I. - TRIGONOMETRÍA

DETERMINACION DE UNA RAZON EN FUNCION DE OTRA

En función del coseno del ángulo doble:

FÓRMULAS BÁSICAS

En función del seno:

(Usadas para integrar)

sen α =

c a

cosec α =

cosα =

b a

sec α =

tan α =

sen α c = cos α b

cosec α =

1 a = cosα b

cotan α =

sen 2 α + cos2 α = 1 1 + tan 2 α =

1 a = c sen α

sec α =

a α

1 + cotan 2 α =

c

sen α =

b

sec α =

sen

Segundo Cuadrante

cos sen tan

tan

Primer Cuadrante

tan

cos

cos

cotg

sen

tan

sen cos

Tercer Cuadrante

sen α

tan α =

1 − sen α 2

1 − sen 2 α sen α

Ángulos complementarios:

1 − cos 2α 2

sen

cosα =

1 + cos 2α 2

cos

tan α =

1 − cos 2α 1 + cos 2α

tan

cosec α =

En función de la tangente:

ctg α =

ctg α =

1 tan α

1 1 − cos2 α cosα 1 − cos α 2

1

cosα =

tan ( α ± β ) =

2

α 2

=

1 + cosα 2

=

1 − cos α 1 + cos α

1 + tan 2 α

Ángulos que difieren en π/2 radianes:

En función de la tangente del ángulo mitad

sen (π − α) = sen α cos (π − α) = − cos α tan (π − α) = − tan α

sen (π/2 + α) = cos α cos (π/2 + α) = − sen α tan (π/2 + α) = − ctg α

sen α =

2 tan ( α / 2 ) 1 + tan 2 ( α / 2 )

sen 2α =

2 tan α 1 + tan 2 α

Ángulos que se diferencian π radianes:

Ángulos opuestos:

cos α =

1 − tan 2 ( α / 2 ) 1 + tan 2 ( α / 2 )

cos 2α =

1 − tan 2 α 1 + tan 2 α

sen (π + α) = − sen α cos (π + α) = − cos α tan (π + α) = tan α

sen (− α) = − sen(α) cos (− α) = cos α tan (− α) = − tan α

tan α =

2 tan ( α / 2 ) 1 − tan 2 ( α / 2 )

tan 2α =

2 tan 2 α 1 − tan 2 α

tan α 1 + tan 2 α

(Usadas para integrar)

1 tan ( α + β sen α + sen β 2 = 1 sen α − sen β tan ( α − β 2

tan α ± tan β 1 m tan α tan β

ctg ( α ± β ) =

) )

cos sα + cos β α +β α −β =− cotan 2 2 cos α − cos β

ctg α ctg β m 1 ctg α ± ctg β

TRANSFORMACION DE SUMAS A PRODUCTOS Y VICEVERSA (Estas expresiones se utilizan en la resolución de triángulos con el empleo de logaritmos)

1 + tan 2 α

Su suma vale π radianes (180°)

sen α =

α

1 − cosα 2

cos ( α ± β ) = cosα cos β m sen α sen β

cosec α =

1 + tan α tan α

2

=

sen ( α ± β ) = sen α cos β ± cosα sen β

sec α = 2

α

RAZONES DEL ÁNGULO SUMA/DIFERENCIA

sen (π/2 − α) = cos α cos (π/2 − α) = sen α tan (π/2 − α) = ctg α

Ángulos suplementarios:

sen α =

1 − cos2 α

Cuarto Cuadrante

Su suma vale π/2 radianes (90°)

REDUCCION AL 1er CUADRANTE

1 cos α 1 − cos2 α cosα

tan α = cotg

1 − sen 2 α

En función del coseno:

1 = cosec2 α sen 2 α

cotg

1 − sen α 2

ctg α =

LINEAS TRIGONOMÉTRICAS cotg

cosα =

1

1 b = tan α c

tan α × cotan α = 1

1 = sec 2 α cos2 α

1 sen α

SUMAS a PRODUCTOS sen α + sen β = 2 sen cosα + cos β = 2 cos tan α + tan β =

2

α +β 2

cos

cos

sen (α + β ) cosα cos β

sen (α + β ) cosα cos β

tan α − tan β =

ctg α + ctg β = ctg α − ctg β =

α +β

sen (α + β ) sen α sen β

sen ( β − α ) sen α sen β

α −β 2

α −β 2

sen α − sen β = 2 cos

α +β

cosα − cos β = − 2 sen

2

sen

α +β 2

α −β

sen

2

α −β 2

PRODUCTOS a SUMAS sen α sen β =

1 cos ( α − β ) − cos ( α + β 2

)]

sen α cos β =

1 sen ( α + β ) + sen ( α − β 2

)]

cosα cos β =

1 cos ( α + β ) + cos ( α − β 2

)]

[

[

[

FUNCIONES DE LOS MÚLTIPLOS DE UN ÁNGULO Ángulo doble

sen 2α = 2 sen α cosα cos 2α = cos α − sen α 2

2

tan 2α =

TEOREMAS IMPORTANTES:

2 tan α 1 − tan 2 α

sen 3α = 3 sen α − 4 sen 3 α c

cos 3α = 4 cos α − 3 cosα 3 tan α tan 3α = 1 − 3 tan 2 α

a

A

arc sen x = arccos

1− x =

arc cos x = arcsen

1 − x2 =

arctan x = arcsen

x 1 + x2

π

cos B =

π 2

(

)

(

)

arcsen x + arcsen y = arcsen x 1 − y 2 + y 1 − x 2 arcsen x − arcsen y = arcsen x 1 − y 2 − y 1 − x 2

[ arccos x − arccos y = arccos [ xy + arccos x + arccos y = arccos xy −

arctan x + arctan y =

x+ y 1 − xy

( 1 − x )( 1 − y ) ] 2

S=

2

( 1 − x )( 1 − y ) ] 2

x− y 1 + xy

sen

A = 2

B sen = 2 C sen = 2 cos

( p − b )( p − c) bc

( p − a )( p − c) ac

( p − b)( p − a ) ab A = 2

p ( p − c) bc

B

c

a

A

C

b

B cos = 2

p ( p − b) ac

C cos = 2

p ( p − c) ab

p=

a+b+c 2

Ch ( α − β ) = Ch α Ch β − Sh α Sh β

cosC =

S=

Th α + Th β 1 + Th α Th β

FUNCIONES DEL ÁNGULO DOBLE/MITAD

a 2 + b2 − c2 2 ab

Ch 2α = Sh 2 α + Ch 2 α

Sh 2α = 2 Sh α Ch α

Sh

α 2

1 ( Ch α − 1) 2

=

Ch

α 2

1 Ch ( α + β ) − Ch ( α − β 2

)]

AREA DEL TRIÁNGULO

Sh α Ch β =

1 Sh ( α + β ) + Sh (α − β 2

)]

S = pr =

[

[

p=

A

(

ArgTh x = a

r

R

b

a+b+c 2

α 2

Ch α − 1 Ch α + 1

=

Ch α Ch β =

1 Ch ( α + β ) + Ch (α − β 2

[

( Ch α ± Sh α )

n

C

x2 + 1

)

1 1+ x ln 2 1− x

ArgCth x =

1 x +1 ln 2 x −1

ArgTh x = ArgSh

(

ArgCh x = ln x +

x2 − 1

x 2 + 1 = ArgTh

ArgCh x = ArgSh

x 2 − 1 = ArgTh

x

= ArgCh

x 1 − x2

= ArgCth

) x

ArgSh x = ArgCh

1 − x2

)]

= Ch nα ± Sh n α

FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS ArgSh x = ln x +

B

p abc = 4R 2R

Th

2 Sh α Ch α Sh 2 α + Ch 2 α

TRANSFORMACION DE PRODUCTOS A SUMAS

1 1 1 ab sen C = cb sen A = ac sen B 2 2 2

c

Th 2α =

1 ( Ch α + 1) 2

=

Sh α Sh β =

p ( p − a )( p − b )( p − c)

Th α − Th β 1 − Th α Th β

Th ( α − β ) =

A+ B tan sen A + sen B a+b 2 = = A−B sen A − sen B a −b tan 2

FÓRMULAS DE BRIGGS Para las tangentes de los ángulos mitad, se dividen las expresiones análogas miembro a miembro. Para el ángulo entero se utilizan las fórmulas que dan las razones de un ángulo en función del coseno del ángulo doble. Estas fó mulas ya se han tratado anteriormente.

Ch ( α + β ) = Ch α Ch β + Sh β S h α

(Fórmula de Herón)

2

arctan x − arctan y =

Sh ( α − β ) = Sh α Ch β − Sh β Ch α

Th ( α + β ) =

Teorema de las tangentes

− arctg x

Sh ( α + β ) = Sh α Ch β + Sh β Ch α

b 2 + c2 − a 2 cos A = 2bc

a 2 + c2 − b 2 2 ac

− arcsen x

2

=

C

b

− arccos x

2

Teorema de los cosenos:

R

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

π

a b c = = = 2R sen A sen B sen C

B

3

2

FUNCIONES DEL ÁNGULO SUMA/DIFERENCIA

Teorema de los senos:

Ángulo triple

x2 + 1

x2 − 1 x

1 x

AREA DE UN CUADRILÁTERO D A

AC BD S= sen α 2

α

C

B

II.- FUNCIONES HIPERBÓLICAS FÓRMULAS BÁSICAS Sh α =

eα − e − α 2

Th α =

eα − e − α Sh α = α Ch α e + e −α

eα + e − α Ch α = 2

Ch α − Sh α = e −α

Sh α + Ch α = eα

C h2 α − S h2 α = 1

RELACIONES ENTRE FUNCIONES CIRCULARES E HIPERBÓLICAS sen x =

1 ix ( e − e − ix ) 2i

cos x =

1 ix ( e + e − ix ) 2

Sh ix = i sen x

sen ix = i Sh x

e ix = cos x + i sen x

Ch ix = cos x

cos ix = Ch x

e − ix = cos x − i sen x

Th ix = i tan x

tan ix = i Th x

sen ( x + iy ) = sen x Ch y + i cos x Sh y cos( x + iy ) = cos x Ch y − i sen x Sh y

arcsen ix = i Arg Sh x arccos ix = − i Arg Ch x

arctan ix = i Arg Th x =

1 1+ x i ln 2 1− x