z como z

T

[

= y

T

x

T

]

(14)

Reordenando las columnas de C para mantener coherente el sistema de ecuaciones resulta C = [B A ]

(15)

con B[M×J] y A[M×I]. El sistema de ecuaciones podrá escribirse ahora como (16)

By+Ax–c=0

Quedan algunas preguntas importantes por responder: i) Es el modelo consistente, es decir, pueden cumplirse todas las ecuaciones del modelo simultáneamente; ii) Existen ecuaciones redundantes en el modelo que sean combinación lineal de otras; iii) Cuales de entre las variables no medidas podrán calcularse y cuales no; iv) Cuales de las variables medidas son redundantes, es decir, tales que si se perdiera su medida aún podrían calcularse las mismas variables no medidas e incluso ella misma. Veverka y Madron (1997) han desarrollado un método de fácil aplicación capaz de responder a todas las preguntas anteriores basándose en el concepto de forma canónica del sistema de ecuaciones y el procedimiento de eliminación de Gauss-Jordan. Para aplicar su método se construye la matriz ampliada del sistema de ecuaciones C a = [B A −c ]

(17)

y a continuación se realizan las siguientes transformaciones: 1) Eliminación de Gauss-Jordan restringida a las columnas de la matriz B. Consiste en una sucesión de operaciones elementales buscando la formación de una submatriz diagonal unitaria IL[L×L] de la mayor dimensión posible. El caso limite se obtiene cuando L=J o L=M. Las combinaciones lineales se realizaran sobre las filas completas de la matriz Ca pero solo se utilizarán las columnas de la matriz B en la eliminación. La matriz transformada tomará la forma ⎡I Ca = ⎢ L ⎣⎢ 0

B 2*

A2

0

A1

L J-L

I

- c2 ⎤ L ≤ J ⎥ - c 1 ⎦⎥ M − L 1

donde L es el rango de B. 2) Identificación de las variables no medidas calculables. Si es necesario se reordenarán las L primeras filas y columnas de Ca para disponerla como

⎡ IL0 Ca = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0 L0

0

0

− c L0 ⎤ L0 − c * ⎥⎥ L − L0 − c 1 ⎥⎦ M − L 1

A L0

*

A

*

IL −L0

B

0

0

A1

L–L0

J–L

I

Las columnas de la matriz IL0 identifican a las variables no medidas que podrán calcularse. El resto de las variables no medidas no pueden calcularse con la información disponible. No es necesario medir todas ellas para determinar su valor. Bastaría con medir las J-L variables asociadas a las columnas de la matriz B* para que las correspondientes a IL-L0 fuesen calculables. Esta no es la única posibilidad. Otros conjuntos de J-L variables también pueden servir. 3) Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz [A1, -c1]. Se obtiene

[A 1

⎡A * − c1] = ⎢ 1 ⎣⎢ 0 I

− c 1* ⎤ M' −L ⎥ − c 0* ⎦⎥ M − M' 1

Si alguno de los componentes de c0* no es nulo entonces la ecuación asociada no es resoluble. Existe un error en el modelo que debe ser corregido. Realizada la corrección (cuando sea necesaria) si ocurre que M-M’>0 (ahora con c0* = 0) entonces M-M’ ecuaciones del modelo no son linealmente independientes, debiendo ser localizadas y eliminadas. Los problemas bien planteados cumplen que M-M’=0 y su grado de redundancia es H=M–L. 4) Forma canónica de la matriz ampliada. Sobre la matriz resultante de la etapa 2 se localizan las columnas de A1 que contengan solo coeficientes nulos y se desplazan al final, resultando

⎡ IL0 ⎢ Ca = ⎢ 0 ⎢ 0 ⎣ L–L0 L0

0 IL−L0

J–L

AL0

*

A

**

0

A1**

B

0

I0

*

0

I-I0

0

− c L0 ⎤ L0 ⎥ − c * ⎥ L − L0 − c1 ⎥ H

⎦

1

Dichas columnas corresponden a las variables medidas no redundantes. Se observa que el proceso de transformación de la matriz ampliada a su forma canónica responde de forma precisa a las preguntas planteadas. Para el cálculo de la solución se transforma el problema de reconciliación original Minimizar

−1 (x – x) F = (xm – x)T Qm m

Sujeto a

Cz–c=0

a la forma equivalente

(18)

Minimizar

−1 (x – x) F = (xm – x)T Qm m

Sujeto a

[IL0 ⏐ AL0] [y0 ⏐ x] – cL0 = 0

(19)

A1 x – c1 = 0 donde y0[L0×1] contiene las variables no medidas calculables. Este puede resolverse en dos etapas. Primero se realiza la reconciliación de datos Minimizar

−1 (x – x) F = (xm – x)T Qm m

Sujeto a

A1 x – c1 = 0

(20)

la razón que fuese se perdiera su medida. También mide la facilidad con que puede detectarse un error grosero de medida. Por tanto, interesa que las variables medidas tengan valores elevados de ajustabilidad. Para conseguirlo se deberá aumentar el número de variables medidas. La incertidumbre de los resultados es función de la incertidumbre de las medidas. Las matrices de covarianza Q nos proporcionan la magnitud de la incertidumbre de los resultados. Las matrices P y R permiten analizar su dependencia de la incertidumbre de las medidas individuales.

r = A1 xm – c1

[H×1]

(21)

Sea σy02(j) la varianza estimada de una variable no medida calculable j. Entonces, el intervalo de confianza que contiene el valor real de y0(j) con una probabilidad mayor al 68%, 95% y 99% viene dado, respectivamente, por

Qr = A1 Qm A 1T

[H×H]

(22)

y0(j) ± σy0(j)

λ = - Q r−1 r

[H×1]

(23)

v = - Qm A 1T λ

[I×1]

(24)

Qv = Qm A 1T Q r−1 A1 Qm

[I×I]

(25)

x = xm – v

[I×I]

(26)

P = I – Qm A 1T Q r−1 A1

[I×I]

(27)

Qx = P Qm PT

[I×I]

(28)

por el procedimiento descrito en el apartado anterior, obteniéndose los siguientes resultados:

Posteriormente se determinaran las variables no medidas calculables y su matriz de covarianza

y0(j) ± 2 σy0(j)

y0(j) ± 3 σy0(j) (34)

Lógicamente interesa reducir al máximo dicho intervalo de confianza. Para ello se tiene que conseguir que disminuya σy0(j) lo cual pasa por reducir la incertidumbre de las medidas. Para reducir la incertidumbre de un resultado particular convendrá conocer sobre que medidas actuar. Es posible, al menos de forma aproximada, expresar la varianza σy02(j) como una función de las varianzas de las medidas en la forma

σy02(j) = ∑ R(j,i)2 σxm2(i) i

(35)

donde los R(j,i) son los elementos de la matriz R. La expresión anterior permite determinar que porción relativa de la varianza se debe a la imprecisión (varianza) de las medidas

y0 = - AL0 x + cL0

[L0×1]

(29)

θ(j,i) = R(j,i)2 [σxm2(i) / σy02(j)]

R = AL0 P

[L0×I]

(30)

Qy0 = R Qm RT

[L0×L0]

(31)

Calculados los valores de θ(j,i) conviene ordenarlos de mayor a menor despreciando aquellos menores que 0,03 (3%). Normalmente la suma de los restantes superara el 95%. Para disminuir la incertidumbre del valor estimado y0(j) deberá actuarse sobre la incertidumbre de las medidas con mayores cuotas θ(j,i).

PROPAGACION DE LA INCERTIDUMBRE La ajustabilidad de la variable medida j es

ωj ≡ 1 – [σx(j) / σxm(j)]

(32)

Dada la relación entre las varianzas de las medidas, ajustes y estimados de las variables medidas

σx2(j) = σxm2(j) - σv2(j) ≤ σxm2(j)

(33)

la ajustabilidad de las variables medidas no redundantes es nula y la ajustabilidad de las variables redundantes es menor que la unidad. La ajustabilidad indica la posibilidad de calcular correctamente una variable en el caso de que por

(36)

Un análisis paralelo para las variables medidas conduce a las ecuaciones siguientes: x(j) ± σx(j)

x(j) ± 2 σx(j)

θ(j,i) = P(j,i)2 [σxm2(i) / σx2(j)]

x(j) ± 3 σx(j)

(37) (38)

donde los P(j,i) son los elementos de la matriz P. Lógicamente la cuota dominante corresponderá ahora a la propia variable analizada pero otras medidas también pueden aportar cuotas importates. En el caso de variables medidas no redundantes se cumplirá que θ(j,j) = 1.

Tabla 1: Criterios para detectar errores de medida H, D

χ 12−0,05

κ0,05

H, D

χ 12−0,05

κ0,05

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3,84 5,99 7,82 9,49 11,1 12,6 14,1 15,5 16,9 18,3

1,96 2,24 2,39 2,49 2,57 2,63 2,68 2,73 2,77 2,80

15 20 25 30 35 40 45 50 100 200

25,0 31,4 37,0 43,8 49,8 55,8 61,8 67,5 124 234

2,93 3,02 3,08 3,14 3,18 3,22 3,25 3,28 ∼3,3 ∼3,3

ERRORES DE MEDIDA Solo pueden detectarse errores groseros en las medidas redundantes. Cuanto mayor sea el número de variables medidas mayor número de ellas serán redundantes y mayor la probabilidad de detectar errores de medida cuando existan. La presencia de errores groseros de medida se establece con las pruebas siguientes (Mah, 1990): 1) Test global. Si F > χ 12−α (H) se detecta error. 2) Test sobre medidas redundantes. Se detecta error en la medida j si εvj ≡ |vj / σvj| > κα(D). D es el numero de valores de εvj diferentes entre si. En la Tabla 1 se anotan los estadísticos necesarios para aplicar dichos test con α = 0,05 (5%) lo que implica una probabilidad mayor del 95% de que exista error cuando el test lo indique. Cuando se detecte error de medida con el test global debe actuarse en dos direcciones distintas. Por un lado revisando el proceso de obtención de las medidas redundantes sospechosas de error y también las hipótesis implícitas en el modelo matemático: estado estacionario, ausencia de fugas, etc. Por otra parte comprobando los resultados del problema de reconciliación cuando se desechan una a una las medidas sospechosas. Se espera que si una medida sospechosa xj se declara no medida se obtendrá como resultado de la reconciliación subsiguiente una reducción drástica de F. Puede demostrarse que cuando solo se elimina una medida redundante xj el nuevo valor F* es F* = F - ε 2vj

(39)

Así puede comprobarse el cumplimiento del test global sin necesidad de repetir cálculos. Si ocurre F* < χ 12−α (H-1)

(40)

quedará confirmada la hipótesis de que la medida sospechosa eliminada es realmente responsable del error global detectado. No debe pensarse sin

embargo que esta forma de proceder es una panacea. Puede ocurrir que ninguna ó mas de una medida cumplan el criterio anterior. También debe tenerse en cuenta que un error grosero en una medida no redundante no es detectable y si esta presente corromperá los valores calculados del resto de las variables.

RECONCILIACIÓN NO LINEAL Sea f(z) = 0 el conjunto de M ecuaciones a cumplir por el conjunto de variables z[Nx1] que describen la operación del proceso analizado. Sea x[Ix1] el subconjunto de variables medidas e y[Jx1] su complementario que incluye a las no medidas. En el caso convencional el número de variables no medidas J es igual a M (pudiendo incluirse en ellas algunas medidas descartadas) y las I=N–M medidas seleccionadas son independientes. Para resolver el sistema de ecuaciones, calculando el vector y, puede utilizarse el método de Newton. Las funciones fi se aproximan por su desarrollo en serie de Taylor truncado después de las primeras derivadas para dar el sistema lineal

J(f,y*) Δy = - f(y*)

(41)

donde Jij(f,y) ≡ ∂ fi / ∂ yj, Δy = y – y*, y* es la aproximación disponible a la solución e y la nueva solución calculada que se espera este más próxima a la solución real. Resolviendo para Δy puede aplicarse un proceso iterativo con

y* ← y* + Φ Δy

(42)

hasta satisfacer el criterio de convergencia

|Δyj / yj| < ∈

∀j = 1, .... , M

(43)

El número de iteraciones necesario dependerá de lo pequeño que sea ∈ y del factor de relajación Φ. Resulta conveniente utilizar Φ < 1 en las primeras iteraciones cuando no se disponga de una buena aproximación inicial para el vector y*. La incertidumbre de los resultados puede calcularse a partir de las incertidumbres de los datos

σ2(yj) = ∑ (∂ yj / ∂ xj)2 σ2(xi) i

(44)

suponiendo exactas las ecuaciones empleadas en el modelo. Si parte de los resultados corresponden a variables cuyas medidas han sido descartadas, la comparación medida-resultado permitirá covalidar ambos o detectar la posible presencia de errores de medida. En el caso general dado el conjunto de medidas podrá ocurrir que algunas de ellas sean redundantes y que entre las variables no medidas unas sean calculables y otras no. Para resolver el problema de

reconciliación no lineal se aprovechará el método de reconciliación lineal presentado antes aplicando un procedimiento iterativo. En cada iteración se procederá a linealizar las ecuaciones y a estimar una nueva solución por reconciliación lineal hasta satisfacer el criterio de convergencia impuesto. * T

* T

* T

Sea (z ) = [(y ) ,(x ) ] el punto inicial de una iteración cualquiera (en la primera iteración tomaremos x* = xm y valores adecuados para y*). El sistema de ecuaciones lineales que aproxima las ecuaciones no lineales en torno a dicho punto viene dado por

Agua

J(f,y ) y + J(f,x ) x = – f(y ,x ) + J(f,y ) y + J(f,x ) x (46) *

*

*

*

*

*

*

*

Identificando los coeficientes de esta ecuación con los correspondientes al caso lineal (Ec. 16) resulta

B = J(f,y*) *

(47)

A = J(f,x )

(48)

c = – f(y*,x*) + J(f,y*) y* + J(f,x*) x*

(49)

La resolución del problema de reconciliación lineal proporcionara nuevos valores de x e y. Solo cambiaran las variables medidas redundantes y las variables no medidas calculables. Con Δx = x – x* e Δy = y – y* se comprobará el criterio de convergencia impuesto y en caso de no cumplirse se procederá a estimar el punto inicial de la siguiente iteración: x* ← x* + Φ Δx, y* ← y* + Φ Δy. El análisis de propagación de la incertidumbre y la detección de errores de medida no ofrece ninguna dificultad adicional, debiendo aplicarse los procedimientos explicados para el caso lineal a los resultados de la última iteración.

EJEMPLO Un flujo de aire atraviesa dos intercambiadores de calor en serie donde se calienta primero con agua y luego con vapor condensante a temperatura fija de 230ºC (entalpía de vaporización es 1812 kJ/kg). El calor especifico del aire y del agua liquida son constantes (1 kJ/kgK y 4,19 kJ/kgK). En una prueba de rendimiento realizada sobre la planta, funcionando en estado estacionario, se obtuvieron los datos señalados con negrita en la Tabla 2. El modelo matemático esta formado por 6 ecuaciones, 3 por cada intercambiador (balance de energía para el agua, balance de energía para el aire y cinética de la transferencia de calor).

Vap. Sat. mw(kg/s)

Q2(kW) Aire

Q1(kW) t(ºC) i

te

ts

ma(kg/s)

UA2(kW/K)

UA1(kW/K)

Liq. Sat. Fig. 1: Esquema y variables de la planta analizada Tabla 2: Datos y resultados del ejemplo

≈ f(y,x) = f(y*,x*) + J(f,y*) (y-y*) + J(f,x*) (x-x*) (45) Imponiendo la condición de que las ecuaciones deben satisfacerse, es decir ≈ f(y,x) = 0, resulta

tw(ºC)

Var.

Clas.

xm

σxm

x

σx

ω (%)

ma

MR

0,81

0,02

0,809

0,016

21

te

MR

-5,1

0,2

-4,92

0,18

12

ti

MR

55,1

0,2

54,84

0,15

27

ts

MR

191,1

0,5

191,60

0,43

15

mw

MR

0,061

0,002

0,0611

0,0012

40

tw

MR

41,1

0,2

41,04

0,20

1

UA1

NC

1

-

1,228

0,025

-

UA2

NC

0,5

-

0,501

0,010

Q1

NC

100

-

110.7

2,2

-

Q2

NC

50

-

48,36

0,96

-

Los resultados de la reconciliación de datos se muestran en la Tabla 2. Todas las variables medidas son redundantes y todas las no medidas resultan calculables.

CONCLUSIONES Obtener la mayor cantidad de información sobre la planta analizada y conocer su calidad son cometidos importantes del ingeniero de procesos. En este articulo se ha mostrado una formulación matemática que permite detectar los errores sistemáticos de medida, obtener los resultados mas verosímiles y determinar sus intervalos de confianza. Todas estas tareas quedan integradas en un mismo procedimiento lo que aumenta la consistencia de la información. Su aplicación al diagnostico de procesos resulta sencilla con las herramientas de cálculo computacional que hoy se disponen.

REFERENCIAS Crowe, C., Data Reconciliation-Progress and Challenges, J. Proc. Cont., Vol. 6, No. 2/3, pp. 89-98 (1996). Mah, R.S.H., Chemical Process Structures and Information Flows. Butterworth (1990). Romagnoli, J. y M. Sánchez, Data Processing and Reconciliation for Chemical Process Operations. Academic Press (2000). Veverka, V. y F. Madron, Material and Energy Balancing in the Process Industries. Elsevier (1997).