UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) FÍSICA Modelo 2014 INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN. La prueba consta de dos opciones, A y B, cada una de las cuales incluye cinco preguntas. El alumno deberá elegir la opción A o la opción B. Nunca se debe resolver preguntas de opciones distintas. Se podrá hacer uso de calculadora científica no programable. CALIFICACIÓN: Cada pregunta debidamente justificada y razonada con la solución correcta se calificará con un máximo de 2 puntos. Cada apartado tendrá una calificación máxima de 1 punto. TIEMPO: Una hora y treinta minutos.

OPCIÓN A Pregunta 1.- La masa del Sol es 333183 veces mayor que la de la Tierra y la distancia que separa sus centros es de 1,5×108 Km. Determine si existe algún punto a lo largo de la línea que los une en el que se anule: a) El potencial gravitatorio. En caso afirmativo, calcule su distancia a la Tierra. b) El campo gravitatorio. En caso afirmativo, calcule su distancia a la Tierra. Solución. El potencial gravitatorio en un punto a. debido a una masa M vine determinado por la expresión: M V (r ) = −G ⋅ r Se busca un punto en la línea que une los centros del Sol y la Tierra donde el potencial debido al Sol y la tierra sea nulo. Si el punto buscado se encuentra a una distancia d de la Tierra y 1,5×1011 ‒ d del Sol, se deberá cumplir: MS M   V = VS + VT = 0 V = −G ⋅ + − G ⋅ T  = 0 11 d  1,5 × 10 − d  −G⋅

333183 M T 1,5 × 10

11

−

−G⋅

MT =0 d

−d 333183 11

1,5 × 10

−d

=

−G⋅

1 d

333183 M T 1,5 × 10

11

−d

=G⋅

MT d

d = −450204 < 0

No hay ningún punto en la línea que une los centros del Sol y de la Tierra donde el potencial se anule

b. Según la Ley de Gravitación Universal, el campo determinado por una masa en un punto viene expresado por la siguiente función: r Mr E (r ) = −G ⋅ 2 u r r Se busca un punto en la línea que une los centros del Sol y la Tierra donde el campo gravitatorio debido al Sol y la tierra sea nulo. Si el punto buscado se encuentra a una distancia d de la Tierra y 1,5×1011 ‒ d del Sol, se deberá cumplir: r MS (− ur r ) +  − G M2T ur r  E (r ) = 0 = −G 2 d   1,5 × 1011 − d

(

)

1

G

MS

(1,5 × 10

11

(1,5 ×10 *d =

11

−d

−d

)

)

2

M r r u r = G 2T u r d

2

1 + 333183

(1,5 × 10

11

−d

)

2

=

MT d2

1,5 × 1011 − d = ± 333183 d

= 333183

d2 1,5 × 1011

333183 M T

= 2,594 × 10 8 m del centro de la Tierra

Distancia al centro del sol = 1,5×1011 ‒ 2,594×108 = 1,197×1011 m *El signo negativo de la raíz no se tiene en cuenta ya que daría una distancia negativa

Pregunta 2.- Un espectador que se encuentra a 20 m de un coro formado por 15 personas percibe el sonido con un nivel de intensidad sonora de 54 dB. a) Calcule el nivel de intensidad sonora con que percibiría a un solo miembro del coro cantando a la misma distancia. b) Si el espectador sólo percibe sonidos por encima de 10 dB, calcule la distancia a la que debe situarse del coro para no percibir a éste. Suponga que el coro emite ondas esféricas, como un foco puntual y todos los miembros del coro emiten con la misma intensidad. Dato: Umbral de audición, Io = 10-12 W m‒2 Solución. a. Teniendo en cuenta que cada miembro del coro es un foco puntual y que todos los miembros del coro tienen igual potencia. La intensidad (I1) que recibiría un espectador a una determinada distancia procedente del coro será: 15P I1 = S Siendo P la potencia de cada miembro del coro. La intensidad (I2) que recibiría un espectador a esa misma distancia de un único miembro del coro será: P I2 = S Comparando ambas expresiones: P I2 1 = S = 15 P I1 15 S La intensidad sonora (β) que recibiría el espectador en cada una de las situaciones anteriores seria: I I β1 = 10 log 1 β 2 = 10 log 2 Io Io Si se despejan la intensidades y se compara: β2 β1  1 (β 2 −β1 ) I1 = I o ⋅ 10 10  I 2 I o ⋅ 10 10 10 : = = 10  β2 β1 I I 2 = I o ⋅ 10 10  1 I o ⋅ 10 10 Sustituyendo la relación obtenida entre las intensidades: 1 (β 2 −β1 ) I2 1 10 = = 10 I1 15 Tomando logaritmos decimales, se despeja la intensidad sonora (β2) que se percibiría cuando cantase un solo miembro del coro.

2

1

(β 2 −β1 ) 1 log = log 10 10 15

1 (β 2 − β1 ) = log 1 10 15 1 β 2 = 54 + 10 log = 42,24 dB 15

β 2 = β1 + 10 log

1 15

b. En este apartado, se mantiene constante la potencia de emisión y se varia la distancia al coro, y por lo tanto la superficie. Si se aplica la definición de intensidad cuando el espectador se encuentra a 20 m (d1) y a la posición donde la intensidad sonora que percibe es de 10 dB o menor (d2) y se comparan: P P  P I1 = = S1 π ⋅ d12  I 2 π ⋅ d 22 d12 : = = 2 P P  I1 P d2  I2 = = 2 π ⋅ d1 S 2 π ⋅ d 22  Por otro lado la relación entre la intensidades y las intensidades sonoras es la misma que la obtenida en el apartado anterior: 1 (β 2 −β1 ) I2 10 = 10 I1 Sustituyendo las intensidades por la relación entre las distancias, se despeja la distancia a la que se empezaría a no oír al coro. 1 (β 2 −β1 ) I 2 d12 1 1 10 = 2 = 10 d 2 = d1 ⋅ d 2 = 20 ⋅ 1 1 I1 d 2 (β 2 −β1 ) (10−54 ) 10 10 10 10 d 2 ≥ 3169,79 m

Pregunta 3. El campo electrostático creado por una carga puntual q, situada en el origen de r 9 r r coordenadas, viene dado por la expresión: E = 2 u r N C −1 , donde r se expresa en m y u r es un r vector unitario dirigido en la dirección radial. Si el trabajo realizado para llevar una carga q´ desde un punto A a otro B, que distan del origen 5 y 10 m, respectivamente, es de − 9×10‒6 J, determine: a) El valor de la carga puntual q que está situada en el origen de coordenadas. b) El valor de la carga q´ que se ha transportado desde A hasta B. Dato: Constante de la Ley de Coulomb, K = 9×109 N m2 C‒2 Solución. a. Según la ley de Coulomb, el campo eléctrico viene dado por la expresión: r q r E = K ⋅ 2 ur r Si se identifica con la expresión que se da en el enunciado r q r 9 r E = K ⋅ 2 ur = 2 ur r r Se puede obtener el valor de la carga que genera el campo eléctrico. 9 9 q= = = 10 −9 C = 1 nC K⋅q =9 9 K 9 × 10

b. El trabajo realizado para trasladar una carga (q ′) dentro de un campo eléctrico cuya intensidad varia con el radio, viene dado por la expresión: 10 rB r 10 9 10 1 r  − 1  − 1 − 1  9q ′ WA→B = q ′ ⋅ E o dr = q′ ⋅ dr = 9q ′ ⋅ dr = 9q ′ ⋅   = 9q ′ ⋅  − = 2 2 rA 5 r 5 r 5  10  r 5  10

∫

∫

∫

3

Igualando al valor del trabajo del enunciado, se despeja el valor de la carga que se traslada por el campo eléctrico. 9q ′ = −9 × 10 −6 q ′ = −10 × 10 −6 C = −10 µC 10

Pregunta 4.- Utilizando una lente convergente delgada que posee una distancia focal de 15 cm, se quiere obtener una imagen de tamaño doble que el objeto. Calcule a qué distancia ha de colocarse el objeto respecto de la lente para que la imagen sea: a) Real e invertida. b) Virtual y derecha. Solución Por ser una lente convergente, el foco imagen es positivo (f ′ > 0 ) . La ecuación fundamental de las lentes delgadas es: 1 1 1 − = s′ s f ′ El aumento lateral (M L ) de la lente viene expresado por y′ s′ ML = = y s a. Calcular s para que la imagen sea Real (s ′ > 0) , invertida y de doble tamaño (y ′ = −2y ) . Aplicando al aumento lateral la condición de ser invertida y de doble tamaño, se puede obtener una relación entre la posición del objeto (s ) y de la imagen (s ′) . y′ s′  s′ M L = =  − 2y s′ = −2 s ′ = −2s = y s : y s s  y ′ = −2 y 

Aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas y teniendo en cuenta la relación anterior y la distancia focal del enunciado, se obtiene la posición del objeto. 1 1 1 − = s ′ s f ′  1 1 1 s ′ = −2s  : − = − 2s s 15 f ′ = 15   

−3 1 = 2s 15

s=−

3 ⋅ 15 = −22,5 cm ; s ′ = −2s = 45 cm 2

El objeto deberá colocarse a 22,5 cm a la izquierda de la lente, apareciendo la imagen invertida y de doble tamaño a 45 cm a la derecha de la lente. Calcular s para que la imagen sea virtual (s ′ < 0) , derecha y de doble tamaño ′ (y = 2y ) . Aplicando, como en el apartado anterior, al aumento lateral la condición de ser derecha y de doble tamaño, se puede obtener una relación entre la posición del objeto (s ) y de la imagen (s ′) .

b.

y′ s′  s′ =  2y s′ =2 s ′ = 2s = y s : y s s y ′ = 2 y  Aplicando la relación obtenida a la ecuación fundamental de las lentes delgadas: ML =

4

1 1 1 − = s ′ s f ′  1 1 1 s ′ = 2s  : − = 2s s 15 f ′ = 15   

−1 1 = 2s 15

s=−

15 = −7,5 cm s ′ = 2s = −15 cm 2

El objeto debe colocarse a 7,5 cm a la izquierda de la lente. Pregunta 5.- Una roca contiene dos isótopos radioactivos, A y B, de periodos de semidesintegración 1600 años y 1000 años, respectivamente. Cuando la roca se formó el contenido de núcleos de A y B era el mismo. a) Si actualmente la roca contiene el doble de núcleos de A que de B, ¿qué edad tiene la roca? b) ¿Qué isótopo tendrá mayor actividad 2500 años después de su formación? Solución. a. El número de núcleos radioactivos que quedan sin desintegrar en una muestra pasado un tiempo t, viene dado por la expresión: N = N o ⋅ e − λ ⋅t

 N = N ⋅ e − λ A ⋅t o Aplicando a cada uno de los isótopos:  A  N B = N o ⋅ e − λ B ⋅t Comparando ambas expresiones para el tiempo to, y siendo este el tiempo en el que se cumple que NA = 2·NB: N A 2 ⋅ N B N o ⋅ e − λ A ⋅t o e − λ A ⋅t o = = 2= = e t o ⋅(λ B − λ A ) − λ B ⋅t o − λ B ⋅t o NB NB No ⋅ e e Tomando logaritmos neperianos, se despeja el tiempo transcurrido (t o ) . Ln 2 Ln 2 = t o ⋅ (λ B − λ A ) to = (λ B − λ A ) Las constantes de desintegración (λ ) se calculan a partir de los periodos de Ln 2   semidesintegración de ambos isótopos  T1 2 = . λ   Ln 2 Ln 2 Ln 2 Ln 2 λA = = = 4,33 × 10 − 4 año −1 λB = = = 6,93 × 10 −4 año −1 T1 2 (A ) 1600 T1 2 (B) 1000 Sustituyendo loas constantes en la expresión del tiempo transcurrido: Ln 2 Ln 2 to = = = 2665,95 años − 4 (λ B − λ A ) 6,93 × 10 − 4,33 × 10 −4

(

)

b. La actividad de una muestra, es el número de núcleos radioactivos que quedan sin desintegrar multiplicados por la constante de radioactividad, representa la velocidad de desintegración, es decir, el número de desintegraciones que se producen por unidad de tiempo.

A = λ ⋅ N = λ ⋅ N o ⋅ e − λ ⋅t Aplicando la definición de actividad a cada uno de los isótopos y comparando: − λ ⋅t λ A A = λ A ⋅ N o ⋅ e − λ A ⋅t  A A λ A ⋅ N o ⋅ e A : = = A ⋅ e (λ B − λ A )⋅t  − λ B ⋅t − λ ⋅ t λB  A B λ B ⋅ N o ⋅ e B AB = λB ⋅ No ⋅ e Sustituyendo por los datos A A λ A (λ B − λ A )⋅t 4,33 × 10 −4 (6,93×10−4 − 4,33×10−4 )⋅2500 = ⋅e = ⋅e = 1,20 > 1 AB λB 6,93 × 10 − 4

5

AA A A > AB >1 AB Pasados 2500 años, la actividad del isótopo A es mayor que la del isótopo B.

6

OPCIÓN B Pregunta 1.- Los satélites Meteosat son satélites geoestacionarios, situados sobre el ecuador terrestre y con un periodo orbital de 1 día. a) Suponiendo que la órbita que describen es circular y poseen una masa de 500 kg, determine el módulo del momento angular de los satélites respecto del centro de la Tierra y la altura a la que se encuentran estos satélites respecto de la superficie terrestre. b) Determine la energía mecánica de los satélites. Datos: Radio Terrestre = 6,37×106 m ; Masa de la Tierra= 5,97×1024 kg; Constante de Gravitación Universal G = 6,67×10‒11 N m2 kg‒2 Solución. a. El momento angular de un satélite que orbita en torno a un planeta es r r r L = r × mv r r Donde r representa el radiovector que une al satélite con el centro del planeta y v la velocidad lineal del satélite en la órbita. El módulo del momento angular es: r r r L = L = r ⋅ mv ⋅ sen α = r ⋅ m ⋅ v ⋅ sen α

Teniendo en cuenta que la velocidad es tangente a la trayectoria, y que el satélite describe una α = 90 y sen α = 1. 2π  2π  L = r ⋅ m ⋅ v = {v = ω ⋅ r} = r 2 ⋅ m ⋅ ω = ω =  = r 2 ⋅ m ⋅ T T  L=

2π ⋅ m ⋅ r 2 T

Para determinar el radio de la órbita se tiene en cuenta que el satélite describe un movimiento circular uniforma, y por tanto, todas las fuerzas que actúan sobre el deberán ser igual a la fuerza centrípeta. v2 M M G = v2 G = (ω ⋅ r )2 2 r r r r G⋅M G⋅M G⋅M 2 r3 = r3 = r3 = ⋅T 2 2 ω 2π 4π 2 T Si el satélite es geoestacionario, el periodo es un día. FG = Fc

G

M⋅m

=m

( )

r=3

G⋅M 2

⋅ T2 = 3

6,67 × 10 −11 ⋅ 5,98 × 10 24 2

⋅ (24 ⋅ 3600)2 = 42,25 × 10 6 m

4π 4π Conocido el radio de la órbita se calcula el módulo del momento angular. L=

(

2 π ⋅ m ⋅ r 2 2 π ⋅ 500 ⋅ 42,25 × 10 6 = T 24 ⋅ 3600

)2 = 64,9 × 1012 kg m 2 s −1

La altura del satélite respecto de la superficie de la tierra será la distancia del satélite al centro de la tierra menos el radio de la tierra. h = r − R T = 42,25 × 10 6 − 6,37 × 10 6 = 35.88 × 10 6 m b.

Mm 1 Mm 1 M 1 Mm + mv 2 = −G + m⋅G =− G r 2 r 2 r 2 r 24 1 Mm 1 5,98 × 10 ⋅ 500 EM = − G = − 6,67 × 10 −11 ⋅ = −2,36 × 10 9 J 6 2 r 2 42,25 × 10

E M = E p + E c = −G

7

Pregunta 2.- Una onda transversal se propaga por un medio elástico con una velocidad v, una amplitud Ao y oscila con una frecuencia fo. Conteste razonadamente a las siguientes cuestiones: a) Determine en qué proporción cambiarían la longitud de onda, la velocidad de propagación, el periodo y la amplitud, si se actúa sobre el foco emisor de ondas reduciendo a la mitad la frecuencia de oscilación. b) Sin alterar su frecuencia fo, se modifica la amplitud de la onda haciendo que aumente al doble. ¿En qué proporción cambiarían la velocidad de la onda, la velocidad máxima de las partículas del medio y la longitud de onda? Solución. a. - La velocidad de propagación de la onda solo depende de las propiedades del medio material por el que se propaga la onda, por lo que al variar la frecuencia no variará la velocidad de propagación. - Teniendo en cuenta la relación existente entre la velocidad de propagación (que no varía), la longitud de onda y la frecuencia, si se reduce la frecuencia a la mitad, la longitud de onda se duplicará. v v λ=  f : Si f ′ = f : Comparando : λ ′ = f ′ = f = f = 2 ⇒ λ ′ = 2λ  v 2 f′ f λ v λ′ =  2 f f ′ - Si se reduce la frecuencia a la mitad, el periodo aumenta al doble. 1 T = 1  f : Si f ′ = f : Comparando : T ′ = f ′ = f = f = 2 ⇒ T ′ = 2T  1 2 T f′ f T ′ = 1 ′ f  f 2

- La amplitud no depende de la frecuencia b. - La velocidad de la onda no depende de la amplitud, depende de las propiedades del medio en el que se propaga. - La velocidad máxima de vibración aumentara al doble. v máx = A ⋅ ω  v ′máx A ′ ⋅ ω A ′ 2A = = = = 2 ⇒ v ′máx = 2v máx  : Comparando : v ′máx = A ′ ⋅ ω v máx A ⋅ ω A A

- La longitud de onda no depende de la amplitud, como se vio en el apartado a. r

r

Pregunta 3.- En una región del espacio hay un campo eléctrico E = 4 × 10 3 j N C −1 y otro

r r magnético B = −0,5 i T . Si un protón penetra en esa región con una velocidad perpendicular al campo magnético: a) ¿Cuál debe ser la velocidad del protón para que al atravesar esa región no se desvíe? Si se cancela el campo eléctrico y se mantiene el campo magnético: b) Con la velocidad calculada en el apartado a), ¿qué tipo de trayectoria describe?, ¿cuál es el radio de la trayectoria? Determine el trabajo realizado por la fuerza que soporta el protón y la energía cinética con la que el protón describe esa trayectoria. Datos: Masa del protón = 1,67×10‒27 kg ; Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,60×10‒19 C Solución. a. Para que el protón no se desvíe, las fuerzas ejercidas por ambos campos deberán anularse. r r r r FE + FB = 0 ; FE = −FB Teniendo en cuenta que el protón entre en perpendicular al campo magnético, la velocidad podrá ser:

8

r r r v = v y j + vzk

r r r r FE = q ⋅ E  r r r r r r  : FE = −FB ⇒ q ⋅ E = −q ⋅ v × B FB = q ⋅ v × B 

(

(

)

r r r E =− v×B

)

(

)

v vz 0 vz 0 vy  r r  = 0, − 0,5v z , 0,5v y v × B = 0, v y , v z × (− 0,5, 0, 0 ) =  y ,− ,  0 0 0 , 5 0 0 , 5 0 − −   r 3  r r r E = 4 × 10 j r r r r  : E = − v × B ⇒ 4 × 10 3 j = − − 0,5v z j + 0,5v y k r r v × B = −0,5v z j + 0,5v y k  r r 4 × 10 3 j = 0,5v z j − 0,5v y k

(

)

(

(

(

)

)

)

Identificando por componentes:

r  j : 4 × 10 3 = 0,5v z ⇒ v z = 8 × 10 3 r  k : 0 = −0,5v y ⇒ v y = 0 r El protón penetra con una velocidad: v = 8 × 10 3 k

b. El protón describe una trayectoria circular. El radio de curvatura se calcula teniendo en cuenta que la fuerza generada por el campo magnético es normal a la trayectoria del protón y por tanto es una fuerza centrípeta. r r r r r v2 r FB = Fc q ⋅ v× B ur = m ur r En módulo:

(

q ⋅ v ⋅ B ⋅ sen 90 = m

v2 r

r=

)

m ⋅ v 1,67 × 10 −27 ⋅ 8 × 10 3 = = 1,67 × 10 − 4 m − 19 q⋅B 1,6 × 10 × 0,5

La fuerza magnética no realiza trabajo dado su carácter centrípeta, la fuerza y el desplazamiento forman un ángulo de 90º (cos 90 = 0)

Si sobre la partícula no se realiza trabajo, La energía cinética que lleva el protón a lo largo de la trayectoria circular será constante, no varía en el tiempo y su valor será: 2 1 1 E c = m ⋅ v 2 = ⋅ 1,67 × 10 − 27 ⋅ 8 × 10 3 = 5,34 × 10 − 20 J 2 2

(

)

Pregunta 4.- Un objeto está situado a una distancia de 10 cm del vértice de un espejo cóncavo. Se forma una imagen real, invertida y tres veces mayor que el objeto. a) Calcule el radio de curvatura y la posición de la imagen. b) Construya el diagrama de rayos. Solución. a. La posición del objeto (10 cm) nos informa que s = ‒10. Que la imagen sea invertida y de triple tamaño, nos permite plantear: y ′ = −3y Aplicando los datos del enunciado al aumento lateral, se puede calcular la posición de la imagen. y′ s ′ s = −10 − 3y s′ ⇒ s ′ = −30 cm ML = = − :  =− : y s  y ′ = 3y  y − 10 La imagen se forma a 30 cm a la derecha del espejo. El radio de curvatura se calcula con la ecuación fundamental de los espejos esféricos. 1 1 1 R 1 1 2 + = f′= + = s′ s f ′ 2 s′ s R

9

1 1 2 2 2 + = =− R = ‒15 cm − 30 − 10 R R 15 El signo negativo confirma que es un espejo cóncavo. b. La imagen se forma en el punto de corte de dos de los rayos que se forman. • Rayo que saliendo del objeto se dirige hacia el espejo paralelo al eje del espejo y al reflejarse pasa por el foco. • Rayo que saliendo del objeto, pasa por el foco y al reflejarse ve en paralelo al eje del espejo

Pregunta 5.a) Determine la masa y la cantidad de movimiento de un protón cuando se mueve con una velocidad de 2,70×108 m s‒1. b) Calcule el aumento de energía necesario para que el protón del apartado anterior cambie su velocidad de v1 = 2,70×108 m s‒1 a v2 = 2,85×108 m s‒1. Datos: Masa del protón en reposo = 1,67×10‒27 kg; Velocidad de la luz en el vacío= 3×108 m s‒1 Solución. a. Según la teoría de la Relatividad la masa no es un invariante, y depende de la velocidad según la ecuación: mo 1,67 × 10 −27 m= m o ≡ masa en reposo m= = 3,83 × 10 − 27 kg 2 v2 2,70 × 10 8 1− 1 − 2 c2 3 × 10 8

(

)

(

)

Conocida la masa en movimiento se calcula la cantidad de movimiento. El módulo de la cantidad de movimiento es: p = m ⋅ v = 3,83 × 10 −27 ⋅ 2,70 × 10 8 = 1,03 × 10 −18 kg m s −1 b.

∆E = E 2 − E1 , siendo E2 la energía del protón a la velocidad v2 y E1 a la velocidad v1. Según la teoría de la Relatividad de Einstein la equivalencia masa-energía se representa

por la ecuación E = m c 2 . Aplicando al incremento que se pide: ∆E = E 2 − E1 = m 2 c 2 − m1 c 2 = (m 2 − m1 ) ⋅ c 2 Aplicando a cada masa la corrección de la velocidad:        m   mo 1 1 o  ⋅ c2 =  ∆E = (m 2 − m1 ) ⋅ c 2 =  − −   v12  v2 v12 v2  1− 2   1− 2 1 1 − −    c2 c2  c2 c2  

    1 1 ∆E =  − 2  8 2 2,70 × 10 8  1 − 2,85 × 10 − 1 2  8 2 × 3 10 3 × 10 8 

(

)

(

)

(

)

(

)

10

    ⋅ moc2    

    2  ⋅ 1,67 × 10 −27 ⋅ 3 × 10 8 = 1,37 × 10 −10 J    

(

)