TRIGONOMETRIA 1. Calcular las razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º. Solución. Para calcular las razones trigonométricas de 45º, nos ayudamos de un triángulo rectángulo isósceles como el de la figura. sen 45º =

cateto opuesto L 1 2 = = = hipotenusa 2 2L 2

cateto contiguo L 1 2 = = = hipotenusa 2 2L 2 cateto opuesto L tg 45º = = =1 cateto contiguo L

cos 45º =

Para calcular las razones trigonométricas de 30º y 60º, nos ayudamos de un triángulo equilátero que dividimos por la base para obtener un triángulo rectángulo con ángulos agudos de 30º y 60º, como el de la figura.

sen 30º =

L cateto opuesto 1 = 2= = hipotenusa L 2

3 L cateto contiguo 2 = 3 = hipotenusa L 2 L cateto opuesto 2 = 1 = 3 tg 30º = = cateto contiguo 3 3 L 3 2 cos 30º =

3

L 2 = 3 L 2 L cateto contiguo 1 cos 60º = = 2= = hipotenusa L 2

sen 60º =

tg 30º =

cateto opuesto = hipotenusa

cateto opuesto = cateto contiguo

3

2 L 2

L

= 3

2. Si cos A > 0,8, siendo A un ángulo agudo, ¿cómo es sen A y tg A? Solución. Teniendo en cuenta que las razones trigonométricas de los ángulos del primer cuadrante son positivas, y que el cuadrado de un número comprendido entre 0 y 1 es menor que el número, se aplica la relación fundamental de la trigonometría: sen 2 α + cos 2 α = 1 2 2 2 2  : (0,8) + cos α < 1 ⇒ cos α < 1 − (0,8) = 0,36 : cos α < 0,36 sen α > 0,8  tg α =

sen α  senα > 0,8  0,8 4 : : tg α >  : tg α > cos α cos α < 0,6 0,6 3

1

3. 0’6 < sen α < 0’8, di entre que valores están comprendidos cos α y tg α. Solución.

- Sí sen α > 0,6 : sen 2 α > 0,6 2 : 1 − cos 2 α > 0,36 : 1 − 0,36 > cos 2 α : 0,64 > cos 2 α : cos α < 0,8 - Si sen α < 0,8 : sen 2 α < 0,82 : 1 − cos 2 α < 0,64 : 1 − 0,64 < cos 2 α : 0,36 < cos 2 α : cos α > 0,6 Conclusión: Sí 0,6 < sen α < 0,8 ⇒ 0,6 < cos α < 0,8 sen α > 0,6 sen α 0,6 = > 0,75 - Si   : tgα > cos α < 0 , 8 cos α 0,8   sen α < 0,8 sen α 0,8 - Sí  = < 1,33  : tg α < cos α 0,6 cos α > 0,6

Conclusión: Sí 0,6 < sen α < 0,8 ⇒ 0,75 < tg α < 1,33 4. Calcular las restantes razones trigonométricas. a) tg α =2; sen α > 0 b) tg α = 3; sen α < 0 c) sec α = 3; tg α < 0 4 d) cos ec α = − ; α ∉ (0, π) 3 1 e) sen α = − ; cos α > 0 3 Solución. a. tg α =2; sen α > 0. El cuadrante se determinan mediante el signo de la tangente y del seno, la tangente es positiva en el 1º o 3º cuadrante, el seno es positivo en el 1º o 2º cuadrante, por lo tanto α pertenece al 1º cuadrante que en el que se cumplen las dos condiciones.  seno y cosecante +  Si α ∈ 1º Cuadrante :  coseno y secante + tangente y cotangente + 

Conocido el valor de la tangente se obtienen la cotangente y la secante. 1 1 cotag α = = tag α 2 tag 2 α + 1 = sec 2 α : sec α = ± tag 2 α + 1 = + 2 2 + 1 = 5

Con la secante se obtiene el coseno 1 1 1 5 sec α = : cos α = = = sec α 5 cos α 5 Conocidas la tangente y el coseno se obtiene el seno mediante la definición de tangente. sen α 5 2 5 ⋅2 = tag α = : sen α = cos α ⋅ tag α = 5 5 cosα Por último del seno se obtiene la cosecante. cosec α =

1 1 = sen α 2 5

= 5

5 2 5

=

5 2

b. tg α = 3; sen α < 0. El cuadrante se determinan mediante el signo de la tangente y del seno, la tangente es positiva en el 1º o 3º cuadrante, el seno es negativo en el 3º o 4º cuadrante, por lo tanto α pertenece al 3º cuadrante que en el que se cumplen las dos condiciones.  seno y cosecante −  Si α ∈ 3º Cuadrante :  coseno y secante − tangente y cotangente + 

2

Conocido el valor de la tangente se obtienen la cotangente y la secante. 1 1 cotag α = = tag α 3 tag 2 α + 1 = sec 2 α : sec α = ± tag 2α + 1 = − 32 + 1 = − 10

Con la secante se obtiene el coseno 1 1 1 10 sec α = : cos α = = =− sec α − 10 10 cos α Conocidas la tangente y el coseno se obtiene el seno mediante la definición de tangente. sen α 10 3 10 ⋅3 = − tag α = : sen α = cos α ⋅ tag α = − 10 10 cosα Por último del seno se obtiene la cosecante. cosec α =

1 1 = sen α − 3 10

=− 10

10 3 10

=−

10 3

sec α = 3; tg α < 0. El cuadrante se determinan mediante el signo de la secante y de la tangente, la secante es positiva en el 1º o 4º cuadrante, la tangente es negativa en el 2º o 4º cuadrante, por lo tanto α pertenece al 4º cuadrante que en el que se cumplen las dos condiciones.  seno y cosecante −  Si α ∈ 4º Cuadrante :  coseno y secante + tangente y cotangente − 

c.

Conocida la secante se calcula el coseno y la tangente. 1 1 1 = sec α = : cos α = sec α 3 cos α tag 2 α + 1 = sec 2 α : tag α = ± sec 2 α − 1 = − 32 − 1 = − 8

Conocidas la tangente y el coseno se obtiene el seno mediante la definición de tangente. sen α 1 8 tag α = : sen α = cos α ⋅ tag α = ⋅ − 8 = − 3 3 cosα

( )

Conocidas las razones directas (seno y tangente) se calculan la inversas (cosecante y cotangente) mediante su definición. cosec α =

1 1 = sen α − 8

=− 3

3 8

=−

3 8 1 1 8 : cotag α = = =− 8 tag α − 8 8

sec α = −4/3; α ∉ (0, π). La secante es negativa en el 2º y 3º cuadrante, si además se tiene en cuenta que el ángulo no pertenece ni al 1º ni al 2º cuadrante se concluye que α pertenece al 3º cuadrante.

d.

 seno y cosecante −  Si α ∈ 3º Cuadrante :  coseno y secante − tangente y cotangente +  Conocida la secante se calcula el coseno y la tangente. 1 1 1 3 = =− sec α = : cos α = sec α − 4 4 cos α 3  tag 2 α + 1 = sec 2 α : tag α = ± sec 2 α − 1 = +  − 

3

2

4 16 −1 =  −1 = 3 9

7 7 = 9 3

Conocidas la tangente y el coseno se obtiene el seno mediante la definición de tangente. sen α 3 7 7 tag α = : sen α = cos α ⋅ tag α = − ⋅ =− 4 3 4 cosα Conocidas las razones directas (seno y tangente) se calculan la inversas (cosecante y cotangente) mediante su definición. cosec α =

1 1 = sen α − 7

=− 4

4 7

=−

2 7 1 : cotag α = = 7 tag α

1 7

= 3

3 7

=

3 7 7

1 sen α = − ; cos α > 0. El seno es negativo en el 3º y 4º cuadrante, el coseno es positivo en el 1º 3 y 4º cuadrante, por lo tanto el ángulo α pertenece al 4º cuadrante.  seno y cosecante −  Si α ∈ 4º Cuadrante :  coseno y secante + tangente y cotangente −  Conocido el valor del seno se calcula el coseno mediante la ecuación fundamental. sen 2 α + cos 2 α = 1

e.

2

1 8 8  1 cos α = ± 1 − sen 2 α = + 1 −  −  = 1 − = = 3 9 9 3  

Conocido el seno y el coseno se calcula la tangente por su definición. 1 sen α − 3 1 8 tag α = = =− =− cosα 8 8 8 3 Conocidas las razones directas (seno, coseno y tangente) se calculan la inversas (cosecante, secante y cotangente) mediante su definición. cosec α =

1 1 = = −3 sen α − 1 3 cotag α =

sec α =

1 1 = tag α − 8

1 1 = cos α 8

=− 8

8 8

= 3

3 8

=

3 8 8

=− 8

5. Calcular las razones trigonométricas de los siguientes ángulos en función de sus ángulos asociados agudos. a) 135º b) 120º c) 330º d) 240º e) 150º f) 1290º g) Sabiendo que tg 18º = 0,32 calcular la razones trigonométricas de los siguientes ángulos: i) 72º ii) 108º iii) 162º iv) 198º v) 252º vi) 288º vii) 342º Solución. a. 135º es suplementario con 45º (135º + 45º =180º). Las razones trigonométricas de 135º están relacionadas con las de 45º, la forma más sencilla de encontrar esta relación es de forma gráfica.

4

sen 135º = sen 45 =

2 2

2 2 sen 135º sen 45º tg 135º = = = − tg 45º = −1 cos 135º − cos 45º

cos 135º = − cos 45º = −

b. 120º es suplementario con 60º (120º + 60º =180º). Las razones trigonométricas de 120º están relacionadas con las de 60º, la forma más sencilla de encontrar esta relación es de forma gráfica. sen 120º = sen 60º =

3 2

1 2 sen 120º sen 60º tg 135º = = = − tg 60º = − 3 cos 120º − cos 60º

cos 120º = − cos 60º = −

c.

330º equivalente a −30º, asociado a 30º sen − 30º = −sen 30º = − 3 2

cos − 30º = cos 30º = tg (− 30º ) =

d.

1 2

sen (− 30º ) 3 = − tg30º = − cos (− 30º ) 3

240º se asocia a 60º porque se diferencia del él en 180º (240º = 60º +180º).

3 2 1 cos 240º = − cos 60º = − 2 sen 240º −sen 60º tg 240º = = tg 60 = 3 = cos 240º − cos 60º

sen 240º = −sen 60 = −

e.

150º suplementario de 30º (150º + 30º = 180º)

sen 150º = sen 30º =

1 2

3 2 sen 150º sen 30º 3 tg 150º = = = − tg 30º = − cos 150º − cos 30º 3

cos 150º = − cos 30º = −

5

f.

1290. Por ser un ángulo superior a 360º, se divide por 360 y nos quedamos con el resto. 1260º = 3×360º+210 Las razones trigonométricas de 1290º coinciden con las de 210º, (relación entre las razones trigonométricas de ángulos que se diferencian en un número entero de vueltas, 360º ó 2π radianes) y las de este (210º) se relacionan con las de 30º (210º = 180º+30º). 1 2 3 cos 1290º = cos(360º×3 + 210º ) = cos 210º = − cos 30º = − 2

sen 1290º = sen (360º×3 + 210º ) = sen 210º = −sen 30º = −

tg 1290º = tg (360º×3 + 210º ) = tg 210º =

sen 210º − sen 30º 3 = = tg 30º = cos 210 − cos 30º 2

g. Lo primero es calcular el seno y el coseno de 18º conocida la tangente (tg 18º = 0,32). Por ser un ángulo del primer cuadrante, todas sus razones trigonométricas son positivas. Conocido el valor de la tangente se obtienen la secante. tag 218º +1 = sec 2 18º : sec 18º = ± tag 218º +1 = + 0,32 2 + 1 = 1,05

Con la secante se obtiene el coseno 1 1 1 = = 0,95 sec 18º = : cos 18º = sec 18º 1,05 cos 18º

i.

Conocidas la tangente y el coseno se obtiene el seno mediante la definición de tangente. sen 18º tag 18º = : sen 18º = cos 18 ⋅ tag 18 = 0,95 ⋅ 0,32 = 0,30 cos 18º 72º = 90º − 18º

sen 72º = cos 18º = 0,95 cos 72º = sen 18º = 0,30 sen 72º cos 18º 1 1 tg 72º = = = = = 3,12 cos 72º sen 18º tg 18º 0,32

ii.

108º = 90º + 18º

sen108º = cos 18 = 0,95 cos 108º = −sen18º = −0,30 sen108º cos18º 1 1 tg 108º = = =− =− = −3,12 cos 108º − sen 18º tg 18º 0,32

6

iii.

162º = 180º − 18º sen 162º = sen 18º = 0,30 cos 162º = − cos 18º = −0,95 sen162º sen 18º tg 162º = = = − tg 18º = −0,32 cos 162º − cos 18º

iv.

198º = 180º + 18º

sen 198º = −sen 18º = −0,30 cos 198º = − cos 18º = −0,95 sen198º −sen 18º tg 198º = = = tg 18º = 0,32 cos 198º − cos 18º

v.

252º = 270º − 18º sen 252º = − cos 18 = −0,95 cos 252º = −sen18º = −0,30 sen 252º − cos18º 1 1 tg 252º = = = = = 3,12 cos 252º − sen 18º tg 18º 0,32

vi.

298º = 270º + 18º

sen 288º = − cos 18 = −0,95 cos 288º = sen18º = 0,30 sen 288º − cos 18º 1 1 tg 288º = = =− =− = −3,12 cos 288º sen 18º tg 18º 0,32

vii.

342º = −18º

sen (− 18º ) = −sen 18º = −0,30

cos(− 18º ) = cos 18º = 0,95 sen (− 18º ) − sen 18º tg (− 18º ) = = = − tg 18º = −0,32 cos(− 18)º cos 18º

7

1 3 siendo 0 < α < 90 y cos β= − siendo 90 < β < 180 calcular: 2 5 a) sen 2α b) tg 2β c) sen (α+β) d) tg (β−α) α e) tg 2 β  f) sen  − 2α  2  

6. Sabiendo que tg α =

Solución. El primer paso es calcular las rezones trigonométricas de α y β que no conocemos.  seno + 1  tg α = siendo 0 < α < 90 ⇒ α ∈ 1º Cuadrante :  coseno + 2 tangente + 

Conocido el valor de la tangente se obtienen la secante y, de esta el coseno 2

5 1 tag 2 α + 1 = sec 2 α : sec α = ± tag 2 α + 1 = +   + 1 = 2 2

Con la secante se obtiene el coseno 1 1 sec α = : cos α = = sec α cos α

1

2

=

2 5 5

5 2 Conocidos los valores del coseno y la tangente se calcula el valor del seno. tag α =

5

=

sen α 2 5 1 5 : sen α = cos α ⋅ tag α = ⋅ = cosα 5 2 5

 seno + 3  cos β = − siendo 90 < β < 180 ⇒ α ∈ 2º Cuadrante :  coseno − 5 tangente + 

Partiendo del coseno se calcula el seno y, con el seno y el coseno la tangente. 2

4  3 sen 2β + cos 2 β = 1 : sen β = ± 1 − cos 2 β = + 1 −  −  = 5  5 4 4 sen β tg β = = 5 =− 3 3 cos β − 5

Conocidas las razones trigonométricas de α y β, se resuelven los apartados del ejercicio. 5  3 6 5 a) Sen 2α = 2 sen α · cos α = 2 ⋅ ⋅−  = − 5  5 25 1 2⋅ 2 tg α 2 = 1 =4 b) tg 2α = = 2 2 3 3 1 − tg α 1 4 1−   2

c)

sen (α + β ) = sen α ⋅ cos β + cos α ⋅ sen β = =

5  3 2 5 4 ⋅−  + ⋅ = 5  5 5 5

−3 5 8 5 5 5 5 + = = 25 25 25 5

8

d)

e) f)

1  4 1 4 11 − −  + 11 tg α − tg β 2  3 tg (α − β ) = = 2 3 = 6 = = 4 2 1  4 2 1 + tg α ⋅ tg β 1+ ⋅−  1− 6 6 2  3

2 5 1− α 1 − cos α 5 = 5−2 5 tg = = 2 2 2 10 β β β  sen  − 2α  = sen ⋅ cos 2α − cos ⋅ sen 2α = 2 2 2  =

 3 1− −   5 = 2

(

 3 2 2 1+ −     2 5   5    5  ⋅ 2 5 ⋅ 2 5 = 8 ⋅ 15 − 1 ⋅ 4 = ⋅ − −      2 5 5 10 25 5 5  5   5     =

7. Calcular:

)

1 + cos β 1 − cos β ⋅ cos 2 α − sen 2α − ⋅ 2 sen α ⋅ cos α = 2 2

4 3 1 4 6 4 2 2 5 ⋅ − ⋅ = − = = 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 25

sen 105º +sen 15º cos 75º − cos 15º

Solución. Aplicando las expresiones de transformación de sumas en productos: A+B A−B sen A + sen B = 2 ⋅ sen  ⋅ cos   2   2 

A+B  A−B cos A − cos B = −2 ⋅ sen  ⋅ sen  2    2  105º +15º 105º −15º ⋅ cos 2 sen 2 sen 60º⋅ cos 45º cos 45º 1 sen 105º +sen 15º 2 2 = =− =− = = sen 45º sen 45º cos 75º − cos 15º − 2 sen 105º +15º ⋅ sen 105º −15º − 2 sen 60º⋅sen 45º cos 45º 2 2 1 1 =− = − = −1 tg 45º 1

8. Simplificar las siguientes expresiones: 1 a) sen α ⋅ tg α Solución. 1 1 cos α sen α ⋅ = sen α ⋅ = sen α ⋅ = cos α sen α tg α sen α cos α  1   b) sen α ⋅ cos α ⋅  tg α + tg α   Solución.  sen α   1  1  = sen α ⋅ cos α ⋅  sen α + cos α  =  = sen α ⋅ cos α ⋅  sen α ⋅ cos α ⋅  tg α + +    cos α sen α  tg α  cos α sen α    cos α   c) Sen 3 + sen α·cos²α Solución. Primero se calcula el sen 3α

(

)

sen 3α = sen (2α + α ) = sen 2α ⋅ cos α + cos 2α ⋅ sen α = 2 sen α ⋅ cos α ⋅ cos α + cos 2 α − sen 2α ⋅ sen α =

9

= 2 sen a ⋅ cos 2 a + cos 2 a ⋅ sen a − sen 3a = 3 sen a ⋅ cos 2 a − sen 3a Conocido el sen 3α, se simplifica la expresion. Sen 3α + sen α·cos²α = = 3 sen α ⋅ cos 2 α − sen 3α + sen α ⋅ cos 2 α = 4 sen α ⋅ cos 2 α − sen 3α 1 − senα ⋅ 1 + senα

d) Solución.

(1 − senα ) ⋅ (1 + senα ) =

1 − senα ⋅ 1 + senα = sen4α − cos4α

e) Solución.

12 − sen 2 α = cos 2 α = cos α

(

)(

) (

) (

)

sen4α − cos4α = sen 2 α + cos 2 α ⋅ sen 2 α − cos 2 α = 1 ⋅ sen 2 α − cos 2 α = − cos 2 α − sen 2 α = − cos 2α cos3α + cos²α·sen α + cos α·sen²α + sen3α

f) Solución.

cos3 α + cos 2 α ⋅ sen α + cos α ⋅ sen 2α + sen 3α = cos3 α + cos α ⋅ sen 2 α + sen 3α + cos 2 α ⋅ sen α =

(

)

(

)

= cos α ⋅ cos 2 α + sen 2α + sen α ⋅ sen 2α + cos 2 α = cos α ⋅ 1 + sen α ⋅ 1 = sen α + cos α

g)

cos 2 α − sen 2 α cos 4 α − sen 4 α

Solución. cos 2 α − sen 2 α 4

4

cos α − sen α

h)

=

(cos

cos 2 α − sen 2 α 2

2

)(

2

2

α − sen α ⋅ cos α + sen α

)

=

1

1 = =1 cos α + sen α 1 2

2

cos 2 α − sen 2 α sen 2 α − cos 2 α

Solución. cos 2 α − sen 2 α 2

2

sen α − cos α

=

(

− sen 2 α − cos 2 α 2

2

sen α − cos α

) = −1

sec 2 α + cos 2 α

i)

sec 2 α − cos 2 α

Solución. 1

+ cos 2 α

1 + cos 4 α

4 cos 2 α cos 2 α = 1 + cos α = = 1 2 sec 2 α − cos 2 α 1 − cos 4 α 1 − cos 4 α − cos α cos 2 α cos 2 α cos ecα 2

2

sec α + cos α

j)

1 + ctg 2 α

Solución. 1 1 1 2 sen α = sen α = sen α sen α sen α = = = 1 sen α 1 + ctg 2 α cos 2 α sen 2 α + cos 2 α 1+ 2 2 2 sen α sen α sen α cos ec α

k) Solución.

cos 2 α 1 − senα cos 2 α 1 − sen 2α (1 + sen α ) ⋅ (1 − sen α ) = = = 1 + sen α 1 − sen α 1 − sen α 1 − sen α

10

9. Demostrar si son verdaderas o falsas las siguientes ecuaciones: Solución. tg α + tg β = tg α ⋅ tg β a) ctg α + ctg β tg α + tg β tg α + tg β tg α + tg β = = = tg α ⋅ tg β 1 1 tg β + tg α ctg α + ctg β + tg α tg β tg α ⋅ tg β ctgα + tgα 1 = ctgα − tgα cos 2 α − sen 2 α cos α sen α cos α ⋅ cos α + sen α ⋅ sen α + ctg α + tg α sen α cos α cos 2 α + sen 2 α 1 sen α ⋅ cos α = = = = = 2 2 2 ctg α − tg α cos α sen α cos α ⋅ cos α − sen α ⋅ sen α cos α − sen α cos α − sen 2 α − sen α cos α sen α ⋅ cos α 1 = = sec 2α cos 2α

b)

c) tg α + ctg α = sec α·cosec α sen α cos α sen α ⋅ sen α + cos α ⋅ cos α 1 1 1 tg α + ctg α = + = = = ⋅⋅ = sec α ⋅ cos ec α cos α sen α cos α ⋅ sen α cos α ⋅ sen α cos α sen α d) ctg²α − cos²α = ctg²α·cos²α cos 2 α cos 2 α − cos 2 α ⋅ sen 2 α cos 2 α ⋅ 1 − sen 2 α 2 ctg 2 α − cos 2 α = − cos α = = = sen 2α sen 2 α sen 2 α

(

=

e)

cos 2 α ⋅ cos 2 α sen 2 α

=

cos 2 α sen 2 α

sen²α − cos²β = sen²β − cos²α

(

)(

)

⋅ cos 2 α = ctg 2 α ⋅ cos 2 α

)

sen 2 α − cos 2 β = 1 − cos 2 α − 1 − sen 2β = 1 − cos 2 α − 1 + sen 2β = sen 2β − cos 2 α

f)

senα ⋅ cos α 2

2

=

tgα

cos α − sen α 1 − tg 2 α sen α sen α sen α ⋅ cos 2 α sen α ⋅ cos α tg α cos α cos α = = = = 2 2 2 2 2 2 cos α − sen α cos α ⋅ cos α − sen α cos 2 α − sen 2 α 1 − tg α sen α 1− cos 2 α cos 2 α

(

g)

)

1 + tgα cos α + senα = 1 − tgα cos α − senα sen α cos α + sen α 1+ cos α + sen α 1 + tg α cos α cos α = = = cos α sen α sen α − cos α − sen α 1 − tg α 1 − cos α cos α

h) cos²α·cos²β − sen²α·sen²β = cos²α − sen²β

(

)(

)

cos 2 α ⋅ cos 2 β − sen 2 α ⋅ sen 2β = cos 2 α ⋅ 1 − sen 2β − 1 − cos 2 α ⋅ sen 2β = 2

= cos α − cos α ⋅ sen β − sen β + cos α ⋅ sen β = cos α − sen 2β

i)

2

2

2

2

2

2

sen α·cos α·tg α·ctg α·sec α·cosec α = 1

sen α ⋅ cos α ⋅ tg α ⋅ ctg α ⋅ sec α ⋅ cos ec α = sen α ⋅ cos α ⋅

11

sen α cos α 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ =1 cos α sen α cos α sen α

j)

(sen α + cos α )

2

(sen α + cos α)² + (sen α − cos α)² = 2

+ (sen α − cos α )2 = sen 2 α + 2senα ⋅ cos α + cos 2 α + sen 2 α − 2senα ⋅ cos α + cos 2 α =

(

) (

)

= sen 2 α + cos 2 α + sen 2 α + cos 2 α = 1 + 1 = 2

k)

ctgα −

ctg 2 α − 1 = tgα ctgα 1

−1 1 ctg 2 α − 1 1 tg 2 α = − = − ctgα − 1 tg α ctgα tg α tg α =

l)

(

)

tg 2α 1 tg α

=

(

)

1 tg α ⋅ 1 − tg 2α − = tg α tg 2α

1 1 − tg 2 α 1 − 1 − tg 2α 1 − 1 + tg 2 α tg 2 α − = = = = tg α tg α tg α tg α tg α tg α

1 + tg 2 α tgα = ctgα cos 2 α 2

1 + tg α = ctgα

m)

1 − tg 2α

1+

sen 2 α 2

cos α = 1 tg α

cos 2 α + sen 2 α 2

cos α 1 tg α

1 2 tgα = cos α = 1 cos 2 α tg α

sen α + ctg α = cos α tg α + cosec α

cos α sen 2 α + cos α 1 sen α + ctg α cos α ⋅ sen α sen α = sen α sen α = = = = cos α 2 sen α 1 1 sen α tg α + cosec α sen α + cos α + cos α sen α cos α ⋅ sen α cos α ⋅ sen α sen α +

1 − sen α cos α = cos α 1 + sen α 1 − sen α (1 − sen α ) ⋅ (1 + sen α ) 12 − sen 2α cos 2 α cos α = = = = cos α cos α ⋅ (1 + sen α ) cos α ⋅ (1 + sen α ) cos α ⋅ (1 + sen α ) 1 + sen α

n)

o) tg α + ctg α =

tgα + ctgα = 2 cos ec 2α

sen α cos α sen 2 α + cos 2 α 1 2 2 + = = = = = 2 cosec 2α cos α sen α cos α ⋅ sen α cos α ⋅ sen α 2 cos α ⋅ sen α cos 2α

p)

sen 2α =

2 tg α

1 + tg 2 α sen α sen α sen α 2 2 2 2 2 tg α cos α = cos α cos α = 2 sen α ⋅ cos α = 2 sen α ⋅ cos α = sen 2α = = 1 cos α 1 + tg 2α sen 2 α cos 2 α + sen 2α 1+ 2 2 2 cos α cos α cos α

cos(α − β) − cos(α + β ) = tgβ sen(α + β ) + sen(α − β ) cos(α − β) − cos(α + β ) cos α ⋅ cos β + sen α ⋅ sen β − [cos α ⋅ cos β − sen α ⋅ sen β ] = = sen(α + β ) + sen(α − β ) sen α ⋅ cos β + cos α ⋅ sen β + sen α ⋅ cos β − cos α ⋅ sen β 2 sen α ⋅ sen β sen β = = = tgβ 2 sen α ⋅ cos β cos β q)

12

2·tg α = sen 2α sec²α

r)

sen 2α ⋅ sec 2 α = 2 sen α ⋅ cos α ⋅

1 2

cos α

=2

sen α = 2 tg α cos α

s) sen (α+β) · sen (α−β) = sen²α − sen²β sen(α + β ) ⋅ sen(α − β ) = (sen α ⋅ cos β + cos α ⋅ sen β ) ⋅ (sen α ⋅ cos β − cos α ⋅ sen β ) =

(

= (sen α ⋅ cos β )2 − (cos α ⋅ sen β )2 = sen 2 α ⋅ cos 2 β − cos 2 α ⋅ sen 2β =

)(

)

= sen 2α ⋅ 1 − sen 2β − 1 − sen 2 α ⋅ sen 2β = sen 2α − sen 2α ⋅ sen 2β − sen 2β + sen 2α ⋅ sen 2β = = sen 2 α − sen 2β cos 2 α = 1 + cos 2α

t)

cos 2 α = 1 + cos 2α = 1 + cos 2 α − sen 2 α = 1 − sen 2 α + cos 2 α = cos 2 α + cos 2 α = 2 cos 2 α =

= 2 cos α No se cumple u) tg²α − sen²α = tg²α·sen²α

tg 2α − sen 2α =

sen 2 α cos 2 α

− sen 2 α =

sen 2 α − sen 2 α ⋅ cos 2 α

=

cos 2 α sen 2α cos 2 α

=

(

sen 2 α ⋅ 1 − cos 2 α cos 2 α

) = sen α ⋅ sen α = 2

2

cos 2 α

⋅ sen 2 α = tg 2α ⋅ sen 2 α

v) sen3α·(1+cotg α) + cos3α·(1+tg α) = sen α + cos α cos α    sen α  3 sen 3α ⋅ (1 + ctg α ) + cos 3 α ⋅ (1 + tg α ) = sen 3α ⋅ 1 +  + cos α ⋅ 1 + = cos α   sen α   sen α + cos α cos α + sen α = sen 3α ⋅ + cos3 α ⋅ = sen 2α ⋅ (sen α + cos α ) + cos 2 α ⋅ (cos α + sen α ) = sen α cos α

(

)

= (sen α + cos α ) ⋅ sen 2 α + cos 2 α = (sen α + cos α ) ⋅ 1 = sen α + cos α

w)

sen α 1 + cosα + = 2 cosec α 1 + cos α sen α

sen α 1 + cosα sen α ⋅ sen α + (1 + cos α ) ⋅ (1 + cos α ) sen 2 α + (1 + cos α )2 + = = = (1 + cos α )⋅ sen α (1 + cos α )⋅ sen α 1 + cos α sen α =

(

)

sen 2 α + 12 + 2cos α + cos 2 α sen 2 α + cos 2 α + 1 + 2cos α 1 + 1 + 2cos α 2 + 2cos α = = = = (1 + cos α )⋅ sen α (1 + cos α ) ⋅ sen α (1 + cos α )⋅ sen α (1 + cos α )⋅ sen α 2 ⋅ (1 + cos α ) 2 = = 2 cosec α = (1 + cos α ) ⋅ sen α sen α

x)

sec 2 α + cos ec 2 α = 4 cosec 2 2α

sec 2 α + cos ec 2 α =

y)

1 2

+

1 2

=

sen 2 α + cos 2 α 2

2

=

1 2

2

cos α ⋅ sen α cos α ⋅ sen α 4 = = = 4 cosec 2 2α 2 (2 cos α ⋅ sen α ) (sen 2α )2

cos α

sen α 4

α+β tg sen α + sen β 2 = sen α − sen β tg α − β 2

13

=

4 2

4 cos α ⋅ sen 2 α

=

1 − cos(α + β ) 1 + cos(α + β )

α+β 2 = α −β tg 2

tg

1 − cos(α − β ) 1 + cos(α − β )

=

(1 − cos(α + β )) ⋅ (1 + cos(α − β )) = (1 − cos(α − β )) ⋅ (1 + cos(α + β ))

1 + cos(α − β ) − cos(α + β ) − cos(α + β ) ⋅ cos(α − β ) = 1 + cos(α + β ) − cos(α − β ) − cos(α − β ) ⋅ cos(α + β )

=

1 + cos α ⋅ cos β + senα ⋅ senβ − cos α ⋅ cos β + senα ⋅ senβ − cos(α + β ) ⋅ cos(α − β ) = 1 + cos α ⋅ cos β − senα ⋅ senβ − cos α ⋅ cos β − senα ⋅ senβ − cos(α − β ) ⋅ cos(α + β )

=

=

( 1 − 2 senα ⋅ senβ − ((cos α ⋅ cos β )

=

=

( ( )( ) )= 1 − 2 senα ⋅ senβ − (cos α ⋅ (1 − sen β ) − (1 − cos α )⋅ sen β ) 2

( 1 − 2 senα ⋅ senβ − (cos

2

1+ 1−

2

2

)= α ⋅ sen β )

1 + 2 senα ⋅ senβ − cos 2 α − cos 2 α ⋅ sen 2β − sen 2β + cos 2 α ⋅ sen 2β 2

2

2

2

)= ) α − sen β 2

2

2

1 − cos α − 2 senα ⋅ senβ + sen β

(sen α + sen β )2 (sen α − sen β )2

sec 2α =

2

α − cos α ⋅ sen β − sen β + cos

1 − cos 2 α + 2 senα ⋅ senβ + sen 2β

=

z)

2

1 + 2 senα ⋅ senβ − cos 2 α ⋅ 1 − sen 2β − 1 − cos 2 α ⋅ sen 2β

( ( 1 − 2 senα ⋅ senβ − cos

=

= 1 − tg 2α

2

1 + 2 senα ⋅ senβ − cos 2 α − sen 2β

=

)= − (sen α ⋅ sen β ) )

1 + 2 senα ⋅ senβ − (cos α ⋅ cos β )2 − (sen α ⋅ sen β )2

=

1 + tg α

1 + 2 senα ⋅ senβ − cos(α + β ) ⋅ cos(α − β ) = 1 − 2 senα ⋅ senβ − cos(α − β ) ⋅ cos(α + β )

1 + 2 senα ⋅ senβ − ((cos α ⋅ cos β − sen α ⋅ sen β ) ⋅ (cos α ⋅ cos β − sen α ⋅ sen β )) = 1 − 2 senα ⋅ senβ − ((cos α ⋅ cos β + sen α ⋅ sen β ) ⋅ (cos α ⋅ cos β − sen α ⋅ sen β ))

=

2

1 − cos(α + β ) 1 + cos(α + β ) = 1 − cos(α − β ) 1 + cos(α − β )

=

2

2

1 + 2 senα ⋅ senβ − cos 2 α + sen 2β 1 − 2 senα ⋅ senβ − cos 2 α + sen 2β

sen 2α + 2 senα ⋅ senβ + sen 2β sen 2α − 2 senα ⋅ senβ + sen 2β

=

=

2

 sen α + sen β  sen α + sen β  = =  sen α − sen β  sen α − sen β 

1 + tg 2 α 1 − tg 2 α

sen 2 α

cos 2 α + sen 2α

cos 2 α

cos 2 α

cos 2 α + sen 2α 1 1 cos 2 α = cos 2 α = = = = sec 2α 2 2 2 2 2 2 2 sen α cos α − sen α cos α − sen α cos α − sen α cos 2α

aa) tg α + ctg α = 2·cosec 2α sen α cos α sen 2 α + cos 2 α 1 2 2 tg α + ctg α = + = = = = = 2 cosec 2α cos α sen α cos α ⋅ sen α cos α ⋅ sen α 2 sen α ⋅ cos α sen 2α

14

bb) sec²α + ctg2α = cosec²α + tg²α 2

sec α + ctg α =

= =

1

2

cos 2 α

+

sen 2 α + 1 − 2sen 2 α + sen 4 α cos 2 α ⋅ sen 2 α cos 2 α + sen 4 α 2

2

cos α ⋅ sen α

=

cos 2 α sen 2α

=

=

cos 2 α ⋅ sen 2α

1 − sen 2 α + sen 4 α

cos 2 α 2

sen 2α + cos 4 α

2

cos α ⋅ sen α

cos 2 α ⋅ sen 2 α +

sen 4α 2

2

cos α ⋅ sen α

=

(

sen 2α + 1 − sen 2α cos 2 α ⋅ sen 2α

)

2

=

sen 2 α + cos 2 α − sen 2 α + sen 4 α

=

cos 2 α ⋅ sen 2 α

=

1 2

sen α

+

sen 2 α 2

cos α

=

= cosec 2 α + tg 2α

10. Demostrar que en todo triangulo rectángulo se cumple: ) ) b2 i. sen B ⋅ tg B = a ⋅c ) 2bc ii. sen 2B = 2 a ) ) ) sen B + cos C iii. tg B = ) ) cos B + sen C ) ) ) ) ) ) iv. tg A + tg B + tg C = tg A ⋅ tg B ⋅ tg C Solución. ) ) b2 i. sen B ⋅ tg B = a ⋅c Por definición: ) cateto opuesto b sen B = = hipotenusa a ) cateto opuesto b tg B = = cateto contiguo c ) ) b b b2 sen B ⋅ tg B = ⋅ = a c a ⋅c

ii.

) 2bc sen 2B = 2 a ) ) ) sen 2B = 2 sen B ⋅ cos B ) ) b c 2bc 2 sen B ⋅ cos B = 2 ⋅ ⋅ = 2 a a a

iii.

) ) ) sen B + cos C tg B = ) ) cos B + sen C ) ) Si A, B y C son los ángulos de un triángulo, y A es el ángulo recto, se cumple B + C = 90º ) ) ) ) ) ) ) sen B + cos C  )  sen B + cos C sen B + cos 90º − B  cos(90 − α ) = sen α  ) tg B = ) ) ) = = ) = : ) cos B +)sen C  cos B + sen C cos B + sen 90º − B sen (90 − α ) = cos α   C = 90º − B  ) ) ) ) ) sen B + sen B 2 sen B sen B ) = tg B ) ) = ) = = cos B + cos B 2 cos B cos B

( (

15

) )

iv.

) ) ) ) ) ) tg A + tg B + tg C = tg A ⋅ tg B ⋅ tg C Si A, B y C son los ángulos de un triángulo, ) ) ) ) ) ) A + B + C = 180º ⇒ A = 180º − B + C Si dos ángulos son iguales, sus tangentes también lo serán: ) ) ) tg A = tg 180º − B + C

(

(

(

)

))

Para ángulos complementarios tg (180 − α) = −tg α ) ) ) tg A = − tg B + C Desarrollando la tangente de la suma de ángulos. ) ) ) tg B + tg C ) tg A = − ) 1 − tg B ⋅ tg C Ordenando la igualdad se llega expresión propuesta. ) ) ) ) ) tg A ⋅ 1 − tg B ⋅ tg C = − tg B + tg C ) ) ) ) ) ) tg A − tg A ⋅ tg B ⋅ tg C = − tg B − tg C ) ) ) ) ) ) tg A ⋅ tg B ⋅ tg C = tg A + tg B + tg C

(

(

)

) (

)

11. Expresar sen 2α y cos 2α en función de tg α. Se parte de la expresión de la tangente del ángulo mitad, tg

a 1 − cos a = 2 1 + cos a

a = α ⇒ a = 2α 2

Haciendo el cambio:

1 − cos 2α 1 + cos 2α

tg α =

De esta expresión se despeja el coseno del ángulo doble en función de la tangente del ángulo. tg α =

1 − cos 2α 1 − cos 2α Elevando al cuadrado se quita la raíz tg 2α = 1 + cos 2α 1 + cos 2α

tg 2α ⋅ (1 + cos 2α ) = 1 − cos 2α :

tg 2α + tg 2 α ⋅ cos 2α = 1 − cos 2α

(

)

tg 2α ⋅ cos 2α + cos 2α = 1 − tg 2α : cos 2α ⋅ tg 2 α + 1 = 1 − tg 2 α cos 2α =

2

1 − tg α tg 2 α + 1

El seno el ángulo doble se obtiene de la ecuación fundamental aplicada al ángulo doble y sustituyendo el coseno por su expresión en función de la tangente. sen 2 2α + cos 2 2α = 1 2

 1 − tg 2α   =1 sen 2α +  2  tg α + 1    2

(1 − tg α) (tg α + 1) − 2tg α + tg α (tg α + 2tg α + 1) − (1 − 2tg α + tg α ) = =

 1 − tg 2α   sen 2 2α = 1 −  2  tg α + 1    sen 2 2α = 1 −

12

2

2

4

4

sen 2 2α =

2

tg 4α + 2tg 2α + 1

(tg α + 1) 2

2

4

tg 4α + 2tg 2α + 1

tg 4α + 2tg 2α + 1 − 1 + 2tg 2α − tg 4α

4tg 2α

2

2

2

tg 4α + 2tg 2α + 12

=

2

2

: sen 2 2α = 1 −

: sen 2α =

16

4 tg 2 α

(tg α + 1) 2

2

=

4tg 2α

(tg α + 1) 2

: sen 2α =

2

2tg α tg 2 α + 1