UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) FÍSICA Curso 2016-2017 (Junio) INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder a las cuestiones de la opción elegida. CALIFICACIÓN: Cada pregunta se valorará sobre 2 puntos (1 punto cada apartado). TIEMPO: 90 minutos.

OPCIÓN A Pregunta 1.- Un asteroide de forma esférica y radio 3 km tiene una densidad de 3 g cm‒3. Determine: a) La velocidad de escape desde la superficie de dicho asteroide. b) La velocidad de un cuerpo a una altura de 1 km sobre la superficie del asteroide si partió de su superficie a la velocidad de escape.

Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10‒11 N m2 kg‒2

Solución. a. Considerando que el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica en la superficie del asteroide será la misma que en el infinito. E Mecánica (Superficie ) = E Mecánica (Infinito ) Teóricamente, se supone que se llega con velocidad nula, y como la distancia es infinita, la energía mecánica en el infinito es nula E c (Superficie ) + E p (Superficie ) = E c (Infinito ) + E p (Infinito ) 14243 14243 0 porque v = 0

0 porque r = ∞

Si se denomina como ve a la velocidad de escape, velocidad que deberá tener el cuerpo en la superficie del asteroide: 1 M⋅m  mv e2 +  − G =0 2 R   Expresión que permite despejar la velocidad en función de la masa del asteroide y de su radio.

ve =

2GM R

La masa del asteroide se puede expresar en función de su densidad y volumen. 4 M M = ⇒ M = π d·R 3 d= V 4 π R3 3 3

ve = b.

2GM = R

2G

4 π d·R 3 8 8 3 = π G ⋅ d·R 2 = π 6,67 × 10−11 ⋅ 3000·30002 = 3,88 m s R 3 3

Teniendo en cuenta el mismo principio de conservación de energía: E Mecánica (Superficie ) = E Mecánica (h = 1000 m )

1 M⋅m  1 M⋅m   2  mv e2 +  − G  = mv +  − G  2 R 2 R+h  144424443

1 Mm mv 2 − G =0 2 R+h

0 Teniendo en cuenta el apartado a

v=

4   M = π d·R 3  2GM  3 = = R + h M = 4 π 3000·30003 = 3,39 × 1014 kg  3  

1

2 ⋅ 6,67 × 10−11 ⋅ 3,39 × 1014 = 3,36 m s 3000 + 1000

Pregunta 2.- Un gallo canta generando una onda sonora esférica de 1 mW de potencia. a) ¿Cuál es el nivel de intensidad sonora del canto del gallo a una distancia de 10 m? b) Un segundo gallo canta simultáneamente con una potencia de 2 mW a una distancia de 30 m del primer gallo. ¿Cuál será la intensidad del sonido resultante en el punto medio del segmento que une ambos gallos? Dato: Intensidad umbral de audición, Io = 10‒12 W m‒2.

Solución. a. El nivel de intensidad sonora viene determinado por la expresión: I β = 10 log Io La intensidad de una onda se calcula como el cociente entre la potencia del foco que la produce y la superficie de la misma, suponiendo ondas esféricas:

I=

W W 1 × 10−3 = = = 7,96 × 10 − 7 W m − 2 S 4 π r 2 4π ⋅ 102

β = 10 log

I 7,96 × 10 −7 = 10 log = 59 dB Io 10−12

b. Suponiendo ondas coherentes (ondas con igual longitud de onda, frecuencia y amplitud y fases o bien iguales o con diferencia constante) e interferencias ni destructiva ni constructivas, la intensidad de la ondas resultante en un punto cualquiera será la suma de las intensidades de cada onda en ese punto. W W W W2 I = I1 + I 2 = 1 + 2 = 1 + S1 S2 4π r1 4 π r2 Teniendo en cuenta que se pide calcular la intensidad en el punto medio: 30 r1 = r2 = = 15 m 2

I=

1 ⋅ 10−3 4 π ⋅ 15 2

+

2 ⋅ 10−3 4 π ⋅ 15 2

= 1,06 × 10 − 6 W m − 2

Nota: No confundir intensidad con intensidad sonora. En este apartado se pide calcular intensidad

Pregunta 3.- Tres conductores rectilíneos, largos y paralelos, que transportan una corriente de 5 A cada uno de ellos, pasan a través de los vértices de un triángulo equilátero de 10 cm de lado, tal y como se muestra en la figura. Suponiendo que el origen de coordenadas se encuentra en el conductor 1, determine: a) La fuerza por unidad de longitud sobre el conductor 3 debida a los conductores 1 y 2. b) El campo magnético en el punto medio del segmento que une los conductores 1 y 2. Dato: Permeabilidad magnética del vacío µo = 4π·10‒7 N A‒2.

Solución. a. La Según los estudios de Ampere, dos conductores paralelos e indefinidos por los que circulan corrientes en sentido contrario se repelen, teniendo en cuenta la disposición de los hilos, la fuerza a la que se vera sometido el hilo 3 por la presencia de los otros dos viene representada en la figura adjunta La fuerza con la que se repelen se calcula mediante la siguiente expresión: r r r F = I⋅ l×B r Donde I es la intensidad de corriente que circula por los hilos 1 o 2, l es la longitud de r r los hilos y B es el campo magnético creado por del hilo 3, el módulo de la fuerza, teniendo en cuenta que l y r B son perpendiculares es: r F = F = I ⋅ l ⋅ B sen 90 = I ⋅ l ⋅ B

(

)

El módulo del campo magnético creado por un hilo conductor viene expresado por la ley de Biot y Savart.

2

µoI 2π d Sustituyendo esta expresión en la del módulo de la fuerza y teniendo en cuenta que I1 = I2 = I3 = I , y que d1-3 = d2-3 = d, los módulos de las fuerzas por unidad de longitud ejercidas por los hilos 1 y 2 sobre el hilo 3 serán:

B=

F1 =

µ o I1I3 µ I2 l= o l 2π d1-3 2π d

F2 =

µ o I1I 2 µ I2 l= o l 2π d 2 -3 2π d

La disposición de los hilos en triángulo equilátero (60º) establece los ángulos que forman las fuerzas con los ejes situados sobre el hilo 3, y mediante sus razones trigonométricas, se puede expresar las r componentes cartesianas de las fuerzas que nos permiten calcular la fuerza resultante sobre el hilo 3 R .

()

2

2

r r r µ I r r r r µ I F1 = F1x + F1y = F1 ⋅ sen 30 i − F1 ⋅ cos 30 j = o l cos 30 i − o lsen 30 j 2π d 2π d 2 r r r r r r r µ I µ I2 F2 = F2 x + F2 y = − F2 ⋅ sen 30 i − F2 ⋅ cos 30 j = − o l cos 30 i − o lsen 30 j 2π d 2π d r r r R = F1 + F2 = r R

/

r µ I2 − 2 o l cos 30 j 2π d

r r µ I2 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 52 3r −5 N j 5 3 10 j = −2 o cos 30 j = −2 ⋅ = − × l m 2π d 2 π ⋅ 10 × 10− 2 2

b. Siguiendo la regla de la mano derecha, se establecen la dirección y sentido de los campos magnéticos creados por los tres hilos en el punto medio del segmento que uno los hilos 1 y 2. Como puede observarse en la figura, los campo magnéticos creados por los hilos 1 y dos son de igual dirección y sentido opuestos por lo que se anulan entre si, por lo que el campo resultante sera el creado por el hilo 3. La intensidad de campo magnético creado por un hilo conductor rectilíneo e indefinido por el que circula una corriente I a una distancia d viene expresado por: µ I B= o 2π d La distancia del hilo 3 al punto medio de C1 y C2, se calcula por trigonometría

d = l ⋅ sen 60 = 0,1 ⋅

3 = 0,0866 m 2

El campo magnético en el punto medio es: r r µ I r 4π ⋅ 10−7 ⋅ 5 r B=− o i =− i = −1,15 × 10 − 5 i T 2π d 2π ⋅ 0,0866

Pregunta 4.- Un objeto está situado 1 cm a la izquierda de una lente convergente de 2 cm de distancia focal. a) Determine la posición de la imagen y el aumento lateral. b) Realice el diagrama de rayos correspondiente. Solución. a. Datos: Posición del objeto: s = −1 cm ; distancia focal (lente convergente): f ′ = 2 cm Mediante la ecuación fundamental de las lentes delgadas, se calcula la posición de la imagen, que por la posición del objeto (situado entre la lente y el foco), deberá salir virtual(s’0) y mayor. s′ −2 y′ s ′ = y′ = 2 y y′ = y ⋅ = y ⋅ s −1 y s La imagen se obtiene de doble tamaño, virtual y derecha.

b.

Pregunta 5.- Se dispone de una muestra del isótopo 226Ra cuyo periodo de semidesintegración es 1588,69 años. a) Determine la constante de desintegración del isótopo. b) Transcurridos 200 años, el número de núcleos que no se han desintegrado es 9,76·1016. ¿Cuál era la masa inicial de la muestra de 226Ra? Datos: Masa atómica del 226Ra, M = 226 u; Número de Avogadro, NA = 6,02·1023 mol‒1.

Solución. a. El periodo de semidesintegración es el tiempo que tarda una muestra en reducir el número de núcleos a la mitad.

(

)

Partiendo de la ecuación fundamental de la radioactividad N = N o e − λ t , donde N representa el número de núcleos que quedan sin desintegrar, No el número de núcleos iniciales y λ la constante de desintegración (característica de cada isótopo), y aplicando a las condiciones de semidesintegración, se obtiene una expresión de la constante de desintegración en función del periodo de semidesintegración (T½). N = N o e − λ t  N o = N o e − λ T½ : 2  N = No 2  Simplificando No y tomando logaritmos neperianos se despeja λ 1 Ln 2 Ln 2 − λ T½ = Ln ; λ T½ = Ln 2 ; λ = = = 4,36 × 10 − 4 a −1 2 T½ 1588,69

b.

Aplicando la ecuación fundamental:

N = N o e−λ t

;

No =

N e−λ t

9,76 ⋅ 10 −16

= e

− 4,36⋅10 − 4 ⋅ 200

= 1,06 ⋅ 1017 núcleos

Conocido el número de núcleos iniciales, mediante el número de Avogadro y la masa atómica del elemento, se puede calcular la masa inicial. 1 mol 226 g m(Ra ) = 1,06 ⋅ 1017 núcleos ⋅ ⋅ = 4 ⋅ 10 − 5 g = 40 µg 23 6,02 ⋅ 10 núcleos mol

4

OPCIÓN B Pregunta 1.- Una reciente investigación ha descubierto un planeta similar a la Tierra orbitando alrededor de la estrella Próxima Centauri, una enana roja cuya masa es un 12% de la masa del Sol y su radio es el 14% del radio solar. Mediante técnicas de desplazamiento Doppler se ha medido el periodo del planeta alrededor de la estrella obteniéndose un valor de 11,2 días. Determine: a) La aceleración de la gravedad sobre la superficie de la estrella. b) El radio de la órbita del planeta suponiendo ésta circular.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10‒11 N m2 kg‒2; Masa del Sol, MS = 1,99·1030 kg; Radio del Sol, RS = 7·108 m.

Solución. a. Para calcular el valor de la intensidad gravitatoria en la superficie de la estrella, se iguala la fuerza gravitacional a la que se vería sometido un cuerpo situado en su superficie con su peso. r r módulo M Mm g=G 2 FG = P   → G 2 = mg R R Donde M y R son la masa y el radio de la estrella. Teniendo en cuenta la relación entre los parámetros de la estrella (radio y masa) con los del Sol: 12  M= M S = 0,12M S  30 0,12M S −11 0,12 ⋅ 1,99 ⋅ 10 100 :g = G = 6 , 67 ⋅ 10 ⋅ = 1658,47 m 2  2 2 14 8 s 0 , 14 R ( ) S R= R S = 0,14R S  0,14 ⋅ 7 ⋅ 10 100 

(

)

b. El planeta órbita alrededor de la estrella con un movimiento circular uniforme, por lo tanto la suma de todas la fuerza que actúen sobre el deberá ser igual a la fuerza centrípeta. r r F = Fc

∑

Si se tiene en cuenta que sobre el planeta la única fuerza que actúa es la fuerza de atracción gravitacional que ejerce la estrella, y trabajando en módulo:

M v2 simplificando v 2 = G 2 r r r Donde M es la masa de la estrella y r es el radio de la órbita del planeta. La velocidad lineal se puede expresar en función del radio de la orbita y de la velocidad angular, la cual a su vez la podemos expresar en función del periodo del planeta alrededor de la estrella, lo nos permite llegar a una relación entre el periodo y el radio. 2π M M ω= T 4π 2 2 M v2 = G  2 2 : ω ⋅ r = G     → ⋅r = G r  2 r r T v = ω ⋅ r  G

r3 = r=3

Mm

GM 4π

2

6,67 ⋅ 10

= m⋅

⋅ T2

−11

;

r=3

⋅ 0,12 ⋅ 1,99 ⋅ 10 4π 2

GM 4π

30

2

⋅ T2 = 3

G ⋅ 0,12M S 4π

2

⋅ T2

× (11,2 ⋅ 24 ⋅ 3600)2 = 7,23 ⋅ 109 m

Pregunta 2.- Una onda armónica transversal se propaga en el sentido negativo del eje X con una velocidad de 10 m s‒1 y con una frecuencia angular de π/3 rad s‒1. Si en el instante inicial la elongación en el origen de coordenadas es 6/π cm y la velocidad de oscilación es 1 cm s‒1, determine: a) La expresión matemática que representa la onda. b) La velocidad de oscilación en el instante inicial en el punto situado en x = λ/4. Solución. a. La ecuación de una onda armónica transversal puede representarse mediante una ecuación sinusoide o cosinusoide, diferenciándose únicamente en el desfase inicial, la primera va retrasada π/2 radianes respecto de la segunda. Considerando la ecuación sinusoide y teniendo en cuenta que la onda se desplaza en el sentido negativo de X: y(x , t ) = A sen (ω t + K x + φ o )

5

El número de onda se puede obtener con la velocidad de propagación y la velocidad angular o frecuencia angular. 2π   π λ ω = T  ω ω π −1 vp = :  : vp = ⇒ K = = 3= m  2 π T K = K v p 10 30  λ   La amplitud y la fase inicial se calculan con un sistema de ecuaciones que nos permite plantear los datos de elongación y velocidad inicial en el origen de coordenadas.  y(x, t ) = A sen (ω t + K x + φ o )  y = A sen φ o : x = 0, t = 0 :  o  v(x, t ) = Aω cos(ω t + K x + φ o ) v o = Aω cos φ o Dividiendo se simplifica la amplitud y se calcula la fase inicial. 6 π ⋅ = 1'11 rad yo ⋅ ω π 3 yo A sen φ o 1 tg φ o = = =2 φ o = arctg 2 =  = = ⋅ tg φ o vo 1 v o Aω cos φ o ω = π + 1'11 = 4,25 rad De los posibles desfases iniciales, solo 1’11 rad cumple las condiciones iniciales (yo > 0; vo > 0). sen 1'11 > 0 sen 4'25 < 0 ;   cos 1'11 > 0 cos 4'25 < 0 Conocida la fase inicial, se calcula la amplitud sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones del sistema.

y o = A sen φ o ⇒ A =

yo 6π = = 2,14 cm = 2,14 ⋅ 10 − 2 m sen φ o sen 1'11

π π  La ecuación de la onda es: y(x, t ) = 2,14 ⋅ 10 − 2 sen  t + x + 1'11 (m, s ) 3 30   b.

v(x, t ) =

d y(x, t ) d = [A sen (ω t + K x + φ o )] = Aω cos (ω t + K x + φ o ) dt dt K=

2π

λ π λ λ     2π λ  π  v , 0  = 2'14 ⋅ 10 − 2 ⋅ cos  ω·0 + K + 1'11 = 0,022 cos  ⋅ + 1'11 = 0,022 cos  + 1'11 3 4 4     λ 4  2  λ  v , 0  = −0,02 m s 4 

r

r

Pregunta 3.- Un protón se desplaza con una velocidad v = 5 i m s‒1 en el seno de un campo eléctrico r

r definido por la expresión E = −100 j V m‒1. Determine: a) El campo magnético necesario, contenido en el plano YZ, para mantener al protón siguiendo un movimiento rectilíneo y uniforme. b) El radio de giro que tendría dicho protón en una región donde solamente existiera el campo magnético del apartado anterior. Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,6·10‒19 C; Masa del protón, mp = 1,67·10−27 kg.

Solución. Para que un protón se desplace siguiendo una trayectoria rectilínea y uniforme, la suma de todas las a. fuerzas que actúan sobre él debe ser nula. Si se desplaza en una región donde coexisten un campo eléctrico y un campo magnético, se deberá cumplir: r r r r r r F = 0 ; FB + FE = 0 ; FB = −FE = −q ⋅ E

∑

Según la Ley de Lorentz, la fuerza a la que se ve sometida una carga que se desplaza por un campo r r r magnético viene expresada por: F = q ⋅ v × B

(

)

Sustituyendo en la igualdad anterior:

6

r r r q ⋅ v × B = −q ⋅ E

(

Simplificando las cargas

)

(vr × Br ) = −Er

r r r r r r r r Teniendo en cuenta que v = v x i ; E = −E y j y B = B x i + B y j + B z k r r r i j k r vx 0 0 = −E y j

Bx

By

Bz

Desarrollando el determinante por los elemento de la segunda fila r r r r r r j k − vx = −E y j v x Bz j − v x B y k = E y j B y Bz Igualando por componentes: r E y − 100  r r j : v x Bz = E y ; Bz = = = −20 T  ⇒ B = −20 k T vx 5 r k : v B = 0 teniendo en cuenta que v ≠ 0 ⇒ B = 0 x y x y  Otra forma de hacer el apartado seria determinar la dirección y sentido del campo magnético por la regla de la mano derecha, y la intensidad mediante la expresión del módulo. Según la regla de la mano derecha. Si la fuerza magnética debe ir en la dirección y r r r sentido + j para anular la fuerza creada por el campo eléctrico en − j , la velocidad va en + i , teniendo en cuenta que la velocidad viene representada por el dedo índice, la fuerza por el pulgar, r y el campo magnético por el corazón, este ira en la dirección de − k , tal como indica la figura adjunta. r r r r E 100 FB = FE ; q ⋅ v × B = q ⋅ E ; q v B sen 90º = q E ; v B = E ; B = = = 20 T v 5 r r B = −20 k T

(

)

b. Si se elimina el campo eléctrico, la única fuerza que actuara sobre el protón será la debida al campo magnético, perpendicular a la velocidad y por tanto de carácter central, provocando un movimiento circular uniforme. Si el protón describe una trayectoria con movimiento circular uniforme, la resultante deberá ser igual a la fuerza centrípeta. r r módulo FB = Fc   → FB = Fc

q ⋅ v B sen 90 = m

v2 R

R=

mv 1,67 ⋅ 10−27 ⋅ 5 = = 2,61 ⋅ 10 − 9 m q ⋅ B 1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ 20

Pregunta 4.Sobre un bloque de material cuyo índice de refracción depende de la longitud de onda, incide desde el aire un haz de luz compuesto por longitudes de onda de 400 nm (violeta) y 750 nm (rojo). Los índices de refracción del material para estas longitudes de onda son 1,66 y 1,60, respectivamente. Si, como se muestra en la figura, el ángulo de incidencia es de 60º: a) ¿Cuáles son los ángulos de refracción y las longitudes de onda en el material? b) Determine el ángulo límite para cada longitud de onda en la frontera entre el material y el aire. Para α = 60º, ¿escapan los rayos desde el medio hacia el aire por la frontera inferior? Dato: Índice de refracción del aire, naire = 1.

Solución. Los ángulos de refracción se calculan mediante la Ley de Snell, y las longitudes de onda mediante la a. definición del índice de refracción.

7

) ) Según la ley de Snell: n o ⋅ sen i = n1 ⋅ sen r •

•

) ) n o ⋅ sen i 1 ⋅ sen 60º ) ) Luz violeta: n o ⋅ sen i = n v ⋅ sen rv sen rv = = = 0,5217 nv 1,66 ) rv = arcsen 0,5217 = 31,4º ) ) Luz roja: n o ⋅ sen i = n r ⋅ sen rr

) ) n o ⋅ sen i 1 ⋅ sen 60º sen rr = = = 0,5412 nr 1,60

) rv = arcsen 0,5412 = 32,8º La f depende

• •

c λ ⋅ f del foco emisor λ o Índice de refracción: n = = o = ; v λ⋅f λ Donde λ o representa la longitud de onda en el aire 400 Luz violeta: λ v = ≈ 241 nm 1,66 750 Luz roja: λ r = = 469 nm 1,60

λ λ= o n

b. Se denomina ángulo límite al ángulo de incidencia al que corresponde un ángulo de refracción de 90º, si el ángulo de incidencia es mayor o igual al ángulo límite, se produce el fenómeno de reflexión total, no produciéndose el cambio de medio en el rayo. ) n ) n1 ⋅ sen l = n 2 ⋅ sen 90º sen l = 2 n1 •

) ) n 1  1  Luz violeta: sen l v = o = ⇒ l v = arcsen   ≈ 37º n v 1,66  1,66 

) ) n 1  1  Luz roja: sen l r = o = ⇒ l r = arcsen   ≈ 38,7º n r 1,60  1,60  Para saber si el rayo incidente sobre la lámina se refracta sobre la cara inferior, suponemos que el prisma tiene las dimensiones adecuadas para que el rayo refractado en la cara lateral incida sobre la cara ) inferior, y en ese caso, se compara el ángulo de incidencia i ′ con el ángulo límite: ) ) Si i ′ < l el rayo se refracta por la cara inferior y sale al aire. ) ) Si i ′ ≥ l el rayo sufre reflexión total y no sale por la cara inferior. •

) ) Para calcular i ′ se tiene en cuenta que es complementario a r ) ) i ′ + r = 90º ) ) ) Luz violeta: iv′ = 90º − rv = 90º −31,45 = 58,55º > l v . No se refracta ) ) ) Luz roja: ir′ = 90º − rr = 90º −32,8 = 57,2º > l r . No se refracta

(

• •

)

Pregunta 5.Fotones de 150 nm de longitud de onda inciden sobre una placa metálica produciendo la emisión de electrones. Si el potencial de frenado es de 1,25 V, determine: a) La energía de los fotones incidentes y la energía cinética máxima de los electrones emitidos. b) La longitud de onda asociada a los electrones emitidos con la energía cinética máxima. Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,6·10‒19 C; Constante de Planck, h = 6,63·10‒34 J s; Velocidad de la luz en el vacío, c = 3·108 m s‒1; Masa del electrón, me = 9,1·10‒31 kg.

Solución. a. La energía de los fotones incidentes se calcula con la ecuación de Planck:

E = h⋅f

= h⋅

f =c λ

c 3 ⋅ 108 = 6,63 ⋅ 10 −34 ⋅ = 1,33 ⋅ 10−18 J λ 150 ⋅ 10− 9

8

La energía cinética máxima de los electrones emitidos se obtiene del potencial de frenado (Vo )

E c = q e ⋅ Vo = 1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ 1,25 = 2 ⋅ 10 −19 J b.

La longitud de onda de una partícula con masa se calcula mediante le ecuación de De Broglie: h λ DB = mv La cantidad de movimiento de la partícula se puede obtener a partir de su energía cinética 1 mv 2 = 2E c m 2 v 2 = 2mE c mv = 2mE c E c = mv 2 2 Sustituyendo en la expresión de la longitud de onda:

λ DB =

h 2mE c

=

6,63 ⋅ 10 −34 2 ⋅ 9,1 ⋅ 10

9

− 31

⋅ 2 ⋅ 10

−19

= 1,1 ⋅ 10 −9 m