UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) FÍSICA Modelo 2017-2018 INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN

Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder a las cuestiones de la opción elegida. CALIFICACIÓN: Cada pregunta se valorará sobre 2 puntos (1 punto cada apartado). TIEMPO: 90 minutos.

OPCIÓN A Pregunta 1.- Dos partículas puntuales de masas m1 = 2 kg y m2 = 10 kg se encuentran situadas a lo largo del eje X. La masa m1 está en el origen, x1 = 0, y la masa m2 en el punto x2 = 5 m. a) Determine el punto en el eje X en el que el campo gravitatorio debido a ambas masas es nulo. b) ¿Cuál es el potencial gravitatorio debido a ambas masas en el punto para el que el campo gravitatorio es cero? Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10‒11 N m2 kg‒2.

Solución. a. La intensidad de campo gravitatorio viene expresada por: r mr g = −G 2 u r r r Donde u r representa el vector unitario en la dirección radial y el signo negativo indica que esta dirigido hacia la masa, por lo tanto, el único punto donde se anule el campo gravitatorio creado por dos masas puntuales será un punto situado entre las masas y en la línea que las une, como se representa en la figura adjunta. Por el principio de superposición:

Operando se obtiene el valor de d m r m2 r G 21 i = G i d (5 − d )2

r r g1 + g 2 = 0 m r m2 r − G 21 i + G i =0 d (5 − d )2 m1 d2

=

m2

(5 − d )2

(5 − d )2

d2

5

d= 1+

5

= m2 m1

1+

10 2

=

m2 m1

5−d = d

m2 m1

= 1,54 m

b. El potencial en un punto de un campo gravitatorio creado por una masa puntual es la energía potencial por unidad de masa en ese punto, viene expresado por: m U = −G r Para una disposición de masas puntuales, el potencial gravitatorio sigue el principio de superposición. m  m  m   2 10  J m U = U(m1 ) + U(m 2 ) = −G 1 +  − G 2  = −G  1 + 2  = −6,67 ⋅ 10 −11 ⋅  +  = −2,79 ⋅ 10 −10 d  5−d d 5 − d 1 , 54 5 − 1 , 54 kg    

Pregunta 2.- Disponemos de n altavoces iguales que emiten como fuentes puntuales. Sabiendo que en un punto P, situado a una distancia r, el nivel de intensidad sonora total es 70 dB: a) Calcule el valor de n, si cada uno genera un nivel de intensidad sonora de 60 dB en dicho punto P. b) Determine la potencia de cada altavoz en función de la potencia total. Solución. a. Para calcular el numero de altavoces iguales que producen una intensidad sonora de 70 dB en un punto donde uno solo de ellos produce una intensidad de 60 dB, se puede tener en cuenta que ambas intensidades están calculadas a igual distancia, y por lo tanto la superficie permanece constante.

1

I= Para un altavoz: I1 =

P S

S=

P I1

Para n altavoces de igual potencia: I n = Igualando:

n⋅P P = In I1

P S

n⋅P S

S=

n ⋅P In

I n= n I1

La relación entre las intensidades se puede obtener a partir de la intensidad sonora: βn βn  (β n −β1 ) β 10 10 I ⋅ 10 I I I = I ⋅ 10  n = o o 10 β = 10 ⋅ log I = I o ⋅ 10 10 :  n ⇒ = 10 β β1 Io I1  I = I ⋅ 10 1 10 I o ⋅ 10 10  1 o 70 − 60 I 10 = 101 = 10 altavoces n = n = 10 I1

b.

Según se ha calculado en el primer apartado: I10 = 10 ⋅ I1 PT P P = 10 1 ⇒ P1 = T S S 10

Pregunta 3.- Considérese una carga puntual q = 5 nC situada en el centro de una esfera de radio R = 10 cm. Determine: a) El flujo del campo eléctrico a través de la superficie de la esfera. b) El trabajo que es necesario realizar para traer una carga de 2 nC desde el infinito hasta una distancia de 10 cm del centro de la esfera. Dato: Constante de Coulomb K=1/(4πεo) = 9·109 N m2 C ‒2.

Solución. a. Según el teorema de Gauss, el flujo de líneas de campo que atraviesan una superpie es directamente proporcional al Alor absoluto carga que encierra dicha superficie e inversamente proporcional a la permitividad del vacío o constante dielectrica. Q 1 1 Φ= εo = = = 8,84 ⋅ 10−12 C 2 N −1m − 2 εo 4πK 4π ⋅ 9 ⋅ 109 . b.

Φ=

5 ⋅ 10−9 C 8,84 ⋅ 10

−12

2

−1

C N m

−2

= 565,5

J ⋅ m = 565,5 V ⋅ m C

El trabajo realizado para trasladar una carga dentro de un campo eléctrico viene dado por la expresión: W = −q ⋅ ∆V Aplicando a las condiciones del problema:

5 ⋅ 10 −9  q  W = −q′ ⋅ (Vf − Vo ) = −q′ ⋅ (Vr =10 cm − Vr = ∞ ) = −q′ ⋅  K − 0  = −2 ⋅ 10− 9 ⋅ 9 ⋅ 109 = −9 ⋅ 10 − 7 J  r  10 ⋅ 10− 2 El signo negativo nos indica que el trabajo se esta realizando en contra el campo por medio de una fuerza exterior.

Pregunta 4.- Una lente convergente forma de un objeto real una imagen real aumentada dos veces. Al desplazar el objeto 20 cm hacia la lente, la imagen que se obtiene es virtual y con el mismo aumento en valor absoluto. a) Determine la potencia y la distancia focal de la lente. b) Realice el diagrama de rayos correspondiente. Solución. a. Las imágenes reales en las lentes (convergentes) son invertidas, por lo tanto, al formar una imagen real aumentada dos veces, la relación entre los tamaños de la imagen y el objeto, y entre sus posiciones será: y1′ s′ 1 1 1 s1′ = −2s1 1 1 1 −3 1 = −2 = 1 Aplicando la ecuación general: − =  → − = ⇒ = y s1 s1′ s1 f ′ − 2s1 s1 f ′ 2s1 f ′

2

Si al desplazar el objeto hacia la lente se forma una imagen virtual, por lo tanto derecha, la relación ahora entre los tamaños y las posiciones será: y′2 s′ 1 1 1 s′2 = 2s 2 1 1 1 −1 1 = 2 = 2 Aplicando la ecuación general: − =  → − = ⇒ = y s2 s′2 s 2 f ′ 2s 2 s 2 f ′ 2s 2 f ′ Teniendo en cuenta que en ambos casos son la mima lente y por tanto la misma distancia focal objeto, se puede igualar las expresiones: −3 1  = 2s1 f ′  − 3 − 1 : ⇒ s1 = 3s 2 = − 1 1  2s1 2s 2 =  2s 2 f ′  La segunda imagen se ha obtenido desplazando el objeto 20 cm hacia la lenta, lo cual, nos permite relacionar las distancias objeto de ambos casos(hay que tener en cuenta el signo de las distancias objeto). s 2 = s1 + 20 Las dos expresiones obtenidas permiten plantear un sistema de ecuaciones. s1 = 3s 2 s = 30 cm ; {s1 = 3 ⋅ (s1 + 20) ;  1  s 2 = s1 + 20 s 2 = 10 cm Conocidas las distancias objeto se calcula la distancia focal y la potencia de la lente. 1 −1 −1 1 1 = = ⇒ f ′ = 20 cm P= = = 5 dp f ′ 2s 2 2 ⋅ (− 10) f ′(m ) 20 ⋅ 10 − 2

b.

Pregunta 5.a) Determine la longitud de onda de De Broglie de un electrón que posee una energía cinética de 40 eV. b) Un electrón alcanza en un ciclotrón una energía cinética de 2 GeV. Calcule la relación entre la masa del electrón y su masa en reposo. Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,6·10‒19 C; Masa del electrón en reposo, me = 9,1·10‒31 kg; Constante de Planck, h = 6,63·10‒34 J s; Velocidad de la luz en el vacío, c = 3·108 m s‒1.

Solución. a.

La longitud de onda de De Broglie es: λ DB =

h mv

La cantidad de movimiento de la partícula se puede obtener de su energía cinética: 1 E c = mv 2 mv 2 = 2E c m 2 v 2 = 2mE c mv = 2mE c 2 Sustituyendo en la expresión de la longitud de onda:

λ DB =

h 2mE c

6,63 ⋅ 10−34

= 2 ⋅ 9,1 ⋅ 10

− 31

⋅ 40 eV ⋅ 1,6 ⋅ 10

3

−19

J eV

= 1,94 ⋅ 10 −10 m

b. La energía relativista tiene por expresión E = m·c2 y su valor en reposo es Eo = mo·c2. Dividiendo ambas expresiones, se obtiene la relación que se pide:

E mc 2 m = = 2 Eo moc mo El valor de la energía en movimiento se calcula como suma de la energía en reposo más la energía cinética.

(

)

2

E + E c m o c 2 + E c 9,1 ⋅ 10 − 31 ⋅ 3 ⋅ 108 + 2 ⋅ 109 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 m E = = o = = = 3908 mo Eo Eo − 31 8 2 moc2 9,1 ⋅ 10 ⋅ 3 ⋅ 10

(

4

)

OPCIÓN B Pregunta 1.- Sea un sistema doble formado por una estrella y un planeta. El planeta gira alrededor de la estrella siguiendo una órbita circular con un periodo de 210 días y posee una masa de 5·10‒6M, donde M es la masa de la estrella. Determine: a) El radio de la órbita del planeta. b) El vector campo gravitatorio total en un punto entre la estrella y el planeta que dista 4,6·105 km del centro del planeta.

Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10‒11 N m2 kg‒2; Masa de la estrella 1,3·1030 kg.

Solución. a. El planeta orbita en torno a la estrella en una orbita circular con movimiento uniforme, por lo que la suma de todas las fuerzas que concurren sobre el planeta deberán ser igual a la fuerza centrípeta que le hace girar. r r F = Fc

∑

Si se supone que la única fuerza que actúa sobre el planeta es la debida al campo gravitatorio de la estrella, el sumatorio de fuerzas en módulo queda la siguiente forma:

G

Mm r

2

2

=m

r=3

v r

GM T 2 4π

2

v2 =

=3

 v = ω⋅ r  ω = 2 π   T 

GM 4π 2 r 2 GM  → = r r T2

6,67 × 10 −11 ⋅ 1,3 × 1030 ⋅ (210 ⋅ 24 ⋅ 3600)2 4π

2

r3 T

2

=

GM 4π 2

= 8,98 × 1010 m

b. Si consideramos a la estrella situada en el centro de coordenadas y al centro del planeta situado en el punto (8,98×1010, 0, 0), nos piden calcular la intensidad del campo gravitatorio en el punto Q. La intensidad de campo gravitatorio debida a una masa M a una distancia r viene expresada por: r Mr g = −G 2 u r r r Donde el signo negativo indica el sentido de la intensidad gravitatoria (dirigida hacia la masa), y u r es un vector unitario en la dirección que une el centro de la masa con el punto (radial). r r r M r M r g = g1 + g 2 = −G 2E i + G 2P i r1 r2

r1 = D − r2 = 8,98 ⋅ 1010 − 4,6 ⋅ 108 = 8,934 ⋅ 1010 r g = −6,67 ⋅ 10−11

M P = 5 ⋅ 10 −6 ⋅ M E = 5 × 10 −6 ⋅ 1,3 ⋅ 1030 = 6,5 ⋅ 1024 kg

1,3 ⋅ 1030

24 r r r N −11 6,5 ⋅ 10 i + 6 , 67 ⋅ 10 i = 8,81 ⋅ 10 − 3 i 2 2 kg 8,934 ⋅ 1010 4,6 ⋅ 108

(

)

(

)

Pregunta 2.- En el extremo izquierdo de una cuerda tensa y horizontal se aplica un movimiento armónico simple perpendicular a la cuerda, y como consecuencia, por la cuerda se propaga una onda transversal con la siguiente expresión: y(x, t ) = 0,01 sen [π (100 t − 2,5 x )] en unidades del Sistema Internacional. Calcule: a) La velocidad de propagación, frecuencia, longitud de onda y número de onda. b) La aceleración y velocidad máximas de un punto cualquiera de la cuerda. Solución. Operando con la ecuación de la onda para poder comparar: y(x , t ) = 0,01 sen (100π t − 2,5π x ) (m, s)

y(x , t ) = A sen (ω t − K x + φ o ) (m, s) Por comparación: A = 0,01 m ; ω = 100π rad·s −1 ; K = 2,5π m −1 ; φ o = 0 rad

5

a.

λ ω 100π = = = 40 m s −1 T K 2,5π ω 100π Frecuencia: ω = 2 π f ; f = = = 50 Hz 2π 2π 2π 2π 2π Longitud de onda: K = ; λ= = = 0,8 m λ K 2,5π Velocidad de propagación: v =

Número de onda: K = 2,5π m −1

b.

Partiendo de la ecuación de la onda y derivando, se obtienen las expresiones de la velocidad y aceleración: y(x , t ) = 0,01 sen (100π t − 2,5π x ) (m, s) d v(t ) = (x (t )) = 0,01 cos(100π t − 2,5π x ) ⋅ 100π = π cos(100π t − 2,5π x ) (m s‒1) dt d a (t ) = (v(t )) = − π sen (200π t − 2,5π x ) ⋅ 100π = −100π 2 sen (200π t − 2,5π x ) (m/s‒2) dt

El valor absoluto de la aceleración máxima se obtiene cuando la parte trigonométrica de la expresión de la a(t) vale 1

a max = 100π 2 ⋅ 1 = 986,96 m ⋅ s −2 El valor absoluto de la velocidad máxima se obtiene cunado la parte trigonométrica de la expresión de v(t) vale 1.

v max = π ⋅ 1 = 3,14 m ⋅ s −1

Pregunta 3.- Una varilla conductora puede deslizar sin rozamiento a lo largo de dos alambres conductores paralelos, separados una distancia de L = 5 cm, que cierran un circuito a través de una resistencia de R = 150 Ω. Este circuito forma una espira cerrada que se encuentra inmersa en un campo magnético uniforme, tal y como se muestra en la figura adjunta. Inicialmente la varilla se encuentra a una distancia d = 10 cm de la resistencia. Calcular para el instante t = 0,2 s el flujo magnético que atraviesa la espira y la corriente que circula por ella en los siguientes casos: a) El campo magnético es constante e igual a 20 mT y la varilla se desplaza hacia la derecha con una velocidad de 4 m/s. b) La varilla está inmóvil y el campo magnético varía con el tiempo de la forma B = 5 t3 (B expresado en teslas y t en segundos). Solución. a. El flujo a través de una espira inmersa en un campo magnético esta expresado por: r r r r r r Φ = B o dS = B o S = B ⋅ S ⋅ cos α = B ⋅ S ⋅ cos α

∫S

Donde B representa el modulo de la intensidad de campo magnético, S la superficie de la espira y α en el ángulo que forman los vectores intensidad de campo magnético y superficie. Si se considera que el vector superficie tiene sentido hacia fuera del papel y según la figura, la intensidad de campo magnético tiene sentido hacia dentro del papel, el ángulo que forman ambos vectores es de 180º Φ = B ⋅ S ⋅ cos 180º = − B ⋅ S En este primer apartado, la intensidad de campo magnético es constante, mientras que la superficie de la espira varía con el tiempo según:

S = base × altura = (d + v ⋅ t ) ⋅ L = (0,1 + 4t ) ⋅ 0,05 = 0,005 + 0,2t m 2

(

)

Φ(t ) = − B ⋅ S = −20 ⋅ 10−3 ⋅ (0,005 + 0,2t ) = − 10−4 + 4 ⋅ 10−3 t (wb )

(

)

Φ(0,2 s ) = − 10−4 + 4 ⋅ 10 −30,2 = −9 ⋅ 10−4 (wb ) El signo negativo indica que las líneas ampo de atraviesan la espira en el sentido hacia dentro del papel. La intensidad de la corriente que atraviesa la espira se calcula mediante la ley De Ohm: V fem I= = R R

6

La fuerza electromotriz (fem) inducida en la espira se calcula con la Ley de Faraday-Lenz

fem = −

[(

)]

dΦ d = − − 10 − 4 + 4 ⋅ 10 − 3 t = 4 ⋅ 103 v dt dt

I=

fem 4 ⋅ 103 = = 2,67 ⋅ 10− 5 A R 150

Aunque en este caso no se pide, y por tanto no se deberá resolver, para completar el ejercicio se indica el sentido de la corriente en la espira. Según la ley de Lenz, la corriente se induce en el sentido que los efectos que genera se opongan a la variación de flujo que la genera. La variación de flujo aumenta el campo magnético entrante, ya que al aumentar la superficie de la espira, aumentan en número de líneas de campo magnético que lo atraviesan en ese sentido, la corriente inducida, para compensar, genera un campo magnético dirigido hacia fuera del papel, lo cual se consigue produciendo una corriente en el sentido positivo de giro (contrario a las agujas del reloj), según la regla de la mano derecha b. En este segundo caso, la superficie de la espira es constante mientras que la intensidad de campo magnético es función del tiempo. Φ = B ⋅ S ⋅ cos 180º = − B ⋅ S

S = base × altura = 0,1 ⋅ 0,05 = 5 ⋅ 10 −3 m 2

B = 5t 3 T

Φ(t ) = −B ⋅ S = −5t 3 ⋅ 5 ⋅ 10 −3 = −25 ⋅ 10−3 t 3 wb Φ(0,2) = −25 ⋅ 10 −3 ⋅ (0,2)3 = −2 ⋅ 10−4 wb dΦ d fem(t ) = − = − − 25 ⋅ 10− 3 t 3 = 75 ⋅ 10 −3 t 2 v fem(0,2 s ) = 75 ⋅ 10−3 ⋅ 0,2 2 = 3 ⋅ 10 −3 v dt dt

[

]

fem 3 ⋅ 10 −3 = = 2 ⋅ 10 −5 A R 150 El sentido de la corriente, tendrá igual razonamiento y resultado que en el apartado a, cambiando solo la consideración que el campo magnético entrante (inductor), aumenta debido a que aumenta la intensidad del campo magnético. I=

NOTA: La designación de los sentidos de los vectores es arbitraria, se podría hacer el problema considerando que los vectores campo magnético y superficie tienen el mismo sentido y por tanto el ángulo que forman seria 0º, cambiando los signos de los valores hallados.

Pregunta 4.- Sobre un material transparente limitado por dos superficies planas que forman un ángulo de 60º incide, desde el aire, un rayo de luz monocromática con un ángulo i = 45º, tal y como se muestra en la figura. Si el índice de refracción del material para esa radiación monocromática es 1,5, determine: a) Los ángulos de refracción en cada una de las superficies. b) El menor valor del ángulo de incidencia en la primera superficie para que el rayo pueda emerger a través de la segunda superficie. Dato: Índice de refracción del aire, naire = 1.

Solución. ) a. El ángulo de refracción sobre la primera cara (r1 ) , se calcula aplicando la Ley de Snell a esa interfase: ) ) n1 ⋅ sen i1 = n 2 ⋅ sen r1 )  n1 ⋅ sen i1   1 ⋅ sen 45º  )  = arcsen  r1 = arcsen   = 28,1º  n2  1,5    Conocido el ángulo de refracción en la primera cara, y teniendo en cuenta que la suma de este con el de incidencia sobre la segunda cara ) i2 es el ángulo del prisma, se calcula este último. ) ) ) ) r1 + i2 = α i2 = α − r1 = 60º −28,1º = 31,9º

( )

Conocido el ángulo de incidencia sobre la segunda cara, se vuelve a aplicar La Ley de Snell a esta interfase ) y se calcula el ángulo de emergencia del prisma (e ) ) )  n 2 ⋅ sen i2  1,5 ⋅ sen 31,9º  ) )  = arcsen  n 2 ⋅ sen i2 = n1 ⋅ sen e e = arcsen   = 52,4º  n2 1    

7

b. Para que el rayo no salga del prisma, el ángulo de emergencia debe ser de 90º, y partiendo de este datos se puede calcular mediante la 2ª Ley de Snell el ángulo de incidencia sobre la segunda cara. ) n 2 ⋅ sen i2 = n1 ⋅ sen 90º

)  n ⋅ sen 90º  1 ⋅ sen 90º  i2 = arcsen  1  = arcsen   = 41,8º n2  1,5    Por las relaciones entre los ángulos en el interior del prisma: ) ) ) ) r1 + i2 = α r1 = α − i2 = 60º −41,8 = 18,2º Por último volviendo a aplicar la 2ª ley Snell a la interfase de la primera cara se obtiene el ángulo de incidencia que produciría reflexión total sobre la segunda cara. ) ) )  n 2 ⋅ sen r2  ) 1,5 ⋅ sen 18,2º  n1 ⋅ sen i1 = n 2 ⋅ sen r1 i1 = arcsen   = arcsen   = 27,9º n1 1     Para ángulos de incidencia menores o iguales a 27,9º se produce reflexión total, para ángulos mayores, se ) produce refracción, por lo tanto, para que el rayo luminoso emerja del prisma i1 > 27,9º

Pregunta 5.- Un metal es iluminado con luz de frecuencia 9·1014 Hz emitiendo éste, por efecto fotoeléctrico, electrones que pueden ser detenidos con un potencial de frenado de 0,6 V. Por otro lado, si dicho metal se ilumina con luz de longitud de onda λ = 2,38·10‒7 m el potencial de frenado pasa a ser de 2,1 V. Calcule: a) El valor de la constante de Planck. b) La función de trabajo del metal.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,6·10‒19 C; Velocidad de la luz en el vacío, c = 3·108 m s‒1.

Solución. a. Si se hace un balance de energía sobre la superficie del metal, se debe cumplir que la energía que llega en forma de radiación se transforma en trabajo de extracción y en energía cinética de los electrones emitidos. E (radiación ) = W (extracción ) + E c (electron ) La energía cinética de los electrones se puede calcula a partir del potencia de frenado Ec = qe ⋅ V

J  Donde qe es el valor absoluto de la carga del electrón (C) y V el potencial  v ≡  . C  Para la primera experiencia:

9 ⋅ 1014 ⋅ h = Wextracción + 1,6 ⋅ 10−19 ⋅ 0,6

h ⋅ ν = Wextracción + q ⋅ V Para la segunda experiencia: h⋅

c = Wextracción + q ⋅ V λ

3 ⋅ 108 2,38 ⋅ 10

−7

⋅ h = Wextracción + 1,6 ⋅ 10−19 ⋅ 2,1

Si se restan las expresiones se elimina el trabajo de extracción y se calcula la constante de Planck

3 ⋅ 108 2,38 ⋅ 10

−7

⋅ h − 9 ⋅ 1014 ⋅ h = 1,6 ⋅ 10−19 ⋅ 2,1 − 1,6 ⋅ 10−19 ⋅ 0,6

3,6 ⋅ 1014 ⋅ h = 2,4 ⋅ 10−19

h = 6,67 ⋅ 10 −34 J ⋅ s

b. Conocida la constante de Planck, en cualquiera de las experiencias se calcula la función de trabajo o trabajo de extracción del metal. h ⋅ ν = Wextracción + q ⋅ V Wextracción = h ⋅ ν − q ⋅ V

Wextracción = 6,67 ⋅ 10 −34 ⋅ 9 ⋅ 1014 − 1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ 0,6 = 5,04 ⋅ 10 −19 J

8