UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MODELO Curso 20016/2017 MATERIA: MATEMATICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Calificación: Las preguntas 1ª y 2ª se valorarán sobre 3 puntos; las preguntas 3ª y 4ª sobre 2 puntos. Tiempo: 90 minutos.

OPCIÓN A Ejercicio 1. Calificación máxima: 3 puntos. x = 1 + λ x − 2 y − 3 z +1  = = y s ≡  y = 3 − λ , se pide: 5 1 2 z = 2  a) (1.5 puntos) Comprobar que se cruzan y calcular la distancia entre ellas. b) (1 punto) Hallar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s. c) (0.5 puntos) Hallar el ángulo que forma la recta r con el plano y = 0. Solución. a. Si dos rectas se cruzan y no se cortan en el espacio, el rango de la matriz formada por los vectores de ambas recta y por un vector formado entre un punto de cada recta debe ser 3. x = 1 + λ B(1, 3, 2) x − 2 y − 3 z + 1 A (2, 3, − 1)  r≡ = = :r s ≡ y = 3 − λ :  r 5 1 2  v(5, 1, 2) u (1, − 1, 0) z = 2  Dadas las rectas r ≡

 AB  −1 0 3 1 − 2 3 − 3 2 − (− 1)  −1 0 3  r      rg v  = rg 5 1 2  = rg 5 1 2  = 3 ⇔ 5 1 2 ≠ 0  r   1  1 −1 0 u − 1 0  1 −1 0      −1 0 3 2 = 0 + 0 − 15 − (3 + 0 + 2) = −20 ≠ 0

5

1

1

−1 0

Las rectas se cruzan y no se cortan La distancia entre dos rectas que se cruzan y no se cortan se puede calcular como una aplicación del producto mixto y del módulo del producto vectorial. Teniendo en cuenta que el volumen de un paralelepípedo es (Área de la base)×(Altura), la altura es la mínima distancia entre la recta por lo que despejando y teniendo en cuenta las aplicaciones del producto mixto y del módulo del producto vectorial: r r Volumen paralelepípedo AB o (v × u ) d(r − s ) = h = = r r Área de la base v×u

AB − 1 0 3 r r r AB o (v × u ) = v = 5 1 2 = −20 r u 1 −1 0

 1 2 5 2 5 1  r r  = (2, 2, − 6) u × v = (5, 1, 2) × (1, − 1, 0)) ,− ,   −1 0 1 0 1 −1

r r AB o (v × u ) − 20 d(r − s ) = = = r r (2,2,−6) v×u

1

20 2

2

2

2 ´+2 + (− 6)

=

20 44

=

10 11 11

b. El plano π, que contiene a r y es paralelo a s se obtiene con el punto y el vector de la recta contenida (r), y el vector de la paralela (s). x − 2 y − 3 z +1 A(2, 3, − 1) r π ≡  v(5, 1, 2) ; π ≡ 5 1 2 =0  ur (1, − 1, 0) 1 − 1 0  Desarrollando por los elementos de la 1ª fila y ordenando se obtiene la ecuación general del plano. 1 2 5 2 5 1 π ≡ (x − 2) − ( y − 3) + (z + 1) = 0 ; π ≡ 2 x + 2 y − 6z − 16 = 0 −1 0 1 0 1 −1 π ≡ x + y − 3z − 8 = 0 c. El ángulo que forman una recta y un plano se obtiene mediante una aplicación del producto escalar del vector de dirección de la recta y el vector normal del plano, teniendo en cuenta que el ángulo que forman estos vectores es complementario al ángulo que forman la recta y el plano. sen α = cos(90 − α ) r (0,1,0) o (5,1,2) nπ o v r sen (π − r ) = cos(n π v ) = r = n π ⋅ v (0,1,0) ⋅ (5,1,2 )

sen (π − r ) =

0 ⋅ 5 + 1⋅1 + 0 ⋅ 2 2

2

2

2

2

0 +1 + 0 ⋅ 5 +1 + 2

2

=

1 30

(π − r ) = arcsen

1 30

= 10,5º

Ejercicio 2. Calificación máxima: 3 puntos Dadas las matrices:

1 − 1  1 −1 1  1 2 m 1       A= 1 0 − 1 , B =  2 4 1  , C =  − 1 2 1 , −1 2  m 2 − 1  1 −2 0  2       se pide: a) (1.5 puntos) Determinar el rango de B en función de los valores de m.

b) (1.5 puntos) Calcular la matriz inversa de A y comprobar que verifica A −1 =

1 2 A + 3C 5

(

)

Solución. a. Si B ≠ 0 ⇒ rg B = 3 . Se discute el rango de la matriz B para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz B. 1 2 m

 m = 1 1 det B = 2 4 1 = −4 + 2m + 4m − 4m 2 − 4 + 2 = −4m 2 + 6m − 2 = −2(m − 1)(2m − 1) = 0 :  m=  2  m 2 −1

(

)

Discusión. i.

Si m ≠

 1  1 Si m = . B = 0 ⇒ rg B < 3 . B =  2 2 1 / 2  1 2  Si m = 1. B = 0 ⇒ rg B < 3 . B =  2 4 1 2 

ii.

iii.

b.

1 , 1. B ≠ 0 ⇒ rg B = 3 2

A

−1

1 = (adj A )t A

2 1/ 2  4 1 4 1  = −6 ≠ 0 ⇒ rg B = 2 2 −1 2 − 1  1  4 1 1 = −6 ≠ 0 ⇒ rg B = 2 2 −1  − 1

1 −1 1 1 −1 2 −1 2 det A = 1 0 − 1 = 1 0 0 = −1 ⋅ =5 2 1 C 3 + C1 −1 2 2 −1 2 1

2

 0 +  2  −1 adj A =  − 2   −1 +  0  2 4  (adj A )t =  − 1 3  2 −1 

−1 2 1 2 1 −1 1  2 1 

0   −1 2 −1 2  2 −1 1 1 1 −1    = 4 3 + − −1 2 −1 2   1 2 1 1 1 −1    − + 1 −1 1 0   2  1 A −1 = (adj A )t = 1  − 1 A 5  2

−

1

−1

+

1

2  − 1 1 

4

1  2 − 1 1  3

 1 − 1 1   1 − 1 1  1 − 1  1      1 2 1  A + 3C =  1 0 − 1 ⋅  1 0 − 1 + 3  − 1 2 1  = 5 5   1 − 2 0   − 1 2 2   − 1 2 2      1 − 1 − 1 − 1 + 0 + 2 1 + 1 + 2   3  − 1 1 3 − 3  4  3 3 − 3     1     1  =  1 + 0 + 1 − 1 + 0 − 2 1 + 0 − 2  +  − 3 6 3  =  2 − 3 − 1 +  − 3 6 3  = 5  5   − 1 + 2 − 2 1 + 0 + 4 − 1 − 2 + 4   3 − 6 0   − 1 5 1   3 − 6 0     4 1 2  1 =  − 1 3 2  = A −1 5   2 −1 1

(

)

Ejercicio 3: Calificación máxima: 2 puntos. Los estudiantes de un centro docente han organizado una rifa benéfica, con la que pretenden recaudar fondos para una ONG. Han decidido sortear un ordenador portátil, que les cuesta 600 euros. Quieren fijar el precio de la papeleta, de modo que la recaudación sea máxima. Saben que si el precio de cada una es 2 euros, venderían 5000 papeletas, pero que, por cada euro de incremento en dicho precio, venderán 500 papeletas menos. ¿A qué precio deben vender la papeleta? Si el único gasto que tienen es la compra del ordenador, ¿cuánto dinero podrán donar a la ONG? Solución. Problema de optimación. x ≡ cantidad en € en que se incrementa el precio ce la papeleta Precio de la papeleta: x + 2 Número de papeletas vendidas: 5000 ‒ 500x Recaudación en función del incremento del precio de la papeleta:

(

R (x ) = (x + 2) ⋅ (5000 − 500x ) = 500 (x + 2) ⋅ (10 − x ) = 500 20 + 8x − x 2 La recaudación máxima se obtiene derivando la función e igualando a cero R ′(x ) = 500 (8 − 2x ) ; R ′(x ) = 0 ; 500 (8 − 2x ) = 0 : x = 4 Para comprobar que es un máximo es utiliza el criterio de la segunda derivada: R ′′(x ) = 500 ⋅ (− 2) = −1000 < 0 Para un precio de 6 € por papeleta se obtiene una recaudación máxima. Donación = Recaudación ‒ Gastos

(

)

Donación = R (x = 4) − 600 = 500 20 + 8 ⋅ 4 − 4 2 − 600 = 17400 €

3

)

Ejercicio 4: Calificación máxima: 2 puntos. Calcular el área comprendida entre la curva y = (x − 1) e x y la recta y = x − 1. Solución. Para determinar el área comprendida entre dos funciones, se necesita calcular los puntos comunes entre las funciones, lo que se resuelve con el sistema formado por las ecuaciones de ambas funciones.  y = (x − 1) e x  x −1 = 0 ; x = 1 ; (x − 1) e x = x − 1 ; (x − 1) e x − (x − 1) = 0 ; (x − 1) e x − 1 = 0 :  x  x  y = x − 1 e − 1 = 0 ; e = 1 ; x = 0

(

)

Por tratarse de funciones continúas en todo R y solo tener dos puntos comunes, estos corresponderán a los límites de la región que determinan ambas funciones. Para conocer la posición relativa de las funciones se calcula el valor de ambas funciones en algún punto intermedio del intervalo.  f (0,5) = (0,5 − 1) ⋅ e 0,5 ≈ −0,8 x = 0,5 :  Si x ∈ (0, 1) y = x ‒ 1 > y = (x − 1) e x  y = 0,5 − 1 = −0,5 Conocida la posición relativa, el área comprendida entre las funciones es: 1

1

0

0

A = ∫ (x − 1) dx − ∫ (x − 1) e x dx La primera es una integral inmediata y la segunda una integral por partes.

x ∫ (x − 1) dx =

2

2

∫ (x − 1) e

x

−x+C

 u = x − 1 du = dx  x x x x x dx =  x x  = (x − 1) e − e dx = (x − 1) e − e + C´= (x − 2 ) e + C´ dv = e dx v = e 

∫

1

 x2  1 A = ∫ (x − 1) dx − ∫ (x − 1) e dx =  − x  − (x − 2) e x 0 =  2 0 0  0  1

1

1

x

]

(

 x2    02  1  12 1 5  − x  + (x − 2) e x 0 =  − 1 −  − 0  − (1 − 2) e1 − (0 − 2) e 0 = − + e − 2 = e − u 2  2     2 2 2 2   0    

(

]

(

4

)(

)

OPCIÓN B Ejercicio 1. Calificación máxima: 3 puntos. Se considera la función f (x ) = x e − x y se pide: a) (0.5 puntos) Determinar el dominio y las asíntotas de f. b) (1.5 puntos) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y hallar sus extremos relativos. c) (1 punto) Calcular el área del recinto acotado limitado por la curva y = f(x), el eje de abscisas y las rectas x = 1 y x = 3. Solución. Dominio = R a. Asíntotas: • Verticales: No tiene por tener D = R • Horizontales: Lím f (x ) x → ±∞ −x

(

Lím f (x ) = Lím x e

x → −∞

x → −∞

(

Lím f (x ) = Lím x e − x

x → +∞

•

x → +∞

) = −∞ ⋅ e (

− −∞ )

(∞⋅0 )

)=

x

Lím

= −∞ ⋅ e ∞ = −∞ ⋅ ∞ = −∞ Hacia ‒∞ no hay asíntota horizontal.

∞   ∞

1

= Lím

=

x → +∞ e x L´H x → +∞ e x

1 e

∞

=

1 = 0 Hacia +∞ hay asíntota horizontal. y = 0 ∞

Oblicua: x → ‒∞: y = mx + n

f (x ) x e−x = Lím = Lím e − x = e − (− ∞ ) = e ∞ = ∞ x → −∞ x x → −∞ x x → −∞ No hay asíntota oblicua hacia ‒∞

( )

m = Lím

b. Estudio de f ′(x ) . Teniendo en cuenta que la función es continua en todo R, una vez determinados los máximos y mínimos relativos se puede definir los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento) Extremos relativos. La función tendrá extremos relativos en los puntos donde la primera derivada sea nula y la segunda derivada distinta de cero, con el siguiente criterio: si la segunda derivada es negativa, habrá un máximo, si la segunda derivada positiva habrá un mínimo. Se calculan las dos primeras derivadas de la función simplificadas. f ′(x ) = 1 ⋅ e − x + x ⋅ e − x ⋅ (− 1) = (1 − x ) e − x

f ′′(x ) = −1 ⋅ e − x + (1 − x ) ⋅ e − x ⋅ (− 1) = (x − 2) e − x

 1  1 1 − x = 0 ; x = 1 ; f (1) = 1 ⋅ e −1 = ; 1,  e  e e − x = 0 No tiene solución 

(1 − x ) e − x = 0 : 

f ′(x ) = 0

f ′′(1) = (1 − 2) e −1 =

• •

c.

−1  1 < 0 ⇒ 1,  es un máximo relativo de la función e  e

Por ser una función continua en R: (− ∞, 1), f ′(x ) > 0 ⇒ f (x ) es creciente (1, + ∞ ), f ′(x ) < 0 ⇒ f (x ) es decreciente Si x ∈ [1, 3], f(x) > 0. Área =

3

∫1 xe

−x

dx

La primitiva de la función se halla por el método de integración por partes: du = dx   u=x −x xe − x dx =  − − e − x dx = − xe − x − e − x (− 1)dx = −x −x  = x ⋅ − e dv = e dx v = − e  

(

∫

)

∫

∫

= − xe − x − e − x + C = −e − x (x + 1) + C Área =

3

∫1 xe

−x

(

] ( 3

)(

)

dx = − e − x (x + 1) 1 = − e − 3 (3 + 1) − − e −1 (1 + 1) =

5

2 4 2 − u e e3

Ejercicio 2. Calificación máxima: 3 puntos Dados los puntos A(2, 1, 1), B(0, 0, −3) y P(1, 1, 1), se pide: a) (1 punto) Hallar la ecuación del plano que contiene a los tres puntos. b) (1 punto) Hallar el área del triángulo formado por A, B y P. c) (1 punto) Hallar la distancia del punto P a la recta que pasa por A y B. Solución. a. Para determinar el plano con tres puntos se utilizan dos vectores formados entre los puntos y un cualquiera de los puntos x y z+3 B(0, 0, − 3)  π ≡  AB = (0 − 2, 0 − 1, − 3 − 1) = (− 2, − 1, − 4) paralelo al (2, 1, 4) ; π ≡ 2 1 4 =0  AP = (1 − 2, 1 − 1, 1 − 1) = (− 1, 0, 0 ) paralelo al (1,0,0 ) 1 0 0  Desarrollando por los elementos de la de la 3ª fila se obtiene la ecuación general del plano π ≡ 4y − z − 3 = 0

b. El área de un triángulo determinado por las coordenadas de sus vértices se obtiene como aplicación del módulo del producto vectorial. 1 Área (ABP ) = AB × AP 2 AB = (− 2, − 1, − 4)  − 1 − 4 − 2 − 4 − 2 − 1   = (0, 4, − 1) AB × AP =  ,− , = 0 − 1 0 − 1 0   AP = (− 1, 0, 0)   0

Área (ABP ) =

1 (0, 4, − 1) = 1 0 2 + 4 2 + (− 1)2 = 17 u 2 2 2 2

c. Teniendo en cuenta los apartados anteriores, la distancia de un punto a una recta se puede calcular como aplicación del módulo del producto vectorial.

d(P − r ) =

AB × AP AB

AB × AP = (0, 4, − 1) = 0 2 + 4 2 + (− 1)2 = 17 u 2 AB = (− 2,−1,−4) =

(− 2)2 + (− 1)2 + (− 4)2

d(P − r ) =

17 21

=

= 21 u

17 u 21

Ejercicio 3. Calificación máxima 2 puntos A un florista le han encargado preparar 5 ramos iguales para cinco eventos. El precio total acordado es de 610 euros. Ha decidido emplear rosas, tulipanes y lilas. Cada ramo llevará un total de 24 flores y el número de rosas empleado doblará al número total de flores de otras especies. ¿Cuál es el número de flores de cada tipo que usará en cada ramo sabiendo que cada rosa cuesta 6 euros, cada tulipán cuesta 4 y cada lila 3? Solución. x ≡ número de rosas que lleva cada ramo; y ≡ número de tulipanes que lleva cada ramo; z ≡ número de lilas que lleva cada ramo Ecuaciones: 610 • Precio de cada ramo: 6x + 4 y + 3z = 5 • Flores que tiene cada ramo: x + y + z = 24 •

Relación entre los tipos de flores de cada ramo: x = 2 ⋅ (y + z )

6x + 4 y + 3z = 122  Ordenando se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:  x + y + z = 24  x − 2 y − 2z = 0 

6

Para resolver el sistema, recomiendo el método de Gauss 1 M 24  1 M 24  1 M 24  1 1 1 1 1 1       3 M 122  =  0 − 2 − 3 M − 22  =  0 − 2 − 3 M − 22  6 4 E − 6 E 1 1 − 2 − 2 M 0  2  E3 −E2  0 − 1 0 M − 2    E 3 − E1  0 − 3 − 3 M − 24   

x + y + z = 24 x + 2 + z = 24 x + z = 22  : : { x + 6 = 22 : { x = 16  2 y + 3z = 22 :  4 + 3z = 22  z = 6   y=2  Cada ramos estará compuesto por:16 rosas, 2 tulipanes y 6 lilas

Ejercicio 4. Calificación máxima 2 puntos En una población de cierta especie de cérvidos, el 43 % de los adultos son machos y el 57 % hembras. Se sabe que el 11 % de los machos adultos y el 4 % de las hembras adultas sufren alguna afección ocular. Se supone que se captura al azar un ejemplar adulto y se pide: a) (1 punto) Determinar la probabilidad de que tenga alguna afección ocular. b) (1 punto) Si el ejemplar capturado padeciere una afección ocular ¿cuál sería la probabilidad de que fuera un macho? Solución. Sucesos: M ≡ El ejemplar es macho H ≡ El ejemplar es hembra B ≡ El ejemplar sufre alguna afección ocular Datos: p(M ) = 0,43

a.

p(H ) = 0,57

p(B M ) = 0,11

p(B) = p((M ∩ B ) ∪ (H ∩ B)) = p(M ∩ B) + p(H ∩ B) = p(M ) ⋅ p(B M ) + p(H ) ⋅ p(B H ) p(B) = 0,43 ⋅ 0,11 + 0,57 ⋅ 0,04 = 0,0701

b.

p(B H ) = 0,04

p(M B) =

p(B) = 7,01%

p(M ∩ B) p(M ) ⋅ p(B M ) 0,43 ⋅ 0,11 = = = 0,6748 = 67,48% p(B) p(B) 0,0701

7