UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) FÍSICA Modelo 2013 INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN. La prueba consta de dos opciones A y B, cada una de las cuales incluye tres cuestiones y dos problemas. El alumno deberá elegir la opción A o la opción B. Nunca se deben resolver cuestiones o problemas de opciones distintas. Se podrá hacer uso de calculadora científica no programable. CALIFICACIÓN: Cada cuestión debidamente justificada y razonada con la solución correcta se calificará con un máximo de 2 puntos. Cada problema debidamente planteado y desarrollado con la solución correcta se calificará con un máximo de 2 puntos. En aquellas cuestiones y problemas' que consten de varios apartados, la calificación será la misma para todos ellos. TIEMPO: Una hora treinta minutos.

OPCIÓN A Pregunta 1.- Un cierto planeta esférico tiene una masa M = 1,25×1023 kg y un radio R = 1,5×106 m. Desde su superficie se lanza verticalmente hacia arriba un objeto, el cual alcanza una altura máxima h = R/2. Despreciando rozamientos, determine: a) La velocidad con que fue lanzado el objeto. b) La aceleración de la gravedad en el punto más alto alcanzado por el objeto. Datos: Constante de la Gravitación Universal, G = 6,67×10‒11 N m2 kg‒2

Solución. a. El campo gravitatorio, si se desprecian los rozamientos, se puede considerar conservativo, lo cual permite resolver el apartado considerando que la energía mecánica del objeto se conserva. “Energía mecánica en la superficie = Energía mecánica a una altura de R/2 de la superficie”

E p (Superficie) + E c (Superficie) = E p (h = R 2) −G

M⋅m 1 M⋅m + m ⋅ v 2 = −G R 2 R+h

Simplificando las masas se despeja v. M 1 M − G + v 2 = −G R 2 R+h

1  h=R 1 v = 2G ⋅ M −  = R R+h

1  1 1 1   = 2G ⋅ M −  2G ⋅ M − R R + R 2 R 3 R 2    

2G ⋅ M  2  1 −  = R  3

v= v=

b.

2

1 2 M M 1  1 = GM − v =G −G  2 R R+h R R+h

2G ⋅ M 1 ⋅ = R 3

2 ⋅ 6,67 × 10 −11 ⋅ 1,25 × 1023 3 ⋅ 1,5 × 106

2G ⋅ M 3R

= 1925 m

s

El peso de un objeto es la fuera con la que el planeta atrae al objeto. Mm M M P = FG mg = G g=G =G 2 2 (R + h ) (R + R 2) (3R 2)2

g=G

1,25 ⋅ 1023 −11 = 6 , 67 × 10 ⋅ = 1,65 m 2 2 6 s (3R 2)2 3 ⋅ 1,5 × 10 2 M

(

)

Pregunta 2.- Un objeto está unido a un muelle horizontal de constante elástica 2×104 Nm‒1. Despreciando el rozamiento: a) ¿Qué masa ha de tener el objeto si se desea que oscile con una frecuencia de 50 Hz? ¿Depende el periodo de las oscilaciones de la energía inicial con que se estire el muelle? Razone la respuesta.

1

b) ¿Cuál es la máxima fuerza que actúa sobre el objeto si la amplitud de las oscilaciones es de 5 cm? Solución. a. Teniendo en cuenta la Ley de Hooke, el 2º principio de la dinámica y la expresión de la aceleración en un movimiento armónico simple (MAS), se obtiene una relación para la constante elástica en función de la masa y la velocidad angular.  F = −k x   : −k x = m a  2 2 F= ma   : −k x = −m ω x ⇒ k = m ω  a = −ω 2 x 

k 2 × 10 4 k = m ω 2  2 = 0,2 kg  : k = m (2π f ) ⇒ m = 2 2 = 2 ω = 2 π f  4π f 4 π ⋅ 502 El periodo de oscilación no depende de la energía inicial con la que se estire el muelle, depende de la masa unida al muelle y de la constante recuperadora del muelle. 2 k = m ω 2  m  2π  2π  : k = m   ⇒ T = 2π ω= k  T  T  Aplicando la ley de Hooke (F = k·x), si x = A ⇒ F = Fmax

b.

Fmax = k ⋅ A = 2 × 10 4 ⋅ 0,05 = 1000N

Pregunta 3. Considérese, tal y como se indica en la figura, una espira circular, contenida en el plano X-Y, con centro en el origen de coordenadas. Un imán se mueve a lo largo del eje Z, tal y como también se ilustra en la figura. Justifíquese razonadamente razonadamente el sentido que llevará la corriente inducida en la espira si: a) El imán se acerca a la espira, como se indica en la parte a) de la figura. b) El imán se aleja a la espira, como se indica en la parte b) de la figura. Solución. a. Al aproximarse el imán a la espira, aumenta el número de líneas de campo que atraviesan la r espira, aumentando el campo inductor en la dirección − k , según la ley de Lenz, la corriente se induce en un sentido tal que los efectos que genera tienden a oponerse al cambio de flujo que la origina, en definitiva, el flujo producido por la corriente inducida se opone a la variación del flujo inductor, por lo r tanto la corriente inducida deberá generar un campo magnético inducido dirigido hacia + k , para lo cual siguiendo la regla del sacacorchos, la corriente girará en el sentido positivo (antihorario). b. Al alejarse el imán de la espira, disminuye el número de líneas que la atraviesan, la corriente inducida deberá compensar esta disminución girando en el sentido negativo (horario) generando un campo inducido que compense la disminución de líneas de campo que atraviesan la espira.

Pregunta 4.a) Explique, ayudándose de un diagrama de rayos, la formación de imágenes por parte de una lente convergente. En concreto, detalle la naturaleza de la imagen en función de la posición del objeto. b) Explique cómo funciona una lupa: dónde se ha de colocar el objeto, qué tipo de lente se utiliza y qué tipo de imagen se forma. Solución. a. En una lente convergente, dependiendo de la posición relativa del objeto respecto del foco, la imagen que se obtiene puede ser real o virtual. •

Si el objeto se sitúa a una distancia superior a la distancia focal, la imagen que se obtiene es real e invertida, dependiendo de que este situado entre la distancia focal (f) y el doble de la distancia

2

focal (2f) o a una distancia superior al doble de la distancia focal, la imagen será de mayor o menor tamaño que el objeto.

•

Si el objeto se sitúa sobre el foco, lo rayos se refractan paralelos y no se forma imagen

•

Si el objeto se sitúa entre la lente y el foco, se forma una imagen virtual y derecha y de mayor tamaño que el objeto

b. Una lupa es un instrumento óptico que permite aproximar el objeto al ojo, ampliando el ángulo de visión, de modo que el objeto parece tener mayor tamaño. Esta formado por una lente biconvexa. El objeto deberá situarse dentro de la distancia focal, y de esa forma se obtendrá una imagen virtual, derecha, y de mayor tamaño que el objeto, cuanto más próximo esta el objeto del foco, mayor será la imagen obtenida.

Pregunta 5.- El Co-60 es un elemento radiactivo cuyo período de semidesintegración es de 5,27 años. Se dispone inicialmente de una muestra radiactiva de Co-60 de 2 g de masa. Calcule: a) La masa de Co-60 desintegrada después de 10 años. b) La actividad de la muestra después de dicho tiempo. Dato: Número de Avogadro: N = 6,023×1023 mol‒1

Solución. a. El número de núcleos (N) que quedan sin desintegrar de un material radioactivo pasado un tiempo t, viene dado por la expresión:

N = N o e − λt Donde No representa el número de núcleos iniciales y λ es la constante de desintegración. Esta ecuación también se puede expresar en función de la masa inicial de núcleos radioactivos (mo) y de la masa existente (m) después de transcurrir un tiempo determinado. m = m o e − λt La constante de desintegración se puede obtener a partir del periodo de semidesintegración (T½), que representa el tiempo necesario para que la muestra se reduzca a la mitad.

3

N = N o e −λt  N o − λT1 2 N o  : 2 = N oe N= 2 

Ln 2 = λT1 2

λ=

Ln 2 Ln 2 = = 0,1315 año −1 T1 2 5,27

m = m o e − λt = 2 ⋅ e −0,1315⋅10 = 0,537 g La masa desintegrada es la diferencia entre la inicial y la que queda sin desintegrar. m = 2 − 0,537 = 1,463 g b. La actividad de una muestra de una sustancia radioactiva es el número de desintegraciones que se producen por unidad de tiempo. dN d A= = N o e − λ t = λN o e − λ t = λN dt dt

N = n ⋅ NA =

A=

m 0,537g nucleos ⋅ NA = ⋅ 6,023 × 1023 = 5,39 × 10 21 nucleos g M mol 60 mol Ln 2 Ln 2 λ= = = 4,17 × 10 −9 s −1 T1 2 5,27 ⋅ 365 ⋅ 24 ⋅ 3600 dN = λN = 4,17 × 10 −9 ⋅ 5,39 × 1021 = 2,25 × 1013 Bq dt

4

OPCIÓN B Pregunta 1.- Una nave espacial de 800 kg de masa describe una órbita circular de 6000 km de radio alrededor de un planeta. Sabiendo que la energía mecánica de la nave es EM = ‒3,27×108 J, determine: a) La masa del planeta. b) La velocidad angular de la nave en su órbita. Datos: Constante de la Gravitación Universal, G = 6,67×10‒11 N m2 kg‒2

Solución. a. La energía mecánica de un satélite que describe una órbita circular en torno a un planeta es la suma de su energía cinética y de su energía potencial. 1 Mm  1 Mm  2 E M = E c + E p = mv 2 +  − G  = mv − G 2 R  2 R  Teniendo en cuenta que si el satélite describe una órbita con movimiento circular uniforma la suma de todas las fuerzas que actúan sobre él debe igual a la fuerza centrípeta:

FG = Fc

G

Mm R

2

=m

v2 R

v2 = G

M R

Sustituyendo la expresión de v2 en la energía mecánica: 1 M Mm 1 Mm E M = mG − G =− G 2 R R 2 R De la expresión de la energía mecánica se puede despejar la masa del planeta.

M=

(

)

− 2E M ⋅ R − 2 − 3,27 × 108 ⋅ 6000 × 103 = = 7,35 × 10 22 kg −11 Gm 6,67 × 10 ⋅ 800

b. El apartado se puede resolver de dos formas diferentes, partiendo de la energía mecánica del satélite o mediante la masa del planeta calculada en el apartado a. Partiendo de la energía mecánica:

EM = Ec + EP =

1 Mm   mv 2 +  − G  2 R  

1 Mm Mm Teniendo en cuenta que E M = − G ⇒ −G = 2E m , sustituyendo: 2 R R 1 1 E M = mv 2 + 2E M ⇒ mv 2 = −E M 2 2 Teniendo en cuenta: v = ω ⋅ R

1 m(ω ⋅ R )2 = −E M 2

ω=

− 2E M = m ⋅ R2

(

− 2 ⋅ − 3,27 ⋅ 108

(

800 ⋅ 6 × 10

)

6 2

) = 1,5 ×10

−4

rad

s

Conocida la masa del planeta y el radio de la órbita, se puede calcular la velocidad angular, pariendo de la expresión de la velocidad en la órbita.

M M  2 R  : (ω ⋅ R ) = G R v = ω ⋅ R 

v2 = G

ω = 6,67 × 10 −11

ω2 = G

7,35 × 10 22

(6 × 10 )

6 3

5

M R3

ω= G

= 1,5 × 10− 4 rad

s

M R3

Pregunta 2.- La función matemática que representa una onda transversal que avanza por una cuerda es

y(x , t ) = 0,3 sen (100π t − 0,4π x + φ o ) , donde todas las magnitudes están expresadas en unidades del SI. Calcule: a) La separación entre dos puntos cuya diferencia de fase, en un determinado instante, es de π/5 radianes. b) La diferencia de fase entre dos vibraciones de un mismo punto del espacio separadas por un intervalo de tiempo de 5 ms. Solución. a. Para un mismo instante de tiempo, la diferencia de fase entre dos puntos es: ∆φ = φ 2 − φ1 = (100π t o − 0,4π x 2 + φ o ) − (100π t o − 0,4π x1 + φ o ) = 0,4π ⋅ (x1 − x 2 ) = 0,4π ⋅ (− ∆x ) π ∆φ = 5 = −0,5 m 0,4π 0,4π π ∆φ = ⇒ x 2 − x1 = −0,5 5 π φ 2 − φ1 = ⇒ x 2 = x1 − 0,5 m 5 El segundo punto esta retrasado 0,5 metros respecto del primero. ∆x = −

b.

Para un intervalo de tiempo, la diferencia de fase de un mismo punto viene dado por: ∆φ = φ 2 − φ1 = (100π t 2 − 0,4π x 0 + φ o ) − (100π t1 − 0,4π x 0 + φ o ) = 100π ⋅ (t 2 − t1 ) = 100π ⋅ ∆t π ∆φ = 100π ⋅ ∆t = 100π ⋅ 5 ⋅ 10 − 3 = rad 2

Pregunta 3.- Una esfera maciza no conductora, de radio R = 20 cm, está cargada uniformemente con una carga de Q = +1×10‒6 C. a) Utilice el teorema de Gauss para calcular el campo eléctrico en el punto r = 2R y determine el potencial eléctrico en dicha posición. b) Si se envía una partícula de masa m = 3×10‒12 kg, con la misma carga +Q y velocidad inicial vo = 1×105 m s‒1, dirigida al centro de la esfera, desde una posición muy lejana, determine la distancia del centro de la esfera a la que se parará dicha partícula. Datos: K = 9×109 N m2 C‒2

Solución. a. Teorema de Gauss. “El flujo neto que atraviesa una superficie cerrada cualquiera es igual a la suma algebraica de las cargas eléctricas encerradas en su interior dividida entre la constante  Q ” eléctrica del vacío  Φ = ε o   T. GAUSS Q r r Φ = ∫ E o dS = ∫ E ⋅ ds = E ∫ ds = E ⋅ 4πr 2 = εo S

E=

S

S

1 Q Q 10−6 V ⋅ 2 = K 2 = 9 × 109 ⋅ = 56250 * 2 4πε o r m r 2 ⋅ 20 × 10− 2 123

(

K

)

Q 10−6 = 9 × 109 ⋅ = 22500 V r 2 ⋅ 20 × 10 − 2 * El campo eléctrico se puede expresar en V/m o en N/m. V =K⋅

b. La energía cinética que tiene la carga en un punto alejado (infinito) se transforma en trabajo que realiza para aproximarse a otra carga de igual signo. W = ∆E c   1 1 1 2 2 2 2 ∆E c = m v − v o = − mv o  : −Q ⋅ V = − mv o 2 2 2  W = −Q ⋅ ∆V = −Q ⋅ (V − V∞ ) = −Q ⋅ V 

(

)

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Q 1 Q ⋅ K = mv 2 r 2

r=

2K ⋅ Q 2 mv 2

=

( ) ⋅ (10 )

2 ⋅ 9 × 109 ⋅ 10− 6 3 × 10−12

2

5 2

= 0,6 m = 60 cm

Pregunta 4.a) Describa brevemente los fenómenos de refracción y dispersión de la luz. ¿Con un rayo de luz monocromática se pueden poner de manifiesto ambos fenómenos? b) ¿Por qué no se observa dispersión cuando un haz de rayos paralelos de luz blanca atraviesa una lámina de vidrio de caras planas y paralelas? Solución. a. La refracción es el cambio que experimenta la dirección de propagación de la luz cuando atraviesa oblicuamente la superficie de separación de dos medios trasparentes de distinta naturaleza.

La dispersión es la separación de las ondas de distinta frecuencia que forman luz al atravesar un material, esto es debido a que las luces de distintos colores se propaga en los medios materiales con velocidades diferentes, solo en el vacío, se propagan a igual velocidad. La luz blanca al atravesar un prisma se descompone en los diferentes colores

Con un rayo de luz monocromática solo se manifiesta el fenómeno de la refracción, debido a que para la dispersión es necesario la presencia de luces con diferentes longitudes de onda b. Cuando la luz atraviesa una lámina de caras plano-paralelas el rayo emergente es paralelo al incidente (aunque sufre un desplazamiento). Al travesar la primera cara, la luz blanca se dispersa en los diferentes colores que la forman, pero en la segunda cara, los rayos de distintas frecuencias procedentes de distintos rayos incidentes, se vuelven a recombinar generando rayos emergentes de luz blanca

Pregunta 5.- Una radiación monocromática de longitud de onda λ = 10‒7 m incide sobre un metal cuya frecuencia umbral es 2×1014 Hz. Determine: a) La función de trabajo y la energía cinética máxima de los electrones. b) El potencial de frenado. Dato: Constante de Planck h = 6,62×10‒34 J s Solución. a. La función de trabajo es la energía mínima que debe proporcionarse a un electrón para liberarlo de la superficie de una sustancia determinada. La función de trabajo fotoeléctrica es φ = h·fo dónde h es la constante de Planck y fo es la frecuencia mínima ( frecuencia umbral) del fotón, requerida para producir la emisión fotoeléctrica. φo = h·fo = 6,63×10‒34·2×1014 = 1,33×10-19 J La energía cinética máximo de los electrones se obtiene haciendo un balance de energía. Energía Radiación = Trabajo de extracción (función de trabajo) + Energía cinética de los electrones

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h ⋅ f = φo + E c (máx ) c c h ⋅ = φo + E c (máx ) E c (máx ) = h ⋅ − φo λ λ 8 3 × 10 E c (máx ) = 6,63 × 10 − 34 ⋅ − 1,33 × 10 −19 = 1,86 × 10 −18 J 10− 7 b. El potencial de frenado corresponde es el mínimo potencial que se ha de aplicar entre los dos electrodos para frenar los electrones emitidos por el metal, se halla a partir de la energía cinética con la que salen los electrones del metal por electrón. E c = e ⋅ Vfrenado

Vfrenado =

E c 1,86 ⋅ 10−18 = = 11,6 V e 1,6 × 10 −19

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